Рассматривается поведение большой группы людей, перемещающихся по сложной местности с целью достижения точечной координатной цели, например, лидера группы. Каждый человек моделируется как точечный объект, обладающий рядом свойств - предельной скоростью движения, предельными энергетическими затратами в единицу времени, характером взаимодействия с другими людьми и препятствиями, индивидуальными целевыми установками, уровнем информированности о текущей ситуации. Кроме того, для моделирования критических ситуаций определяется критерии получения травм и гибели людей в давке. Критерии задаются как вероятностные функции от плотности людей на квадратный метр пространства и времени пребывания в критическом состоянии.

Карта местности состоит из множества координатных точек разрешенных для нахождения людей (например, тротуары, дороги, переходы) и множества запрещенных точек (здания, машины и другие объекты).

Перемещение по разрешенной области происходит в соответствии с принципом минимизации затрат для достижения цели. Для этого используется следующий алгоритм. Для конкретного положения цели в заданный момент времени рассчитывается мгновенное поле стоимости достижения цели при неизменных условиях на карте местности (ценовая матрица). Направление ожидаемого движения (направление среднестатистической скорости тела) определяется как градиент ценовой матрицы. В каждый момент времени область достижимости (множество точек, из которых можно достичь цели) покрывается непересекающимися траекториями, минимизирующими достижение цели.

Реальное перемещение модельной точки учитывает возможности человека (учитываются ограничения на скорость движения и затраты энергии), а также процесс диффузии (отклонения) по пучку оптимальных траекторий движения. Процесс диффузии обусловлен флуктуациями, обусловленными взаимодействиями между людьми, а также ограниченностью информации о текущей ситуации для каждого отдельного человека.

В расчетной модели процесс отклонения от оптимальной траектории и учет ограниченности информации о ситуации был реализован через ограничение выборки (уменьшение множества) возможных перемещений.

Учет ограничений на доступную информацию и флуктуаций взаимодействий практически означает отказ от детерминированного принципа минимизации затрат. Вместо него возникает вероятностный принцип предпочтений, учитывающий возможности целевых систем. Если энергетические возможности системы, принимающей и реализующей целевые решения, много больше цены энергетических затрат на достижение цели, то выбор траектории реализации практически ничем не ограничен. Если реализуется обратная ситуация (или затраты и возможности сравнимы), то вероятность реализации траекторий сильно отличных от оптимальной резко снижается, и работает принцип минимизации. Таким образом, применение вероятностного описания позволяет ввести моделирование чувствительности к малым возмущениям (например, в области параметрических бифуркаций) и разрабатывать интеллектуальные модели поведения систем и их элементов.

В соответствии с [1] вероятностная динамика перемещения, как группы людей, так и отдельного человека может быть описана для каждой отдельной цели уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова в консервативной форме:

,

где - время и пространственные координаты, - вектор средней скорости, - плотность вероятности пространственно-временного положения человека (плотность распределения людей), - диффузный коэффициент, определяющий вероятностное отклонение от оптимальной траектории (в модели рассмотрен локально изотропный случай), .

,

где - вектор направления скорости, - абсолютное значение скорости.

Вектор направления скорости рассчитывался как

,

где - ценовая матрица, такая что

,

- возможная траектория между точками и , - множество всех возможных траекторий между точками и , - положение цели, - цена одного шага, определяемая экспертно.

В модели цена шага задается на множестве функций вида

,

где - ценовая функция шага по открытому пространству, - ценовая функция преодоления сопротивления препятствий в виде других людей и мелких препятствий, - ценовая функция взаимодействия с целью (стремление достичь цели), - весовые нормировочные коэффициенты, такие что , - расстояние между двумя точками, - перепад высот на шаге , - плотность паломников на пути следования, и - положение цели и расстояние до цели.

В реализованной модели

,

,

,

где - коэффициенты, учитывающие геометрию карты и свойства покрытия дорог, - коэффициенты, определяющие взаимодействие с "мелкими" препятствиями, - коэффициент, учитывающий "отталкивание" от цели на малых расстояниях, - степенной показатель закона отталкивания.

Абсолютное значение скорости отдельного человека рассчитывалось как

,

где - характерная скорость перемещения отдельного человека.

Учитывалась возможность гибели человека в давке. Моделирование такого события осуществлялось вероятностным способом, как

,

где - вероятность реализации критической ситуации за время , - характерное время реализации критической ситуации, - критическая плотность людей в давке.

Для расчетного моделирования была выбрана двумерная прямоугольная область со сложной картой местности. Начальное распределение группы на местности задавалось случайным заселением выделенной области. Граничные условия соответствовали запрету выхода модельных точек (людей) из расчетной области (карты местности).

Для сокращения времени расчетов были использованы явные и частично неявные схемы. Расчетная модель тестировалась на динамическую однородность (пространственную изотропность), соответствие аналитическим симметричным (одномерным) стационарным моделям распределения плотности людей вокруг одного лидера и устойчивость к пульсациям локального группового поведения (нелинейные временные эффекты). Было разработано несколько алгоритмов пространственной рандомизации, которые были оптимизированы в зависимости от численности модельной группы и расчетного временного шага.

2. Аналитическая модель распределения большой группы вокруг лидера

Модель использовалась для тестирования двумерной стохастической модели и показала удовлетворительное согласие результатов.

Лидер стоит

Для определения фактической плотности людей в квазистационарном случае использована гипотеза о постоянстве значений ценовой матрицы в области, занимаемой группой. При расчете ценовой матрицы в модели учитывается стремление членов группы приблизиться к лидеру Pcel и отталкивание членов группы между собой PSit. Рассматривается равновесное распределение плотности людей в группе.

В силу пространственной симметрии задача становится одномерной.

Равновесное условие имеет вид:

PCel + PSit = const. (1)

Рассматриваются потенциалы вида:

, (2)

, (3)

где - характерное давление, оказываемое одним человеком, - расстояние нормального (удовлетворительного) контакта с руководителем (), - характерное расстояние сильного взаимодействия между людьми (), - среднее расстояние между людьми как функция удаления от лидера.

Полное количество людей в группе N рассчитывается как

, (4)

где R - конечный размер группы.

С учетом (1) - (4) получим:

, - максимальная плотность в центре группы,

Получим оценку пространственного размера группы

. (5)

Чтобы группа из N человек образовалась вокруг лидера, лидер должен обладать критическим потенциалом (уровень гомеостаза группы)

(6)

При этом критический пространственный размер группы будет

.

При увеличении потенциала группы происходит бифуркация, и группа может иметь два состояния.

Первое состояние имеет радиус меньше критического и соответствует неконтролируемой давке.

Предельный радиус определяется способностью членов группы упаковываться в плотное состояние

. (7)

Второе состояние имеет асимптотически растущий радиус и снижающееся давление внутри группы

(8)

Лидер и группа на марше

В модели учитывается стремление членов группы приблизиться к лидеру Pсel₁ и отталкивание членов группы между собой Pcel₃. Рассматривается равновесное распределение плотности людей в группе на марше.

Задача имеет симметрии и .

Равновесное условие (1) примет вид:

.

Рассматриваются потенциалы вида:

, (9)

, (10)

где - характерное давление, оказываемое одним человеком, - расстояние нормального контакта с руководителем (), - характерное расстояние сильного взаимодействия между людьми (), - среднее расстояние между людьми в зависимости от удаления от лидера.

Полное количество людей в группе N рассчитывается как

, (11)

Из-за симметрии и будут выполнены все критические соотношения, полученные в Модели 1. Фактически лидер только переместится внутри сохраняющей форму круга группе.

Если потенциал будет иметь нелинейную форму (асимметричен при )

очертания группы приобретут каплевидную форму. Качественные переходы сохранятся.

Если целевой потенциал будет учитывать стремление членов группы приблизиться к траектории движения

,

то форма группы будет овал (сплющенный круг). Здесь - степень важности приближения к траектории движения () относительно стремления следовать за лидером.

3. Результаты двумерного расчетного моделирования

Ниже приведены результаты одного из модельных экспериментов. На рисунках отражены последовательные стадии перемещения группы людей, стремящихся к не перемещающемуся лидеру. Препятствия на рисунках изображены черным цветом, лидер - флагом, люди точками. Дополнительно изображены изолинии ценовой матрицы.

В соответствии с картой местности существует две альтернативных трассы движения. Первоначально все члены группы стремятся добраться по кратчайшему пути.

моделирование движение большая группа

В результате формирования затора в узком месте трассы часть людей принимает решение о замене первоначальной трассы на обходную трассу - более длинную, но с меньшим сопротивлением движению. Динамическое изменение ситуации приводит к бифуркации целевого поведения - скачкообразному изменению траектории движения.

На заключительных стадиях расчета отчетливо видно образование области с повышенной плотностью людей вокруг лидера.

В другом модельном эксперименте проход через сужение был единственным способом достижения цели.

В узком проходе образовалась плотная фаза (жидкость), давление в которой превысило критическое, что вызвало травмы и гибель людей. На рисунке погибшие показаны черными точками.

После того, как погибшие перекрыли единственный проход, для оставшейся части группы достижение цели стало невозможным, и люди рассеялись по доступному пространству.

На последнем рисунке в увеличенном масштабе представлена область кризисной ситуации. В других экспериментах получено, что при проходе через проемы (двери) максимальные давления реализуются у стен по краям входа.

4. Выводы