Аппроксимация функции отображающей зависимость горизонтальной силы реакции забоя от толщины среза

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Информатика - синтетическая наука и охватывает своими методами, моделями, алгоритмами, технологиями, инвариантами многие дисциплины. В силу этого, невозможно выразить одним понятийным аппаратом, формальными определениями предмет всей информатики, ее проблемы. При решении региональных проблем важен подход к проблемам информатизации с общих системно-методологических позиций экономики, экологии, права, социально-гуманитарных и образовательных позиций, позиций гармонизации, гуманизации и гуманитаризации общества; технократический подход при рассмотрении важных проблем информатизации часто малоэффективен, а зачастую и вреден, так как часто представляет собой “навешивание компьютеров” на старые информационные системы и методы актуализации информации, не изменяя структур, не развивая их. В силу этого, при рассмотрении проблем информатизации и информатики необходимы анализ и актуализация следующих важных определений информатики.

Информатика - наука, изучающая информационные, информационно-логические аспекты системного анализа и системные аспекты информационных процессов, информационно-динамические инварианты этих процессов. Это определение можно считать системным определением информатики. Оно важно для системного подхода к проблемам информатизации.

Аппроксимация-- научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чиселизучаются диофантовы приближения, в частности, приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.

Таблица 1

Аппроксимация (от латинского "approximare" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.

Между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу.

При ведении научных исследований, обработке результатов возникают различные погрешности, связанные с несовершенством измерительной техники, так называемым человеческим фактором, и рядом внешних воздействий вносящих неточности измерений. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд"). Для того, чтобы выбрать зависимость, нужно построить график эмпирических данных из таблицы

Рис. 1. График зависимости таблично заданных значений fi и Vi

Из вида графика делаем вывод, что наиболее подходящими видами зависимости будут являться линейная и квадратичная, поскольку их графики больше похожи на кривую зависимости экспериментальных данных.

1. Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

Вид функции и значения коэффициентов a1, am подбираются таким образом, чтобы значения NТi, вычисленные по эмпирической формуле при различных значениях Pi, возможно мало отличались бы от опытных значений Ni.

(1)

где а1,а2,.аm- подбираемые коэффициенты.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами а1,а2,….аm ,считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной теоретической функции от заданных эмпирических значений будет минимальной. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов а1,а2,….аm, таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.

(2)

Для того чтобы найти набор коэффициентов а1,а2,….аm, при которых достигается минимум функции S, определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных.

Таким образом, нахождение коэффициентов сводится к решению системы дифференциальных уравнений частных производных (3).

(3)

Конкретный вид системы дифференциальных уравнений частных производных (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В нашем случае, как было указано ранее, линейная функция и полином второй степени.

В случае линейной функции система (3) примет вид системы линейных уравнений.

Вычисление коэффициентов для линейной функции:

В случае полинома второй степени система (3) примет вид системы линейных уравнений.

Вычисление коэффициентов для полинома второй степени:

Для линейной аппроксимации необходимо определить коэффициент корреляции.

2. Элементы теории корреляции

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми величинами. Он показывает, насколько хорошо, в среднем, может быть представлена (вычислена) одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе r к 1, тем теснее линейная связь между Vi и fi , и тем более справедлива аппроксимация таблично заданной функции линейной зависимостью.

Особо подчеркнем, что если коэффициент корреляции существенно меньше 1, это не означает отсутствие зависимости между параметрами Vi и fi. Это означает только, что не применима линейная аппроксимация, но можно искать аппроксимирующую зависимость среди степенных, экспоненциальных, квадратичных и других классов функций.

Расчет коэффициента корелляции.

Расчеты в данных таблицах производятся по следующим формулам. В ячейках B28 и C28 находим среднее значение fi и Vi по формулам (B2=B27/25 и C28=C27/25).Затем находим разность между заданным значением fi и Vi и их средними значениями по формулам (W2=B2-$B$28 и X33=C8-$C$28).

Затем в ячейке W33 находим их произведение(Y33=W33*X33), а в ячейках Z2 и AA2 находим их квадраты(Z2=W22 AA2=X22). В ячейках B27, C27, Y27, Z27, AA27, находим суммы полученных величин B27=СУММ (B2:B26), C27=СУММ(C2:C26), Y27=СУММ(Y2:Y26), Z27=СУММ (Z2:Z26), AA27=СУММ (AA2:AA26).

В ячейке W28 рассчитываем коэффициент корреляции по формуле W28=Y27/((Z27(1/2))*(AA27(1/2))). Коэффициент корреляции равен r= 0,93886586.

Поскольку полученный коэффициент корреляции близок по значению к 1, можно сделать вывод, что линейная связь между f и V тесна, следовательно аппроксимация таблично заданной функции линейной зависимостью справедлива.

Аппроксимация линейной функцией.

Чтобы найти линейное уравнение аппроксимирующей линии необходимо найти коэффициенты a1, a2 матричным методом, где: a1, a2, коэффициенты аппроксимирующей функции (неизвестные).

Решим систему матричным методом. Матрицу А составляем из коэффициентов при неизвестных, а вектор из коэффициентов при известных значениях.

Для нахождения нужных сумм матрицы [А] в ячейки B27 - G27, вводим соответствующие формулы: = СУММ (B2:B27) -- =СУММ (G2:G27)..

Вектор-столбец x вычисляем по формуле . Два составляющих вектора будут искомыми коэффициентами a1, a2.

А=, Х=, В=

Вектор состоит из двух чисел, которые являются искомыми коэффициентами. Чтобы найти коэффициенты а1, а2 нужно решить систему линейных уравнений.

В ячейках C33:D34 запишем матрицу А, в ячейках D(37:38) запишем вектор B.

В ячейках D42:E43 рассчитаем обратную матрицу А-1 (=МОБР(C33:D34)), затем найдем вектор “X”, перемножив обратную матрицу А-1 на вектор В (=МУМНОЖ(D42:E43;C37:C38)).

В результате получим коэффициенты a1= 0,797, a2= 0,168.

Построим график теоретической функции и фактических данных, который показывает, как полученная теоретическая функция описывает взаимосвязь между эмпирическими данными:

Рис. 2. График зависимости эмпирических данных теоретической и линейной зависимости

Из получившегося графика можно сделать вывод, что данная функция удовлетворительно отображает взаимосвязь между фактическими данными.

Аппроксимация функции многочленом второй степени.

Чтобы найти уравнение второй степени аппроксимирующей линии необходимо найти коэффициенты a1, a2 и a3.

Составим уравнение аппроксимированной линии второй степени .Коэффициенты a1, a2 и a3 вычисляем по формуле . Три составляющие вектора [X] будут искомыми коэффициентами a1, a2, a3.

В ячейках H33:J35 запишем матрицу А, в ячейках M(37:39) запишем вектор B.

В ячейках L56:N58 рассчитаем обратную матрицу А-1 (=МОБР(H33:J35)), затем найдем вектор “X”, перемножив обратную матрицу А-1 на вектор В (=МУМНОЖ(J42:L44;H37:H39))

В результате получим коэффициенты a1=0.278, a2=0.607, a3=-0.065

Построим график, который показывает, как полученная теоретическая квадратичная функция описывает взаимосвязь между эмпирическими данными (Рис. 3).

Рис. 3 Графики зависимости эмпирических данных теоретической и квадратичной зависимости

Из получившегося графика можно сделать вывод, что функция эмпирических данных практически совпадает с функцией теоретических значений. Вследствие этого на практике можно применять полученную функцию.

Вычисление коэффициентов детерминированности.

Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные, вводится еще одна характеристика - коэффициент детерминированности.

Коэффициент детерминированности R2 показывает, насколько хорошо полученная теоретическая функция описывает взаимосвязь между эмпирическими данными. Если коэффициент детерминированности равен 1, то имеет место полная корреляция фактических данных с выбранной теоретической моделью. В противоположном случае, если коэффициент корреляции близок к нулю, то уравнение регрессии выбрано неудачно и не может использоваться для вычисления значений функции. Поясним подробно, что означает этот коэффициент и как он определяется.

Вычислим сумму квадратов отклонений теоретических значений функции от эмпирических данных, обозначив эту сумму SОСТ:

Полученная величина характеризует отклонение теоретических результатов от экспериментальных данных. Чем больше SОСТ, тем хуже выбранная теоретическая функция описывает экспериментальные данные и, наоборот, чем меньше SОСТ, тем лучше выбранная функция описывает экспериментальные данные.

Введем понятие регрессивной суммы квадратов:

В теории корреляции доказано следующее равенство:

аппроксимация уравнение детерминированность

Sполн =Sрег +Sост

Коэффициент детерминированности определяется по формуле:

R2 =1- Sост / Sполн

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с полной суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности R2.

Построим таблицу в Excel (см. приложение, таблица 3), где производим соответствующие расчеты, нужные для расчета коэффициента детерминированности.

В ячейках O27, P27 найдем остаточные суммы (O27 =( (L2-C2)2), R27=( (K2-C2)2).

В ячейке P2 найдем регрессионную сумму, Q2= ((L3-$C$29)2). Размножим эти формулы до 27 строки и в 28 строке найдем суммы полученных значений.

В ячейке O29 (см. приложение, таблица 6) находим коэффициент детерминированности для квадратичной функцией линейной аппроксимации (O29=1-(O27/O28))) а в ячейке R29 для линейной аппроксимации (S35= 1-(R27/R28)).

В результате получаем коэффициенты детерминированности для линейной функции 0,973, а для полиномиальной функции второй степени 0,736 . Можно сделать вывод, что линейная функция лучше всего отображает взаимосвязь эмпирических данных.

Построение линии тренда.

Для достоверности данных, полученных матричным способом, построим графики фактических данных с наложением на него линии тренда различного типа.

Строим график при помощи “мастера диаграмм”, затем заходим в меню “Диаграмма” и выбираем пункт “Добавить линию тренда” и выбираем нужный тип (сначала линейной потом полиномиальный второй степени), и ставим галочки напротив “показывать уравнение на диаграмме” и “поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации”. (рис. 4-5)

Рис. 4. График зависимости с наложением на него линии тренда для линейной аппроксимации

Рис. 5. График зависимости с наложением на него линии тренда для полиносмиальной аппроксимации

По полученным графика моно сделать вывод, что данные полученные матричным способом достоверны

3. Решение задачи в MathCAD

В математическом пакете MathCAD реализовано несколько различных возможностей определения оптимальных коэффициентов для выбранного вида уравнения регрессии с использованием специальной функций.

В случае использования специальной функции linfit, (напомним что в MathCAD буквы большие имеют различное значение) аппроксимирующая функция YT(x) представляется линейной комбинацией функций F1(X), F2(X), …FN(X), причем сами эти функции могут быть нелинейными. Таким образом, аппроксимирующая функция имеет вид:

YT(x) =a1F1(X) + a2F2(X) + … a n FN(X)

Специальная функция linfit определяет оптимальное значение коэффициентов а1, а2 … а n для выбранной комбинации функции F1(X), F2(X), …FN(X).

Обращение к специальной функции linfit будет иметь вид:

a := linfit(X,Y,F)

где а- вектор искомых коэффициентов а1, а2 … а n; X,Y- вектора содержащие значение эмпирических данных; F- имя вектора, элементами которого является F1(X), F2(X), …FN(X). Поскольку элементами вектора являются функции от переменной Х, вектор тоже будет функцией от Х, т.е.- F(X). Напомним, что при описании векторной функции, Х является формальным параметром.

В качестве аппроксимирующей функции выбран полином второй и третей степени:

В результате вычислений коэффициенты, вычисления в MatCAD, совпали с данными Excel, что говорит о правильности расчетов. Подставим полученные коэффициенты в уравнения, получим зависимости: R- квадратная функция, B(H)- линейная функция.

Рис. 6. График квадратичной и линейной функции f и V

Заключение

Рассчитана зависимость расхода воздуха в шевронном пневмодвигателе от числа оборотов вала в безразмерных величинах, двумя способами ( в MS Excel, вMathCAD), также найдены уравнения зависимости и коэффициенты детерминированности:

Линейная зависимость:

а 1= 0,797

а 2= 0,168

Квадратичная зависимость:

а 1= 0,278

а 2= 0,607

а 3= -0.065

Коэффициенты детерминированности:

R12= 0,973 для линейной зависимости

R22= 0,738 для квадратичной зависимости

Анализируя значения коэффициентов детерминорованности, видно что уравнения квадратичной зависимости наилучшим образом показывает взаимосвязь между f и V, а линейная зависимость отображает экспериментальные данные несколько хуже.

Литература

1) Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальностей 150402 и 150404 Санкт-Петербургский горный институт имени Г.В. Плеханова

2) Информатика: Практикум по технологии работы на компьютере . Под редакцией профессора Н.В. Макаровой.

3) Материалы сайта http://bse.sci-lib.com/ Большая Советская энциклопедия.

Приложение

Таблица для расчетов сумм, нужных для расчетов коэффициентов аппроксимации.

Таблица 2

Таблица для расчетов сумм, необходимых для расчетов коэффициента корреляции

Таблица 3

Таблица для расчётов коэффициентов функции второй степени и первой степени.

Таблица 4

Таблица для расчетов сумм, необходимых для расчетов коэффициентов детерминированности

Таблица 5

Размещено на Allbest.ru