Асимптотический анализ систем управления и интеллектуальное управление

Размещено на http://www.allbest.ru/

Асимптотический анализ систем управления и интеллектуальное управление

Наталья П. Беляева, Михаил Г. Дмитриев

Введение

В работе описываются новые подходы к решению задач оптимального управления с параметром, использующих асимптотический анализ моделей, прямые методы решения вариационных задач и методов Паде - аппроксимаций, нечеткие правила и лингвистические переменные.

Новые знания, усложнение теорий уменьшают вероятность их успешного применения в численном анализе пользователями прежнего уровня. Т.е. при внедрении новых технологий происходит отторжение практиков-инженеров из-за повышающихся требований к квалификации. Решить эту проблему может как обучение, так и создание новых алгоритмов и интеллектуальных интерфейсов. Новые характеристики ЭВМ и их возможности по аналитическим вычислениям позволяют интенсивно вовлекать в теорию и практику управления различные идеи и методы искусственного интеллекта. В частности, при решении многих задач оптимизации и управления перспективным является сочетание формализованных и неформализованных процедур использования знаний. Для задач оптимального управления, как и для других сложных задач, актуальным является изменение традиционной парадигмы приближенных вычислений, ориентированной на получение конкретных численных значений. Бурное развитие мощностей ЭВМ, на наш взгляд, уже в ближайшее время изменит арсенал вычислительных методов, основой которого сегодня являются сеточные методы. Необходимо шире использовать качественные представления, нечеткие логики для усиления традиционных численных подходов.

Асимптотический анализ представляет собой не только классическую науку, но и междисциплинарный предмет, который интенсивно развивается, впитывая в себя идеи из различных областей и выполняя по-прежнему свою главную задачу - давать исследователям технологии качественного исследования сложных, нелинейных явлений. Вторая его функция - построение приближенного решения сегодня, на рубеже 20-21 вв., в отличие от века 19, менее популярна. Связано это, с одной стороны, с тем, что на первый взгляд всегда «дешевле» провести численные расчеты при конкретных данных, чем заниматься построением асимптотики и получать не только количественную информацию, но и качественную. Возможность получения семейства решений, приближенных формул для анализа и управления в реальном времени - вот те преимущества, которые дает традиционная математика, в т.ч. и асимптотический анализ. Отметим, что само понятие малого или большого параметра не является четким с точки зрения приложений, и попытки его формализации резко сужают класс возможных применений. Действительно, при строгом использовании той или иной асимптотики в качестве приближенного решения в конкретных расчетах главный вопрос - является малый или большой параметр таковым. Строгие математические утверждения, гарантирующие корректность асимптотического анализа, как правило, не включают в себя практические случаи и применение асимптотики в численных расчетах, вообще говоря, является нестрогим, эвристическим приемом. Поэтому применение нечеткой логики и нечетких правил в сочетании с асимптотическими методами решения является достаточно естественным.

нечеткий логика асимптотика структурный

Структурный асимптотический анализ и построение субоптимальных управлений

Предположим, что в задаче управления некоторые константы, не являющиеся априори малыми или большими объявляются малыми или большими параметрами. Очевидно, что выбор таких констант своего рода искусство и может опираться, с одной стороны, на анализ прецедентов, а с другой - на использование знаний о свойствах моделей, их асимптотических разложениях и др. Например, знания о подгруппе асимптотически устойчивых движений позволяет выдвинуть гипотезу, что соответствующие переменные могут быть объявлены быстрыми, а следовательно, и получить конкретный способ декомпозиции системы управления. Такие параметры могут также одновременно объявляться и малыми и большими. После выбора малых и/или больших параметров проводится соответствующий асимптотический анализ, и получается в этой выбранной параметрической точке одно или два приближения к решению. Очевидно, что такие решения, опираясь на асимптотические свойства модели, несут в себе некоторые кирпичики знаний о структуре решения. И поэтому соответствующие асимптотики назовем структурными асимптотическими приближениями. Наличие асимптотических приближений любого порядка - очень ценная качественная информация. Сами по себе асимптотики, являясь носителями структурной информации, могут давать плохие численные аппроксимации, и возникает вопрос, как их использовать для численного анализа. С одной стороны, их можно использовать, как описывалось выше в первом разделе, для приближенного построения базиса в прямых вариационных подходах. Чем глубже анализ моделей, чем больше знаний мы используем о моделях, тем больше шансов, что при подборе «базисных» функций прямых методов будет полнее отображаться вся возможная структура решения и как следствие, будет больше возможностей для получения приближенного решения высокой точности. С другой стороны, можно попытаться построить некоторые преобразования либо отдельных асимптотик, либо всех этих структурных элементов с целью повышения качества описания с их помощью решений исходной задачи. Выполненные нами эксперименты [Беляева, Дмитриев, 1994], [Беляева, Дмитриев, 1999], [Беляева, 1999], иллюстрирующих последний тезис о том, что с помощью построения Паде-аппроксимаций на основе имеющихся кирпичиков структурной информации (асимптотических разложений оптимального управления по малому и большому параметру) можно строить допустимые субоптимальные управления. Обратим здесь внимание на обзор [Андрианов и др., 1994] идей асимптотических приемов, в частности, использующих Паде-аппроксимации и подтолкнувшего авторов к развитию Паде-аппроксимаций на тихоновские системы.

Построение Паде - аппроксимации приближенного решения продемонстрируем на примере задачи Коши для обыкновенного дифференциального скалярного уравнения. В качестве предельных асимптотик использовалась асимптотика метода погранфункций [Васильева и др., 1973] при 0 и регулярная асимптотика при . Рассмотрим начальную задачу

dx/dt = f(x,y,t), x(0)=x⁰, (1)

где параметр 0, ]$.

При малых задача (1) является сингулярно возмущенной, и ее асимптотика имеет вид [Васильева и др., 1973]:

x(t, ) = x (t, ) + Пx(, ), =t/, (2)

где x(t, ) = x₀ (t) + x₁ (t) + - регулярный ряд по с коэффициентами, зависящими от t и Пx(,) = П₀x() + П₁x() + - пограничный ряд по с коэффициентами, зависящими от , компенсирующий невязку регулярного ряда вблизи границы t = 0.

При больших ( ) асимптотику решения задачи (1) будем искать в виде разложения по обратным степеням

x(t, ) = X₀ (t) + 1/ X₁ (t) + (3)

Для построения приближенного аналитического решения задачи (1), пригодного во всей области изменения параметра , используем следующую модификацию аппроксимации Паде порядка [n/m] - выражение

X_[n/m](t,) = A(t,, ) / B(t, ), . (4)

где A(t,, ) = a₀(t)+a₀ ()+[a₁(t)+a₁()]++[a_n(t)+a_n()]ⁿ,

B(t, ) = b₀(t)+b₁(t) ++b_m(t)^m).

Здесь = t/ , n,m N, а коэффициенты в (4) есть неизвестные гладкие функции своих аргументов, которые определяются из требования равенства предела выражения (4) при 0 ряду (2), а при - ряду (3).

Численные эксперименты показали, что Паде-аппроксимации на основе предельных асимптотик могут расширить область применимости известных асимптотических разложений при построении приближенных решений начальных задач и служить своеобразным мостом между предельными асимптотиками. Этот же подход может быть применен для краевых задач, а также для задач управления [Беляева, 1999].

Нечеткие процедуры и асимптотика

Часто пакеты по оптимальному управлению содержат итерационные методы локального улучшения начальных приближений к оптимальному управлению. В [Дмитриев, 1984], [Горнов и др., 1985], [Горнов и др., 1986] на различных примерах, в т.ч. и для “жестких” систем была продемонстрирована высокая эффективность использования асимптотического анализа систем управления для формирования качественных начальных приближений на основе нулевых членов асимптотики в итерационных пакетах по оптимальному управлению. Причем хорошая сходимость к глобальному оптимуму наблюдалась в “жестких” задачах даже с грубым начальным приближением, лишь качественно сохраняющим структуру нулевого члена асимптотики. Эксперименты показали, что простой диалог с пользователем, направленный на формирование набора возможных начальных приближений к оптимальному управлению, окупается сторицей из-за конечности числа всех сценариев и небольшого дополнительного времени для расчетов на грубой сетке, с конечным штрафом и т.д. Диалог, который мы проводили в [Дмитриев, 1984], [Горнов и др., 1985], [Горнов и др., 1986], основан был на эвристическом введении малых параметров при производных в тех уравнениях системы управления, которые удовлетворяли бы при этом части условий теоремы Тихонова А.Н. [Васильева и др., 1973] о предельном переходе из теории сингулярных возмущений. Условия эти связаны с асимптотической устойчивостью точки покоя присоединенной системы - корня вырожденной алгебраической системы. Это позволяло отбрасывать производные, понижать размерность задачи управления, менять фазовые переменные на управляющие, определять возможные импульсы у оптимального управления в исходной задаче, и в итоге получать возможную качественную информацию о решении (см. также обзор [Васильева и др., 1982] по системам оптимального управления с пограничным слоем). Надо отметить использование здесь нечетких правил, или неполных знаний, представлений. Если наша цель - построить приближенное аналитическое выражение для параметрического синтеза оптимального управления в некоторой исходной задаче, то его можно строить на основе различных методов, в частности с помощью Паде - аппроксимации, которая, как некоторый мост, покоится на опорах - двух предельных асимптотических разложениях для управления, являющихся структурными асимптотическими приближениями для оптимального управления. Расчеты для модельной задачи, выполненные Н.П.Беляевой [Беляева, 1999], показали, что Паде - аппроксимация управления является приближенным параметрическим синтезом допустимого управления, который для крайних областей изменения параметра обладает свойством субоптимальности и в то же время дает значения функционала лучше, чем любое структурное приближение управления при любом значении параметра.

Таким образом, возможно построение интеллектуального интерфейса в прикладных пакетах по численному решению начальных и краевых задач или задач оптимального управления на основе введения лингвистических переменных и использования нечетких правил. При этом необходимы стартовые гипотезы или правила, позволяющие в интерактивном режиме очертить класс задач.

Для задач оптимального управления, поведение объектов в которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, при использовании для упрощения и декомпозиции математической модели теоремы Тихонова А.Н. [Васильева и др., 1973] правила могут быть следующими:

“если спектр основной функциональной матрицы группы движений в начальной точке лежит в левой полуплоскости, то эти движения хотя бы в начальный момент являются быстрыми”,

“если постоянные времени ряда движений значительно меньше остальных постоянных времени, то эти переменные являются быстрыми”,

“если в системе можно выделить асимптотически устойчивую подсистему, то переменные в подсистеме являются быстрыми”,

“если в системе можно выделить подсистему стабилизируемых движений, то переменные в подсистеме являются быстрыми” и т.д. Последнее правило предполагает использование неполной обратной связи для поиска допустимых и субоптимальных управлений.

Неявное применение таких правил в [Дмитриев, 1984], [Горнов и др., 1985], [Горнов и др., 1986] позволяло выделить претендентов на быстрые переменные, затем переходить к вариантам декомпозиции, грубому расчету предельной задачи и формированию начального приближения в исходной задаче оптимального управления.

В заключение продемонстрируем способ введения лингвистической переменной и использования нечетких правил при приближенном аналитическом решении начальной задачи с параметром. Итак, пусть имеется начальная задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с положительным параметром при части производных (1).

Требуется построить приближенное численно-аналитическое решение при любом допустимом значении параметра . Предположим, что здесь выполнены все условия в теореме Тихонова А.Н. о предельном переходе при допущении, что значение параметра стремится к нулю. В качестве лингвистической переменной сначала введем указанный параметр, обозначим ее “ПАРАМЕТР” со значениями - очень малое(ОМ), малое(М), не очень малое(НОМ), ближе к среднему(БС), среднее(С), выше среднего(ВС), не очень большое(НОБ), большое(Б), очень большое(ОБ). Далее введем еще следующие переменные “РЕШЕНИЕ” - приближенное решение. Для последней опишем область значений - метод погранфункций [Васильева и др., 1973] нулевого порядка(ПФ0), метод погранфункций 1 порядка(ПФ1), Паде-аппроксимация порядка 2-2(Паде 2-2), Паде-аппроксимация порядка1-1(Паде 1-1), метод Пуанкаре [Васильева и др., 1973] второго порядка(Пуан2), метод Пуанкаре первого порядка(Пуан1). Теперь нетрудно связать правилами значения всех этих переменных.

“Если ПАРАМЕТР = ОМ, то РЕШЕНИЕ = ПФ0”

“Если ПАРАМЕТР = М, то РЕШЕНИЕ = ПФ1”

“Если ПАРАМЕТР = НОМ, то РЕШЕНИЕ = Паде 1-1”

“Если ПАРАМЕТР = С, то РЕШЕНИЕ = Паде 2-2”

“Если ПАРАМЕТР = ВС, то РЕШЕНИЕ = Паде 1-1”

“Если ПАРАМЕТР = НОБ, то РЕШЕНИЕ = Паде 1-1”

“Если ПАРАМЕТР = Б, то РЕШЕНИЕ = Пуан2”

“Если ПАРАМЕТР = ОБ, то РЕШЕНИЕ = Пуан1”.

Здесь мы используем допущение, что при очень малом значении параметра в большинстве приложений достаточным является аппроксимация решения с помощью равномерного нулевого приближения метода пограничных функций. Если значения параметра несколько больше, но остается сравнительно малым, достаточным является повышение порядка асимтотики на единицу. Как только мы начинаем выходить за пределы малости параметра, здесь разумно использовать двухточечную Паде-аппроксимацию типа [Беляева, Дмитриев, 1999] первого и второго порядков, т.к. наши численные эксперименты показали, что двухточечная Паде - аппроксимация является оператором, расширяющим область действия структурных асимптотических приближений, и таким образом, эти аппроксимации могут соответствовать качественным приближениям к решениям в “срединной “ области изменения параметра и около нее. И наконец, при стремлении параметра к бесконечности разумно ограничиться аппроксимациями, построенными на асимптотиках типа регулярного разложения Пуанкаре по обратным степеням большого параметра. Как показывают эксперименты, такой подход может быть распространен и на краевые задачи, в которых применяется метод пограничных функций, т.к. условия построения этой асимптотики очерчивают класс постановок, где применимы модификации Паде-аппроксимаций, предложенных в [Беляева, Дмитриев, 1999]. Конечно, здесь необходимо иметь в виду, что погрешность аппроксимации в “срединной” области изменения параметра может быть достаточно большой, но качественная информация о решении возможно сохраняется (своеобразная «структурная память»), и здесь необходимы процедуры улучшения полученного решения.

Литература

[Андрианов и др., 1994] Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптотология: идеи, методы, результаты. М.: изд-во Аслан, 1994. 159 с.

[Беляева, 1999] Беляева Н.П. Разработка алгоритмов построения семейств траекторий динамических систем на основе Паде-аппроксимаций и асимптотических разложений. Автореферат канд. дис. на соиск. учен. степени к.ф.-м.н. по спец.05-13-16. Ярославский госуниверситет, 1999 г.

[Беляева, Дмитриев, 1994] Беляева Н.П., Дмитpиев М.Г. Компьютеpная алгебpа в системах упpавления: некотоpые пpоблемы и постановки. // Tеоpетические и пpикладные основы пpограммных систем: Сб. тpудов. - Пеpеславль-Залесский, ИПС РАН, 1994, с.265-280.

[Беляева, Дмитриев, 1999] Беляева Н.П., Дмитриев М.Г.. Сращивание асимптотик решения начальной задачи с параметром на основе Паде - аппроксимации. В кн.: "Программные системы", М., Наука, 1999, с.66-71.

[Васильева и др., 1973] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973, 272 с.

[Васильева и др., 1982] Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. В сб. Итоги науки и техники. Математический анализ. ВИНИТИ, том 20, 1982, стр.3-77.

[Горнов и др., 1985] Горнов А.Ю., Дмитриев М.Г., Тятюшкин А.И. Опыт решения задач оптимального управления с пограничным слоем // ВЦ СО АН СССР.- Красноярск, 1985.-18 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.11.85, №8441-1385.

[Горнов и др., 1986] Горнов А.Ю., Дмитриев М.Г., Тятюшкин А.И. Опыт решения задач оптимального управления с пограничным слоем // Тезисы докладов 6 Всесоюзного съезда по теорет. и прикл. механике. Ташкент. ФАН УзССР, 1986. с.212-213

[Дмитриев, 1984] Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. Дис. на соиск. д.ф.-м.н.,ф-т ВМК МГУ, 1984. М. 286 с.

[Дмитриев, 1990] Дмитриев М.Г. Применение метода штрафа для решения краевых задач на основе САВ. В сб. Информатика и системный анализ. АН Туркменской ССР, Ашхабад, 1990, с.125-132.

Размещено на Allbest.ru