Побудова орнаментів з елементами симетрії відносно точки з використанням R-функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський національний університет радіоелектроніки

Побудова орнаментів з елементами симетрії відносно точки з використанням R-функцій

УДК 515.2

Челомбітько В.Ф.

Ткаченко В.П., к.т.н.,

Харків 12.04.2011

Анотація

Наведено способи застосування R-функцій до складання рівнянь зображень орнаментів з елементами симетрії відносно точки.

Вступ

Постановка проблеми. У процесі історичного та культурного розвитку у місцевостях України утворились характерні орнаментальні мотиви і композиції, найбільш улюблена і поширена колірна гама, специфічні техніки виконання. Майстри розвивали і вдосконалювали кращі досягнення своїх попередників. Геометричні орнаменти складались з різноманітних геометричних фігур: трикутників, ромбів, квадратів, кружечків, тощо. У назвах орнаментальних мотивах вражає образна спостережливість, тонке поетичне почуття. Це «барвінок», «хмелик», «курячий брід», «гарбузове листя», «зозулька», тощо [1]. Здавна елементи орнаменту символізували певні явища природи та природні істоти. Наприклад, «вужики» або «кривульки» - то знаки води, тобто життя. А чотирикутники, кружечки - то символ Сонця [2].

Настав час долучити до складання орнаментів і засоби комп'ютерної техніки. Адже орнамент (від лат. оrnamentum - прикраса) не може існувати окремо, поза певним твором мистецтва, він має прикладні функції. Орнаменти повинні прикрашати оточуючі людину предмети, створювати настрій [3, 4]. Тому актуальними будуть дослідження, направлені на розробку алгоритмів складання орнаментів засобами комп'ютерної техніки.

Аналіз відомих досліджень. Існують математичні способів опису та побудови орнаментів засобами обчислювальної техніки. В даній роботі перевагу віддано теорії R-функцій. В роботі [5] розкрито ідеї теорії R-функцій надано приклади її деяких впроваджень. Застосування методу R-функцій до побудови рівнянь зображень, що мають симетрію, наведено в роботі [6]. В роботі [7] розглянуто побудову симетричних функцій для симетричних зображень. Але відкритим залишається питання раціонального застосування R-функцій до побудови рівнянь зображень з елементами симетрії.

Постановка завдання. Навести способи застосування R-функцій до складання у неявному вигляді рівнянь зображень орнаментів з елементами симетрії відносно точки, відносно прямої та симетрії повороту.

Основна частина

Спочатку наведемо деякі визначення стосовно застосування R-функцій. На площині Oxy опорною областю А функції f(x,y) називається множина точок, де функція f(x,y) приймає невід'ємні значення. Опорна область визначає геометричну форму множини точок на площині, тому з окремими опорними областями можна виконувати логічні операції об'єднання, перетину та доповнення. Для цього у теорії R-функцій існують аналоги логічних операцій у вигляді R-операцій.

R-диз'юнкція опорних областей А1 і А2 забезпечується операцією над функціями f₁ і f₂, що дозволяє одержати таку функцію, опорна область якої є об'єднанням областей А1 і А2. R-диз'юнкція позначається

f₃(x, y) = f₁(x, y) _R f₂(x, y). (1)

R-кон'юнкція опорних областей А1 і А2 забезпечується операцією над функціями f₁ і f₂, що дозволяє одержати таку функцію, опорна область якої є перетином областей А1 і А2. R-кон'юнкція позначається

f₄(x,y) = f₁(x, y) _R f₂(x, y). (2)

Для програмної реалізації побудови орнаментів необхідно задати R-диз'юнкцію та R-кон'юнкцію, відповідно, у вигляді (тут і далі збережено синтаксис мови Maple):

o := (a,b) -> (a+b+abs(a-b))/2: (3)

p := (a,b) -> (a+b-abs(a-b))/2:

Модульний примітив (як приклад, зображений на рис. 1) задамо у вигляді

f1 := (x,y) -> 3 - abs(x) - abs(y):

f2 := (x,y) -> - 0.8 + x^2 + y^2:

f3 := (x,y) -> -y: (4)

f4 := (x,y) -> o(f2(x,y), f3(x,y)):

F := (x,y) -> p(f1(x,y), f4(x,y));

Розглянемо побудову симетрій відносно точки. Задамо першу і другу точки симетрії координатами

x01 := 0.5: y01 := 1: x02 := -0.5: y02 := 1:

Для побудови симетричного модульного примітиву відносно першої точки симетрії слід застосувати формули:

X1 := 2*x01 - x; Y1 := 2*y01 - y; (5)

F1 := (x,y) -> F(X1, Y1);

На рис. 2 наведено сумісне зображення обраного модульного примітива з побудованим симетричним відносно першої точки зображенням примітива.

Рис. 1. Приклад модульного примітива

Рис. 2. Об'єднання модульного примітива з симетричним від точки

Для здійснення побудови симетричного модульного примітиву відносно другої осі симетрії слід застосувати формули:

X2 := 2*x02 - x; Y2 := 2*y02 - y; (6)

F2 := (x,y) -> F(X2, Y2);

На рис. 3 наведено сумісне зображення модульного примітива з побудованим симетричним відносно обох точок зображеннями.

До переваг застосування R-функцій є можливість оперувати з опорними областями примітивів. Наприклад, якщо використати послідовність R-функцій у вигляді

FF := (x,y) -> p(о(F1(x,y), F2(x,y)), F(x,y)), (7)

то одержимо зображення елемента орнаменту (рис. 4).

Рис. 3. Модульні примітиви із подвійною симетрією

Рис. 4. Зображення, яке одержано за допомогою R-функцій (7)

На рис. 5 і 6 зображені елементи орнаменту, побудовані за допомогою послідовностей R-функцій, відповідно, у вигляді

FF := (x,y) -> о(р(F1(x,y), F2(x,y)), F(x,y)); (8)

FF := (x,y) -> о(р(F1(x,y), -F2(x,y)), F(x,y)); (9)

FF := (x,y) -> о(р(-F1(x,y),-F2(x,y)), F(x,y)). (10)

Рис. 5. Зображення, одержане за допомогою R-функцій (8)

Рис. 6. Зображення, одержане за допомогою R-функцій (9)

Крім того, за допомогою R-функцій можна будувати лінії рівня функції FF(x,y) (рис. 7- 8), що може доповнювати виразні можливості при створенні орнаментів (особливо в кольорі). орнамент симетрія формалізація

Рис. 7. Лінії рівня функції (7)

Рис. 8. Лінії рівня функції (10)

Висновок

Наведений спосіб практичного застосування R-функцій дозволяє складати рівняння F(x,y) =0 зображень з елементами симетрії. До переваг способу слід віднести формалізацію побудови зображень.

Список літератури

1. Джерело: http://studentam.net.ua/content/view/5611/135/.

2. Джерело: http://deep.kiev.ua/~malvin/embroid/3.htm.

3. Фокина Л.В. Орнамент. Учебное пособие.-М., Феникс., 2005.- 172 с.

4. Козлов В. Н. Основы художественного оформления текстильных изделий. М.: 1981.

5. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наукова думка, 1982. 552 с.

6. Рвачев В.Л. Применение метода R-функций к построению уравнений локусов, обладающих симметрией / В.Л.Рвачев, В.Шапиро, Т.И.Шейко // Электромагнитные волны и электронные системы. 1999. Т. 4, № 4. С. 4-20.

7. Толок А.В. Построение симметричных функций для симметричных чертежей / А.В.Толок, Ю.С.Семерич, Т.И. Шейко // - Вісник Запорізького державного університету, 2001. № 2. - С. 1-16.

8. Соколова Т. Орнамент - почерк эпохи. Л.: «Аврора», 1972.

Размещено на Allbest.ru