Создание математических моделей для линейной системы автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание

Для линейной системы автоматического управления, заданной в виде структурной схемы, получить математические модели в различных формах:

· дифференциальное уравнение вход-выход,

· система дифференциальных уравнений в пространстве состояний,

· система дифференциальных уравнений в фазовых переменных

Получить программную модель:

· с помощью RKF45,

· Методом Адамса II порядка (явный)

· выполнить моделирование в любой среде структурного моделирования

Рис. 1. Схема

Преобразование форсирующего звена:

Рис. 2

Система уравнений:

Обозначим вектор X - вектор состояний:

Переобозначим нашу систему:

Дифференциальное уравнение вход-выход

Известно, что выходной сигнал можно выразить через передаточные функции системы по входам x и w.

Применив этот способ, получим выражение:

Разделив обе части уравнения на , получим дифференциальное уравнение вход-выход.

Система дифференциальных уравнений в пространстве состояний

Из полученных ранее уравнений выражаем дифференциал переменных состояния через другие переменные состояния и выходы:



Приведем систему уравнений к виду:

Значит матрицы A и B имеют вид:

Система дифференциальных уравнений в фазовых переменных

Пусть исходная система представлена в виде:

,

где y - выход, x - воздействие на систему, - возмущение.

Матрицы фазовых переменных имеют вид:

В данном случае матрицы A и B будут выглядеть так:

Будут рассмотрены два случая:

a) . Тогда на выходе

b) . Тогда на выходе

Если сложить и , то получим случай, когда на оба входа приходит ненулевой сигнал:

или

Полученные уравнения можно записать в виде:

или

Проверка матриц для систем ДУ

Выполним проверку матриц A и B, полученных для системы ДУ в пространстве состояний. Приведем на графике значения вектора X, полученного с помощью RKF45 и значения, полученные для системы ДУ в пространстве состояний:



Рис. 1

Проверим матрицы A и B в фазовых переменных, которые сравнивались со значениями, полученными с RKF45:

Рис. 2

Проверка матриц в среде MATLab

Код программы в MATLab (для пространства состояний)

function dx=space(t, X)

global A;

global B;

T01 = 0.025;

T02 = 0.35;

T3 = 0.35;

T4 = 0.0085;

KDS = 0.1;

TDS =0.001;

K01 = 1.5;

L = 10*sin(0.5*t);

W = 2*sin(50*t);

A=[ 0 0 -1/T4;

K01/(T01+T02) -1/(T01+T02) (-K01*T3)/((T01+T02)*T4);

0 KDS/TDS -1/TDS];

B=[1/T4 0;

K01*T3/((T01+T02)*T4) -K01/(T01+T02);

0 0];

U=[L; W];

dx=A*X+B*U;

end

Код программы в MATLab (в фазовых переменных)

function DX=fazov_5may(t, X)

global A;

global B;

global A_BLOCK;

global B_BLOCK;

T01 = 0.025;

T02 = 0.35;

T3 = 0.35;

T4 = 0.0085;

KDS = 0.1;

TDS =0.001;

K01 = 1.5;

K02 = 0.7;

A0=K01*KDS;

A1=T4+K01*KDS*T3;

A2=T4*T01+T4*T02+T4*TDS;

A3=T4*T01*TDS+T4*T02*TDS;

L = 10*sin(0.5*t);

W = 2*sin(50*t);

A=[ 0 1 0;

0 0 1;

-(A0/A3) -(A1/A3) -(A2/A3)];

B=[0; 0; 1];

U=[L; W];

A_BLOCK=[A zeros(3,3);

zeros(3,3) A];

B_BLOCK=[B zeros(3,1);

zeros(3,1) B];

DX=A_BLOCK*X+B_BLOCK*U;

end

%[t,X]=ode45('fazov_5may',[0 6.28], [0;0;0;0;0;0])

function Y=fun(X)

T01 = 0.025;

T02 = 0.35;

T3 = 0.35;

T4 = 0.0085;

TDS =0.001;

K01 = 1.5;

A3=T4*T01*TDS+T4*T02*TDS;

B0=K01;

B1=K01*T3+K01*TDS;

B2=K01*T3*TDS;

C0=0;

C1=K01*T4;

C2=K01*T4*TDS;

BC=[B0/A3 B1/A3 B2/A3 C0 C1/A3 C2/A3];

Y=(BC*X)';

end

Программная модель с помощью RKF

Рис. 3 График



Рис. 4

Программная модель методом Адамса II порядка (явный)

Метод Адамса является итерационным, формула n+1 точки имеет вид:

График интегрирования имеет вид:

Рис. 5

Программная модель с помощью среды Simulink



Рис. 6

Полученный график интегрирования:

Рис. 7

Общий вывод графиков интегрирования

Рис. 8

Файл FOR123.DAT содержит вывод интегрирования с помощью программной модели с RKF.

Файл s.txt содержит вывод интегрирования с помощью среды Simulink.

Файл met.txt содержит вывод интегрирования помощью метода Адамса второго порядка реализованного на языке C.

дифференциальный матрица управление интегрирование

Вывод

Моделирование системы тремя разными методами показало одинаковые результаты, что свидетельствует о том, что данные методы можно использовать для моделирования.

Размещено на Allbest.ru