Классификация допустимых спецификаций свойств симметрии бинарных отношений в моделях знаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

Институт проблем управления сложными системами РАН, Самара

Классификация допустимых спецификаций свойств симметрии бинарных отношений в моделях знаний

С.В. Смирнов (smirnov@iccs.ru)

Аннотация

симметрия бинарный отношение

Исследована проблема корректного описания свойств симметрии бинарных отношений: аргументирован актуальный состав свойств симметрии и новые утверждения о взаимозависимости этих свойств; выявлены все допустимые в аспекте свойств симметрии типы бинарных отношений; построена решетка допустимых типов отношений, включающая неполные наборы свойств симметрии, которые могут наличествовать в моделях, используемых для представления знаний.

Введение

С большой долей уверенности можно утверждать, что при формулировке знаний, составляющих содержание научных теорий и инженерных дисциплин, стержневую роль играют суждения о различении в актуализируемых предметных областях (ПрО) дискретных объектов и о существовании отношений между этими объектами. При этом в описании ПрО можно ограничиться бинарными отношениями, моделируя с их помощью отношения произвольной арности. В целом этой обобщенной концепции соответствует большинство моделей знаний, например, модель семантической сети.

Всякое отдельно взятое бинарное отношение в моделях знаний - это совокупность пар объектов, когда между членами пары установлена определенная, характерная связь. Квинтэссенцию этой «характерности» в простейшем случае выражает оригинальная лексическая ссылка на реализуемое связью отношение. В лексике естественных и формальных языков подобная ссылка известна как предикатор, т.е. лексема, представляющая предикат в суждении, которое фиксирует смысл отношения. На практике такая лексема обычно играет роль имени моделируемого отношения, которое с прагматических позиций следует рассматривать как непреложное свойство всякого отношения. Однако ясно, что реальные потребности качества и глубины отражения ПрО обычно требуют расширенного описания отношений, выходящего за пределы их лексической референции. Например, в теории и практике реляционных баз данных существенное значение имеет описание кардинальных чисел бинарных отношений, а в теории выбора, в представлении знаний актуальными оказываются так называемые «свойства симметрии»: рефлексивность, симметричность и т.д. Причем интерес в последнем случае представляет выделение и изучение типов отношений, обладающих некоторым набором таких свойств, поскольку принадлежность отношения к определенному типу имеет, как правило, теоретически и практически ценную интерпретацию.

Существенный вклад в изучение типологии отношений с точки зрения инженерии знаний сделан Г.С. Осиповым [Осипов, 1997]. С общих позиций этой проблемы касались многие специалисты в области дискретной математики, теории принятия решений; итоги здесь подведены в [Глотов, 1999]. Однако полученные результаты по ряду причин и, прежде всего, полноты исследования нельзя признать вполне удовлетворительными. Это и послужило мотивом работы, итоги которой подводятся в предлагаемом сообщении.

1. Типология бинарных отношений

Пробелы и несовершенства в исходном состоянии вопроса о корректном описании свойств симметрии отношений в моделях с бинарными связями проанализированы в [Смирнов, 2009].

Изначально обнаруживается разброс мнений относительно состава свойств симметрии бинарных отношений. Несогласованность возникает из-за недооценки положений классической логики, а пунктуальное следование этим положениям наряду с формальными математическими определениями свойств, напротив, дает возможность установить достоверный состав свойств симметрии:

· рефлексивность (далее обозначаем идентификатором «r»), симметричность (s) и транзитивность (t) отвечают общеутвердительным суждениям о наличии у некоторого данного отношения соответствующих базовых «характеристик симметрии»;

· антирефлексивность - ar, асимметричность - as, антитранзитивность - at отвечают общеотрицательным суждениям, свидетельствующим о тотальном нарушении для данного отношения соответственно r, s и t;

· нерефлексивность - nr, несимметричность - ns, нетранзитивность - nt отвечают частноутвердительным и частноотрицательным суждениям, в равной степени свидетельствующим о частичном нарушении для данного отношения соответственно r, s и t.

К этой девятке категорических свойств симметрии принято добавлять свойство антисимметричности - ants, поскольку оно играет значимую роль в определении важнейшего класса отношений - отношений порядка. Формально же антисимметричность следует рассматривать либо как специальное развитие асимметричности, либо как специальное сужение, разновидность несимметричности.

Формально десять свойств симметрии бинарных отношений рассматривается и в [Осипов, 1997], где, однако, асимметрия определяется логически нестандартно. Исключение же свойства полноты отношения мотивируется тем, что как характеристики симметрии оно «ответственно» лишь за степень порядка в отношениях порядка: не обладающее полнотой отношение порядка есть отношение частичного порядка.

Понятие типа бинарного отношения целесообразно связывать с наличием у отношения возможно неполного набора элементарных свойств симметрии (например, когда указано лишь то, что отношение транзитивно), поскольку вполне естественно при описании отношений действовать «по потребности», фиксируя лишь актуальные или известные их свойства. Тогда принятые к рассмотрению десять свойств симметрии при полной взаимонезависимости свойств дали бы 1023 типа отношений. Выявление действительных, допустимых типов бинарных отношений требует не только учесть парную несовместность свойств симметрии, индуцируемых базовыми смысловыми характеристиками симметрии r, s и t, но и принять во внимание ряд утверждений и их следствий, касающихся взаимозависимости элементарных свойств симметрии:

1. Всякое асимметричное отношение антирефлексивно [Сигорский, 1977]. Следствия: a) ar*as = as; б) r*as = False. Используемая здесь и далее форма записи означает, что: a) свойства ar и as совместимы, и для идентификации их и только их наличия достаточно констатировать асимметричность отношения; б) свойства r и as несовместимы, т.е. не существует бинарного отношения, обладающего совокупностью данных свойств.

2. nr*as = False.

3. Из стандартных определений свойств симметрии следует, что: а) as*ants = as; б) ar*ants = as; в) s*ants = e, где e идентифицирует уникальную совокупность свойств симметрии тождественного (диагонального) отношения E [Глотов, 1999].

4. Полная совокупность свойств симметрии диагонального отношения E есть r, s, at и ants. Как следствие допустимы следующие сочетания свойств симметрии: r*ants; at*ants.

5. Допустимы конъюнкции nr*ants, ns*ants, t*ants и nt*ants. Следствие: с учетом определения антисимметричности всякое бинарное отношение, вид симметрии которого определяет конъюнкция ns*ants, достаточно охарактеризовать как антисимметричное (т.е. описать как ants), но не наоборот. Это можно обозначить как ns*ants  ants. При этом уместно подчеркнуть, что если априори констатируется лишь антисимметричность отношения, то по определению будет иметь место один из двух взаимоисключающих случаев: as*ants (что согласно утверждению 3 эквивалентно as) или ns*ants. Иначе говоря, ants = ns*ants  as, где символ «» - разделяющее «или».

С учетом сказанного в [Смирнов, 2009] выявлено лишь 70 действительных типов бинарных отношений, т.е. менее 7% объема априори видимого множества типов бинарных отношений, когда не учитывается взаимозависимость свойств симметрии.

2. Построение решетки допустимых типов отношений

Резонно поставить вопрос о связи отношений с неполными наборами свойств симметрии и отношениями, полностью определенными в этом аспекте.

Категорические свойства симметрии устанавливают все несовместимые значения базовых смысловых характеристик симметрии любого бинарного отношения. Поэтому теоретически верно, что для всякого бинарного отношения, у которого в момент его попадания в фокус внимания исследователя известен лишь неполный набор свойств симметрии (и, в частности, когда вообще ничего неизвестно на этот счет), можно установить полный состав категорических свойств симметрии. Причем, очевидно, что это будет лишь некоторое допустимое расширение уже известного набора свойств симметрии. Количество вариантов такого допустимого расширения конечно, и каждый шаг в процессе такого расширения неминуемо будет сокращать названное количество.

Логика подобных рассуждений приводит к гипотезе, что все действительные типы бинарных отношений образуют структуру, известную в алгебре как решетка, где структурообразующей алгебраической операцией, заданной над множеством типов бинарных отношений, будет пересечение наборов свойств симметрии пары таких отношений. Подтверждение сформулированной гипотезы важно с двух точек зрения:

· во-первых, оно служило бы дополнительным свидетельством достоверности построенной типологии;

· во-вторых, решетка типов бинарных отношений стала бы ключевой управляющей структурой, способной указывать инженеру знаний какие и в каком порядке свойства симметрии следует выявлять «на пути» от известного их набора к полному или же к такому набору (более близкому к полному), который содержит интересующее исследователя свойство.

Для выяснения истинности введенной гипотезы целесообразно воспользоваться методикой моделирования понятийных структур предметных областей, предлагаемой относительно новой ветвью теории решеток - анализом формальных понятий - АФП [Wille et al., 1996].

Исходной информацией для АФП служит формальный контекст предметной области - матрица инцидентности «объекты-свойства», где в рассматриваемом случае в качестве объектов должны быть указаны реально существующие бинарные отношения, а в качестве свойств использованы исследуемые свойства симметрии бинарных отношений.

Непреложно, что реально существующие бинарные отношения могут быть оценены и охарактеризованы во всех базовых смыслах симметрии, и хотя степени (значения) видов симметрии у каждого отношения будут свои, они, безусловно, в совокупности могут быть только из числа совместимых свойств симметрии. Иначе говоря, реально существующие бинарные отношения - это отношения из 70 действительных типов, характеризующиеся полными наборами категорических свойств симметрии, и надлежащий отбор позволяет указать лишь 31 тип реально существующих бинарных отношений.

На Рис. 1 в форме скриншота объектно-ориентированной системы моделирования общего назначения gB [Смирнов, 1999] приведен искомый формальный контекст «Реально существующие бинарные отношения-Свойства симметрии».

На основе этого формального контекста с помощью средств онтологического анализа данных, входящих в gB, автоматически выведена классификация типов бинарных отношений, где классы связаны отношением обобщения (наследования). Каждой подобной классификации взаимнооднозначно соответствует решетка формальных понятий, которая может быть построена в рамках того же формального контекста. Поэтому здесь полученная классификация преобразована в представление интересующей нас решетки в форме диаграммы Хассе (Рис. 2).

Сравнение полученной 76-вершинной решетки и первично выявленных 70-и типов допустимых бинарных отношений показывает их полное совпадение с точностью до эквивалентных обозначений сочетаний свойств симметрии, которые вытекают из утверждений 1-5. Таким образом, подтверждена гипотеза об образовании действительными типами бинарных отношений решетки, что имеет важные теоретические и практические следствия.

Заключение

Полученные результаты обоснованно восполняют данные предшествующих исследований проблемы типизации отношений в моделях с бинарными связями.

Рис.1. Формальный контекст «Реально существующие бинарные отношения-Свойства симметрии»

Свойства формального контекста - свойств симметрии бинарных отношений.

Объекты формального контекста - действительные типы бинарных отношений, характеризующихся полными наборами категорических свойств симметрии; для наглядности имена объектов кодируют состав присущих им свойств.

- известные в теории отношения эквивалентности, тождества, нестрогого и строгого порядка;

- типы «семантических связей», выделенные в [Осипов, 1997];

и - возможное определение симметрии для отношений «обобщает» и «является частью».

Рис. 2 Диаграмма Хассе решетки допустимых типов бинарных отношений

При устранении очевидных ошибок типология В.А. Глотова [Глотов, 1999] целиком оказывается включенной во вновь построенную. Из девяти типов «семантических связей», выделенных Г.С. Осиповым [Осипов, 1997], семь - ситуативный, коррелятивный, финитивный, негативный, генеративный, потенсивный, комитативный - прямо отыскиваются среди 31-го найденного типа реально существующих бинарных отношений. Каузально-трансгрессивный и инструментальный типы отношений определены в [Осипов, 1997] с позиций нашей работы некорректно: нарушено утверждение 2, - это связано с нестандартным определением в указанной работе асимметрии отношения. В целом сопоставление полученного результата и типологии Г.С. Осипова актуализирует вопрос о возможности содержательной интерпретации достаточно большого ряда допустимых типов отношений в рамках типологии естественно-языковых синтаксем, в частности, соответствующей типологии русского языка. Эта интерпретация важна не только в аналитических задачах инженерии знаний - приобретении знаний, но и в целом при создании интерактивных информационно-аналитических систем поддержки принятия решений, основанных на знаниях.

Построенная типизация бинарных отношений открывает возможность компетентно подходить к описанию отношений в моделях знаний, ввести алгоритмы автоматической коррекции моделей, повышающие «интеллектуальность» компьютерных редакторов. С другой стороны, знание типологии отношений позволит грамотно ставить и решать задачи анализа отношений в уже так или иначе построенных моделях знаний с бинарными связями.

Список литературы

[Глотов, 1999] Глотов В.А. К типизации бинарных отношений // Автоматика и телемеханика. 1999. №2.

[Осипов, 1997] Осипов Г.С. Приобретение знаний интеллектуальными системами: Основы теории и технологии. - М.: Наука-Физматлит, 1997.

[Сигорский, 1977] Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. - Киев: Технiка, 1977.

[Смирнов, 1999] Смирнов С.В. Открытая архитектура инструментальных средств моделирования сложных систем // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды международной конф. (15_17 июня 1999 г., Самара, Россия). - Самара: СамНЦ РАН, 1999.

[Смирнов, 2009] Смирнов С.В. О типизации отношений в бинарных моделях знаний // Знания - Онтологии - Теории: Материалы Всероссийской конф. с международным участием ЗОНТ-09 (20_22 октября 2009 г., Новосибирск, Россия). Т. 1. - Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2009.

[Wille et al., 1996] Wille R., Ganter B. Formale Begriffsanalyse. - Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1996.

Размещено на Allbest.ru