Оценка убежденности об уровне информированности интеллектуального агента в задаче нечеткого выбора

Пусть А - произвольное непустое множество на множестве X и А X. Нечетким множеством А на множестве Х называется совокупность пар

где - отображение множества Х в единичный отрезок [0, 1], называемое функцией принадлежности нечеткого множества А [Рутковская и др., 2006].

Определение 1. Нечеткой функцией выбора называется отображение C, заданное на множестве всех непустых подмножеств }, которое ставит в соответствие каждому A X определенное нечеткое множество (А) с функцией принадлежности , обладающей свойствами:

.

Будем считать, что возможна ситуация, когда для некоторых

Это означает, что выбор из множества А является пустым, то есть (А) = . Другими словами, при предъявлении некоторых А имеет место отказ от выбора [Ногин, 2003].

Согласно этому определению исход или выигрыш от выбора определяется нечетким подмножеством на множестве исходов О. Это позволяет использовать представления о ситуации выбора человека, на основе которых он устанавливает соответствия между альтернативами и исходом, используя нечеткие действительные числа.

Под нечетким числом понимается нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющих нормальную и выпуклую функцию принадлежности такую, что: 1) существует значение носителя, в котором функция принадлежности равна единице. 2) при отступлении от единицы вправо или влево функция принадлежности не возрастает.

При сравнении исходов, представленных в виде нечетких действительных чисел, в соответствии с принципом обобщения Заде необходимо определить меры для выявления предпочтений при сравнении нечетких действительных чисел.

Оценки предпочтений на множестве нечетких действительных чисел. Формирование нечеткого предпочтения на базе использования операций отношения между нечеткими действительными числами состоит в выявлении следующих ситуаций предпочтения:

1) строгое предпочтение;

2) безразличие;

3) большая предпочтительность;

4) не сравнимость.

Графически эти ситуации можно представить как показано на рис. 1.

Рис. 1. Ситуации предпочтительности

Из теории нечетких множеств известно, что подмножество элементов множества Х, для которых (x) > 0, называется носителем (суппортом) нечеткого множества и обозначается supp A. Соответствующая формальная запись имеет вид

Тогда для случая а) supp A supp B = , то есть носители обоих нечетких множеств не имеют общих элементов.

Для случая б) нечеткое множество B содержится в нечетком множестве A (A B) или , или supp B supp A.

Случай б) предполагает две ситуации: 1) нечеткое множество A равно нечеткому множеству B; 2) нечеткое множество A почти равно нечеткому множеству B.

В первом случае , а во втором - можно ввести понятие степени равенства нечетких множеств A и B, например, в виде

где

.

Случай в) можно оценивать и с других позиций. Известно, что -уровнем нечеткого множества A X, обозначаемым, как , называется четкое подмножество:

Это подмножество можно также определить характеристической функцией следующего вида:

Следовательно, справедлива следующая импликация:

Определение 2. Пусть нечеткие множества A X и B X, где X - четкое множество. Пусть для каждого нечеткого множества определены множества -уровня следующим образом

где и - функции принадлежности, значения которых выражают степень уверенности агента в принадлежности элемента x множествам A и B соответственно.

Альтернатива a будет предпочтительнее альтернативы b тогда и только тогда, когда , то есть A больше B на уровне .

Обозначим через минимальное значение , при котором выполняется неравенство:

Тогда 1- будет степенью уверенности в предпочтительности a относительно b и безразличия при выборе a или b. Формально это можно записать как A B: (1-).

По аналогии, если содержится в , то есть , то говорят, что A содержится в B на уровне .

Так же, как и в предыдущем случае, можно ввести оценку степени уверенности 1-, где - это минимальное значение , при котором будет справедливым , то можно говорить, что со степенью уверенности равной 1-.

Величину 1- можно считать мерой уверенности ЦА в предпочтительности одной альтернативы над другой. Если величина =1- возрастает (или уменьшается) утверждение A больше B (или A содержится в B) становится более ясным. При =0 любой элемент, принадлежащий нечеткому множеству, будет для ЦА достоверно принадлежать только этому множеству.

Уверенность и информация. Понятие степени уверенности при выборе альтернативы можно использовать в различных моделях выбора: классической и поведенческой.

Легко видеть, что величина =1- зависит от вида функций принадлежности и . Чем меньше размах supp A и supp B (интервал от минимального до максимального значения), тем более четко выражены представления ЦА о ситуации выбора.

Введение меры степени уверенности при сравнении альтернатив позволяет: убежденность агент неопределенность информация

Определить степень достаточности информации для принятия решения. При значении степени уверенности ниже некоторого порога принятие решения откладывается для сбора дополнительной информации.

Определить ценность для ЦА собранной дополнительной информации. Она может быть равной нулю, если степень уверенности не изменится после ее получения. Если величина =1- выросла, то информация способствовала росту степени представления ЦА о ситуации выбора. Если , то либо имеет место дезинформация, либо полученные данные разрушают представление ЦА о ситуации выбора и требуются новые данные.

Значение пороговой величины степени уверенности зависит от индивидуальных характеристик ЦА: более осторожный человек потребует, чтобы степень уверенности была бы высокой; решительный, привыкший рисковать - менее высокой. Это позволяет сформулировать меру для количественной оценки типа ЦА.

Величина позволяет определить направление поиска информации. Пусть имеются два высказывания: X есть G и q X есть F, где F и G - предикаты, представленные в виде нечетких множеств. Тогда, если G F, p q (p влечет q). Это означает, что первое высказывание более информативно, чем второе.

Таким образом, степень уверенности при сравнении объектов для ЦА описывает оценку степени разделения множеств, характеризующих каждый объект. Степень уверенности при поступлении более ценной информации не должна уменьшиться по сравнению со степенью уверенности, сформированной на основе данных прошлого опыта. Обозначим через D - дискриминационный эффект текущих представлений, тогда , то есть дискриминационный эффект более ценной и достоверной информации для ЦА не отрицателен.

Таким образом, более информативное высказывание - это высказывание с меньшей нечеткостью, мешающей разделению объектов. Следовательно, изменение информированности ЦА приводит к изменению его представлений и как следствие к изменению и supp A, и они могут быть использованы в качестве мер информированности ЦА.

Значит, в теории принятия решений для более четкого различения альтернатив между собой, нужно уменьшить нечеткость в оценке каждого исхода и выигрыша при применении альтернативы путем уменьшения нечеткости функции исхода и функции выигрыша (модели объекта и оценок результатов).

Достижение эффекта G F требует увеличение числа учитываемых при описании свойств. При этом каждый добавляемый признак должен увеличивать степень уверенности в различении объектов.

Увеличение числа признаков может привести к двум ситуациям:

1. Новая информация увеличивает степень уверенности в G F, то есть утверждение с новым признаком является более информативным, чем такое же утверждение, но без него.

2. Если сравниваются два объекта с одним и тем же количеством оцениваемых свойств, к которым добавляется еще одно свойство, но его значение у обоих объектов имеет трудно различимую величину, то добавочная информация не повышает степень уверенности в различимости объектов, но и не уменьшает ее.

Третий момент связан с использованием либо редуцированной информации, либо косвенной информации при принятии решения. В этом случае уменьшение информации не оказывает положительного влияния на степень уверенности в правильном разделении объектов.

Заключение