Алгоритмические методы повышения точности измерений на основе обратных интерполяционных моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный технический университет

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ НА ОСНОВЕ ОБРАТНЫХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

Аннотация

В статье рассматриваются методы повышения точности измерений на основе обратных математических моделей измерительного канала, в качестве которых используются интерполяционные полиномы Лагранжа. Анализируются вопросы, связанные с применением таких моделей в методах образцовых сигналов и в тестовых методах повышения точности.

Ключевые слова: точность измерений, измерительный канал, интерполяционный полином, методы образцовых сигналов, тестовые методы повышения точности.

Основная часть

Широкое применение компьютеров и микропроцессоров в составе современных измерительных приборов и систем делает все более перспективным использование алгоритмических методов повышения точности измерений. К таким методам относятся методы образцовых сигналов и тестовые методы, в основе которых лежит идентификация функции преобразования средства измерений в процессе выполнения цикла специально организованных измерений [1, 2]. Для решения задачи идентификации измерительный канал прибора или системы представляется в виде функциональной модели

,

где - входная величина; - выходная величина; - параметры математической модели.

Наиболее часто в качестве математической модели функции преобразования применяют степенной полином

, (1)

где - порядок полинома.

При этом количество используемых для идентификации образцовых величин или тестов не меньше (+1).

В методе образцовых сигналов, используя результаты преобразования образцовых величин, вычисляют оценки параметров , а затем решают уравнение (1) относительно искомой величины .

В тестовых методах результаты преобразования тестов не позволяют непосредственно оценить параметры . Можно лишь получить зависимости этих параметров от результатов преобразований тестов и их функционального представления [2]. Подставив эти зависимости в (1), получают алгебраическое уравнение с одним неизвестным . Порядок этого уравнения не меньше и зависит от используемого набора тестов.

Таким образом, в случае применения модели (1) и в методах образцовых сигналов, и в тестовых методах для нахождения оценки значения измеряемой величины необходимо решить уравнение, порядок которого не меньше порядка используемой модели. В связи с этим в практике применялись, главным образом, линейные и кусочно-линейные модели, изредка - модели второго порядка, что ограничивало достижимую точность измерений. измерительный компьютер микропроцессор прибор

В данной статье рассматриваются методы повышения точности измерений на основе обратных интерполяционных моделей, свободные от указанного недостатка.

Обратная математическая модель измерительного канала может быть представлена с помощью интерполяционной формулы Лагранжа:

, (2)

где - значение измеряемой величины; - значение выходной величины измерительного канала, соответствующее значению на его входе; - номер узла интерполяции; - порядок интерполяционного полинома;

- многочлен Лагранжа; (3)

- значения выходной величины в узлах интерполяции; - значения входной величины измерительного канала в -ом узле интерполяции.

- это известные значения входной величины в случае подачи образцовых воздействий или известные функции в случае формирования тестов на входе измерительного канала. В практике чаще всего применяются линейные тесты. В связи с этим предположим, что - линейные функции:

, (4)

где и - постоянные и известные параметры -го воздействия на входе измерительного канала.

Функции (4) позволяют с единых позиций рассматривать как методы образцовых сигналов, так и тестовые методы повышения точности. При этом возможны следующие ситуации:

1) ? 0; =0. В этом случае на вход подается образцовое воздействие, формируемое с помощью меры, значение которого равно ;

2) ? 0; =1, т.е. = +. В этом случае на входе формируется аддитивный тест, в котором образцовая «добавка» равна ;

3) = 0; ?0;?1, т.е. = . В этом случае на входе формируется мультипликативный тест;

4) ? 0; ?0;?1. В этом случае формируется комбинированный тест, содержащий аддитивную и мультипликативную составляющие.

Подставив формулу (4) в (2) и решив полученное линейное уравнение относительно с учетом (3), получим формулу для вычисления искомого значения измеряемой величины:

. (5)

Формула (5) является единой расчетной формулой как для методов образцовых сигналов, так и для тестовых методов повышения точности. При этом следует иметь в виду, что общее количество измерений равно (+2) и включает в себя одно измерение непосредственно и (+1) измерение образцовых величин или тестов.

Методы образцовых сигналов. Предположим, что для повышения точности используются образцовые сигналы, а обратный интерполяционный полином имеет порядок , т.е. ? 0; =0 для всех = 0, 1, 2, …,. Тогда формула (5) примет вид

. (6)

Так, например, для обратной интерполяционной модели второго порядка (=2) получим:

где

; (7)

; (8)

.

Таким образом, в данном примере выполняются последовательно четыре измерения: измеряемой величины и трех образцовых величин . Соответствующие результаты измерений обозначены . Оценка значения измеряемой величины вычисляется по формуле (7) и не зависит от параметров функции преобразования измерительного канала, что и обеспечивает повышение точности измерений.

Следует отметить, что точность полученного по формуле (7) результата определяется, главным образом, погрешностями образцовых величин , случайными погрешностями значений и отклонением используемой обратной интерполяционной модели от реальной функции преобразования измерительного канала.

Алгоритм (7) был использован в комплексной геофизической аппаратуре для повышения точности канала измерения удельной электропроводности жидкости, что обеспечило относительную погрешность измерений не более 0,1% в широком диапазоне температур и измеряемых электропроводностей.

Тестовые методы. Допустим, что используются только линейные тесты - аддитивные и мультипликативные. Тогда оценка значения измеряемой величины вычисляется по формуле (5). Рассмотрим возможность реализации алгоритма повышения точности в случае применения тестов только одного типа.

Пусть формируются только аддитивные тесты, т.е. ?0; =1; =+ для всех = 0, 1, 2, …,. Тогда формула (5) примет вид

. (9)

Учитывая, что , получим . Следовательно, применение только аддитивных тестов не позволяет решить задачу.

Пусть формируются только мультипликативные тесты, т.е. = 0; ?0;?1, = для всех = 0, 1, 2, …,. Тогда формула (5) превращается в тождество . Следовательно, применение только мультипликативных тестов также не позволяет решить задачу. Таким образом, в общее число (+1) формируемых тестов должны входить и аддитивные, и мультипликативные тесты.

В известных тестовых методах, основанных на применении прямой модели функции преобразования, изменение соотношения между количеством аддитивных и мультипликативных тестов меняет порядок уравнения, из которого вычисляется значение измеряемой величины, и минимальный его порядок имеет место в том случае, когда используется один тест одного типа, а все остальные - другого [2].

В рассматриваемых методах, основанных на применении обратной интерполяционной модели, соотношение между количеством аддитивных и мультипликативных тестов не имеет принципиального значения, а значение измеряемой величины при использовании линейных тестов всегда вычисляется путем решения линейного уравнения.

В качестве примера рассмотрим тестовый алгоритм для обратной интерполяционной модели второго порядка (=2). В этом случае число используемых тестов равно трем, следовательно, необходимо сформировать два аддитивных и один мультипликативный тест или два мультипликативных и один аддитивный.

Допустим, что формируются два аддитивных и один мультипликативный тест. При этом необходимо выполнить четыре измерения величин , +, +, ·. Здесь +, + - аддитивные тесты (?; ==1), · - мультипликативный тест (=0; ?0;?1). Результаты указанных четырех измерений равны соответственно .

Подставив параметры трестов в формулу (5), получим

, (10)

где определяются формулами (9).

Точность вычисленного по формуле (10) результата определяется, главным образом, погрешностями параметров тестов ,, случайными погрешностями значений и отклонением используемой обратной интерполяционной модели от реальной функции преобразования измерительного канала.

В том случае, если формируются два мультипликативных и один аддитивный тесты, необходимо выполнить четыре измерения величин , +, , . Здесь + - аддитивный тест (=1), , - мультипликативные тесты (=0; ?0; ?1; ?0; ?1). Результаты указанных четырех измерений равны соответственно .

Подставив параметры тестов в формулу (5), получим

, (11)

где определяются формулами (8).

Таким образом, применение обратных интерполяционных моделей измерительного канала позволяет в методах образцовых сигналов и тестовых методах повышения точности измерений существенно упростить алгоритмы обработки измерительной информации и анализ погрешностей результатов измерений. При использовании образцовых сигналов или линейных тестов (аддитивных и мультипликативных) оценка значения измеряемой величины вычисляется путем решения линейного уравнения при любом порядке интерполяционного полинома.

Библиографический список

Куликовский К.Л., Купер В.Я. Методы и средства измерений: Учеб. пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1986. 448 с.

Бромберг Э.М., Куликовский К.Л. Тестовые методы повышения точности измерений. М.: Энергия, 1978. 176 с.

Размещено на Allbest.ru