Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДОВ АНАЛИТИЧЕСКОГО И ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЗАГРУЖЕННОСТИ СИСТЕМЫ

Галимов Р.З., Золотов А.А.

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (г. Москва) E-mail: delfin1995@yandex.ru , sasha-zolotov@mail.ru

В данной статье сравнение имитационного и аналитического моделирования для незамкнутой многоканальной системы массового обслуживания с бесконечным буфером. В имитационной модели функция распределения времени генерации заявок на обслуживания и их временем обслуживания задавалась с помощью гамма-функции. Также в статье приведен анализ погрешностей между аналитическим и имитационным моделированием.

Ключевые слова: аналитическое моделирование, имитационное моделирование, гаммафункция, анализ погрешностей.

In this article, a comparison of simulation and analytical modeling for a non-closed multichannel queuing system with infinite buffer is demonstrated. In the simulation model, the distribution function of the generation time of service requests and their service time was specified using a gamma function. In the article the errors between analytical and simulation modeling is analyzed.

Ключевые слова: analytical modeling, simulation modeling, gamma function, error analysis.

Введение

На сегодняшний день имитационное моделирование играет одну из важнейших ролей в области анализа данных. С помощью имитационного моделирования можно построить достаточно точную математическую модель исследуемой системы и просчитать ее характеристики функционирования. Имитационная модель с определенной погрешностью показывает результаты функционирования реальной системы в заданных начальных условиях.

Моделирование - это метод решения задач, когда исходная (реальная) система заменяется на более простой объект, описывающий реальную систему с некоторыми допущениями, который называется моделью [1]

Данный вид моделирования применяется тогда, когда проводить эксперименты на реальной системе невозможно или экономически нецелесообразно, например, из-за хрупкости иди дороговизны создания прототипа реальной исследуемой системы или из-за длительности проведения эксперимента в реальном масштабе времени.

Имитационное моделирование - это компьютерная программа на языке имитационного моделирования (например, GPSS), которая описывает структуру реальной модели и воспроизводит ее поведение во времени. Такой вид модели позволяет получать подробную статистику о различных аспектах функционирования системы в зависимости от входных данных.

Имитационная модель не только по свойствам, но и структуре соответствуют моделируемому объекту. Более того имеется однозначное соответствие между процессами, проходящими в имитационной модели. Существенным недостатком имитационной модели является большое время решения задачи для получения хорошей точности результатов [2].

Результаты имитационного моделирования работы стохастической системы являются реализациями случайных величин и процессов. Для нахождения характеристик исследуемой реальной системы требуется и крайне желательно многократное повторение эксперимента, и последующая обработка результатов. Чаще всего в моделях применяется статистическое моделирование, то есть воспроизведение в моделях случайных факторов, событий, величин, полей. По результатам моделирования определяются оценки вероятностных критериев качества, общих и частных, характеризующих функционирование данной системы.

Статистическое моделирование применяется для широкого спектра задач таких как, научные и прикладные задачи в различных областях науки и техники. Данные методы моделирования применяются также применяются для анализа сложных динамических систем и их последующей оценки функционирования.

В статье будет приведен пример незамкнутой модели с многоканальным обслуживанием и бесконечным буфером. С помощью такой модели может быть исследовано большое количество реальных систем массового обслуживания, например, обслуживание в банках, обслуживание в ремонтных мастерских и так далее. То есть одной имитационной моделью, мы можем покрыть большой класс исследовательских задач.

Схема модели представлена на рис.1.

На рисунке видно, что модель состоит из следующих частей: входной поток - заявки на обслуживания, очередь - нужна для того, чтобы собирать заявки на обслуживания, если все обслуживающие аппараты заняты, обслуживающие аппараты - обслуживают заявки в соответствие с заданными временными характеристиками.

Рисунок 1. Схема исследуемой системы.

Функция распределения и ее характеристики для входного потока и времени обслуживания могут быть произвольными и заданы различными способами. Язык имитационного моделирования GPSS поддерживает несколько способов задания функций: по точкам, с помощью библиотечных функций, а также с помощью функции Гамма-распределения. С помощью Гамма функции можно задавать различные другие функции распределения только варьируя параметры функции и не меняя исходный код программы.

В статье будут произведены различные эксперименты на имитационной модели и будут построены графики погрешностей по сравнению с результатами аналитического моделирования.

Способ задания различных распределений с помощью гамма-функции

Среда имитационного моделирования поддерживает различные способы задания функция распределения величин [3]. Покажем способ задания любых распределений с помощью гаммафункции. Сначала определим какие факторы будем варьировать для проведения эксперимента и на каких уровнях. Очевидно, что будем варьировать количество обслуживающих аппаратов, также буде варьировать загрузку системы. Коэффициент вариации входного потока и коэффициент вариации времени обслуживания также будут изменяться на трех уровнях. Значения варьируемых факторов представлены в таблице 1.

Таблица 1. Уровни варьируемых параметров в эксперименте.

Для построения плана эксперимента воспользуемся планом Бокса-Бенкина. План эксперимента для имитационного и аналитического моделирования представлен в таблице 2.

Таблица 2. План проведения имитационного и аналитического моделирования

В соответствие с данным планом будет проводиться имитационное и аналитическое моделирование. Всего следует провести 50 экспериментов: 25 экспериментов для имитационного моделирования и 25 экспериментов для аналитического моделирования и потом сравнить полученные результаты и найти погрешность.

Результаты имитационного моделирования представлены в таблице 3.

Таблица 3. Результаты имитационного моделирования.

Теперь покажем, по каким формулам будет происходить аналитическое моделирование. Всего будет использоваться 2 формулы: (1) для вычисления количества заявок в системе и (2) для вычисления времени пребывания в системе.

С помощью данных формул можно рассчитать характеристики систем, у которых коэффициенты вариации функции распределения времени входного потока и облуживания принимают различные значения, в том числе как больше 1 так и меньше 1. Если коэффициент вариации функции распределения равняется 1, то функция распределения превращается в обычную экспоненциальную функцию распределения. Если коэффициент вариации больше 1, то это функция распределения Эрланга [4]. Если Коэффициент вариации меньше 1, то это функция гиперэкспоненциального распределения [5]. В эксперименте рассмотрены все три вида функций. Результаты аналитического моделирования приведены в таблице 4. Также в этой таблице приведена погрешность результатов имитационного и аналитического моделирования.

Таблица 4. Результаты аналитического моделирования.

Из приведенных выше результатов видно, что погрешность не превышает 18 %, что свидетельствует о применимости данных методов в инженерных расчетах. Приемлемой погрешностью считается погрешность до 20%. Проанализируем приведенные результаты и построим несколько графиков для иллюстрации слов. Сначала произведем расчет средней погрешности количества заявок в системе для определенного уровня загрузки системы и построим график. Далее произведем расчет средней погрешности времени пребывания заявки в системе и построим график. Графики представлены на рисунке 2 а,б.

Рисунок 2. Погрешности между аналитическим и имитационным моделированием

Из приведенных графиков видно, что минимальная средняя погрешность возможно в точке, когда система загружена на половину. Если загрузка системы слишком большая или загрузка система слишком маленькая, погрешности методов возрастают. Оптимальными границами использования данных методов, являются границы загрузки системы от 0,3 до 0,7. Именно в этих границах средняя погрешность количества заявок в системе и времени пребывания заявок в системе не превышает 7%.

Имитационное и аналитическое моделирование применимо в различных сферах инженерной и научной деятельности человека. У различных методов есть свои области применения. Определенные методы применимы для одного класса задач, другие для другого. Было исследовано, что задание в имитационной модели различных распределений с помощью гамма-функции и применение выше изложенных аналитических формул возможно только в указанном диапазоне загрузок.

Список литературы

имитационное моделирование генерация заявка

1. Кирпичников А.П. Прикладная теория массового обслуживания. Казань: КГУ, 2008. 118 с.

2. Карташевский В.Г. Основы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 2006. 107 с.

3. Кудрявцев Е. М. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. - М.: ДМК Пресс, 2004. - 320с.

4. Павский, В.А. Теория массового обслуживания: учебное пособие / В.А. Павский; Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. - Кемерово, 2008

5. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 242 с.

Размещено на Allbest.ru