Комп’ютеризований аналіз функцій і рівнянь з параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Комп'ютеризований аналіз функцій і рівнянь з параметрами

В статті розглядаються питання, що стосуються комп'ютеризованого аналізу функцій і рівнянь з параметрами. Виконання таких досліджень значно поглиблює і розширює знання учнів з математики.

Ключові слова. Комп'ютеризований аналіз, функції і рівняння з параметрами, Gran 1.

Різноманітним застосування сучасних інформаційно-комунікаційних технологій в процесі навчання математики сьогодні присвячується значна кількість досліджень багатьох авторів, зокрема С.Я. Деканова, М.І. Жалдака, В.І. Клочка, О.М Кривоноса, М.П. Лапчика, Б.М. Ляшенка, Г.О. Михаліна, С.А. Ракова, Ю.С. Рамського, С.О. Семерікова, Ю.В. Триуса, С.В. Щербатих та ін.

Разом з тим залишається ще досить багато тем, особливо які стосуються функцій і рівнянь та нерівностей з параметрами, які ще не повністю досліджені і розкриті. Найчастіше це стосується задач, які неможливо розв'язати аналітично, і для відшукання принаймні наближених чисельних чи графічних розв'язків яких потрібно проводити відповідний комп'ютеризований аналіз залежностей між змінними, через які задаються умови задачі. Зрозуміло, що в процесі комп'ютеризованого аналізу таких задач розвивається аналітичне та синтетичне мислення учнів, дослідницькі вміння і навички, значно підвищується їхня пізнавальна активність, навчально-пізнавальна діяльність стає більш привабливою, мотивованою, за рахунок чого помітно інтенсифікується, що приводить до відчутних позитивних зрушень в навчальних досягненнях.

Слід зауважити, що виконання таких досліджень вимагає досить грунтовної математичної підготовки учнів, з одного боку, а з іншого значно поглиблює і розширює їхні знання з математики, зміцнює фундамент їхньої математичної підготовки, що дає їм можливість значно посилити свій інтелектуальний потенціал, здатність розкривати причинно-наслідкові зв'язки різноманітних явищ.

Разом з тим важливо підкреслити, що використання комп'ютера в навчальному процесі має бути педагогічно виваженим, не лише не послаблювати, а, навпаки, значно підсилювати мислительні операції учнів, аналіз, синтез, порівняння, аналогії, що пов'язані з досліджуваними явищами, висування відповідних гіпотез та їх підтвердження чи спростування, що часто призводить до відповідних здогадок, «осяяння», «ага-моментів», залежних лише від глибини осмислення досліджуваних явищ, мисленного проникнення в їх сутність, перетворення значної кількості проведених спостережень і накопичених фактів в їх сутнісне узагальнення, синтез узагальнюючих висновків та їх обгрунтувань, виявлення узагальнених закономірностей, яким задовільняють спостережені явища, і в такий спосіб переведення великої кількості спостережених фактів в їх якісне узагальнення.

Наведемо один із прикладів комп'ютеризованого аналізу трансцендентного рівняння із змінним параметром. Нехай потрібно з'ясувати, скільки розв'язків є у рівняння a^x = log _а x, де а - змінний параметр, а > 0 .

Запропонувати будь-який підхід для відшукання аналітичного розв'язку цього трансцендентного рівняння не вдається.

Оскільки у виразах, з яких складено рівняння, міститься змінний параметр а , звернемось до послуг програми Granl, в якій передбачено побудова графіків функцій, до виразів яких входять змінні параметри, і будемо відшукувати розв'язки розглядуваного рівняння за різних значень параметра а графічним способом.

Враховуючи, що функції f (x) = а^х та f₂ (x) = log _ax взаємно обернені і що графіки цих функцій взаємно симетричні відносно графіка прямої y = f (x) = x, проаналізуємо особливості розташування графіків цих трьох функцій У = ^{f (x),} У = f₂ (x), У = f₃ (x) один відносно одного за різних значень параметра а, скориставшись послугами програми Gran1.

Перепозначимо параметр а через P1. Задавши у допоміжному вікні «Список об'єктів» тип залежності між змінними X та Y «Явна», тричі звернемось до послуги «Об'єкт/Створити» і введемо у допоміжному вікні «Введення виразу залежності», що з'явиться в разі звернення до послуги «Об'єкт/Створити», відповідно три вирази Y(X) = P1 л X, Y (X) = log (PI ,X), Y(X) = X, щоразу «натискуючи» кнопку Ок після закінчення введення кожного окремого виразу. В разі необхідності можна встановити допоміжні налаштування - «Товщина лінії», якою буде зображуватись графік відповідної функції, межі відрізка, на якому розглядатиметься залежність між змінними X і Y, кількість точок побудови графіка на заданому відрізку, будувати графік поточково чи з'єднувати отримані точки відрізками прямих, будувати графік чи ні (для чого необхідно встановити необхідні відмітки відповідно у віконцях «Графік точками» та «Будувати графік»).

Задавши межі та величину кроку h зміни параметра P1 (наприклад min = -5, max = 5, h = 0.1), для чого слід скористатись панеллю введення даних, розташованою вгорі одразу під вікном, в якому вказано тип залежності між змінними X та Y (в розглядуваному випадку «Явна: Y = Y(X)) (див. Рис. 1), покладемо спочатку значення параметра P1 рівним 2 (скориставшись тією самою панеллю введення даних), і далі звернемось до послуги «Графік/Побудувати». В результаті отримаємо графіки введення функцій відповідно до заданих меж відрізка задання залежностей і значення параметра P1 (див. Рис.1).

Якщо тепер змінювати значення параметра P1 із заданим кроком h , для чого слід, задавши межі min і max зміни параметра P1 та величину кроку h зміни параметра P1 , відповідним чином зміщувати повзунець, розташований одразу під написами «Min», «Max = », « h » (для збільшення значення параметра повзунець необхідно зміщувати вправо, встановивши курсор мишки на стрілочку праворуч від повзунця та натискуючи ліву клавішу мишки; для зменшення значення параметра повзунець аналогічним чином слід зміщувати вліво, встановивши курсор мишки на стрілочку ліворуч від повзунця), тоді відповідним чином автоматично перебудовуються графіки всіх функцій, до виразів яких входить вказаний параметр.

В розглядуваному випадку із збільшенням параметра P1 , починаючи від значення 2, графіки функцій Y = P1 л X, Y = log (P1 ,X), показаних на Рис.1, будуть віддалятися один від одного. Отже, за умови а > 2 рівняння a^x = log _а x розв'язків не матиме.

Рис.1

інформаційний навчання математика

Якщо ж, починаючи від значення 2 (чи більшого) поступово зменшувати значення параметра P1, тоді графіки функцій Y = P1 л X, Y = log (P1 ,X) поступово наближатимуться один до одного і коли P1 набуде значення P1«1.4447 , на графіках функцій Y = P1 л X, Y = log (Pi,X), Y = X буде одна спільна точка з координатами X « 2.72, Y = 2.72 (див. Рис.2).

На основі аналізу результатів наведеного комп'ютеризованого експерименту виникає гіпотеза, що 1,4447 - це наближене значення виразу e^e, а 2,72 - наближене значення числа e , де e - основа натуральних логарифмів. Справді, звернувшись до послуги «Калькулятор» (в меню «Операції») програми «Gran!», знаходимо EXP(1)« 2.71828 , EXP(1/EXP(1))« 1.44467 .

Рис.2

Таким чином в точці x = e функція f'(x) набуває значення 0 і зліва від точки x = e в досить малому її околі функція f'(x) набуває від'ємних значень, а правіше від точки x = e в досить малому її околі функції f' (x) набуває додатних значень. Звідси слідує, що в досить малому околі точки x = e функція f (x) = (e^e)^x -- log ₁ x набуває єдиного мінімального значення (локального мінімуму), рівного нулеві - f (e) = (e^e)^e -- log ₁ e = 0.

Продовжуючи експеримент, поступово зменшуючи параметр P1, приходимо до висновку, що коли значення параметра P1 знаходиться в межах від 1 до 1,4447, тобто 1 <P1 < 1.4447«e^e , графіки функцій y = f (x) = a^x та y = f₂ (x) = log _a x, за умови 1 < a < e^e, (a = P1), перетинатимуться в двох точках, які лежатимуть на прямій y = x (див. Рис. 3).

Рис.3

Із зменшенням значення параметра P1 від 1.4447 « e^e і наближенням його зверху до 1 одна із цих двох точок необмежено віддаляється вздовж прямої y = x від початку координат, а інша наближається (зверху) до точки (1,1), а графіки функції y = f₁(x) = a^x, y = f₂ (x) = log _ax із наближенням а зверху до 1 поступово наближаються до графіків прямих у = 1 (горизонтальної прямої) та х = 1 (вертикальної прямої), оскільки 1^х = 1 за довільного х, 1^у = 1 за задовільного у (значення у = log j х невизначене і вираз log j х має зміст лише тоді, коли х = 1 і крім того у = log _а х означає х = а^у , тобто коли а = 1, то х = 1^у = 1) (див. Рис. 4)

Рис.4

Продовжуючи зменшувати параметр P1, отримуємо що для значень а = P1, менших за 1, але не менших за 0,066 графіки функцій у = f (х) = а^х та у = f₂ (х) = log _а х перетинаються в одні точці, яка лежить на прямій у = х (див. Рис. 5, Рис. 6).

Рис.5

Рис.6

Коли параметр a = P1 набуває значень менших від 0,066, тоді графіки функцій у = f (х) = a^xта у = f₂ (х) = log _ax перетинаються в трьох точках, одна з яких лежить на прямій у = х, а дві інші симетричні відносно цієї прямої (див. Рис. 7)

Рис.7

Рис.8

Рис.9

В разі, коли a = e^e «1.4447, функцію f (х) = a^x -- log a^x було проаналізовано вище і показано, що найменшого значення, рівного нулеві, ця функція набуває в тоці x = e. Графік такої функції подано на Рис. 9.

Коли значення а знаходиться в межах (1; 1.4447), тобто 1 < a < 1.4447, графік функції y = f (x) = a^x -- log_a x перетинається з віссю Ox двох точках (див. Рис. 10), причому із наближенням значення a до 1 права точка перетину графіка функії y = f(x) = a^x -- log_a x з віссю Ox необмежено віддалаяється вправо, а ліва наближається до точки x = 1.

Рис.10

Коли a = 1, тоді значення функції y = f (x) = a^x = log _a x стає невизначеним, окрім точки x = 1, в якій f (1) = 1 -- log^ = 1 -- 1 = 0.

Рис.11

Рис.12

За умови е-- < а < 1 графік функції y = a^x - log _а x перетинається з віссю Ox в одній точці (див. Рис. 11, Рис. 12).

Коли значення парметра а буде знаходитись в межах (0; 0.066), тобто задовольняється умова 0 < а < e~^е « 0.066, тоді графік функції У = ^f (^x) = a^x - log_a x перетинається з віссю Ox в трьох точках (див. Рис 13), найправіша з яких із наближенням значення параметра а до нуля наближається до точки x = 1, а найліпша - до точки x = 0, середня - до точки x « 0.141 . ¹

Рис.13

Рис.14

Рис.15

Рис.16

Рис.17

Список використаних джерел

1.Іващенко А. А. Розв'язування задач з параметрами за допомогою комп'ютера / А. А. Іващенко // Комп'ютер у школі та сім'ї : наук.-метод. журн. - 2015. - № 2. - С. 25-30.

2.Біляй І. М. Використання педагогічного програмного засобу Gran 1 у процесі вивчення деяких понять стохастики [Електронний ресурс] / І. М. Біляй // Інформаційні технології і засоби навчання. - 2015. - Том 49, №5. - С. 134-151.

3.Прокофьев А. А. Задачи с параметрами. Учебное пособие. - М.:МИЭТ, 2004. - 256с.

4.Ляшенко Б. М., Кривонос О. М., Вакалюк Т. А. Методи обчислень. - Житомир. ЖДУ імені І. Франка. 2014. - 228с.

5.М. І. Жалдак, Ю. В. Горошко, Є. Ф. Вінниченко. Математика з комп'ютером. - Київ. НПУ імені М.П. Драгоманова. 2015. -312с.

Размещено на Allbest.ru