Метод молекулярной динамики. Особенности построения моделей в пакете LAMMPS

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

Кафедра математического моделирования

Выпускная квалификационная работа

Метод молекулярной динамики. Особенности построения моделей в пакете LAMMPS

на степень бакалавра

прикладной математики и информатики

студента 5 курса

Р. Ю. Груздева

Научный руководитель:

доцент, кандидат физ.-мат. наук

А. Н. Соловьев

Ростов-на-Дону, 2014



Оглавление

Введение

1. Общее описание метода

2. Математическая модель

3. Постановка задачи теории упругости для макроскопического и микроскопического тела

4. Описание материала (ZnO)

5. Описание программы для моделирования

6. Практическая задача, анализ результатов

Заключение

Литература

1. 

Введение

молекулярный макроскопический тензор константа

Cлова с приставкой нано- все больше и больше входят в нашу жизнь. Они уже давно означают не только то, что речь идет о чем-то маленьком. Нано значит современный, инновационный, новый, стоящий внимания и того, чтобы вкладывать в это деньги.

Развитие инновационного сектора экономики происходит в форме взаимодействия между наукой и сферой предпринимательства. Наука генерирует новые знания, а предпринимательский сектор осуществляет применение этих знаний в производстве новых товаров, которые обладают ценностью для конечного потребителя Современные фирмы в поиске экономической прибыли стремятся создать уникальную технологию и получить монополию на производимые с ее помощью продукты. До тех пор, пока фирмы-последователи не научатся копировать эти технологии, фирма-инноватор будет получать сверхприбыль.

В результате этих процессов возникают циклы экономической активности, продолжительность которых зависит от новизны и масштаба технологических изменений. Когда Н.Д. Кондратьев в 1923 г.[1] опубликовал свою работу, посвященную большим циклам, мировая экономика находилась в фазе спада третьей волны, технологическая структура которой была представлена отраслями электроэнергетики и химии. В течение XX столетия реализовались еще две волны (автомобилестроение и электроника, информационные и коммуникационные технологии). В настоящее время мир находится в преддверии шестой волны, которая будет основана на развитии нанотехнологий и биотехнологий.

Под наноматериалами (нанокристаллическими, нанокомпозитными, нанофазными,нановолокнистыми и т.д.) принято понимать материалы, основные структурные элементы которых (кристаллы, волокна, слои, поры) не превышают так называемой нанотехнологической границы 100 нм, по крайне мере в одном направлении При моделировании наноразмерных устройств применяются два подхода: в первом тело рассматривается в рамках сплошной среды. Трудность, которая возникает при этом состоит в адекватном описании свойств такой среды. Во втором подходе применяется метод молекулярной динамики (ММД): собирательное название нескольких численных методов решения различных физических задач при помощи моделирования движения атомов, молекул, коллоидных частиц и т.п. частиц, которые составляют исследуемую систему.

В дипломной работе применяется ММД для определения упругих свойств наностержня оксида цинка (ZnO). Оксид цинка - это уникальный материал, который проявляет как полупроводниковые, так и пьезоэлектрические свойства. Наиболее частое применение в электронике - в лазерных диодах и светодиодах.

В качестве инструмента моделирования выбрана программа LAMMPS -Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator. В LAMMPS возможно задание потенциалов взаимодействия между частицами, а также задать тип схемы, по которой осуществляется дискретизация среды, координаты частиц, приложенные силы и закрепление, а затем решить поставленную задачу. Далее, исходя из полученных микропараметров, мы можем сделать выводы о макропараметрах и в конструкции, где встречается рассмотренный наноэлемент использовать первый подход, в котором задачу решать, например, методом конечных элементов.

В работе содержится развернутое описание ММД, рассматриваются особенности построения моделей в пакете LAMMPS, представляется модель для расчета упругих констант оксида цинка.

В главе 1 даются предпосылки для использования ММД, приводится список статей и работ в этой области.

В главе 2 приводится математическая модель ММД и описываются использованные в работе потенциалы.

В главе 3 описывается постановка задачи теории упругости для макроскопического тела, а также приводятся уравнения для определения тензора упругих констант микроскопического тела через потенциал.

В главе 4 описывается материал (оксид цинка ZnO) и некоторые его особенности.

В главе 5 описывается программа, выбранная для моделирования(LAMMPS).

В главе 6 описываются рассмотренные задачи, а также проводится анализ результата.



1. Общее описание метода

При решении задач, в которых происходит сильное деформирование и разрушение, возникают сложности описания данных процессов в рамках классической механики сплошной среды.

С другой стороны, современные технологии обладают достаточными теоретическими сведениями и вычислительным потенциалом, которые позволяют моделировать внутреннюю структуру материала в процессе деформирования.

Особый интерес в этой области связан с появлением технологической возможности не только наблюдать и измерять элементы внутренней структуры твердых тел, но и оказывать влияние на эту структуру, а в случае нанотехнологий и создавать необходимые структурные элементы на микроуровне. В этой ситуации особую актуальность приобретает развитие аналитических и компьютерных моделей, которые бы могли адекватно описать механические свойства подобных сред и структур.

Бурное развитие вычислительной техники позволило на новом уровне вернуться к проблеме описания сред с микроструктурой, дополняя компьютерным моделированием решение проблем, недоступных для аналитического решения. Таким образом, с одной стороны, повышаются возможности теоретических исследований, а, с другой стороны, появляется возможность многократно дублировать дорогостоящие экспериментальные исследования. Не имея возможности существовать независимо от аналитической теории, создающей расчетную модель, и эксперимента, обеспечивающего соответствие между моделью и реальностью, компьютерное моделирование оказывается важным звеном, объединяющим теорию и эксперимент.

В данной ситуации большие перспективы могут быть связаны с использованием метода частиц, который относительно мало использовался для моделирования механического поведения твердых тел. Являясь типичным методом компьютерного моделирования, он позволяет получать качественно новые результаты за счет количественной сложности компьютерной модели. Как принципиально дискретный метод, он не имеет недостатков континуальных моделей, проявляющихся при нарушении сплошности вещества или в результате дискретности его внутренней структуры.

Метод частиц состоит в представлении тела совокупностью взаимодействующих частиц (материальных точек или твердых тел), описываемых законами классической механики. Одним из наиболее хорошо разработанных вариантов этого метода является ММД. В классической молекулярной динамике в качестве частиц выступают атомы и молекулы, составляющие материал. В настоящее время потенциалы межатомного взаимодействия для важнейших материалов достаточно хорошо известны, что позволяет моделировать динамику молекулярных соединений с высокой степенью точности. В связи с открытием принципиально новых механических и физических свойств у материалов, имеющих структурные элементы нанометрового масштаба, чрезвычайно повысился интерес к моделированию материалов на микроскопическом масштабном уровне. Метод молекулярной динамики, при сегодняшнем развитии вычислительной техники, позволяет рассматривать объемы материала размером до кубического микрометра, что соответствует примерно миллиарду частиц (куб 1000 х 1000 х 1000 частиц). Таким образом, практически любые наноструктуры могут быть смоделированы с чрезвычайно высокой степенью точности на современных многопроцессорных вычислительных системах. Поэтому данный метод является важнейшим теоретическим инструментом для разработки нанотехнологий в механике материалов.[2]

ММД был использован в работе Биллера «Роль машинных экспериментов в исследованиях материалов», в которой был описан динамический метод расчета, а также возможности включения в этот метод ряда термодинамических и статистических свойств жидкостей.[3],[5]

В работе Шольца, Лемана «Проблемы устойчивости, случай передачи малой энергии и поведение колеблющихся точечных дефектов в металлах» ММД был использован для моделирования подпороговых событий в макроскопическом кристалле.[4],[5]. Старые работы имеют теоретическое направление.

В качестве современных работ можно привести работы Dimitrios Vlachakis, Elena Bencurova, Nikitas Papangelopoulos, Sophia Kossida[6], Venkateswara Rao Mangaa, Stefan Bringuiera, Joshua Paula, Saivenkataraman Jayaramanb, Pierre Lucasa, Pierre Deymiera, Krishna Muralidharan[7], Fangfang Deng, Meihong Xie, Xiaoyun Zhang, Peizhen Li, Yueli Tian, Honglin Zhai, Yang Li[8]. В [6] описано текущее положение дел в ММД, а работы [7],[8] посвящены непосредственно моделированию. Современные работы в данной области имеют более практическую направленность.

Несомненное преимущество метода частиц по сравнению с методами, основанными на концепции сплошной среды, заключается в том, что он требует значительно меньше априорных предположений о свойствах материала. Действительно, использование только простейшего потенциала взаимодействия (например, типа Леннарда-Джонса) позволяет моделировать такие сложнейшие эффекты, как пластичность, образование трещин, разрушение, температурное изменение свойств материала, фазовые переходы. Для описания каждого из этих эффектов в рамках сплошной среды требуется отдельная теория, в то время как при моделировании методом частиц эти эффекты получаются автоматически, в результате интегрирования уравнений движения. В частности, необратимость механических процессов достигается за счет перехода механической энергии длинноволновых движений материала в тепловую энергию хаотического движения частиц.

Потенциал взаимодействия в динамике частиц играет такую же роль, что и определяющие уравнения в механике сплошной среды. Однако структура потенциала неизмеримо проще, чем у определяющих уравнений, так как он представляет собой скалярную функцию расстояния, в то время как определяющие уравнения представляют собой операторы, в которые входят тензорные характеристики напряженного состояния и деформирования, а также термодинамические величины. Конкретный вид потенциала взаимодействия частиц определяется из сравнения механических свойств компьютерного и реального материалов.

Для простейших характеристик, таких как, например, упругие модули, это сравнение может быть проведено аналитически. В остальных же случаях соответствие устанавливается на основе тестовых компьютерных экспериментов.

Метод частиц обладает тем преимуществом, что, в силу ограниченности радиуса взаимодействия между частицами, он допускает почти полное распараллеливание процессов, происходящих в смежных областях пространства. Это позволяет эффективно применять данный метод на многопроцессорных вычислительных системах, полностью реализуя их возможности по увеличению быстродействия и управлению большими объемами данных.[2]

2. Математическая модель

Имеется N взаимодействующих материальных точек(частиц), которые находятся под воздействием некоторого внешнего силового поля. Уравнения движения имеют вид

(1)

где и - векторы положения и скорости k-ой частицы,

(2)

m-масса частицы. Ц(r) и Ш(r,v) описывают консервативную и неконсервативную составляющую взаимодействия между частицами, и описывают внешнее консервативное и неконсервативное силовое поле. Неконсервативная составляющая описывает внутреннюю диссипацию системы, в данной работе она не рассматривается. Рассмотрим консервативную составляющую

(3)

где f(r) - скалярная сила взаимодействия между частицами, П(r) - потенциал взаимодействия. Величина Ф(r) является важнейшим силовым фактором, во многих задачах все остальные силовые факторы уравнения (1) отбрасываются.

Моделирование методом молекулярной динамики с математической точки зрения представляет собой решение задачи Коши для уравнений (1). Начальные условия включат себя координаты и скорости каждой частицы. Генерация начальных условий - отдельная нетривиальная задача, так как мы должны учесть строение вещества, расположение частиц, их скорости, макро- и микропараметры, а это все существенно влияет на свойства материала и результаты вычислений.

На рис. 1 представлены одни из возможных начальных параметров



Рис. 1

В простейшем случае, для моделирования метода молекулярной динамики может быть использован потенциал Ленарда-Джонса(потенциал 6-12), который записывается в следующем виде

где r - расстояние между центрами частиц, е - глубина потенциальной ямы, у - расстояние, на котором энергия взаимодействия становится равной нулю. Характерный вид данного потенциала представлен на рис. 2.



Рис.2

При больших r молекулы притягиваются, что соответствует члену со степенью 6 в формуле. Эту зависимость можно обосновать теоретически, и обусловлена она силами Ван-дер-Ваальса(диполь-дипольное индуцированное взаимодействие). На малых же расстояниях молекулы отталкиваются из-за обменного взаимодействия(при перекрытии электронных облаков молекулы начинают сильно отталкиваться), чему соответствует член со степенью 12 в формуле.

Потенциал Ленарда-Джонса описывает парное взаимодействие между молекулами, поэтому он не подходит для моделирования материалов с большой плотностью, т.к. в этом случае, строго говоря, взаимодействие уже не является парным.

В дипломной работе используется COMB(charge-optimized many-body)-потенциал. Его применение обусловлено тем, что многие вещества содержат разнородные связи, например: металлы и оксиды металлов, полупроводников и оксиды металлов и оксиды металлов и газообразные молекулы, и др. В связи с этим, National Science Foundation (NSF) и Department of Energy (DOE) совместно с профессором Simon Phillpot (University of Florida) разработали COMB-потенциал. Этот потенциал учитывает динамический перенос заряда между атомами. На данный момент, ведется работа по параметризации третьего поколения COMB-потенциала, которое будет применимо для металлических и металл-оксидных систем. В настоящее время, параметризация проведена для многих веществ, в частности для ZnO, и данный потенциал может быть использован в LAMMPS.Его вид

где - собственная энергия i-го атом, - взаимодействие i-го и j-го атомов, - описывает кулоновские взаимодействия, - поляризация, - взаимодействия Ван-дер-Ваальса, - барьерная функция, - корректировки углов.

3. Постановка задачи теории упругости для макроскопического и микроскопического тела

Статическая задача анизотропной теории упругости описывается системой дифференциальных уравнений

и граничными условиями

где - искомые компоненты вектора смещении; - известные компоненты вектора смещений и поверхностных нагрузок; - компоненты тензоров напряжения и упругих постоянных; - внутренние поверхности трещины или отверстия. - тензор деформаций.

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная.

Для ортотропного тела закон Гука может быть представлен в матричной форме следующим образом

В это соотношении входят 9 констант, характеризующих упругие свойства тела. Для их определения может быть решен набор статических задач для прямоугольного параллелепипеда (рис.3)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

со следующими граничными условиями

1) x = l_x: у_xx=p, у_xy=у_xz=0 x = 0: u_x=0, у_xy=у_xz=0

2) y = l_y: у_yy=p, у_xy=у_yz=0 y = 0: u_y=0, у_xy=у_yz=0

3) …

В качестве дополнительной информации для решения задачи определения коэффициентов служит значения компонент тензора деформации, которые «измеряем» в численном эксперименте.

Рассмотрим эту задачу с точки зрения метода молекулярной динамики.Тензор жесткости простой кристаллической решетки имеет вид [11, 12]

где - радиус-вектор атома(узла) решетки(б - номер узла). - модуль .

Функция П представляет собой потенциал взаимодействия между частицами; - объем элементарной ячейки; - тензор четвертого ранга, представляющий собой тензорное произведение четырех векторов . Узлы решетки нумеруются относительно рассматриваемого атома, причем =. Согласно определенной выше формуле, тензор жесткости простой кристаллической решетки абсолютно симметричен, то есть симметричен относительно любой перестановки входящих в тетрады векторов, а стало быть, компоненты тензора жесткости симметричны относительно произвольной перестановки индексов. Если ограничиться взаимодействием только ближай-ших соседей по кристаллической решетке, то тогда формула существенно упростится

где - жесткость межатомной связи, а - норма вектора а.

4. Описание материала (ZnO)

Оксид цинка ZnO встречается в виде белого порошка, известного как минерал цинкит. Он нашел широкое применение в шинной, лакокрасочной, нефтеперерабатывающей промышленностях.

Оксид цинка - это уникальный материал, который проявляет как полупроводниковые, так и пьезоэлектрические свойства. Этот полупроводник, обладающий широкой прямой запрещённой зоной ~3.3 эВ при комнатной температуре, имеет хорошую прозрачность, высокую электронную мобильность, сильную люминесценцию при комнатной температуре. Поэтому наиболее частое применение в электронике - в лазерных диодах и светодиодах.

Оксид цинка кристаллизуется в трёх фазах: гексагональный вюрцит, кубический сфалерит, и редко встречаемая кубическая модификация поваренной соли. Наиболее часто встречаемая форма - вюрцит. Форма сфалерита может быть устойчивой при выращивании ZnO на подложках с кубической решёткой. ZnO со структурой типа поваренной соли наблюдается при относительно высоких давлениях. Гексагональная структура и структура сфалерита не обладают симметрией по отношению к инверсии. Это приводит к пьезоэлектрическим свойствам этих модификаций и пироэлектрическим свойствам гексагонального ZnO. Как и у большинства II-VI материалов, связь в ZnO преимущественно ионная, что объясняет сильные пьезоэлектрические свойства.

В последнее время широко исследуются выращенные на подложке наноиглы и наностержни ZnO. Вюрцитная структура этих наностержней имеет выделенное направление роста, что позволяет легко получать структуры высокого качества с различным диаметром и высотой. Наностержни на подложке - самая выгодная модификация для создания светодиодов микроскопических размеров. В некоторых полевых транзисторах наностержни ZnO используются как проводящие каналы. Острые окончания наноигл ZnO многократно усиливают электрическое поле. Поэтому они могут использоваться как полевые эмиттеры. Оксид цинка кристаллизуется в трёх формах: гексагональный вюрцит, кубический сфалерит, и редко встречаемая кубическая модификация поваренной соли. Наиболее чаще встречаемая форма - вюрцит. Форма сфалерита может быть устойчивой при выращивании ZnO на подложках с кубической решёткой. ZnO со структурой типа поваренной соли наблюдается при относительно высоких давлениях ~10 ГПа.



Рис. 4 - структура вюрцита

Структура вюрцита получается из гексагональной плотноупакованной решётки, состоящей из двух взаимопроникающих гексагональных решёток Браве с базисом из двух одинаковых атомов на позициях (0,0,0) и (a/2,,с/2). Структура вюрцита состоит из двух ГПУ структур с позициями t₁=(0,0,0) и t₂=(0,0,с/2), занятыми различными атомами. Для идеального тетраэдрического окружения константы a и c будут связаны друг с другом соотношением . В реальных структурах наблюдаются отклонения от этого соотношения.

Для контролируемого синтеза наноструктур необходимо установление фундаментальных взаимосвязей геометрии наноматериала с его электронной и магнитной структурами. Задача определения локальной структуры многих объектов, включая перспективные для спинтроники и нанофотоники наностержни со структурой сердцевина-оболочка разбавленных магнитных полупроводников семейства ZnO/ZnO:Mn, требует новых методик исследования, так как существующие экспериментальные методы не позволяют с высокой точностью определять трехмерное распределение атомов.



5. Описание программы для моделирования

В качестве инструмента для моделирования была выбрана программа LAMMPS(Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator).

Рис. 5

Эта программа обладает рядом особенностей, главными из которых являются:

— Открытый исходный код

— Свободная лицензия.

— Допускается возможность использования совместно с другим кодом

— Использование совместно с МКЭ

На рис. 5 представлен сайт программы.

Программа для LAMMPS представляет собой текстовый скрипт, команды в котором выполняются последовательно. Первое слово в строке - название команды, далее через пробел идут ее параметры, если они есть и нужны.

Каждый скрипт должен обладать четкой последовательностью, выделяют 4 раздела:

1. Инициализация

2. Задание атомов

3. Настройки

4. Запуск

В разделе инициализации задаются параметры, которые необходимы для задания атомов. К ним относятся - определение размерности решаемой задачи, единиц измерения, задание потенциалов и др.

В разделе задания атомов происходит определение решетки и создание атомов. Это можно сделать тремя способами - прочитать данные из файла, если он был создан в другой программе; с помощью команд LAMMPS; дублировать существующие атомы, например, если хотим расширить область симуляции.

В разделе настроек устанавливаются параметры, необходимые для запуска - это параметры потенциалов, вид выходных данных, граничные условия, переменные и т.д.

В последнем разделе происходит запуск вычислений. Может быть запущена молекулярная динамика, либо молекулярная статика(минимизация энергии).[9]

6. Практическая задача, анализ результатов

В ходе производственной и преддипломной практики были рассмотрены следующие задачи:

1) Деформирование плоской пластины.

2) Определение тензора упругих констант кремния.

3) Определение тензора упругих констант оксида цинка.

Задачи 1 и 2 являются модельными задачами и были рассмотрены для того, чтобы приобрести навыки работы в LAMMPS.

Задача 1. Имеется плоская пластина. Граничные условия аналогичны граничным условиям, описанным в главе 3, но для двумерной задачи. Была проведена следующая дискретизация по прямоугольной схеме

Рис. 6

Т.к. данная задача является модельной, здесь все атомы это частицы единичной массы, единицы измерения - безразмерные.[9]

Для данной задачи был получен следующий результат

Рис. 7

Рис. 8

Задача 2. Имеется наноразмерный параллелепипед из кремния, требуется вычислить его тензор упругих констант. Эта модельная задача идет в качестве примера к LAMMPS и показывает один из способов вычисления данного параметра в этой программе.

Выполнена следующая дискретизация

Рис. 9

Для данной задачи были получены следующие результаты

Рис. 10

Экспериментальные значения для кремния (E. R. Cowley, 1988)[9]:

C11 = 151.4 GPa

C12 = 76.4 Gpa

C44 = 56.4 GPa

Задача 3. Построить наностержень оксида цинка, используя структуру вюрцита, и вычислить его тензор упругих констант.

В ходе дискретизации была получена следующая модель

Рис.11

Для построенной модели в ходе экспериментов были получены следующие результаты(единицы измерения - ГПа):

С11	219
С12	120
С13	104
С33	230
С44	51
С66	44

Сравним их с данными, полученными в результате практических опытов и других численных экспериментов[10]:



Рис. 12



Заключение

В дипломной работе была рассмотрена актуальность исследования нанотехнологий с естественнонаучной(как следующий этап научно-технического прогресса) и экономической(как способ получения сверхприбыли) точек зрения. Был подробно описан ММД, исследованы причины его применения и условия применимости, дана математическая модель метода. В качестве потенциала взаимодействия был выбран COMB-потенциал, один из современных потенциалов, который активно параметризуется в настоящее время. Моделирование проводилось в программе LAMMPS, были рассмотрены две модельные задачи и решена задача по нахождению тензора упругих констант для оксида цинка.

В качестве дальнейшей работы возможно усложнение поставленной задачи - рассматривать динамическую либо пъезоэлектрическую задачи, также, возможно исследование моделей с более сложной кристаллической решеткой.



Литература

[1] Гринин Л. Е. Вербальная модель соотношения длинных кондратьевских волн и среднесрочных жюгляровских циклов // История и математика: Анализ и моделирование глобальной динамики. Ред. А. В. Коротаев, С. Ю. Малков, Л. Е. Гринин. М.: Книжный Дом «ЛИБРОКОМ», 2010. С. 44-111

[2]. А.М. Кривцов, Н.В. Кривцова, Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела, Дальневосточный математический журнал ДВО РАН, 2002, Т. 3, №2, с. 254-276.

[3] Beeler J.R., Jr., The Role of Computer Experiments in Material Research. - Advanced in Material Research, 1970, v.4, p.295-476.

[4] Scholz A., Lehman Ch., Stability Problems, Low-Energy-Recoil Events and Vibrational Behavior of Point Defects in Metals. - “Phys. Rev.”, 1972, v.136, p.813.

[5] Позднеев Д.Б., Машинное моделирование при исследовании материалов, изд. «Мир», Москва 1974.

[6] Dimitrios Vlachakis, Elena Bencurova, Nikitas Papangelopoulos, Sophia Kossida, Advances in Protein Chemistry and Structural Biology, Volume 94, 2014, Pages 269-313.

[7] Venkateswara Rao Manga, Stefan Bringuier, Joshua Paul, Saivenkataraman Jayaraman, Pierre Lucas, Pierre Deymier, Krishna Muralidharan, Original Research Article, Calphad, Volume 46, September 2014, Pages 176-183.

[8] Fangfang Deng, Meihong Xie, Xiaoyun Zhang, Peizhen Li, Yueli Tian, Honglin Zhai, Yang Li, Original Research Article, Journal of Molecular Structure, Volume 1067, 5 June 2014, Pages 1-13.

[9] LAMMPS User Manual.

[10] Paul Erhart, Niklas Juslin, Oliver Goy, Kai Nordlund, Ralf Muller, Karsten Albe, Analytic bond-order potential for atomistic simulations of zinc oxide,

[11] Кривцов А. М. К теории сред с микроструктурой // Тр. СПбГТУ. 1992. №443. С. 9-17.

[12] Krivtsov А. М. Constitutive Equations of the Nonlinear Crystal Lattice. // ZAMM. 1999. V. 79. №S2. P. 419-420.

Размещено на Allbest.ru