Численные методы решения инженерных задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Численные методы решения инженерных задач

1. Решить уравнение , единственный, с точностью до 0,001 методами:

- проб;

- хорд;

- касательных.

Решение.

- Методом проб/ половинного деления.

Для начала построим график заданной функции и выберем интервал [a, b], на котором будем находить решение:

Таблица точек для y(x) =

x	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9	-10
y	977	709	495	329	205	117	59	25	9	5	7	9	5	-11	-45	-103	-191	-315	-481	-695	-963

Найдем минимум функции: x3-3x+7 = 0

Используем для этого метод половинного деления (метод дихотомии).

x = (-2.42+-2.39)/2 = -2.405

Положим a1 = a, b1 = b. Вычислим x11 = x - д, x12 = x + д.

Вычислим f(x11) = 0.29006059, f(x12) = 0.31876474

Итерация №1.

Поскольку f(x11) < f(x12), то b2 = -2.404, a2 = a1, x22 = -2.406

f(x21) = 0.1891, f(x22) = 0.2901

Итерация №2.

Поскольку f(x21) < f(x22), то b3 = -2.406, a3 = a2, x32 = -2.413

f(x31) = 0.1747, f(x32) = 0.1891

Итерация №3.

Поскольку f(x31) < f(x32), то b4 = -2.413, a4 = a3, x42 = -2.414

f(x41) = 0.1239, f(x42) = 0.1747

Итерация №4.

Поскольку f(x41) < f(x42), то b5 = -2.414, a5 = a4, x52 = -2.4175

f(x51) = 0.1166, f(x52) = 0.1239.

Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	an	bn	bn-an	xn1	xn2	F(xn1)	F(xn2)
1	-2.42	-2.39	-2.405	-2.406	-2.404	0.2901	0.3188
2	-2.42	-2.404	0.016	-2.413	-2.406	0.1891	0.2901
3	-2.42	-2.406	0.014	-2.414	-2.413	0.1747	0.1891
4	-2.42	-2.413	0.007	-2.4175	-2.414	0.1239	0.1747
5	-2.42	-2.414	0.006	-2.418	-2.4175	0.1166	0.1239
6	-2.42	-2.4175	0.0025	-2.4198	-2.418	0.09115	0.1166
7	-2.42	-2.418	0.002	-2.42	-2.4198	0.08751	0.09115
8	-2.42	-2.4198	0.00025	-2.4209	-2.42	0.07476	0.08751

Находим x как середину интервала [a,b]:

x=(-2.41975-2.42)/2 = -2.419875.

Ответ: x = -2.419875; F(x) = 0.08933304.

- Методом хорд.

Снова выберем интервал [a, b], на котором будем находить решение.

Т.к. f (1) = 5 ? 0 и f (-3) = -11 ? 0, то искомый корень ? лежит в интервале (1,-3). Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Т.к. f (0,5) ? 6 ? 0, то -3 ? ? ? 0,5. Применяя

, где

будем иметь:

f (x2) = 7,1

f (x3) = 5,16

Т.к. f '(x) = 3x2 -3 и при , имеем . f '(x) = , то можно применять

0

Таким образом,

Итак, точный корень уравнения есть .

Ответ:.

- Методом касательных.

Найдем минимум функции x3-3x+7 = 0 методом касательных/ Ньютона.

Находим первую производную: dF/dx = 3x2-3

Находим вторую производную: d2F/dx2 = 6x

Находим третью производную: d3F/dx3 = 6

Решение.

Вычисляем значения функций в точке a = 1.

F'(1) = 0

F'''(1) = 6

Поскольку F'(a)*F'''(a) < 0, то x0 = b = -3

Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F'(x)	F''(x)	h = f'(x) / f''(x)	|f'(x)|

Ответ: x = 0 - 0 / 0 = 1; F(x) = 5

2. Вычислить систему уравнений методами:

- обратной матрицы;

- Гаусса;

- Жордана - Гаусса;

- простых итераций.

Решение.

- Методом обратной матрицы.

Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X1 - n не будет равен нулю. Посчитаем этот определитель. Если он равен нулю, то система не будет иметь однозначного, единственного решения и программа не будет решать дальше и выдаст сообщение об ошибке. Если определитель не равен нулю, то будем решать дальше методом обратной матрицы.

Записанную Вами систему можно представить в виде произведения матриц:

A Ч X = B, где X - матрица, содержащая искомые Вами решения системы уравнений.

Найдем матрицу, обратную матрице A, как известно - А-1 Ч A = E, где Е - единичная матрица (квадратная матрица с единицами на главной диагонали), эквивалент '1' в матричном исчислении.

Домножим обе части уравнения слева на А-1.

А-1 Ч A Ч X = А-1 Ч B.

Е Ч X = А-1 Ч B.

X = А-1 Ч B.

Условие:

20N+15,1x 1	+ 3N+4x 2	+ 5N+7x 3	= 30N+29,1
x 1	+ 10,5+Nx 2		= 2N+1,02
		+ 16+4Nx 3	= 9N+30,1

Теперь решение:

Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его.

Согласно описанному выше методу необходимо найти матрицу, обратную матрице, составленной из коэффициентов при элементах X1 - n. Для этого достроим главный определитель единичной квадратной матрицей того же порядка справа и последовательно, при помощи элементарных преобразований перенесем единичную квадратную матрицу справа налево. Квадратная матрица, получившаяся при этом справа и будет обратной к главной. Затем домножим обратную матрицу на матрицу В (значения находящие за знаком равенства) и получим матрицу решений.

Достраиваем единичную матрицу справа.

Найдем обратную матрицу.

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.



Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1. Квадратная матрица, получившаяся правее единичной и есть обратная к главной.

Умножение обратной матрицы (матрицы - А-1) на матрицу значений за знаком равенства (матрицу - В).



Ответ: x 1 = 1.35

x 2 = 0.07

x 3 = 0.56

3. Вычислить дифференциальное уравнение методом Эйлера на заданном отрезке:

, y(1) = 2, [1:2], n = 10, n = 20.

Решение.

Найдем общее решение уравнения .

Представим исходное дифференциальное уравнение в виде:

2 x - dx = -y2 dy

Интегрируя обе части, получим:

n+x2-x = -y3/3,

или x2-x-y3/3 = n

4. Вычислить определенный интеграл методами:

- прямоугольников;

- трапеций;

- Симпсона:

n = 10, n = 20.

Решение.

- Методом прямоугольников.

Для n = 10.

Разобьем отрезок [0; 0,5] на 10 частей. Тогда

численный решение уравнение инженерный

,571

По формуле

, имеем:

.

Для n = 20.

Разобьем отрезок [0; 0,5] на 20 частей. Тогда

,125

,245

,874

По формуле

, имеем:

Аналогично, как и в методе трапеций, на чем большее количество промежутков делится отрезок [a;b], тем точнее результат (т.е. при n = 20 результат точнее, чем при n = 10).

- Методом трапеций.

При n = 10.

Разобьем промежуток интегрирования [0;0,5] на n частей (n=10) с числом h = 0,05.

Абсцисса точек деления и соответствующие им ординаты

Приведены в таблице, причем ординаты умножены на множитель такой, что при i = 0 и i = 10, и при i = 1, 2, …,9.

i	xi	yi
0	0	-1
1	0,05	-2,008
2	0,1	-2,03
3	0,15	-2,069
4	0,2	-2,125
5	0,25	-2,200
6	0,3	-2,298
7	0,35	-2,419
8	0,4	-2,571
9	0,45	-2,762
10	0,5	-1,500
	?	-22,981

По формуле

где при i = 0 и i = 10, и при i = 1, 2, …,n-1.

или - формула трапеций.

имеем: .

При n = 20.

Разобьем промежуток интегрирования [0;0,5] на n частей (n=20) с числом h = 0,025.

i	xi	yi
0	0	-1
1	0,025	-2,002
2	0,05	-2,008
3	0,075	-2,017
4	0,1	-2,030
5	0,125	-2,048
6	0,15	-2,069
7	0,175	-2,095
8	0,2	-2,125
9	0,225	-2,160
10	0,25	-2,200
11	0,275	-2,245
12	0,3	-2,297
13	0,325	-2,351
14	0,35	-2,419
15	0,375	-2,491
16	0,4	-2,571
17	0,425	-2,661
18	0,45	-2,762
19	0,475	-2,874
20	0,5	-1,5
	?	-45,9272

При формуле трапеций имеем:

Итак, чем больше разделение промежутка на n частей, тем точнее результат (т.е. при n = 20 результат точнее, чем при n = 10).

- Методом Симпсона. При n = 10.

Разобьем отрезок [0; 0,5] на n = 2m число отрезков, где m = 5, длиной

.

Будем использовать формулу Симпсона:

=(-5-45,828-18,046)=.

При n = 20.

Теперь отрезок [0; 0,5] делится на n = 2m (n = 20) частей, где m = 10, длиной . Будем использовать ту же формулу Симпсона. Вычислим .

	,200
	,245
	,297
	,354
	,419
	,491
	,571
	,661
	,762

+2

Также делается вывод о том, что чем больше n (n = 10 и n = 20)

Размещено на Allbest.ru