Компьютерное моделирование пространственных динамических процессов сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Компьютерное моделирование пространственных динамических процессов сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках

А. В. Санников

Целью данной работы является численное моделирование сложных пространственных динамических процессов в гетерогенных средах сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках с использованием интерполяции высоких порядков. Данный метод имеет большую общность и пригоден для подробного исследования волновой картины.

Ключевые слова: сеточно-характеристический метод, тетраэдральные сетки, интерполяция высоких порядков, сейсмология, сейсморазведка.

Введение

В работе предложены усовершенствованные методы пространственного численного моделирования распространения волн в сложных гетерогенных средах. Эти методы применимы и для геологической среды с большим количеством полостей и трещин, расположенных без строгих закономерностей и имеющих различную форму. При такой постановке трехмерных задач оптимальным является использование неструктурированных тетраэдральных сеток.

Так как система уравнений математической модели состояния сплошной линейно-упругой среды [1] является гиперболической и требуется аккуратный расчет волновых процессов, сообразно применения именно сеточно-характеристического метода [2] с использованием интерполяции [3] высоких порядков. Примеры использования сеточно-характеристического метода с квадратичной интерполяцией с ограничителем на неструктурированных треугольных сетках для решения задач сейсморазведки можно найти в [4 - 6].

Постановка задачи

Согласно [1, 6] состояние бесконечно малого объема сплошной линейно-упругой среды подчиняется следующим уравнениям:

,(1)

.(2)

Уравнение (1) является локальным уравнением движения. В нем - плотность материала, - скорость движения, - тензор напряжений Коши, являющийся симметричным в силу закона парности касательных напряжений. Уравнение (2) выводится из закона Гука путем дифференцированя по времени. В нем , - параметры Ляме, определяющие свойства упругого материала.

В (1), (2) использованы следующие обозначения:

- частная производная поля по ;

- тензорное произведение векторов и , .

Численный метод

Для численного решения системы (1), (2) используется сеточно-характеристический метод на тетраэдральных сетках, позволяющий строить корректные численные алгоритмы для расчета граничных точек и точек, лежащих на поверхностях раздела сред.

Выбираются три произвольных направления, что обеспечивает изотропность метода, и вводится новая система координат . В ней систему (1), (2) можно представить в следующем виде

(3)

В (3) под вектором понимается вектор, составленный из компонент трех скорости и шести компонент симметричного тензора напряжений.

Для каждой из трех систем вида

(4)

справедливо следующее точное выражение

(5)

где - некие матрицы, выражающиеся через компоненты матрицы , - собственные числа матрицы .

Используя в (5) интерполяцию высокого порядка и последовательно применяя формулы, аналогичные (5), для каждого из направлений , , , получаем способ нахождения решения на следующем временном слое.

Результаты

Рассматриваются четыре задачи: моделирование торцевого удара в стенку куба, моделирование сферического взрыва в центре куба, моделирование приповерхностного сейсмического сферического взрыва в линейно-упругой среде и моделирование землетрясения в земной коре.

Во всех четырех случаях область интегрирования представляет собою куб, в котором сгенерирована тетраэдральная сетка. Использовалась интерполяция с ограничителем на основе кубической. На всех сторонах куба задано условие свободной границы.

На рис. 1 изображен результат моделирования торцевого удара в центр стенки куба, а на рис. 2 - сферического взрыва в центре куба. Сетка состоит из приблизительно 200 тысяч неразбитых на вспомогательные тетраэдров. Было сделано около 100 шагов по времени.

На рис. 3 представлен результат моделирования приповерхностного сейсмического взрыва, а на рис. 4 - результат моделирования землетрясения. Сетка состоит из приблизительно из 500 тысяч неразбитых тетраэдров. При моделировании приповерхностного взрыва было сделано 1200 шагов по времени, а при моделировании землетрясения - 700.

На всех рисунках цветом показан модуль скорости, стрелочками - ее направление. Видна картина возникающих волн: объемных сейсмических продольных и поперечных, а также поверхностных сейсмических волн.

Список использованной литературы

1.Кондауров В. И., Фортов В. Е. Основы термомеханики конденсированной среды. - М.: МФТИ, 2002.

2.Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. - М.: Наука, 1988.

3.Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике. - М.: Интернет-Университет Информационных Технологий, 2006.

4.Квасов И. Е., Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Расчет волновых процессов в неоднородных пространственных конструкциях // Сборник научных трудов МФТИ: Моделирование процессов обработки информации. - 2007. - С. 4 - 15.

5.Панкратов С. А., Мациевский Н. С., Петров И. Б. Численное моделирование деформационных динамических процессов в задачах сейсморазведки сеточно-характеристическим методом // Сборник научных трудов МФТИ: Моделирование процессов обработки информации. - 2007. - С. 30 - 37.

6.Челноков Ф. Б. Численное моделирование деформационных динамических процессов в средах со сложной структурой // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Список подрисуночных подписей

Рис. 1 Задача о торцевом ударе. Трехмерный случай.

Рис. 2 Задача о сферическом взрыве в центре куба. Трехмерный случай.

Рис. 3 Задача о приповерхностном сейсмическом сферическом взрыве. Трехмерный случай.

Рис. 4 Моделирование землетрясения. Трехмерный случай.

моделирование пространственный тетраэдральный интерполяция

Иллюстрации

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Размещено на Allbest.ru