Программный комплекс для мезоскопического моделирования течения сплошных сред в узких каналах с реальной микротопографией поверхностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Программный комплекс для мезоскопического моделирования течения сплошных сред в узких каналах с реальной микротопографией поверхностей

Д.Ю. Богомолов,

В.В. Порошин,

В.Ю. Радыгин

Аннотация

Рассмотрена программа для расчёта параметров потока сплошной среды в узких каналах со сложной микрогеометрией стенок. Достоверность разработанной программы и математической модели подтверждена экспериментальным сравнением с результатами, получаемыми в среде ANSYS. программа микрогеометрия модель

Ключевые слова: сплошная среда, узкий канал, мезоскопическое моделирование, течение, решеточное равнение Больцмана.

На сегодняшний день одной из наиболее актуальных задач в машиностроении, транспорте, энергетике, механике и других важнейших отраслях хозяйства является разработка новых методов мезоскопического анализа течения сплошной среды в каналах с заданной микрогеометрией неровностей стенок. Подобные течения происходят при эксплуатации неподвижных герметизируемых соединений различного назначения, в том числе в энергетических машинах, авиационной и космической технике и т.п. Аналогичные течения происходят в подвижных герметизируемых соединениях, входящих в конструкцию двигателей внутреннего сгорания, плунжерных насосов различных типов, в том числе глубинных и штанговых, компрессоров холодильных установок и т.д. Герметичность такого рода соединений во многом определяет эффективность работы перечисленных машин и устройств.

Изучение течений через каналы с заданной микротопографией неровностей поверхности стенок чрезвычайно актуально для создания эффективных систем охлаждения микромашин и микросистемной техники и, в перспективе, нанообъектов. В такого рода каналах определяющим фактором, влияющим на условия течения рабочих сред, является микро- и нанотопография поверхности их стенок. С этой точки зрения перспективным является исследование влияния реальной трехмерной микрогеометрии поверхности стенок каналов. Решение данной задачи представляет очевидный интерес как в России, так и за рубежом.

Основная математическая проблема, возникающая при анализе течений в канале с заданной микрогеометрией поверхности, связана со сложной трехмерной геометрией канала. Традиционные методы численного интегрирования уравнений Навье-Стокса показывают в таких каналах нестабильное поведение. Сходимость итерационных процессов существенно зависит от геометрии канала и в каждом конкретном случае требует индивидуального подбора сетки, разностной схемы, релаксационных коэффициентов и т.п.

В связи с этим в последние годы серьезное внимание уделяется разработке альтернативных подходов к моделированию течения сплошных сред в приближении Навье-Стокса, построенных на моделировании микровзаимодействий частиц. Такой подход обеспечивает автоматическое выполнение фундаментальных физических законов (сохранения массы, импульса и энергии), лежащих в основе уравнений Навье-Стокса [1].

Двухмерная мезоскопическая математическая модель течения сплошной среды в узких каналах. В связи с актуальностью вопроса о разработке альтернативных подходов к моделированию течения сплошных сред авторским коллективом разработана математическая модель течения в узких каналах на основе решёточного уравнения Больцмана. В основе данного подхода к моделированию лежит статистическое представление среды в канале в виде плотности распределения частиц по скоростям v в каждой точке в момент времени t. Если на каждую частицу действует удельная внешняя сила , то:

(1)

где - оператор столкновений. Поделив обе части уравнения (1) на получим уравнение Больцмана [2]:

.

Из известной плотности распределения частиц можно получить значения локальной плотности , средней скорости u и внутренней энергии e частиц [2]:

, ,

, (2)

,

где m - масса частицы.

Интегрирование в соотношениях (2) осуществляется по скорости по всем направлениям перемещения частиц. При изотермическом режиме течения закон сохранения внутренней энергии определяется условием постоянства температуры.

На сегодняшний день предложено большое число вариаций оператора столкновений . Для вязкой сплошной среды одно из наилучших приближений оператора столкновений предложили Бхатнагар, Гросс и Крук [3]. В своей работе они рассмотрели в качестве основной задачи оператора столкновений приведение плотности распределения в равновесное состояние или близкое к нему. Плотность распределения частиц в состоянии равновесия определяется распределением Максвелла - Больцмана [2]:

,

где n - количество частиц в узле (амплитуда распределения); и - энергетический параметр.

Для равновесной плотности распределения частиц верны следующие соотношения, полученные с использованием интегралов Гаусса [2]:

, , (3)

где , и - независимые параметры, характеризующие различные направления переноса частиц.

Простейшим способом аппроксимации оператора столкновений является релаксация по времени:

, (4)

где - скорость релаксации, определяемая средой; а - исправленная плотность распределения частиц.

С учетом выражения (4) уравнение Больцмана принимает вид [2]

.

При аппроксимации оператора столкновений по методу Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК) можно показать, что уравнение Больцмана становится эквивалентным системе уравнений Навье-Стокса [4].

Численное моделирование осуществляется посредством чередования двух фаз, изменяющих состояние потока на дискретной решетке: фазы переноса и фазы столкновения. Фаза переноса заключается в перемещении частиц в соседние ячейки по всем возможным направлениям. Частицы, оказавшиеся в результате переноса в одной и той же ячейке, принимают участие в фазе столкновения. За один шаг частица перемещается в выбранном направлении на один узел. В диагональном направлении частицы также перемещаются в соседний узел. Таким образом, скорость диагонального перемещения пропорционально выше скорости перемещения частиц в направлениях, параллельных осям решётки.

При переходе непосредственно к численной модели непрерывная плотность распределения частиц заменяется набором дискретных функций где нi - скорость частицы по i-му направлению из девяти возможных вариантов её перемещения по выбранной дискретной решетке. Для двухмерного мезоскопического моделирования в данной работе использовалась решётка D2Q9 [5], которая предполагает перемещение по 9 возможным направлениям со скоростями :

Уравнение Больцмана с БГК-аппроксимацией оператора столкновений (4) принимает вид

,

,

где - шаг по времени; - дискретная скорость релаксации; - пространственный шаг решётки. Дискретная скорость релаксации определяется вязкостью.

где - сеточная скорость звука.

Фаза переноса рассчитывается на основе следующего выражения:

При условии постоянства температуры плотность распределения частиц по скоростям в состоянии равновесия будет равна [2]

,

где wi - весовые коэффициенты [5].

Локальная плотность и локальные скорости в дискретном пространстве вычисляются исходя из законов сохранения масс и моментов:

, , .

При задании граничных условий в вычислительной схеме решеточного уравнения Больцмана граничные условия, выраженные в макроскопических терминах, должны быть перенесены на микроуровень в виде функции распределения скоростей на границах.

На твердой границе канала предложено использовать схему "bounce-back": граница расположена на половине пути между граничным узлом и соседним с ним узлом жидкости. Попадающие на границу частицы симметрично отражаются в противоположном направлении [6]:

,

где индекс соответствует направлению, обратному перемещению частиц с индексом i; - пространственная координата границы.

При моделировании открытых границ канала на входе в канал предложено задавать фиксированный поток сплошной среды [7]:

,

где - пространственная координата входа в канал.

На выходе из канала задаётся мягкое граничное условие, обеспечивающее выполнение закона сохранения импульса:

,

где - пространственная координата выхода из канала; - пространственная координата ближайшего к выходу из канала узла сетки.

Численное моделирование течения среды на основе вычислительной схемы решеточного уравнения Больцмана позволяет получить дискретное представление гидродинамических моментов в узлах решётки, что позволяет определить для каждого них значения локальной плотности и локальной скорости (3). Объемные утечки Qx в трехмерном канале с неровными стенками определяются путем интегрирования горизонтальной составляющей локальной скорости по выходному сечению канала:

,

где - ширина канала; и - количество разбиений модельной сетки вдоль осей и соответственно; - горизонтальная компонента скорости в ячейке решётки с координатами .

Сопоставление результатов мезоскопического моделирования течения жидких и газообразных сред в узких каналах с заданной микротопографией стенок с результатами конечноэлементного моделирования в среде ANSYS. Для моделирования течения жидких и газообразных сред с помощью вычислительной схемы, основанной на решёточном уравнении Больцмана, была разработана программа MsiuRoughFlow2D. Она позволяет задавать в двухмерном виде микрогеометрию стенок канала посредством загрузки двух профилей поверхностей в формате TRC [8]. Программа содержит набор средств для анализа результатов моделирования, в том числе интерфейсы отображения полей и проекций давлений, плотности и компонент скорости.

Достоверность результатов, получаемых при помощи разработанных математической модели и программы, оценивалась посредством сравнительного анализа с результатами, полученными при помощи конечноэлементного моделирования в вычислительной среде ANSYS. Моделирование в среде ANSYS осуществлялось непосредственным программированием на встроенном в данную среду программном языке APDL.

Конвертация геометрических данных канала из формата TRC в формат среды ANSYS осуществлялась посредством специальной программы-конвертора. Для моделирования в среде ANSYS использовался пакет ANSYS FLOTRAN.

Первоначальное сравнение результатов расчёта параметров потока на основе мезоскопического моделирования и результатов расчёта параметров потока, полученных с помощью конечноэлементного моделирования в среде ANSYS, осуществлялось на основе канала с модельной шероховатостью стенок. Причём одна из стенок бралась ровной, а геометрия второй (верхней) задавалась в виде регулярной шероховатости с выступами треугольной формы.

Геометрические размеры канала задавались следующим образом: ширина - 0,8 мм, длина - 0,8 мм, средний зазор 2,02 мкм.

В качестве рабочей среды рассматривалась вода при температуре 20 С. Её физические характеристики при таких условиях следующие: плотность = 1000 кг/м 3, молекулярная масса M = 18,01528 г/моль, динамическая вязкость µ = 0,00101 Па•с. Граничные условия задавались в виде перепада давлений. На входе в канал бралось давление 10 кПа, а на выходе - 0 Па. Для построения модели использовалась решётка размерностью 3001 на 19.

Результаты мезоскопического моделирования течения для канала с регулярной шероховатостью, полученные с помощью программы MsiuRoughFlow2D, показаны на рис. 1 и 2. Результаты конечноэлементного моделирования течения для канала с регулярной шероховатостью, полученные в среде ANSYS, показаны на рис. 3 и 4.

Рис. 1. Распределение давлений в канале с моделированной регулярной шероховатостью, полученное в программе MsiuRoughFlow2D

Рис. 2. Поле горизонтальной компоненты скорости в канале с моделированной регулярной шероховатостью, полученное в программе "MsiuRoughFlow2D"

Рис. 3. Распределение давлений в канале с моделированной регулярной шероховатостью, полученное в среде ANSYS: (общий вид всего канала)

Рис. 4. Поле горизонтальной компоненты скорости в канале с моделированной регулярной шероховатостью, полученное в среде ANSYS (укрупнённый завершающий участок канала)

Как видно из рис. 1 и 3, при обоих способах моделирования наблюдается равномерное снижение давления на всём протяжении канала от максимального значения на входе до минимального на выходе. В местах сужения канала заметно локальное падение давления. В горизонтальном направлении изменения давления пренебрежительно малы. Чёрные квадраты в районе треугольных выступов на карте давлений, полученной с помощью программы MsiuRoughFlow2D, объясняются слишком крупной решёткой по оси OY и усреднением при отображении на экран. При дроблении сетки и увеличении качества выводимого изображения данные квадраты становятся пренебрежительно малыми.

На рис. 2 и 4 показаны поля горизонтальной компоненты скорости, полученные в программе MsiuRoughFlow2D и среде ANSYS соответственно. Оба варианта расчёта демонстрируют одинаковую картину изменения скорости в направлении оси OX. В местах сужения (около вершин треугольников) горизонтальная компонента скорости возрастает. Кроме того, она также незначительно возрастает в центральной зоне канала по мере удаления от его стенок. Тем не менее порядок роста горизонтальной компоненты скорости в центральной зоне значительно меньше порядка роста скорости в местах сужения канала.

В качестве второй модели, используемой для сравнительного анализа, был выбран канал, верхняя стенка которого обработана шлифованием, а нижняя ровная. Геометрические размеры канала задавались следующим образом: ширина 0,8 мм, длина 0,8 мм, средний зазор 2,4368 мкм. Результаты мезоскопического моделирования для канала, верхняя стенка которого обработана шлифованием, а нижняя ровная, с помощью программы MsiuRoughFlow2D показаны на рис. 5 и 6. Результаты конечно-элементного моделирования для канала, верхняя стенка которого обработана шлифованием, а нижняя ровная, в среде ANSYS показаны на рис. 7 и 8.

Рис. 5. Распределение давлений в канале с верхней стенкой, обработанной шлифованием, полученное в программе MsiuRoughFlow2D

Рис. 6. Поле горизонтальной компоненты скорости в канале с верхней стенкой, обработанной шлифованием, полученное в программе MsiuRoughFlow2D

Рис. 7. Распределение давлений в канале с верхней стенкой, обработанной шлифованием, полученное в среде ANSYS: (общий вид всего канала)

Рис. 8. Поле горизонтальной компоненты скорости в канале с верхней стенкой, обработанной шлифованием, полученное в среде ANSYS (укрупнённый завершающий участок канала)

Как и в канале с регулярной шероховатостью, полученные результаты характеризуются равномерным снижением давления по длине канала и локальным падением давления в местах сужения канала (рис. 5 и 7). Характер распределения горизонтальной компоненты скорости в канале с верхней стенкой, обработанной шлифованием, повторяет характер её распределения в канале с регулярной шероховатостью (рис. 6 и 8). И ANSYS, и программа MsiuRoughFlow2D демонстрируют одинаковую картину изменения скорости в направлении оси OX. В местах сужения (около вершин треугольников) горизонтальная компонента скорости возрастает. В центральной зоне канала скорость незначительно возрастает.

Отличие между моделью канала с регулярной шероховатостью и моделью канала с верхней стенкой, обработанной шлифованием, заключается в максимальной достигаемой горизонтальной компоненте скорости. Во втором случае её абсолютное значение выше.

Таким образом, показана высокая степень совпадения результатов конечно-элементного моделирования в среде ANSYS и мезоскопического моделирования с помощью программы MsiuRoughFlow2D. Достоверность разработанной математической модели подтверждена как при работе с модельной регулярной шероховатостью поверхности, так и при работе с реальной микрогеометрией, полученной в результате обработки шлифованием.

Проведённые численные эксперименты показали возможность применения разработанной математической модели течения сплошной среды для решения задач со сложной микротопографией рабочих поверхностей каналов. Достоверность результатов, получаемых с помощью мезоскопического моделирования и разработанной программы, подтверждена сравнением с результатами, полученными конечноэлементным моделированием в среде ANSYS. По сравнению с широко применяемыми на сегодняшний день вычислительными схемами на базе приближения Рейнольдса разработанная модель позволяет получить более точную оценку величины утечек рабочей среды герметизирующих или управляющих потоком устройств для широкой номенклатуры гидравлических и газодинамических узлов изделий машиностроения.

Список литературы

1. Wolf-Gladrow, D.A. Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice-Boltzmann Models / D.A. Wolf-Gladrow - Springer, 2000. - P. 274.

2. Wagner, A.J. A Practical Introduction to the Lattice Boltzmann Method / A.J. Wagner - North Dakota State University, 2008. - P. 46.

3. Bhatnagar, P.L. A Model for Collision Processes in Gases. I. Small Amplitude Processes in Charged and Neutral One-Component Systems / P.L. Bhatnagar, E.P. Gross, M. Krook // Phys. Rev. - 1954. - Vol. 94. - № 3. - P. 511-525.

4. Богомолов, Д.Ю. Мезоскопическое моделирование течения сплошной среды в узких каналах с учётом шероховатости их поверхностей / Д.Ю. Богомолов, В.Ю. Радыгин, В.В. Порошин // Машиностроение и инженерное образование. - 2011. - №2. - С.58-66.

5. Yu, D. Viscous Flow Computations with the Lattice Boltzmann Equation Method: PhD dissertation / D. Yu - University of Florida, 2002. - 172 p.

6. Inamuro, T. A Non-Slip Boundary Condition for Lattice Boltzmann Simulations / T. Inamuro, M. Yoshino, F. Ogino // Phys. Fluids. - 1995. - Vol. 7. - № 12. - P. 2928-2930.

7. Behrend, Q. Solid-Fluid Boundaries in Particle Suspension Simulation via the Lattice Boltzmann Method / Q. Behrend // Phys. Rev. - 1995. - Vol. 52. - № 1. - P. 1164-1175.

8. Порошин, В.В. Малогабаритный аппаратно-программный комплекс для измерения шероховатости поверхности на базе цехового профилометра Hommel Tester T500 / В.В. Порошин, Д.Ю. Богомолов, А.Г. Костюк, И.Б. Руденко // Приборы. - 2006. - №10. - С 38-41.

Размещено на Allbest.ru