Программное обеспечение для расчета траектории снаряда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Программное обеспечение для расчёта траектории снаряда

М.А Мерфогель

Самара 2017

Введение

Расчёт траектории полёта снаряда является задачей при стрельбе из артиллерийских орудий и зачастую производится с помощью расчётных таблиц, составленных экспериментально. Целью данной работы является создание программы для решения системы уравнений при аргументе ? позволяющее графически изобразить траекторию снаряда.

Актуальность данной темы заключается в том, что она ускорит наводку орудий без встроенного баллистического калькулятора, такие как миномёт и прочие. Цель данного проекта - это создания программы ускоряющий процесс наведения орудия.

Перед проектом определен ряд задач:

· Обеспечить пользователю интерфейс для ввода данных.

· Создать методы для решения нелинейных уравнений.

· Реализовать структурированный вывод результатов вычислений.

· Реализовать функционал для построения графика, отражающих траекторию.

· Организовать хранение промежуточных и конечных результатов вычислений.

Для достижения задач проекта необходимо:

1. Изучить методы решения задачи о полёте снаряда.

2. Изучить методы решения систем нелинейных уравнений.

3. Изучить способы нахождения производных по переменным.

Руководства от Microsoft Visual Studio стали основными источниками информации при выполнении бакалаврской работы

В первой главе данной бакалаврской работы будет говориться о том, как ведёт себя снаряд в воздухе. А также представлена теоретическая информация о аналитических методах вычисления траектории. Во второй главе будет описана работа программы и ее структура, описаны средства разработки и диаграммы классов.

1. Теория полёта снаряда

1.1 Задачи баллистики

Предмет и задачи баллистики. Баллистика как наука зародилась еще в ХVI в. в недрах единой артиллерийской науки, но только на рубеже ХVIII - ХIХ вв. оформилась в самостоятельную науку. Термин «баллистика» стал употребляться с конца ХVIII в. и происходит от греческого слова вбллщ - бросать. В далекие времена баллистами называли орудия, бросавшие камни, огненные бочки и другие предметы в расположение неприятеля за счет энергии упругой деформации скрученных пучков органических тканей. Бросаемые (или метаемые) предметы называются снарядами.

Баллистика долгое время обслуживала только артиллерию в решении двух главных практических задач: поражение противника на поле боя и создание артиллерийского вооружения. Кроме того, она способствовала развитию ручного огнестрельного и реактивного оружия. Эту баллистику следует считать классической. Ее творцами и создателями были великие основоположники математики и механики: Тарталья, Галилей, Декарт, Ньютон, Гюйгенс, И. Бернулли, Робинс, Эйлер и многие другие ученые разных государств.

Предметом изучения классической баллистики является движение неуправляемого снаряда, а также явления, сопровождающие это движение. Движение артиллерийского снаряда слагается из движений снаряда внутри орудия - в канале ствола и вне орудия - свободное движение в пространстве. В соответствии с этим баллистика делится на внутреннюю и внешнюю. Иногда выделяют еще промежуточную баллистику, изучающую движение снаряда в потоке истекающих из канала ствола пороховых газов.

В ХХ в. методы классической баллистики стали использовать в других сферах деятельности человека и возникли новые баллистики: ракетная, космическая, спортивная, судебная, техническая, конечная (терминальная), раневая и даже баллистика элементарных частиц. Все их объединяет общая задача - преодоление материального пространства, заполненного физическими полями, сплошной средой, преградами. Смысл термина «преодоление» заключается в достижении телом с заданными свойствами заданной точки пространства в заданный момент времени при минимальных материальных и энергетических затратах. Сейчас, может быть, зарождается новая естественно-прикладная наука - универсальная баллистика, которая связывает пространство, время, движение и вещество.

Для поражения цели, находящейся на расстоянии D от точки бросания, снаряд совершает полет и описывает траекторию (рис. 1.1).

Метание снаряда осуществляется с помощью средства метания, расположенного на носителе. При этом снаряду сообщается начальная скорость, вектор которой определяет направление дальнейшего движения. Носителями могут быть Земля, корабль, танк, самолет, ракета-носитель, положение которых в пространстве в момент времени определяется координатами, а движение - векторами скорости поступательного движения и скорости вращательного движения. Вся траектория или больший ее участок называются баллистическими. У цели могут быть корректируемый участок траектории, на котором снаряд получает корректирующие импульсы, и управляемый участок траектории. Точка является точкой действия (разрыва) снаряда.

Рис. 1.1. - Траектория снаряда

Баллистический метод анализа заключается в исследовании предметов и явлений окружающего мира с целью выяснения их влияния на движение снаряда в материальном пространстве. В классической баллистике исследуют прежде всего свойства траектории снаряда при движении его в гравитационном поле и атмосфере Земли, в частности, изменение дальности полета снаряда при изменении метеорологических условий стрельбы: температуры и давления воздуха, скорости и направления ветра. В судебной баллистике исследуют следы применения или хранения огнестрельного оружия и боеприпасов путем идентификации образцов оружия, боеприпасов, условий их применения. В баллистике элементарных частиц можно установить ядерные реакции, структуру атомных ядер, характеристики элементарных частиц по отклонениям траекторий частиц (треков) в магнитном поле.

Первоначально баллистический метод был умозрительным (схоластическим) и включал абстрактно-теоретические построения и правила. Например, итальянский математик Тарталья в 1537 г. представлял траекторию снаряда состоящей из трех участков: наклонной прямой в начале полета, вертикальной прямой в конце полета и дуги окружности между ними. Вместе с тем он правильно указал, что наибольшую дальность можно получить при бросании снаряда под углом 45° к горизонту.

Позже стали проводить целенаправленные наблюдения за полетом снаряда с измерением отдельных элементов траектории (дальности, времени полета) и параметров, характеризующих условия стрельбы. В результате были найдены зависимости дальности стрельбы от длины ствола и сорта дымного пороха, а силу пороха стали определять с помощью «пробной мортирки». Так появились экспериментальные методы и стала развиваться экспериментальная баллистика, давшая науке и технике большое количество уникальных идей, методик, приборов для проведения экспериментов. Отметим лишь некоторые из них:

* измерение больших скоростей (баллистический маятник - Робинс, 1742 г.);

* измерение сверхвысоких давлений (статический метод - Румфорд, 1792 г; крешерный метод - Нобль, 1860 г.);

* измерение ультрамалых промежутков времени (электромагнитный хронограф - К.И. Константинов, 1842 г.);

* определение скорости горения пороха (манометрическая бомба - Сарро и Вьелль, 1883 г.);

* измерение аэродинамических сил (аэродинамическая труба - В.А. Пашкевич, 1875 г.);

* фотографирование ударных волн (искровая фотография - Мах, 1888 г.);

* зондирование атмосферы (радиозонд - П.А. Молчанов, 1930 г.).

Параллельно с экспериментальными методами в баллистике развивались и теоретические, опирающиеся на общие законы механического движения и физических процессов. В основе этих методов лежали последние достижения математики, некоторые из которых зародились или значительно развились в баллистике; отметим численные и табличные методы вычислений, приближенные аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений, методы подобия, методы оптимизации, вариационные методы. Теоретическим методам баллистики присущи следующие особенности:

1) исследование и описание предметов и явлений по принципу «от простого к сложному»;

2) непосредственный учет только основных факторов и рассмотрение действий других факторов как возмущений;

3) обязательное согласование теории с опытом;

4) разработка средств, обеспечивающих применение метода на практике.

Наиболее глубоко теоретические методы в сочетании с экспериментальными были развиты при решении основной задачи внешней и внутренней баллистики. Поэтому можно утверждать, что баллистический метод тесным образом связан с основной задачей баллистики, т.е. с изучением поступательного движения снаряда. Решения специальных задач также вносят в баллистический метод существенные дополнения и рекомендации. Например, при изучении вращательного движения снаряда выясняется его влияние через аэродинамические силы и моменты на поступательное движение, или изучение процесса врезания ведущих поясков в нарезы дает силу сопротивления врезанию, действующую на снаряд и его поступательное движение.

Важную роль в баллистическом методе играют математические модели, которые с требуемой глубиной и полнотой описывают движение снаряда. В зависимости от условий стрельбы, типа снаряда и средства метания, а также назначения модели, существует множество математических моделей движения снаряда. В них снаряд может быть абсолютно твердым или деформируемым телом, иметь постоянную или переменную массу, а движение снаряда может быть свободным или несвободным, рассматривается в разных системах отсчета и описывается с помощью различных методов теоретической механики и математики.

Если обобщить все сказанное и учесть задачи, решаемые баллистикой, то баллистический метод можно представить состоящим из следующих основных этапов (рис. 1.2.)

1. Баллистический анализ снаряда: назначение, конструкция, материалы, форма, размеры, масса и ее распределение, функционирование.

2. Баллистический анализ средств метания: назначение, конструкция, источники энергии, движители, взаимодействие со снарядом, основные процессы, основные параметры, эксплуатация.

3. Анализ условий стрельбы: характеристики окружающей среды, взаимодействие снаряда со средой, силы и моменты, действующие на снаряд, боевое применение.

4. Построение физической модели движения снаряда: анализ экспериментальных данных, выявление основных процессов и факторов, обоснование допущений.

Рис. 1.2. - Структура баллистического метода

5. Выбор систем отсчета: основная система отсчета, дополнительные системы координат, способ преобразования координат.

6. Составление математической модели движения: выбор математического метода, описание основных процессов, переход от векторной к аналитической форме, замыкание системы уравнений, начальные и граничные условия.

7. Качественный анализ движения: анализ дифференциальных уравнений, качественные зависимости элементов движения от времени, оценка устойчивости движения, оценка влияния дополнительных факторов.

8. Интегрирование системы дифференциальных уравнений: выбор метода интегрирования, преобразование уравнений, упрощение системы уравнений, получение конечных результатов.

9. Согласование решения основной задачи баллистики с опытом: отбор опытных данных, расчет траектории, сравнение результатов, выявление причин расхождения, коррекция математической модели.

10. Разработка способов применения решения основной задачи баллистики для практики: поиск потребителей, анализ практических задач, разработка алгоритма, решение задачи, трансформация решения, оценка полученных результатов.

Техническая революция середины ХХ в. и появление ЭВМ существенно расширили возможности использования баллистического метода для более глубокого изучения движения различных снарядов в разнообразных условиях. Причем суть баллистического метода сохраняется как для классической баллистики, так и для новых баллистик. Это подтверждается тесным родством внешней и внутренней баллистик, хотя у них разные стихии - воздух у внешней баллистики и огонь у внутренней. Вот почему крупнейшие баллистики Н.В. Маиевский, Н.А. Забудский, Шарбонье, Сюго, Кранц, Бианки были творцами и внешней и внутренней баллистики.

Баллистические параметры. Баллистика относится к классу точных наук, в которых особое внимание уделяется строгим определениям, точным обозначениям, четким допущениям и выводам. Решение основной задачи баллистики всегда доводится до числа и конкретных рекомендаций. Поэтому в баллистике большую роль играют алгоритмы, методы, средства вычислений и сами вычисления, методы оценки результатов.

Классическая баллистика имеет дело с артиллерийской системой, состоящей из орудия, снаряда и метательного заряда. Артиллерийская система - это заряженное орудие. Различают три способа заряжания: унитарное (патронное), раздельное гильзовое и раздельное картузное. Само орудие состоит из двух основных частей: ствола и лафета. Ствол с размещенными на нем устройствами образует откатные части орудия, которые при выстреле откатываются. Ствол соединен с лафетом через противооткатные устройства, служащие для уменьшения сил, действующих на лафет при выстреле, и для торможения откатных частей. Метательный (боевой) заряд состоит из оболочки, порохового заряда, средства воспламенения и дополнительных элементов. Пороховой заряд изготавливается из бездымных порохов, применяемых в виде пороховых элементов (зерен). В качестве средства воспламенения используют капсюли-воспламенители, капсюльные втулки, ударные трубки. К дополнительным элементам относятся воспламенитель, размеднитель, пламегаситель, флегматизатор, фиксирующие и обтюрирующие устройства.

Артиллерийская система, ее свойства и состояние в момент выстрела могут быть описаны с помощью набора качественных и количественных характеристик, имеющих различную природу. Для решения основной задачи баллистики широко используются геометрические, массовые, механические, физико-химические, конструктивные характеристики. Численные значения (описание) характеристик артиллерийской системы получают или непосредственным измерением (наблюдением), или расчетом, или с помощью эксперимента. Количественными характеристиками являются, например, калибр орудия, масса снаряда, сила пороха. К качественным характеристикам относятся тип орудия, назначение снаряда, сорт пороха.

При решении основной задачи баллистики должны быть известны все параметры, входящие в систему уравнений внутренней и внешней баллистики, а также все параметры, характеризующие начальные, геофизические и метеорологические условия движения снаряда. Баллистическими параметрами называются те количественные характеристики артиллерийской системы, которые оказывают существенное влияние на поступательное движение снаряда. Они могут быть простыми, сложными или интегральными (комплексными), а также размерными и безразмерными.

В зависимости от глубины изучения движения снаряда число баллистических параметров будет различным. При подробном рассмотрении всех процессов, сопровождающих движение снаряда, в систему уравнений внутренней и внешней баллистики войдет более сотни баллистических параметров. При инженерном подходе их число уменьшится. Среди баллистических параметров особое место занимают величины й,v,c,p, являющиеся интегральными параметрами. Начальная скорость снаряда зависит от условий его движения в канале ствола и дополнительно учитывает действие на снаряд процесса истечения пороховых газов после вылета. Угол бросания связан с наведением орудия на цель и включает еще угол вылета, возникающий вследствие кривизны канала ствола и колебательного движения ствола и снаряда в нем. Баллистический коэффициент с характеризует взаимодействие снаряда с атмосферой Земли в полете, которое зависит от многих факторов и, в частности, от формы снаряда. Давление форсирования p учитывает процесс врезания ведущих поясков снаряда в нарезы и весьма сложным образом связано с конструкцией снаряда и ствола. Первая характеристика формы пороха й отражает процесс образования пороховых газов и, в частности, прогрессивность и однообразие горения пороха. Точные значения этих баллистических параметров могут быть получены только экспериментальным путем.

В заключение отметим, что при определении баллистических параметров они обычно приводятся к нормальным (табличным) метеорологическим и баллистическим условиям:

1. Атмосфера относительно Земли неподвижна (ветер и осадки отсутствуют).

2. Температура, давление, плотность и влажность воздуха соответствуют нормальной артиллерийской атмосфере (НАА).

3. Размеры и форма снаряда, марка пороха ? чертежные (номинальные).

4. Массы снаряда и метательного заряда соответствуют принятым в таблицах стрельбы.

Полученные в разных местах и в разное время, но приведенные к нормальным условиям значения баллистических параметров и результаты решения баллистических задач могут сравниваться между собой и использоваться в разных организациях.

В баллистике и артиллерии сейчас применяется международная система физических единиц СИ, однако долгое время применялась техническая система единиц - кгс, дм, сек, в которой составлены многие таблицы внутренней и внешней баллистики и записаны эмпирические формулы. При пользовании такими таб-лицами и формулами следует переходить от одной системы единиц к другой с помощью переводных коэффициентов. Приведем эти коэффициенты для наиболее часто встречающихся механических величин - силы и давления: 1 кгс = 9,80655 Н E 10 Н; 1 Н = 0,10197 кгс E 0,1 кгс; 1 ат = 1 кгс/см2 E 9,80655Е104 Па E--E 0,1 МПа; 1 Па = 0,10197Е10^-4 кгс/см2 E 1Е10^-5 ат.

1.2 Сила тяжести

В параболической теории рассматривается движение снаряда в однородном гравитационном поле Земли под действием одной силы тяжести, т.е. в безвоздушном пространстве.

Параболическая теория до середины ХVIII в. успешно обслуживала артиллерийскую практику, пока скорости снарядов были малы (менее 60 м/с) и сопротивлением воздуха можно было пренебречь. Однако и в настоящее время эта теория может быть использована в случаях движения снарядов с малыми скоростями или в разреженной атмосфере, а кроме того, она представляет большой интерес в методологическом отношении.

Силой тяжести называется физическая величина, характеризующая действие на тело массы m гравитационного поля Земли и вращения Земли вокруг своей оси (рис. 1.3).

Рис. 1.3 - Сила тяжести

Землю можно представить в виде шара радиуса м и массой M =5,975Екг, совершающего один полный оборот вокруг своей оси в одни звездные сутки (86164 с) с угловой скоростью Щ =7,292Е1/с.

Сила земного притяжения направлена в центр Земли под углом л к плоскости экватора, называемым геоцентрической широтой места. Величина силы притяжения определяется законом тяготения Ньютона:

(1.1)

где f - гравитационная постоянная; r - расстояние между центрами масс рассматриваемых тел. Для тела, находящегося на поверхности Земли, r=R; если тело находится на высоте над уровнем моря, то r = R + y

Центробежная сила инерции направлена перпендикулярно к оси вращения Земли, а ее величина равна:

,(1.2)

Сила тяжести направлена к центру Земли под углом Л, называемым географической широтой места, а само направление называется вертикалью. Ускорение силы тяжести представляет собою геометрическую сумму ускорения силы земного притяжения и центробежного ускорения :. Величина ускорения центробежной силы инерции тела, находящегося на поверхности Земли (y= 0).

Следовательно, ускорение силы тяжести на поверхности Земли меняется с изменением широты места Л ? л, достигая минимума на экваторе и максимума на полюсе. С учетом того, что на самом деле Земля не шар, а эллипсоид вращения, будем иметь при л = 0° = 9,780 м/с^2; при л = 90°

= 9,832 м/с2. Как видим, изменение при изменении л от нуля до 90° мало (0,5 %).

Для тела, находящегося на поверхности Земли, величина уско-рения силы земного притяжения равна: = f*M/, а для тела, находящегося на высоте y, она будет зависеть от высоты y: Последнее выражение можно преобразовать, разлагая дробь в ряд по степеням малой величины y/R и пренебрегая членами, содержащими квадрат и более высокие степени малой величины y/R:

(1.4)

В связи с тем, что различие между ускорением силы земного притяжения и ускорением силы тяжести мало, можно с достаточной для практики точностью считать, что зависимость ускорения силы тяжести g от высоты тела над уровнем моря аналогична зависимости ускорения силы земного притяжения (1.4):

(1.5)

Формула (1.5) показывает, что даже на высоте 10 км ускорение силы тяжести уменьшается незначительно (на 0,3%). Поэтому переменность ускорения силы тяжести можно не учитывать при дальностях стрельбы менее 50 км. В классической баллистике принято считать ускорение силы тяжести постоянным, равным 9,810 м/с^2.

Отметим, что при движении тела относительно Земли со скоростью , оно, кроме ускорения силы тяжести , испытывает ускорение Кориолиса , которое определяется формулой

,(1.6)

1.3 Уравнения движения снаряда

Рассмотрим движение снаряда под действием одной силы тяжести . Сначала сформулируем основные допущения, характеризующие физическую модель движения:

1. Снаряд представляет собой материальную точку с массой, равной массе снаряда и сосредоточенной в его центре масс.

2. Сопротивление воздуха (атмосфера) отсутствует.

3. Ускорение силы тяжести постоянно по величине и направлено параллельно вертикали в точке вылета.

4. Ускорением Кориолиса вследствие вращения Земли пренебрегаем.

5. Поверхность Земли в пределах траектории представляет собой плоскость, совпадающую с плоскостью горизонта в точке вылета.

При сделанных допущениях уравнение движения снаряда в векторной форме будет иметь вид , откуда

,(1.7)

Поскольку масса снаряда в уравнении (1.7) отсутствует, то в рассматриваемом случае движение снаряда не зависит от его массы (калибра). Кроме того, во все время полета снаряд не выйдет из плоскости бросания, так как вектор силы тяжести, действующий на снаряд, и вектор начальной скорости лежат в плоскости бросания и, следовательно, нет причин, которые могли бы вызывать боковое отклонение снаряда. Поэтому траектория снаряда в параболической теории будет плоской кривой, лежащей в плоскости бросания xy, т.е.

Спроецируем уравнение (1.7) на оси координат x и y:

(1.8)

Система двух скалярных независимых дифференциальных уравнений (1.8) должна быть проинтегрирована при следующих начальных условиях: при .Интегрируя систему (1.8) один раз, получим

(1.9)

причем из начальных условий будем иметь .

Подставив найденные значения С1 и С2 в уравнение (1.9), получим

(1.10)

Интегрируя (1.10), найдем

На основании начальных условий определяем постоянные интегрирования =0 и =0.

Таким образом, после интегрирования уравнения движения снаряда примут окончательный вид:

(1.11)

Формулы для определения скорости снаряда v и углов наклона

касательной и могут быть получены из (1.10):

(1.12)

,(1.13)

Равенства (1.11) представляют собой уравнения траектории

снаряда в параметрической форме, где в качестве параметра выступает время t. Исключив его из (1.11), получим уравнение траектории в явном виде:

,(1.14)

Можно показать, что (1.14) есть уравнение кривой второго порядка, а наша кривая является параболой. Поэтому рассматриваемая теория называется параболической.

1.4 Свойства параболической траектории

Чтобы выяснить, как расположена парабола, определим, прежде всего, полную горизонтальную дальность (абсциссу ) из условия =0. Из уравнения (1.14) получим . Первый корень =0 соответствует точке вылета, второй, получаемый из уравнения

, представляет собой искомую величину

Если провести вертикальную прямую на плоскости xy (рис. 1.4) через точку (1/2 X; 0), то эта прямая окажется осью симметрии параболы, ветви которой проходят через точки и С. Положение вершины траектории на оси симметрии будет определяться ординатой Y, которую найдем из уравнения (1.14) при: = 1/2 X

(1.16)



Рис. 1.4. - Параболическая траектория

При увеличении угла бросания высота траектории Y достигает максимума при =90°: =. Из формулы (1.15) следует, что дальность X достигает максимума, когда, т.е. 45°. Наибольшая дальность будет равна: . Угол называется углом наибольшей дальности.

Из первого уравнения (1.11) видим, что , в частности для точки падения получим

(1.17)

В силу симметрии траектории относительно вершины найдем:.

Перечислим некоторые свойства параболической траектории.

1. Траектория снаряда в безвоздушном пространстве определяется двумя параметрами: v0 и и0.

2. При движении снаряда в безвоздушном пространстве горизонтальная составляющая скорости остается постоянной.

3. Скорости снаряда и абсолютные значения углов наклона касательной на восходящей и нисходящей ветвях траектории равны для одинаковых ординат точек.

4. При одинаковой начальной скорости для траекторий равным временам полета отвечают равные величины понижений под линией бросания и удалений вдоль линии бросания .

5. Различия траекторий в безвоздушном пространстве и в воздухе при одинаковых прочих условиях будут тем больше, чем будет больше начальная скорость, меньше угол бросания и меньше калибр снаряда.

Например, для 82-мм мины при =80 м/с и =45° получим X равной в пустоте 367 м, а в воздухе 350 м, т.е. отклонение от действительной дальности будет равно 5%. Аналогичное сравнение для 122-мм снаряда при =230 м/с и =40° даст следующие цифры: 5300 м; 4200 м; 30%.

Параболическая теория позволяет получить соотношения и выводы, которые в первом приближении оказываются справедливыми для любых траекторий в воздухе. Таким выводом, например, является вывод об угле наибольшей дальности, равном 45°. Приведем еще несколько полезных соотношений. Используя формулы (1.16) и (1.15), найдем соотношение между высотой траектории Y и дальностью X:

(1.18)

Из выражений (1.17) и (1.16) получим формулу, связывающую Т и Y:

,(1.19)

В ракетной и космической баллистиках большое значение имеет эллиптическая теория, в которой изучается движение снаряда в центральном гравитационном поле Земли под действием одной силы тяжести при переменном ее ускорении. В этом случае при начальных скоростях, меньших второй космической скорости (11,2 км/с), траектория будет эллипсом.

1.5 Дифференциальные уравнения поступательного движения

При полете в воздухе на него действует сложная система аэродинамических сил и моментов, в связи с чем решение задачи о движении снаряда в воздухе в общем виде представляет большие трудности. Обратимся сначала к основной задаче внешней баллистики, изучающей поступательное движение снаряда в воздухе.

Получим и исследуем уравнения движения центра масс снаряда под действием двух основных сил: силы тяжести и силы сопротивления воздуха . Дополнительно при выводе дифференциальных уравнений учтем силу тяги реактивного двигателя , направленную по продольной оси снаряда. При этом массу снаряда m следует считать переменной:

(1.21)

Физическая модель движения снаряда в воздухе характеризуется следующими основными допущениями:

1. Снаряд представляет собою материальную точку с массой, равной массе снаряда и сосредоточенной в его центре масс.

2. Ось снаряда совпадает с касательной к траектории его центра масс, а сила сопротивления и сила тяги направлены по касательной.

3. Атмосфера неподвижна (ветра нет).

4. Ускорение силы тяжести постоянно по величине и всегда направлено параллельно вертикали в точке вылета.

5. Ускорением Кориолиса от вращения Земли пренебрегаем.

6. Поверхность Земли в пределах траектории представляет собой плоскость, совпадающую с плоскостью горизонта в точке вылета.

Движение снаряда будем рассматривать в земной системе координат и дополнительно введем траекторную систему координат О, начало О которой совпадает с центром масс снаряда (рис. 1.5.).

Рис. 1.5. - Траекторная система координат

Главной вертикальной плоскостью будем считать вертикальную плоскость, проходящую через вектор скорости и вертикальную ось О. Ось О направим по вектору скорости , ось О перпендикулярна оси О и лежит в главной вертикальной плоскости. Ось О образует с осями О и О правую систему координат. Положение траекторной системы координат относительно нормальной О, а значит, и относительно земной сис-темы координат определяется двумя углами:

* углом пути Ш между осью О0х и проекцией вектора скорости на плоскость горизонта О0ху;

* углом наклона касательной к траектории и между вектором скорости и горизонтальной плоскостью.

Имея в виду сделанные допущения, рассмотрим движение снаряда, брошенного с начальной скоростью v0 под углом бросания , и составим дифференциальные уравнения движения для произвольного момента времени t. Дифференциальное уравнение движения снаряда в векторной форме будет иметь вид

(1.22)

Где - сила лобового сопротивления воздуха.

В момент вылета начальная скорость и силы , действующие на снаряд, лежат в плоскости бросания, поэтому боковое отклонение снаряда исключено. Следовательно, так же как в случае движения в безвоздушном пространстве, траектория снаряда в воздухе представляет собой плоскую кривую, лежащую в плоскости бросания.

Проецируя векторное уравнение (1.21) на оси координат х и у, получим

(1.23)

Система уравнений (1.23) вместе с (1.21) должна быть проинтегрирована при следующих начальных условиях: при t = 0; ; ; х = 0; у = 0, m = .

Спроецируем, кроме того, векторное уравнение (1.22) на оси траекторной системы координат О (касательную к траектории) и О (нормаль), учтя, что проекции вектора ускорения на касательную и нормаль будут иметь следующий вид: . В результате можем записать:

(1.24)

После деления этих уравнений на массу m и дополнения их кинематическими соотношениями и получим систему дифференциальных уравнений при аргументе t, описывающих поступательное движение снаряда в воздухе:

(1.25)

Переменная масса снаряда определяется уравнением (5.1). Если снаряд нереактивный (P=0, m=q=const), то с учетом формулы для ускорения лобового сопротивления система уравнений (1.25) получит вид

, (1.26)

В систему (1.26) входят четыре искомые функции v, и, x, y и величина , которая связана с этими переменными уравнением

,(1.27)

В системе (1.26) совокупно должны решаться первое, второе и четвертое уравнения, так как в первое из них входят переменные v, и, и y. Третье уравнение этой системы - для x - должно быть решено после того, как будут найдены зависимости переменных v, и, и y от аргумента t.

Система четырех дифференциальных уравнений первого порядка (1.26) должна быть проинтегрирована при следующих начальных условиях:

* для артиллерийского снаряда при t = 0; v = ; и = ; x = 0; y = 0;

* для авиационной бомбы при t = 0; v = ; и = ; x = 0; y = Н, где Н - высота бомбометания.

1.6 Баллистические характеристики снаряда

В безвоздушном пространстве траектория, которую опишет снаряд, не зависит ни от формы, ни от размеров и массы снаряда. В воздухе траектории различных снарядов, брошенных при одинаковых условиях, будут различны вследствие влияния перечисленных факторов на поступательное движение снаряда. Это влияние учитывают с помощью баллистических характеристик снаряда: коэффициента формы i, баллистического коэффициента с, характеристического времени бомбы .

Коэффициент учитывает отличие формы снаряда от формы эталонного снаряда. Сравнивая один и тот же снаряд с различными эталонными снарядами, мы будем получать различные значения коэффициента формы. Поэтому величину i необходимо снабжать индексом, указывающим на эталонный снаряд, например, для снарядов современной формы: i43 = 0,9…1,1 по отношению к эталонному снаряду 1943 г. и iс =0,4…0,6 по отношению к эталонному снаряду Сиаччи.

При решении баллистических задач коэффициент формы рассматривается как постоянная величина, хотя на самом деле i зависит от скорости, т.е. для одного и того же снаряда величины i будут несколько различаться при изменении условий бросания (внешнебаллистических параметров и ). Часто коэффициент формы i рассматривают как параметр согласования расчетной траектории с опытной путем согласования полной горизонтальной дальности Х.

Баллистический коэффициент снаряда является третьим основным внешнебаллистическим параметром и учитывает влияние формы, размеров и массы снаряда на поступательное движение. Из формул (4.10) следует, что чем меньше величина с, тем будет меньше, при прочих равных условиях, величина ускорения лобового сопротивления, что приведет к увеличению Х, Т, и к уменьшению ).

Баллистический коэффициент зависит от калибра снаряда сложным образом, так как при изменении калибра одновременно изменяется и масса снаряда. Воспользуемся коэффициентом массы , величина которого для снарядов одинакового назначения практически остается постоянной при изменении калибра. Например, для фугасных и осколочно-фугасных снарядов = 12…15 кг/м3. Тогда

Следовательно, у снарядов одинакового назначения баллистический коэффициент обратно пропорционален калибру. Для снарядов современной формы при изменении калибра от 0,01 до 0,40 м баллистический коэффициент изменяется в пределах от 0,2 до 5,0 м2/кг. Отметим, что величину с целесообразно снабжать индексом, указывающим на принятый эталонный снаряд. Очевидно, при движении снаряда в безвоздушном пространстве баллистический коэффициент равен нулю.

1.7 Свойства траектории снаряда в воздухе

Исследуем движение нереактивного снаряда в воздухе. Рассматривая систему дифференциальных уравнений (1.26) вместе с начальными условиями, можем сделать вывод, что элементы траектории в произвольной точке будут, помимо аргумента t, зависеть для артиллерийского снаряда от трех параметров, а именно, от баллистического коэффициента с и от величин v0 и и0, входящих в начальные условия, а для авиационной бомбы - еще и от высоты бомбометания Н. Величины с, , , Н называются основными параметрами траектории.

Из первого уравнения (1.23) при P=0 найдем , т.е. горизонтальная проекция скорости убывает. Напомним, что в параболической теории она осталась постоянной. Из второго уравнения (1.26) найдем , следовательно, с ростом времени угол и убывает и в пределе будет равен: , т.е. траектория имеет вертикальную асимптоту.

Изменение скорости по величине при движении снаряда по траектории можно проследить с помощью первого уравнения (1.26). На восходящей ветви траектории (ВВТ) и > 0, а в вершине траектории и = 0, следовательно, здесь < 0. скорость убывает (рис. 1.6.).

Рис. 1.6. - Зависимость v от t

На нисходящей ветви траектории (НВТ) угол и становится отрицательным, второй член уравнения - положительным, а его величина возрастает по мере движения снаряда от вершины. Первый член уравнения продолжает убывать по абсолютной величине до того момента, пока оба члена в некоторой точке траектории не станут равными по абсолютной величине, так что будет . При этом скорость достигает экстремального значения . После точки минимальной скорости при второй член становится большим, чем первый, по абсолютной величине, т.е. ускорение становится положительным и скорость начинает расти.

Если допустить однородность атмосферы, то после прохождения минимума скорость при t>? асимптотически будет приближаться к некоторому предельному значению. В действительности плотность воздуха изменяется с высотой, а скорость снаряда после прохождения минимума не стремится к постоянному пределу, а достигает некоторого максимума, после которого снова убывает (пунктирная линия на рис. 1.4). Такое явление может иметь место только при больших углах бросания.

Изменение скорости по направлению связано с кривизной траектории - величиной обратной радиусу кривизны r и представляющей собой абсолютную величину производной от угла наклона касательной и по длине дуги траектории s.

Из формулы (1.29) видно, что на восходящей ветви кривизна траектории возрастает, а на нисходящей, за точкой, в которой достигается минимум скорости, - убывает. Максимум кривизны достигается в некоторой точке между вершиной траектории и точкой наименьшей скорости (рис. 1.7.).

Рис. 1.7. - Траектория снаряда в воздухе

На основании сделанных выше заключений и сравнения элементов траектории в точках и , имеющих одинаковые ординаты, можно установить дополнительные свойства траектории:

1) нисходящая ветвь траектории круче восходящей, так как;

2) скорость снаряда в точке меньше, чем скорость в точке ,

3) расстояние от точки до вертикали, проходящей через вершину траектории, меньше, чем расстояние от точки до той же вертикали, ;

4) время полета от вершины до точки больше, чем время полета от точки до вершины, .

Перечисленные соотношения между элементами траектории на восходящей и нисходящей ветвях дают возможность получить зависимости между элементами траектории в опорных точках: .

Поскольку опорные точки траектории S и C определяются соответственно условиями = 0; = 0 и = 0, которые позволяют исключить из рассмотрения время в этих точках, то элементы траектории артиллерийского снаряда в опорных точках будут зависеть от трех основных параметров: c, v0, и0, а траектории авиационного снаряда - еще и от высоты бомбометания Н (рис. 1.8.). Полная горизонтальная дальность в последнем случае обозначается через А и называется относом бомбы. Поэтому можем записать:



Рис. 1.8. Траектория авиационной бомбы

Отыскивая максимум Х при изменении угла бросания , можно установить, что угол наибольшей дальности полета артиллерийского снаряда зависит от баллистического коэффициента с и начальной скорости (рис. 1.9). Угол наибольшего относа бомбы будет зависеть только от параметра , причем с увеличением h величина уменьшается.

Рис. 1.9. - Угол Наибольшей дальности

1.8 Методы решения основной задачи внешней баллистики

Основная задача внешней баллистики сводится к вычислению траектории снаряда, для чего необходимо проинтегрировать дифференциальные уравнения поступательного движения. Однако в конечном виде эти уравнения не интегрируются, потому что входящие в них функции сопротивления воздуха G() и плотности (у) имеют очень сложное аналитическое представление или вообще не имеют его, а задаются таблицами. Вследствие этого оказывается невозможным разделение переменных в уравнениях движения.

Вычисление траектории центра масс производится различными приближенными методами, которые можно разделить на три группы: аналитические методы, численные и табличные. При этом используются или аналитические или численные методы интегрирования точной системы уравнений движения.

Приближенные аналитические методы позволяют получить аналитические выражения для всех элементов траектории в произвольной точке. Для этого необходимо ввести упрощения в исходную систему уравнений движения. Эти упрощения можно осуществить лишь путем замены истинных функций G() и (у) их приближенными выражениями. Во всех существующих приближенных аналитических методах принимается допущение об однородности атмосферы, что сводится к допущению о постоянстве плотности и температуры воздуха по высоте. Упрощение функции G(v) или F(v) может состоять в том, что она представляется в виде простой аналитической зависимости от v. Примером такого подхода является метод Эйлера, в котором функция F(v) представляется в виде одночленной квадратичной зависимости от v. Другой путь упрощения функции состоит в том, что одна из двух переменных величин, стоящих под знаком этой функции, обычно cosи, заменяется постоянным средним значением. Примером метода, который основан на таком упрощении, является метод Сиаччи. Достоинства приближенных аналитических методов состоят в том, что они позволяют сравнительно простым способом вычислить элементы траектории в интересующей нас произвольной точке, а также в общей форме производить различные исследования. Методы численного интегрирования позволяют вычислить траекторию без упрощения системы уравнений движения снаряда. В основе численных методов интегрирования лежит теория интерполирования и теория конечных разностей. До появления ЭВМ расчет траектории производился вручную и занимал до 10 часов времени. При этом использовались специальные численные методы внешней баллистики, например, метод Адамса - А.Н. Крылова. В настоящее время при использовании ЭВМ самым распространенным методом численного интегрирования дифференциальных уравнений является метод Рунге - Кутта. В результате численного интегрирования мы получаем последовательно числовые значения элементов траектории для соответствующих значений одного из них (обычно равноотстоящих) в виде таблиц. Основным достоинством методов численного интегрирования является то, что путем выбора шага интегрирования может быть обеспечена любая наперед заданная точность результатов вычислений, а также то, что эти методы могут быть применены в любых случаях.

Недостатками методов численного интегрирования, помимо их громоздкости, являются необходимость вычисления элементов во всех точках, предшествующих заданной, а также невозможность проведения с их помощью общих исследований без предварительного выполнения большого числа расчетов для различных вариантов.

Наиболее простым и удобным методом определения элементов траектории является табличный метод, при котором используются таблицы элементов траектории, называемые таблицами внешней баллистики или баллистическими сборниками. Баллистические сборники составляются для заданного закона сопротивления воздуха и нормальной артиллерийской атмосферы на основании результатов численного интегрирования системы уравнений движения снаряда.

Зенитные баллистические сборники содержат таблицы значений элементов траектории в произвольной точке, являющиеся таблицами о четырех входах: . Наземные баллистические сборники содержат таблицы значений основных элементов траекторий в опорных точках: X, Y, T, с тремя входами c, . В нашей стране широкое распространение получили следующие баллистические сборники.

1 Баллистический сборник АНИИ, составленный для закона сопротивления воздуха 1930 г.;

2 Баллистический сборник Артиллерийской академии, разработанный для закона сопротивления Сиаччи.

3 Таблицы внешней баллистики ГАУ, рассчитанные для закона сопротивления 1943 г.

4 Таблицы внешней баллистики НИМИ, рассчитанные для закона сопротивления 1958 г.

Кроме того, существуют баллистические таблицы для бомбометания, в которых содержатся элементы траекторий в точке падения, а входами в таблицы являются Н, с, .

При применении табличного метода не требуется производить вычисления по формулам; искомые величины находятся непосредственно из таблиц по заданным значениям входных параметров и аргумента. Единственной математической операцией, используемой в данном случае, является интерполирование табличной функции. Причем шаг входных величин выбирается таким образом, чтобы между двумя соседними табличными значениями было возможно линейное интерполирование.

1.9 Система уравнений при аргументе

Рассмотрим приближенные аналитические методы Эйлера и Сиаччи вычисления траектории артиллерийского снаряда, используя систему уравнений (1.26). Как отмечалось, эта система уравнений при аргументе t содержит три совокупных уравнения. Если перейти от аргумента t к аргументу и, то число совокупных уравнений сократится до двух, что является важным достоинством системы уравнений при аргументе и.

Для перехода к новому аргументу следует использовать второе уравнение (5.5), которое можно записать в виде

(1.30)

Вместо первого уравнения (1.26) воспользуемся первым уравнением (1.23) при P=0 с учетом кинематического соотношения и для ускорения лобового сопротивления :

(1.31)

Найдем производную от по и, считая сложной функцией от и. Сначала запишем . Учитывая (1.30) и (1.31), после сокращений получим

(1.32)

Представляя аналогичным образом производные от х и у по и, можем записать:

(1.33)

Систему уравнений при аргументе и составим из уравнений (1.30), (1.31) и (1.32), заменив величину v ее выражением

(1.34)

uде .

В системе уравнений (6.5) совокупными являются первое и четвертое. Остальные два интегрируются каждое отдельно, после того как первое и четвертое будут проинтегрированы. Правая часть первого уравнения (6.5) содержит переменные , y и и, так как есть также функция от , y и и. Принимая допущения об однородности атмосферы и полагая, будем иметь тогда первое уравнение (1.34) получает вид

(1.35)

При переходе к уравнению (1.35) мы учли, что . В уравнение (6.6) входят только две переменные величины: и и или v и и, т.е. это дифференциальное уравнение связывает величину и направление вектора скорости снаряда. Оно носит название уравнения годографа скоростей. После его интегрирования получим уравнение годографа скоростей в конечном виде: v = f(и).

Интегрирование системы дифференциальных уравнений движения снаряда в приближенных аналитических методах начинается с интегрирования уравнения годографа (1.35).

1.10 Метод Эйлера

Член Петербургской Академии наук Л. Эйлер опубликовал в 1753 г. работу, содержащую метод интегрирования дифференциальных уравнений движения снаряда и вычисления траектории в воздухе. Метод Эйлера был принят в артиллерии всех стран и в течение столетия являлся единственным удобным в практическом отношении методом вычисления траекторий.

Помимо допущения об однородности атмосферы, в методе Эйлера допускается, что функция сопротивления F(v) пропорциональна квадрату скорости: а является постоянным коэффициентом. Следовательно, допускается, что функция сопротивления K(v) и коэффициент лобового сопротивления с также остаются постоянными. Постоянство K(v) и с имеет место лишь при дозвуковых скоростях, меньших некоторого значения v.

Принято считать, что метод Эйлера можно применять при скоростях снаряда, меньших 250 м/с.

Проинтегрируем уравнение годографа (1.35), которое при сделанных допущениях получит следующий вид:

(1.36)

где с - баллистический параметр. Разделим переменные и проинтегрируем уравнение (1,36) в пределах от точки вылета до некоторой текущей точки на траектории:

(1.37)

(1.39)

(1.40)

(1.41)

т.е. сумма двух слагаемых, стоящих в левой части равенства, одинакова для любой точки траектории и равна обобщенному баллистическому параметру

В результате интегрирования уравнения годографа получим выражение для горизонтальной составляющей скорости :

Интегрируя остальные дифференциальные уравнения (1.34) в соответствующих пределах, получим формулы для определения элементов траектории х, у и t:

(1.42)

(1.43)

(1.44) в которые вошли специальные функции:

.

Функции называются основными функциями метода Эйлера, и для них составлены таблицы.

Таким образом, мы получили выражения, связывающие элементы траектории с аргументом и и рядом параметров, причем элементы и v зависят от параметров и Q, а элементы х, у, t, кроме того, - от параметра . Полученные формулы позволяют рассчитать всю траекторию.

Для нахождения элементов траектории в опорных точках на основании теории подобия траекторий были разработаны таблицы, получившие название таблиц Отто - Сиаччи по фамилиям создателей. Это таблица о двух входах имеют следующий вид:

Таблица 1

=
2

Первым входом является угол бросания , а за второй вход вместо принята величина 2 из-за удобства составления таблиц стрельбы на основании опытных дальностей Х. ?

Таблицы Отто - Сиаччи связывают между собой параметры 2 и основные элементы траектории в опорных точках X, Y, T, . Достаточно задать любые три из этих величин, чтобы можно было найти по таблицам остальные пять. При расчете параметра в первом приближении следует принимать Н() = 1, а после нахождения приближенного значения высоты траектории Y? и средней высоты находят Н() и вычисляют окончательное значение параметра .

1.11 Метод Сиаччи

В 1884 г. итальянский баллистик Сиаччи предложил метод вычисления настильных траекторий, у которых угол бросания и не превосходит 15°. Некоторые видоизменения позволяют применить метод Сиаччи для вычисления восходящей ветви траектории при зенитной стрельбе.

В методе Сиаччи функция сопротивления воздуха может быть задана любым, сколь угодно сложным образом, в том числе и табличным, но при этом величина cosи под знаком этой функции заменяется постоянным значением . Ошибка такой замены скажется тем меньше, чем меньше .

Переменную величину , которая будет новым аргументом функции сопротивления воздуха, обозначим через U:

(1.45)

Эта величина по аналогии со скоростью получила название псевдоскорости. В точке вылета псевдоскорость равна истинной скорости: . Почти на всей траектории, от точки вылета до точки на нисходящей ветви, в которой угол наклона касательной по абсолютной величине равен , U ? v. При подстановке под знаком функции сопротивления воздуха F вместо v величины U значение ее изменится. Для компенсации этого изменения функция F(v) умножается на переменный множитель , меньший единицы. Уравнение годографа, с учетом соотношения , в методе Сиаччи получает вид

(1.46)

Разделяя переменные и интегрируя (6.16) в пределах от точки вылета до произвольной точки траектории по и от до и и по U от до U соответственно, получим

(1.47)

Интеграл в (1.47) может быть вычислен только методом численного интегрирования

Введем обозначение , в котором В выбирается из удобства составления таблицы функции. Используя специальную функцию I(U), получим уравнение годографа в конечном виде:

(1.48)

Интегрируя остальные дифференциальные уравнения системы (1.34) в соответствующих пределах, получим формулы для определения элементов траектории t, x, y:

(1.49)

(1.50)

(1.51)

в которые вошли специальные функции

(1.52)

Функции I(U), T(U), D(U), A(U) носят названия основных функций Сиаччи; для них при различных законах сопротивления водуха составлены таблицы в которых за аргумент выбрана функция

Для более удобного и простого вычисления основных элементов траектории в опорных точках были введены вспомогательные функции Сиаччи, представляющие собой различные комбинации основных функций. Из формулы (6.20) следует, что основная функция Сиаччи D(U), а значит, псевдоскорость U и вспомогательные функции Сиаччи представляют собой некоторые функции двух величин с?X и . Вспомогательные функции Сиаччи имеют обозначение f(с?X, .), и для них составлены таблицы о двух входах при заданном законе сопротивления воздуха. Отметим, что вспомогательные функции могут использоваться и для вычисления элементов траектории в произвольной точке.

Приведем формулы для вычисления основных элементов в опорных точках с помощью вспомогательных функций Сиаччи:

(1.53)

(1.54)

При определении полной горизонтальной дальности Х сначала определяем значение вспомогательной функции , а за- тем по таблице обратным интерполированием находим с?X и вычисляем Х.

1.12 Задача о поправочных формулах

При решении основной задачи внешней баллистики вычисляют элементы траектории центра масс снаряда для нормальных усло- вий стрельбы: неподвижного носителя, нормальной артиллерий- ской атмосферы, идеальной формы снаряда, номинальных гео- метрических и массовых характеристик артиллерийской системы, табличных значений основных баллистических параметров и т.д. В результате получают нормальную или, как принято говорить, невозмущенную траекторию.