Оптимизация поиска условно детерминированной динамической цели большой поисковой системой

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оптимизация поиска условно детерминированной динамической цели большой поисковой системой

А.А. Строцев

Ростовский военный институт ракетных войск

В статье рассмотрен синтез равномерно оптимального управления поиском в большой поисковой системе, в случае, когда движение цели можно считать условно детерминированным.

В [1] рассмотрена задача поиска неподвижной цели многопозиционной информационной системой. Однако искомая цель часто является подвижной с детерминированными уравнениями динамики и стохастическими начальными условиями. Поиск таких целей с условно детерминированным движением рассмотрен, например, в [2]. В отличие от задач поиска неподвижной цели оптимизация поиска условно детерминированных динамических целей не позволяет в общем случае получить равномерно оптимальные стратегии поиска.

Т.е. стратегии, обладающей свойством: поиск, который заканчивается в произвольный момент времени, оптимален. Отметим, что в практическом плане применение именно равномерно оптимальных стратегий поиска приводит к реализации оптимального поиска в быстро меняющейся обстановке практически в каждый момент времени. Таким образом, синтез равномерно оптимального управления поиском целей с условно детерминированным движением является актуальной задачей.

1.Постановка задачи. Рассматривается большая поисковая система, действия отдельных поисковых единиц которой описываются функцией плотности поиска (стратегией поиска) , [2]. Положение новой цели в области поиска задаётся начальной плотностью распределения . Уравнение движения цели имеет вид:

ї=f(z,v,t) (1)

где , - вектор управления, , .

Тогда уравнение динамики апостериорной плотности распределения положения цели может быть получено в виде [2]

, (2)

, (3)

где обладает следующими свойствами:

1. ; для всех

,; (4)

2. - есть вероятность обнаружения цели в интервале времени при условии, что цель находится в некоторой небольшой области точки и не обнаружена до момента .

Полагается, что область поиска , динамика цели, описываемая выражением (1), и начальная плотность распределения положения цели таковы, что для всех .

Требуется найти равномерно оптимальную по критерию минимума вероятности необнаружения цели к моменту времени стратегию поиска для задачи (2)-(4).

2. Модель задачи синтеза равномерно оптимальной стратегии поиска условно детерминированной цели. Преобразуем исходную задачу. Уравнение (2) сводится к линейному с использованием подстановки

, (5)

где ненормированная мера определяется как вероятность того, что цель находится в некоторой небольшой области точки и не обнаружена до момента .

Подставляя (5) в (2) и (3) получим

,(6)

. (7)

Обозначим

, (8)

, . (9)

Тогда характеристические уравнения для (6), (7) принимают вид:

, , (10)

, , (11)

, , (12)

, (13)

При этом требуется найти минимизирующую вероятность необнаружения цели к моменту времени [2]:

. (14)

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности опорной траектории , заданной уравнением

, . (15)

Полагая отклонения от опорной траектории малыми и ограничиваясь линейными членами ряда, выражение (1) с учётом (15) перепишем в виде

, (16)

,

.

Подставляя (16) в (10) получим независимое от других переменных системы (10)-(13) уравнение

, . (17)

Для каждого решение (17) можно записать в виде

. (18)

Таким образом, получаем следующую задачу нахождения оптимальной стратегии поиска :

, (19)

; для всех , . (20)

Отметим, что связано с решением исходной задачи через решение (16):

, (21)

где - фундаментальная матрица системы (16), ,

. (22)

Т.е., учитывая (21), (22),

. (23)

Полученная модель исходной задачи отличается от случая неподвижной цели наличием в функционале известных элементов уравнения динамики цели, которые не влияют на свойства получаемого решения. Т.е. для задачи (19), (20) можно применить разработанный, например, в [2], [3] для неподвижной цели аппарат и получить равномерно оптимальную стратегию поиска. Однако часто достаточно получить приближённое численное решение задачи.

3. Алгоритм приближённого решения оптимизационной задачи. Поскольку рассматриваемое в такой постановке задачи управление поиском не будет в точности воспроизводиться некоторой реальной системой [2], то достаточно найти приближённое решение.

Перейдём к дискретному приближению исходной задачи. Разобьем интервал на частей длительностью точками . Положим, что интеграл практически постоянен на достаточно малых областях , , , , и представим в виде

. (24)

Тогда (19) представимо

, (25)

где , , а ограничение (20)

. (26)

Введём обозначения

,

,

, (27)

тогда решение задачи (19), (20) сводится к последовательному решению следующих задач математического программирования:

найти

, (28)

в условиях ограничений

, , , . (29)

Переход от оптимального решения (28), (29) к оптимальному решению исходной задачи осуществляется в соответствии с (23):

. (30)

Отметим, что (27), (28) отражают свойство равномерно оптимальной стратегии поиска, отмеченной Аркиным в [3].

4. Пример синтеза равномерно оптимальной стратегии поиска условно детерминированной динамической цели. В качестве примера применения построенного в п.3 алгоритма рассмотрим синтез равномерно оптимальной стратегии поиска в следующей задаче: , - отрезок , , , , , , , .

Начальная плотность распределения положения цели задана в виде нормальной плотности распределения .

Требуется найти , , .

В результате решения последовательности задач математического программирования вида (28), (29), с учётом (30) получим оптимальную стратегию поиска, вид которой показан на рис. 1.

Рис.1

Из анализа рис.1 видно, что полученная стратегия поиска обладает свойством, отмеченным в [2], [3] применительно к равномерно оптимальной стратегии поиска неподвижной цели: существует область , увеличивающаяся со временем, такая, что стратегия поиска положительна внутри области и равна нулю в .

При применении значение вероятности необнаружения цели в условиях рассматриваемого примера равна , а при равномерном распределении поисковых усилий , что более чем на порядок больше. поисковый программирование детерминированный

Синтез равномерно оптимальных стратегий в задаче оптимального поиска условно детерминированной динамической цели достигнут за счёт использования независимости части характеристических уравнений при некотором упрощении модели движения цели. Однако в отличие от задач наблюдения в задаче поиска это упрощение не оказывает значительного влияния.

Список литературы

1. Строцев А.А. Оптимальный поиск неподвижной цели многопозиционной информационной системой. - Интернет-публикация, М.: Журнал радиоэлектроники , № 4, 2002.

2. Хеллман О. Введение в теорию оптимального поиска. - М.: Наука, 1985.

3. Аркин В.И. Задачи оптимального распределения поисковых усилий. - Теория вероятностей и её применения, 1964, т. 9, № 1.

Размещено на Allbest.ru