Компьютерные методы анализа линейных динамических систем

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Актуальность темы. Распространение персональных вычислительных машин приводит к появлению новых компьютерных методов анализа и обработки информации. Этому в немалой степени способствует становление известных в мировой практике пакетов численного анализа, символьных вычислений, структурного моделирования MATLAB, Maple и др. Последнее время возрастает влияние сетевых технологий, способствующих распространению и накоплению знаний. Компьютер становится существенной частью научного исследования, выполняя многочисленные задачи анализа и синтеза систем, включая визуализацию результатов научного эксперимента. Все это сказывается, в свою очередь, на теории и методах обработки информации, куда проникают подходы, сложившиеся на основе обширной вычислительной практики.

В диссертации рассматривается направление, связанное с так называемым ганкелевым экспериментом над объектом моделирования, когда время подачи воздействия на динамическую систему и наблюдение реакции на него разделены. При этом, благодаря вычислительному устройству легко выполняются некоторые необходимые манипуляции с накапливаемыми выборками сигналов, такие, как инверия выборки реакции во времени и выработка нового управляющего сигнала на основе нормирования полученной выборки. Теоретическое обоснование целесообразности ганкелевых экспериментов возникло ввиду последовательного развития теории динамических систем в девяностых годах на базе изучения ганкелева оператора и его применений. Такие понятия, как ганкелева норма передаточной функции, ганкелевы сингулярные числа и др. широко используются ныне при решении задач аппроксимации и редукции, при синтезе робастных систем управления методами -теории, при решении задач идентификации моделей динамических систем. Численные алгоритмы вычисления ганкелевой нормы передаточной функции, ганкелевых чисел, ганкелевых функции, канонической формы Мура и другие реализованы в широко распространенной системе MATLAB.

В теории ганкелева эксперимента бесконечный интервал времени заменяется конечным, причем входной или выходной сигнал рассматриваются в инверсном времени. В таком случае удается учесть не только ограничение на интервал времени, но и использовать аппарат соответствующих собственных функций. Собственные и сингулярные функции ганкелева оператора находятся распространенными пакетами математического моделирования, такими, как MATLAB, при известном математическом описании объекта. В то же время для практики (в особенности, в условиях натурного эксперимента) типична ситуация, когда математическое описание реального объекта известно недостоверно, либо вообще неизвестно. Тем самым, математическая теория развита в относительно узких пределах постановки ганкелева эксперимента с объектом - даже небольшие условия изменения его приводят к тому, что существующий математический аппарат становится непригодным и требуется создать более детальное математическое описание.

Указанными обстоятельствами определяется актуальность разработки новых подходов, позволяющих систематизировать и исследовать возникающие при этом достаточно сложные математические задачи, дать на основе новых математических моделей рекомендации к проведению натурных экспериментов с односвязными или многосвязными динамическими объектами.

Цель исследования. Целью настоящей диссертационной работы, соответственно, является обобщение известных компьютерных методов анализа линейных динамических систем с выработкой новых теоретических подходов, формирование существенно новых методов, алгоритмов и реализующего их программного обеспечения. Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

Расширение и систематизация состава линейных операторов, близких к ганкелевому, на основе признаков их симметрий.

Разработка аналитических и численных методов поиска собственных и сингулярных чисел и собственных и сингулярных функций выделенных систематизированных операторов динамических систем.

Выявление связи классических частотных характеристик динамических систем с собственными или сингулярными числами математических моделей динамических систем на ограниченном интервале времени.

Исследование возможности поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций для односвязных и многосвязных динамических систем в процессе натурного эксперимента с объектом при неизвестном математическом описании объекта.

Разработка новых численных методов идентификации динамических систем, в том числе, на основе ганкелевых, собственных и сингулярных функций.

Разработка современных методов анализа и синтеза адаптивных систем и визуализации научного эксперимента с целью повышения качества исследований.

Методы исследования. При исследовании аналитических моделей собственных и сингулярных функций динамических систем в работе использованы матричные методы, методы вариационного исчисления, методы анализа динамических систем в частотной области. При разработке алгоритмов и методов идентификации используются численные методы линейной алгебры.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность результатов исследований обеспечиваются корректностью применяемого математического аппарата, использованием нескольких независимых подходов к изучаемым вопросам, включая аналитические и численные методы с апробацией итогов проведенной работы в научных журналах и на международных конференциях.

Научные результаты, выносимые на защиту.

1. Проведено исследование математических моделей экспериментов, близких к ганкелевому, и проведена систематизация соответствующих ассоциированных с динамической системой обобщенных операторов на основе признаков симметрий.

2. Предложен флип-метод поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени.

3. Разработаны матричные численные методы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем.

4. Разработан частотный метод поиска собственных и сингулярных чисел и функций динамических систем с использованием частотной модели флип-оператора. Получены аналитические выражения для характеристических уравнений, собственных и сингулярных функций элементарных звеньев (интегратора, апериодического звена, колебательного звена и прочих).

5. Показана связь классических частотных характеристик динамических систем с собственными или сингулярными числами математических динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени.

6. Построены алгоритмы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем в процессе натурного эксперимента с объектом.

7. Разработаны численные методы идентификации динамических систем на основе ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем.

Научная новизна работы.

В диссертации существенно расширен состав компьютерных экспериментов, сходных с ганкелевым. Учитывается также, что математическая модель линейного динамического объекта может быть известна недостоверно. Использование существующего математического аппарата и программного обеспечения в таких случаях затруднено или невозможно. Все выносимые на защиту положения нацелены на преодоление отмеченных сложностей и имеют научную новизну.

Практическая ценность и реализация. Предлагаемая методология имеет широкую сферу практического применения при решении задач технической диагностики и идентификации динамических объектов различных классов. Она позволяет существенно повысить эффективность проведения научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ. Практическая ценность результатов работы состоит в их реализации в виде современных компьютерных инструментальных средств: специализированного пакета VISUAL MATLAB и пакета MALAB он-лайн для решения научно-исследовательских задач в сети, опубликованных на сайтах Exponenta.ru (дистрибутора MATLAB в России), EqWorld (Мир математических уравнений). Сопровождающий пакет научно-образовательный портал artspb.com внесен в реестр федеральных порталов на сайте Министерства образования и науки и доступен широкому употреблению.

Результаты работы использованы также в научных отчетах по исследованию фундаментальной проблемы формировании основ математической теории функциональной диагностики динамических систем в рамках научных работ Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ).

Аппробация работы. Основные научные и практические результаты диссертационной работы были представлены и одобрены на отечественных и международных конференциях и семинарах, в том числе на Второй Российско-Шведской конференции 1995 года, на Международных научно-технических конференциях ДИМЭБ по диагностике, информатике, метрологии, экологии и безопасности (1995-1998 гг. Санкт-Петербург), на конференциях того же уровня по проблемам логико-лингвинистического управления динамическими объектами (DOLLC 1999-2001 гг., Санкт-Петербург), на конференциях в городах Москва, Саранск, Алушта, и др. и на теоретических семинарах кафедр вычислительной техники и сетей СПбГУАП, теоретической кибернетики СПбГУ, на семинарах институтов РАН Машиноведения и СПИИРАН в 2001-2005 г. Помимо прочего результаты диссертации регулярно аппробировались в рамках отчетов по проекту Минобразования 01-01-00011 и грантов РФФИ за номерами 95-0100044, 96-01-14088, 98-01-0011, 04-01-00464 за 2004-2006 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены самостоятельно и в соавторстве в 3 книгах и 42 других публикациях (из них 12 опубликованы в периодических изданиях, входящих в перечень ВАК), в том числе имеется 5 авторских свидетельств на изобретения.

1. Обзор основных понятий, используемых в диссертации

рассматриваются определения сингулярных чисел и функций ганкелева оператора линейной динамической системы, поясняется метод их нахождения, не требующий знания математического описания объекта, приводится описание ганкелева эксперимента с объектом, рассматриваются его математические модели, а также модели ганкелевых функций. Ставится расширенная постановка задачи на проведение ганкелева эксперимента. Описывается применение сингулярных чисел в задачах идентификации. Приводятся также сведения по идентифицируемости систем как части компьютерного системного анализа.

Можно выделить два подхода к нахождению собственных и сингулярных функций ганкелева оператора - аналитический и экспериментальный. Аналитические методы опираются на формулы, для их применения необходимо знать матрицы описания модели в пространстве состояний либо матричную импульсную характеристику объекта. Если же математическое описание исследуемого объекта неизвестно, то аналитические методы непосредственно неприменимы. В таких случаях следует использовать практический подход, предполагающий разработку методов определения ганкелевых собственных и сингулярных функций путем проведения некоторых вход-выходных экспериментов над объектом.

Таким образом, решаемая в диссертации проблема состоит в разработке математических и алгоритмических основ ганкелева эксперимента и экспериментов, которые в определенном смысле близки к ганкелевому.

2. Операторы, ассоциированные с линейной динамической системой, обладающие разными видами симметрии

При этом наряду с обычной рассматривается симметрия ганкелева и теплицева типа, а также некоторые виды скрытой симметрии.

В линейной алгебре и теории операторов существуют мультипликативная и аддитивная процедуры выделения симметричных частей линейных операторов. Первая из них использует представление оператора в виде суммы симметричной и кососимметричной составляющих, вторая опирается на полярное разложение.

Показывается, что для линейных динамических систем обе процедуры могут быть выполнены с помощью так называемого флип-оператора, осуществляющего переход к обратному времени. Комбинирование результатов обеих процедур позволяет получить на основе одного исходного оператора, например, оператора свертки, семейство линейных операторов, обладающих разными типами симметрии. Сначала рассматривается мультипликативной подход к выделению симметричной части линейного оператора, опирающееся на полярное разложение операторов , где - исходный оператор, и - ортогональные (изометрические) операторы, и - симметричные или самосопряженные операторы такие, что:

Симметричные операторы и наследуют ряд свойств оператора , в частности имеют те же сингулярные числа (и, следовательно, спектральные нормы), а их сингулярные функции связаны простой зависимостью.

Подход иллюстрируется на примере оператора свертки , когда линейный стационарный объект описывается формулой:

= (1)

где - оператор свертки; - его импульсная весовая функция; ,L2(0,T) - входные и выходные скалярные сигналы, определенные на ограниченном интервале

Рассматриваются также упрощенные зависимости, получаемые после приведения уравнений динамического объекта к дискретной матричной форме , где и содержат выборки входного и выходного сигналов, взятые с шагом h; t0 =0, tN=T, h=T/N, а ненулевые элементы пропорциональны отсчетам весовой функции q(t)

= (2)

Матрица является теплицевой и, следовательно, симметричной относительно побочной диагонали. В диссертации показано, что она может быть представлена в виде произведения ганкелевой и перестановочной матриц. Соответствующие представления для оператора свертки имеют вид , где - оператор, осуществляющий перенумерацию отсчетов сигнала в обратном порядке; и - симметричные операторы ганкелева типа.

Технически реализация указанных ганкелевых операторов осуществляется добавлением к входу или к выходу динамической системы блока, отвечающего оператору зеркального отображения функции во времени относительно середины временного интервала (0, Т). Оператор, осуществляющий переход к обратному времени, далее называется флип-оператором (от анг. flip - разворот) и обозначается буквой .

Флип-оператор не меняет энергии преобразуемых сигналов, а также их классических норм, что позволяет образовывать с помощью флип-оператора эквивалентные по норме комбинированные операторы типа , , . Отмечается, что к операторам, изометрически эквивалентным исходному, относится и сопряженный оператор

. (3)

Приведенная на рис. 1 диаграмма характеризует набор комбинированных операторов и указывает тип их симметрии.

Рис. 1. Взаимосвязь комбинированных операторов

Аддитивное симметрирование систем. Альтернативный подход к выделению симметричной части произвольного линейного оператора основан на представлении его в виде суммы симметричной и кососимметричной частей. Применительно к оператору свертки указанное разложение имеет вид:

. (4)

где

Структурная реализация оператора поясняется рис. 2. Через u и y на ней обозначены входной и выходной сигналы исходного объекта, через v и w - соответствующие сигналы сопряженного объекта. Для структурной реализации оператора сумматор на рис. 2. заменяется вычитающим устройством.

Наряду с операторами и симметрией обладают операторы:

и ,

последний из которых имеет структуру скобки Пуассона операторов и .

Рис. 2. Реализация комбинированного оператора

Формула, описывающая традиционное разложение , использует симметрию и кососимметрию составляющих относительно главной диагонали матриц дискретного представления операторов. Другие разложения получаются выделением симметричных и кососимметричных частей матриц относительно вертикальной и горизонтальной осей, а также относительно побочной диагонали:

, , ,

где:

, , , , М3 = S, K3 = 0.

Анализ видов симметрии позволяет проводить редукцию задачи на поиск норм или собственных функций операторов заменой сложных операторов ,на более простые , или ,, и заменить схему рис. 1 более простыми в реализации схемами, изображенными на рис. 3.

Рис. 3. Симметрирование: a) - по входу, б) - по выходу

К особому виду редукции можно отнести разнесение интервалов управления и наблюдения во времени на взаимно непересекающиеся отрезки. Этот путь удваивает семейство ассоциированных с линейным динамическим объектом операторов при сохранении указанных признаков симметрии и схем структурной реализации. Процедуры моделирования операторов, ассоциированных с линейной динамической системой, иллюстрируются на примерах.

3. Спектральные свойства линейных динамических систем на ограниченном интервале времени

Исследуются сингулярные функции операторов типовых динамических звеньев, трансцендентные характеристические уравнения, парциальные спектры сингулярных функций.

В главе показывается, что cингулярные числа оператора свертки, рассматриваемого на интервале длительности Т, образуют дискретное множество, точки которого расположены на классической непрерывной АЧХ. Чем протяженнее интервал T, тем плотнее будут линии дискретного операторного спектра.

В отношении спектральных характеристик оператора свертки исследуются три основные задачи.

Первая из них состоит в получении характеристического уравнения (или совокупности уравнений) для сингулярных чисел оператора свертки.

Вторая задача связана с поиском аналитических соотношений между сингулярными числами и сингулярными функциями.

Третья задача состоит в поиске характеристик сингулярных функций оператора свертки и установлению их связи с классическими.

Исследование разбивается на три этапа: изучение качественных закономерностей спектральных характеристик линейных динамических систем на ограниченном интервале времени; изучение парциальных частот гармонических компонент сингулярных функций и их локализация (подобно кругам Гершгорина, но для парциального спектра сингулярных функций); разработка численных алгоритмов и графо-аналитических методов нахождения спектральных характеристик.

Рассматривается линейная стационарная динамическая система с одним входом и одним выходом, описываемую уравнениями в пространстве состояний:

 (5)

где Rn - вектор состояния; - постоянные матрицы; u(t), y(t) - входной и выходной скалярные сигналы, 0 t T.

Оператор свертки характеризует отображение множества входных сигналов, воздействующих на систему на интервале времени (0, Т), в множество выходных сигналов, рассматриваемых на том же самом интервале. Он задается формулой (1), в данном случае импульсная весовая функция динамической системы . В работе используется флип-оператор зеркального инвертирования во времени функции f(t), заданной на интервале (0, Т). Он описывается зависимостью .

Каждая из сингулярных функций оператора свертки динамической системы представляет собой линейную комбинацию конечного числа гармонических сигналов - модальных компонент некоторой динамической системы удвоенного порядка. Совокупность частот этих компонент будем называть парциальным спектром сингулярной функции.

Функции и , удовлетворяющие операторным уравнениям

, , (6)

будем называть левыми и правыми сингулярными функциями оператора свертки , отвечающими сингулярному числу .

Вещественный коэффициент , который может быть как положительным, так и отрицательным, будем называть алгебраическим сингулярным числом.

Показывается, что левая и правая сингулярные функции и оператора свертки, отвечающие простому сингулярному числу , удовлетворяют условию зеркальной симметрии . Каждая из сингулярных функций линейной системы на бесконечном интервале времени представляет собой синусоиду, т.е. является моногармоническим сигналом. На конечном интервале времени структура сингулярной функции заметно усложняется и в ее состав входит несколько гармоник различных частот, то есть она становится полигармоническим сигналом. Общее число таких гармоник равно n, а совокупность их частот образует парциальный спектр сингулярной функции.

Точнее состав этого спектра описывает следующая теорема.

Теорема о парциальном спектре. Для минимально-фазовой системы с передаточной функцией правые и левые сингулярные функции оператора свертки представляют собой линейные комбинации конечного числа гармоник .

Вид гармоник, отвечающих сингулярному числу , определяется корнями характеристического уравнения Парциальный спектр сингулярных функций находится из уравнения, в которое входят только четные степени p, поэтому расположение его корней на комплексной плоскости характеризуется центральной симметрией относительно начала координат.

Общее число корней равно 2n, после их попарного объединения получаем n гармоник, которые входят в состав правых и левых сингулярных функций. Парам чисто мнимых корней отвечают круговые гармоники , парам чисто вещественных - гиперболические .

Сингулярное число входит в характеристическое уравнение как параметр. Если его значение заранее не известно, то уравнение не позволяет найти парциальный спектр, однако оно накладывает на этот спектр ряд ограничений качественного характера. Определение частот парциальных компонент сингулярной функции, т.е. ее парциального спектра - проблема весьма сложная.

Показывается, что ее решение может облегчить локализация этого спектра на основе следующего свойства. Вводится функция комплексного переменного . На мнимой оси она совпадает с квадратом обычной АЧХ, а в остальных случаях отличается от нее. Доказывается свойство 1 (локализация спектра): парциальный спектр сингулярной функции системы заключен в области комплексной плоскости, ограниченной условиями:

. (7)

Первое условие из (7) свидетельствует об отсутствии фазового сдвига сингулярной функции при прохождении ее через последовательное соединение прямой и сопряженной систем. Смысл второго условия - одинаковый коэффициент усиления всех парциальных компонент, входящих в состав сингулярной функции. В соответствии с определением сингулярной функции и видом передаточных функций прямой и сопряженной систем передаточная функция их последовательного соединения равна .

Сингулярная функция, проходя через него, не искажается по форме, а только умножается на положительный коэффициент . Доказывается свойство 2 (краевые условия): левые сингулярные функции оператора свертки системы, отвечающие алгебраическому сингулярному числу , удовлетворяют краевым условиям:

, л, , … . (8)

Значения , , , … называются марковскими параметрами динамической системы. С их помощью выражается топологическое свойство, формулируемое для левых сингулярных функций так. Свойство 3 (взаимосвязь параметров). Если начальные значения сингулярных функций нормировать с помощью марковских параметров условием , то их конечные значения "заметают" операторный спектр .

Рассматриваются вопросы поиска сингулярных функций на основе частотного подхода. Для того, чтобы применить частотный подход, в данном случае необходимо рассматривать частотные характеристики не только на мнимой оси, как в обычном частотном анализе, а на всей комплексной плоскости.

Частотные характеристики системы. Вводится в рассмотрение обобщенная частотная характеристика системы как коэффициент передачи синусоидальных и гиперболических парциальных составляющих сигналов. Она выражается через введенную ранее функцию и имеет вид: . Характеристика совпадает с обычной АЧХ только на мнимой оси, когда p=j, для гиперболических сигналов типа в формулу следует подставлять p=а.

Флип-оператор - линейный, но нестационарный объект. Он не меняет амплитуду гармоник (его АЧХ равна единице), а сдвигает сигнал во времени. Нестационарные объекты принято описывать параметрическими передаточными функциями, зависящими от времени или от параметра. В методе Гольдфарба параметрическая передаточная функция линеаризуемого нелинейного элемента зависит от амплитуды входного сигнала. Здесь вводится нестационарный блок, передаточная функция которого зависит от фазы входного сигнала . В работе показано, что для гармонического сигнала фазовая характеристика флип-оператора имеет вид:

.

Каждая сингулярная функция зависит от 2n параметров (частот и фаз парциальных составляющих), общее число неизвестных, с учетом алгебраического сингулярного числа, равно 2n+1. Первые 2n уравнений выводятся на основе определения сингулярной функции . Соотношение можно трактовать как уравнение операторного баланса.

При частотном подходе оно разделяется на уравнения амплитудного и фазового балансов.

Уравнение амплитудного баланса имеет вид , где - амплитудно-частотная характеристика системы.

Уравнение фазового баланса имеет вид , где - фазовая частотная характеристика системы, , при 0 и , при <0.

После подстановки в уравнения парциальных частот 1, 2, … , n и фаз 1, 2, … , n получаем систему 2n нелинейных уравнений относительно 2n + 1 неизвестных (с учетом ).

Начальные и краевые условия позволяют получить фазо-частотное уравнение, связывающее парциальные параметры, (1, 2, … , n, 1, 2, … , n)=0.

Результатом исследования является следующая процедура.

Шаг 1. Из уравнения амплитудного баланса выразить парциальные частоты как функции : 1(), 2(), …, n() .

Шаг 2. Подставить полученные выражения для парциальных частот в уравнения фазового баланса и найти фазовые зависимости 1(), 2(), …, n().

Шаг 3. Подставить найденные выражения для парциальных частот и фаз в фазо-частотное уравнение.

В итоге получаем искомое характеристическое уравнение. Оно оказывается трансцендентным и имеет счетное множество корней.

Процедура иллюстрируется примерами. В частности для динамического звена с передаточной функцией уравнение амплитудного баланса имеет вид 1/(1- 2)2 + 2 = 0, отсюда выводится трансцендентное характеристическое уравнение:

для положительных значений сингулярного числа .

В диссертации рассмотрен также графо-аналитический метод нахождения парциальных частот, иллюстрируемый рисунками ниже на примере частотных характеристик интегратора для интервала времени T = 5.

Рис. 4. Частотные характеристики интегратора (a) и апериодического звена (б)

На рис. 4, a) приведены его амплитудная (выше оси частот) и фазовая частотные характеристики, а также смещенная фазовая характеристика флип-оператора () = T - , инвертированная по знаку для удобства учета баланса фаз () = ().

Фазо-частотное уравнение дает здесь тривиальное решение относительно сдвига фазы = 0. Учитывая синусоидальный вид сингулярных функций, линии частотных характеристик флип-оператора размножены с интервалом 2.

По точкам пересечения частотных характеристик () и () выясняется частота 1 главной сингулярной функции, отвечающая максимальному сингулярному числу 1, а также частоты и значения сингулярных чисел остальных сингулярных функций . На рис. 4, б) для сравнения приведены аналогичные частотные характеристики апериодического звена.

Анализ показывает, что частоты k могут располагаться на частотной оси неравномерно.

В четвертой главе рассмотрена методика применения флип-метода для определения сингулярных функций операторов динамических систем в процессе натурного эксперимента, выделены аналитический и экспериментальный подход к их нахождению. Аналитические методы опираются, в частности, на формулы, приведенные в предыдущем разделе. Однако для их применения необходимо знать, например, матрицы описания системы в пространстве состояний либо матричную импульсную характеристику объекта. На практике математическое описание исследуемого объекта бывает неизвестно, тогда следует использовать иной подход определения ганкелевых собственных и сингулярных функций путем проведения вход-выходных экспериментов над объектом.

Выделены три этапа:

разработка экспериментальной процедуры получения реакции ганкелева оператора Г на входное воздействие ;

разработка аналогичной процедуры для получения реакции сопряженного ганкелева оператора Г*;

разработка экспериментальной процедуры получения ганкелевых cингулярных функций.

Исходной системе сопоставлена матричная передаточная функция размера с элементами . Тогда дуальной системе будет соответствовать транспонированная матричная передаточная функция размером с элементами . Пусть требуется получить реакцию дуальной системы на входной сигнал : или в более подробной записи .

Подав сигнал первую компоненту вектора ) на i-й вход исходной системы, получим на ее первом выходе сигнал, подав сигнал ?на тот же вход, получим на втором выходе сигнал и т.д. вплоть до. Сумма этих сигналов даст нам сигнал zi.

Выполнив процедуру для каждого , найдем вектор . Эта последовательность действий названа дуальным экспериментом.

Его структурная реализация, содержащая переключатели П1, П2, П3, П4, показана на рис. 5.



Рис. 5. Cтруктурная реализация дуального эксперимента

Переключатели П1, П3 и П2, П4 движутся синхронно. В исходном положении П2, П4 находятся в верхнем положении, П1, П3 пробегают все положения, полученные результаты суммируются, в результате чего определяется величина z1(t). Переключатели П2, П4 переводятся во второе положение, вся процедура повторяется, в результате чего определяется величина z2(t) и т.д. Дуальный эксперимент позволяет, проведя конечное число N=rs экспериментов с исходной системой, найти реакцию дуальной системы на любое наперед заданное входное воздействие. Более подробное описание этой процедуры сводится к следующему.

Шаг 1 (инициализация). Задать длительности интервалов управления и наблюдения T1, T2; указать число входов r и выходов s объекта; установить начальную векторную функцию , 0<t<T1.

Шаг 2 (ганкелев эксперимент). Определить векторную функцию ,
0<t<T2, путем возбуждения реального объекта на интервале (-T1, 0) функцией , развернутой во времени, и регистрации его выходов на интервале (0, T2).

Шаг 3 (дуальный эксперимент). Определить векторную функцию, 0<t<T1, путем поочередной подачи компонент векторной функции , развернутой во времени, на каждый из входов реального объекта и суммированием его реакций, полученных на интервале (0, T1).

Шаг 4 (нормировка и переход к следующей итерации). Присвоить новое значение функции и перейти к шагу 2.

В заключение главы рассматривается разработанный автором способ получения и решения уравнений идентификации для преобразования ганкелевых функций в более привычное описание в виде импульсной весовой характеристики системы, состоящий в том, что уравнения метода наименьших квадратов разделяются на информативную первую и малоинформативную вторую части:

P =, R =,

и вычисляется взвешенное псевдорешение, учитывающее вектор притяжения и0 по формуле и = и0 + W (P1W)+ (R1 - P1и0). В данном направлении автором разработан эффективный вычислительный метод и соответствующее программное обеспечение.

В пятой главе рассмотрена реализация разработанных численных методов для аналитического исследования, идентификации, получения собственных и сингулярных функций динамических систем в процессе натурного эксперимента и численного моделирования. Внимание отводится прикладным вопросам компьютерного анализа разработкой мер модального доминирования.

Пусть линейная динамическая система имеет вид (5), где A - матрица системы (квадратная, n-го порядка), B - матрица входа размера nm, C - матрица выхода размера ln; x(t), u(t), y(t) - векторы состояния, управления и выхода соответственно.

Рассматривается задача спектрального анализа с конечным спектром назначаемых собственных значений i, которая приводит к матричному уравнению Сильвестра, допускающему декомпозицию на ряд более простых подсистем:

, (9)

где - вектор столбцы , i = 1.. n.

На случай изменения только одного собственного значения (элементарном изменении спектра), т.е. при k=1, имеем следующие формулы , , данный спектр реализует в системе линейная обратная связь по состоянию с коэффициентами K = MS-1, где S = [s1 v 2 … v n], v i - собственные векторы матрицы A.

Доказано следующее утверждение. При элементарном изменении спектра минимальная норма матрицы K прямо пропорциональна радиусу окружности, на которую переходит варьируемое собственное значение, и обратно пропорциональна величине , где , - строка инверсной матрицы собственных векторов A, отвечающая варьируемому собственному значению.

Для обозначения строк инверсных матриц привлечены соответствующие индексы. Утверждение позволяет ввести следующее понятие меры доминирования (в общем).

Определение. Мерой модальной управляемости (наблюдаемости) называется величина, обратная по отношению к минимальной норме матрицы линейного регулятора (наблюдающего устройства) при переносе одного отдельно взятого собственного значения на окружность единичного радиуса в окрестности варьируемой точки спектра разомкнутой системы.

Приводятся процедуры компьютерной автоматизации выбора назначаемого спектра на основе указанных мер модального доминирования, рассмотрен пример размещения собственных значений в модели, которые описывают основные тона колебания антенны.

Понятие мер управлямости и наблюдаемости распространяется на задачу идентификации, в виде мер идентифицируемости на основе подробно рассмотренных критериев калмановского вида. Приводятся алгоритмы, обобщающих алгоритмы, рассмотренные в главе 4, для решения вырожденных задач идентификации. Они реализованы в программе VISUAL MATLAB, разработанной автором диссертации, за основу принята версия языка MATLAB, изложенная в фундаментальной работе «Матричные вычисления» авторов Дж. Голуба и Ч. Ван Лоуна.

С учетом современных тенденций математический инструментарий представлен в сети в виде пакета MATLAB ON LINE, позволяющего регистрировать аккаунты пользователей, вести математические исследования с использованием стилизованной версии компьютерного языка матричного исчисления и визуализировать результаты экспериментов, cм. рис. 6.

Рис. 6. Сетевая лаборатория MATLAB ON LINE

Алгоритмическое и программное обеспечение, разработанное автором, представлено на математических сайтах Exponenta.ru (дистрибутор MATLAB) и EqWorld.com. Для поддержки программного обеспечения в сети автором создан сайт artspb.com, вошедший в каталог федеральных общеобразовательных порталов, составленный министерством образования на School.edu.ru.

Заключение

сингулярный линейный оператор численный

1. Проведено исследование математических моделей экспериментов, близких к ганкелевому, и проведена систематизация соответствующих ассоциированных с динамической системой обобщенных операторов на основе признаков симметрий.

2. Предложен флип-метод поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени.

3. Разработаны матричные численные методы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем.

4. Разработан частотный метод поиска собственных и сингулярных чисел и функций динамических систем с использованием частотной модели флип-оператора. Получены аналитические выражения для характеристических уравнений, собственных и сингулярных функций элементарных звеньев (интегратора, апериодического звена, колебательного звена и прочих).

5. Показана связь классических частотных характеристик динамических систем с собственными или сингулярными числами математических динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени.

6. Построены алгоритмы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем в процессе натурного эксперимента с объектом.

7. Разработаны численные методы идентификации динамических систем на основе ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем.

Литература

1. Балонин Н.А., Габитов Е.А. Численные алгоритмы идентификации параметров систем в режиме нормального функционирования // Автоматика и телемеханика. 1997. № 2. - C. 140-146.

2. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Флип - метод определения сингулярных функций ганкелева оператора и оператора свертки // Автоматика и телемеханика. 1999. № 11. - С. 3-18.

3. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Линейные операторы динамической системы // Автоматика и телемеханика. 2000. № 11. - C. 57-68.

4. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Спектральные характеристики линейных систем на ограниченном интервале времени // Автоматика и телемеханика. 2002. № 6. - C. 3-8.

5. Балонин Н.А., Попов О.С. Идентификация параметров систем в режиме их нормального функционирования // Автоматика и телемеханика. 1992. № 8. - C. 98-103.

6. Балонин Н.А., Попов О.С., Гусев С.А. Элементы искусственного интеллекта в адаптивном управлении // Автоматика и телемеханика. 1994. № 4. - C. 114-123.

7. Балонин Н.А., Попов О.С. Синтез систем модального управления на основе мер модального доминирования // Изв. РАН. Техническая кибернетика (ныне Теория и системы управления). 1992. № 6. - C. 89-93.

8. Балонин Н.А., Попов О.С. Критерии идентифицируемости линейных динамических систем // Приборостроение. 1986. № 4. - С. 25-29.

9. Балонин Н.А., Попов О.С. Критерии идентифицируемости линейных стационарных и нестационарных динамических систем // Приборостроение. 1994. № 1. - С. 22-27.

10. Балонин Н.А., Попов О.С., Сироткин Е.Я. Построение многосвязных систем модального управления // Приборостроение. 1986. № 10. - С. 24-27.

11. Попов О.С., Балонин Н.А., Сироткин Е.Я. Идентификация параметров объекта в линейных адаптивных системах управления // Приборостроение. 1985. № 12. - С. 28-30.

12. Попов О.С., Балонин Н.А., Гусев С.А. Двухканальный идентификатор параметров динамической системы // Приборостроение. 1990. № 1. - С. 90-92.

13. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Комьютерные модели линейных операторов динамической системы // Информационно управляющие системы. 2002. № 1. - С. 24-28.

14. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Матрицы Адамара нечетного порядка //Информационно управляющие системы. 2006. № 3. - С. 46-50.

15. Балонин Н.А., Мироновский Л.A. Канонические формы динамических систем. Методические указания. - СПб.: ГААП, 1998. - 54 c.

16. Балонин Н.А. Эволюционное моделирование. Третья межд. конф. по проблемам логико-лингвинистического управления динамическими объектами. - СПб.: 2001. - C. 32-33.

17. Балонин Н.А. Использование элементов искусственного интеллекта в адаптивном управлении с идентификацией // Труды конф. Диагностика, информатика и метрология-95 (ДИМ-95). - СПб.: 1995. - C. 153-154.

18. Балонин Н.А. Новый идентификационный TOOLBOX с анимационной графикой к математическому пакету MATLAB // Труды конф. Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность-96 (ДИМЭБ-96). - СПб.: 1996. - C 32-34.

19. Балонин Н.А. Анимационная графика в инженерных задачах // Труды конф. Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 97 (ДИМЭБ-97). - СПб.: 1997. - C. 247.

20. Балонин Н.А. Автоматизация процесса размещения спектра и собственных векторов в модальном синтезе // Труды конф. Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 98 (ДИМЭБ-98), - СПб.: 1998. - С. 124.

21. Балонин Н.А. Новые информационные технологии контроля и диагностики знаний // Труды пятой межд. научно-практ. конф. Новые информационные технологии в практике работы правоохранительных органов, - СПб.: 1998 г. - С. 36-38.

22. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Экспериментальный подход к решению задач оптимального управления. Труды 2 Межд. научн. конф. “Методы и средства управления технологическими процессами”, - Саранск, 1997. - С. 28-31.

23. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Флип-метод определения сингулярных функций // Труды межд. конференции по адаптивным системам SPAS99. - СПб.: 1999. - С. 278-281.

24. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Управление с минимальным расходом топлива и задача о гольфе // Труды конф. по теории колебаний и управления, посвященной 100-летию Б.В. Булгакова. - M.: 2000. - С. 55-57.

25. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Компьютерное моделирование и контроль динамических систем // Труды конф. Проблемы сбора и передачи информации. - Пушкин, 1997. - С. 276.

26. Осинкин С.А., Балонин Н.А. Экспериментальный синтез дискретного входного сигнала для терминального управления линейной системой // Труды 3-й межд. конф. Методы и средства управления технологическими процессами. - Саранск, 1999. - С. 238- 242.

27. Сотников С.Н., Балонин Н.А. Методы анализа, синтеза и диагностики в технических процессах при помощи генетических алгоритмов // Труды 3-й межд. конф. Методы и средства управления технологическими процессами. - Саранск, 1999. - С. 28-31.

28. Сотников С.Н., Балонин Н.А. Генетические алгоритмы в задачах моделирования, управления и диагностики //Труды 3-й межд. научн.-техн. конф. Управление в технических системах - XXI век. - Ковров, 2000. - С. 187-189.

29. Сотников С.Н., Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Поиск сингулярных функций линейных систем на ограниченном интервале времени с помощью распределенного алгоритма эволюционных вычислений // Сб. докладов 8-й Научной сессии аспирантов ГУАП. - СПб.: 2005. - С. 77-81.

30. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Компьютерное моделирование операторов линейных динамических систем //Труды 2-й межд. научн.-техн. конф. «Инструменты математического моделирования». - СПб.: 1999. - C. 229-230.

31. Балонин Н.А. Генетические алгоритмы в задачах управления динамическими объектами //Proc. of the Second Int. Conf. on Problems of Dynamic Objects Logic-Linguistic Control (DOLLC'99). Saint-Petersburg, Russia 1999. - C. 7-10.

32. Balonin N.A., Gusev S.V. Experiments with the regularized adaptive control algorithms, Proc. of the Second Russian-Swedish Control Conference. Saint-Petersburg, Russia 1995. - P. 70-72.

33. Balonin N.A. Animated cartoons 2.5D for motion simulation, Proc. of the First Int. Conference on Problems of Dynamic Objects Logic-Linguistic Control. Saint-Petersburg, Russia 1997. - P. 7-10.

34. Balonin N.A., Mironovsky L.A., Petrova X.Y. Finding singular functions of the convolution operator // Proc. оf Conference on Oscillations and Chaos, Saint-Petersburg, Russia 2000. V.3. - Р. 414-417.

35. Balonin N.A., Mironovsky L.A. The Linear Operators of Dynamic System //Proc. of the Second Int. Conf. Control of Oscillations and Chaos. Saint-Petersburg, Russia 1999. - P. 27-30.

36. Balonin N.A., Mironovskiy L.A. Solving optimization problems by system adjoint operator simulation // Proc. of Int. Conf. Control of Oscillations and Chaos. Saint Petersburg, Russia. Aug. 1997. V.3. - P. 553-556.

37. Balonin N.A. Animation graphics for dynamic and intellectual systems modeling. The 5-th National Conference on Artificial Intellect-96, Kazan, 1996.

Размещено на Allbest.ru