Нагрев стержня

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Лысьвенский филиал

Пермского Государственного технического университета

Кафедра ЕН

Курсовая работа

по дисциплине «Моделирование систем»

тема: Нагрев стержня

Выполнил:

Студент гр. БИВТ-05

Крутов Е.А.

Проверил преподаватель:

Половодова К.Л.

Лысьва, 2007 г.

Содержание

Введение

1.1 Тепловая энергия

1.2 Теплопередача

1.2.1 Теплопроводность

1.2.2 Конвенция

1.3 Цель работы

1.4 Методология и методы проведения работы

1.5 Результаты работы с параметрами и характеристиками разработанной модели

2. Моделирование

2.1 Формализация задач моделирования

2.2 Описание предметной области

2.3 Построение математической модели

3. Реализация модели

3.1 Алгоритмы

3.1.1 Алгоритм вычисления температуры стержня

3.1.2 Алгоритм функции вычисления температуры узла сетки

3.1.3 Алгоритм функции вычисления максимальной разницы температур между двумя временными слоями

3.2 Листинг программы

3.3 Результаты работы программы

Вывод

Список использованных источников



Введение

Областью исследования данной работы является динамика изменения температуры в стержне длиной / с теплоизолированными концами, который в начальный момент времени имеет одинаковую вдоль всего стержня температуру Т0, если температура на его концах скачком изменилась и поддерживается равной 2Т0 на левом конце и нулю на правом. Полученная математическая модель имеет вид системы из одного дифференциального уравнения. Данная модель в классификации по цели моделирования относится к имитационным и ее целью является исследование динамики изменение температуры стержня. Для ее реализации целесообразно использовать моделирования по средствам ЭВМ, методами численного решения систем дифференциальных уравнения, в следствии чего ее реализация значительно упрощается.



1. Теплопроводность

1.1 Тепловая энергия

Тепловамя энемргия -- форма энергии, связанная с движением атомов, молекул или других частиц из которых состоит тело. По сути тепловая энергия -- это энергия механических колебаний структурных элементов вещества (будь то атомы, молекулы или заряженные частицы). Тепловая энергия тела также называется внутренней энергией.

Тепловая энергия может выделяться благодаря химическим реакциям (горение), ядерным реакциям (ядерный синтез), механическим взаимодействиям (трение). Тепло может передаваться между телами с помощью теплопроводности, конвекции или излучения.

Температумра (от лат. temperatura -- надлежащее смешение, нормальное состояние) -- физическая величина, примерно характеризующая приходящуюся на одну степень свободы среднюю кинетическую энергию частиц макроскопической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия.

В системе СИ температура измеряется в кельвинах. Но на практике часто применяют градусы Цельсия из-за привязки к важным характеристикам воды -- температуре плавления (0°C) и температуре кипения (100°C). Это удобно, так как большинство климатических процессов, процессов в живой природе и т. д. связаны с этим диапазоном.

Температура -- величина, обратная изменению энтропии (степени беспорядка) системы при добавлении в систему единичного количества теплоты: 1/T = ДS/ДQ.

В равновесном состоянии температура имеет одинаковое значение для всех макроскопических частей системы. Если в системе два тела имеют одинаковую температуру, то между ними не происходит передачи кинетической энергии частиц (тепла). Если же существует разница температур, то тепло переходит от тела с более высокой температурой к телу с более низкой, потому что суммарная энтропия при этом возрастает.

Температура связана также с субъективными ощущениями «тепла» и «холода», связанными с тем, отдает ли живая ткань тепло или получает его.

Некоторые квантово-механические системы могут находится в состоянии, при котором энтропия не возрастает, а убывает при добавлении энергии, что формально соответствует отрицательной абсолютной температуре. Однако такие состояния находятся не «ниже абсолютного нуля», а «выше бесконечности», поскольку при контакте такой системы с телом, обладающим положительной температурой, энергия передается от системы к телу, а не наоборот (подробнее см. Квантовая термодинамика).

Свойства температуры изучает раздел физики -- термодинамика. Температура также играет важную роль во многих областях науки, включая другие разделы физики, а также химию и биологию.

1.2 Теплопередача

В физике теплопередача - процесс передачи тепловой энергии от более горячего тела к более холодному либо непосредственно(при контакте), либо через разделяющую (тела или среды)перегородку из какого-либо материала. Когда физические тела одной системы находятся при разной температуре, то происходит передача тепловой энергии, или теплопередача от одного тела к другому до наступления термодинамического равновесия. Передача тепла всегда происходит от более горячего тела к более холодному, что является следствием второго закона термодинамики. Теплопередачу невозможно остановить, возможно только замедлить её.

1.2.1 Теплопроводность

Теплопровомдность -- это способность вещества пропускать через свой объём тепловую энергию, а также количественная оценка этой способности (также называется коэффициентом теплопроводности).

Явление теплопроводности заключается в том, что кинетическая энергия атомов и молекул, которая определяет температуру тела, передаётся другому телу при их взаимодействии или передается из более нагретых областей тела к менее нагретым областям.

Исторически считалось, что передача тепловой энергии связана с перетеканием теплорода от одного тела к другому. Однако более поздние опыты, в частности, нагрев пушечных стволов при сверлении, опровергли реальность существования теплорода как самостоятельного вида материи. Соответственно, в настоящее время считается, что явление теплопроводности обусловлено стремлением занять состояние более близкое к термодинамическому равновесию, что выражается в выравнивании температуры.

В установившемся режиме поток энергии, передающейся посредством теплопроводности, пропорционален градиенту температуры:

(F -- вектор потока тепла -- количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной каждой оси, -- коэффициент теплопроводности T -- температура.) Это выражение известно как закон теплопроводности Фурье.

В интегральной форме это же выражение запишется так (если речь идет о стационарном потоке тепла от одной грани параллелепипеда к другой):

(P -- полная мощность тепловых потерь, S -- площадь параллелепипеда, ДT -- перепад температур, h -- толщина параллелепипеда.)

Коэффициент теплопроводности измеряется в Вт/(м·K) или W·m-1·K-1.

1.2.2 Конвенция

Конвемкция (от лат. convectio -- принесение, доставка) -- явление переноса теплоты в жидкостях, газах или сыпучих средах потоками самого вещества (неважно, вынужденно или самопроизвольно). Существует т. н. естественная конвекция, которая возникает в веществе самопроизвольно при его неравномерном нагревании в поле тяготения. При такой конвекции, нижние слои вещества нагреваются, становятся легче и всплывают вверх, а верхние слои, наоборот, остывают, становятся тяжелее и погружаются вниз, после чего процесс повторяется снова и снова. При некоторых условиях процесс перемешивания самоорганизуется в структуру отдельных вихрей и получается более или менее правильная решётка из конвекционных ячеек.

Естественной конвекции обязаны многие атмосферные явления, в том числе, образование облаков. Благодаря тому же явлению движутся тектонические плиты. Конвекция ответственна за появление гранул на Солнце.

При вынужденной конвекции перемещение вещества обусловлено действием каких-то внешних сил (насос, лопасти вентилятора и т. п.).

1.2.3 Тепловое излучение

Тепловое излучение -- электромагнитное излучение со сплошным спектром, испускаемое веществом и возникающее за счёт его внутренней энергии (в отличие, например, от люминесценции, возникающей за счёт внешних источников энергии). В физике для корректного расчёта теплового излучения принята модель абсолютно чёрного тела, тепловое излучение которого описывается законом Стефана - Больцмана.



1.3 Цель работы

Целью данной работы является изучение динамики изменения температуры в стержне длиной / с теплоизолированными концами, который в начальный момент времени имеет одинаковую вдоль всего стержня температуру Т0, если температура на его концах скачком изменилась и поддерживается равной 2Т0 на левом конце и нулю на правом.

1.4 Методология и методы проведения работы

Для проведения данной работы было выбран метод математического моделирования. Для реализации и данной модели и проведение эксперимента было выбрано Компьютерное моделирование. Этапы моделирования представлены на рисунке 2.

Рис 1. Этапы моделирования



1.5 Результаты работы с параметрами и характеристиками разработанной модели

Результатом проведенной работы стали данные полученные в результате моделирование погружения глубинно бомбы с различным временем задержки взрывателя и формы корпуса бомбы. Данные, полученные в процессе моделирования представлены ниже

Рис 2. Диаграмма зависимости температуры в уздах стержня от координаты(вертикальная ось) и времени (горизонтальная) при l=3 a=1 t0=100



2. Моделирование

2.1 Формализация задач моделирования

Главной задачей моделирование изучение стержнь длиной / с теплоизолированными концами, который в начальный момент времени имеет одинаковую вдоль всего стержня температуру Т0, если температура на его концах скачком изменилась и поддерживается равной 2Т0 на левом конце и нулю на правом.. Для выполнения этой задачи нужно промоделировать температуру стержня во всех узлах сетки на протяжении времени пока в них не установятся стационарные значения

2.2 Описание предметной области

Теплопровомдность -- это способность вещества пропускать через свой объём тепловую энергию, а также количественная оценка этой способности (также называется коэффициентом теплопроводности).

Явление теплопроводности заключается в том, что кинетическая энергия атомов и молекул, которая определяет температуру тела, передаётся другому телу при их взаимодействии или передается из более нагретых областей тела к менее нагретым областям.

Исторически считалось, что передача тепловой энергии связана с перетеканием теплорода от одного тела к другому. Однако более поздние опыты, в частности, нагрев пушечных стволов при сверлении, опровергли реальность существования теплорода как самостоятельного вида материи. Соответственно, в настоящее время считается, что явление теплопроводности обусловлено стремлением занять состояние более близкое к термодинамическому равновесию, что выражается в выравнивании температуры.

В установившемся режиме поток энергии, передающейся посредством теплопроводности, пропорционален градиенту температуры:

(F -- вектор потока тепла -- количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной каждой оси, -- коэффициент теплопроводности T -- температура.) Это выражение известно как закон теплопроводности Фурье.

В интегральной форме это же выражение запишется так (если речь идет о стационарном потоке тепла от одной грани параллелепипеда к другой):

(P -- полная мощность тепловых потерь, S -- площадь параллелепипеда, ДT -- перепад температур, h -- толщина параллелепипеда.)

Коэффициент теплопроводности измеряется в Вт/(м·K) или W·m-1·K-1.

2.3 Построение математической модели

Рис 3.Однородный стержень.



Вводя коэффициент пропорциональности k, называемый коэффициентом теплопроводности, получаем:

Значение k определяется материалом стержня.

Количество тепла в следующей точке определяется той же формулой:

Таблица 1 - Расшифровка обозначений и диапазоны значений.

Обозначение	Расшифровка	Диапазон значений
U	температуры узла	-2e8..2e8
dt	Время между итерациями	1e-7..10
a	Коэффициент теплопроводности	-2e11..2e10
l	Длинна стержня	-2e11..2e10
dх	Изменение координат узла	-2e8..2e8



3. Реализация модели

Программная реализация модели производилась в среде разработки Delphi. В качестве метода решения системы дифференциальных уравнений был выбран метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

3.1 Алгоритмы

3.1.1 Алгоритм вычисления температуры стержня

3.1.2 Алгоритм функции вычисления температуры узла сетки



3.1.3 Алгоритм функции вычисления максимальной разницы температур между двумя временными слоями

температура теплоизолированный модель стержень

3.2 Листинг программы

type

TForm1 = class(TForm)

GroupBox1: TGroupBox;

ComboBox1: TComboBox;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Edit1: TEdit;

Label3: TLabel;

Edit2: TEdit;

GroupBox2: TGroupBox;

ScrollBar1: TScrollBar;

Label4: TLabel;

Button1: TButton;

Button2: TButton;

Button4: TButton;

Button5: TButton;

GroupBox3: TGroupBox;

Image1: TImage;

Image2: TImage;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Edit3: TEdit;

Label9: TLabel;

Edit4: TEdit;

Label10: TLabel;

RadioButton3: TRadioButton;

RadioButton4: TRadioButton;

Edit5: TEdit;

Edit6: TEdit;

Timer1: TTimer;

CheckListBox1: TCheckListBox;

procedure show2d;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure FormShow(Sender: TObject);

function prover:boolean;

procedure ScrollBar1Change(Sender: TObject);

procedure Button5Click(Sender: TObject);

procedure Timer1Timer(Sender: TObject);

function raz:Double;

function f(a,dx,dt,u0,u1,u2:Double):Double;

procedure Button2Click(Sender: TObject);

procedure Button4Click(Sender: TObject);

procedure CheckListBox1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

const aA:array[0..9] of Double=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10);

var

Form1: TForm1;

a,l,t0,dt,dx,t:Double;

aT:array[0..100000] of Double;

aTp:array[0..100000] of Double;

implementation

uses Unit2, Unit3, Unit4;

{$R *.dfm}

procedure tform1.show2d;

var i,j:integer; k1,k2,k3,k4:double;

ar:array[1..400] of Double;

begin

if raz>0.001 then

begin

for i:=0 to round(l/dx) do atp[i]:=at[i];

at[0]:=2*t0;

at[round(l/dx)]:=0;

for i:=1 to round(l/dx)-1 do begin

k1:=f(a,dx,dt,at[i-1],at[i],at[i+1]);

k2:=f(a,dx,dt,at[i-1],at[i]+k1/2,at[i+1]);

k3:=f(a,dx,dt,at[i-1],at[i]+k2/2,at[i+1]);

k4:=f(a,dx,dt,at[i-1],at[i]+k3,at[i+1]);

at[i]:=at[i]+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

end;

t:=t+dt;

edit6.text:=floattostr(t);

for i:=1 to 400 do

begin

ar[i]:=at[round(i*(l/dx)/400)];

end;

for i:=1 to 400 do

begin

for j:=1 to 40 do

begin

image1.Canvas.Pixels[i-1,j-1]:=rgb(round(255*ar[i]/(2*t0)),0,round(255*(1-(ar[i]/(2*t0)))));

end;

end;

if checklistbox1.Checked[0] then

begin

if (round(t/dt)+25)>=form2.Image1.Width then begin

form2.Image1.Width:=form2.Image1.Width+1;

form2.Image1.ClientWidth:=form2.Image1.ClientWidth+1;

form2.Image1.Repaint;

form2.Image1.Refresh;

form2.Image1.Canvas.Refresh;

end;

for i:=1 to 400 do form2.Image1.Canvas.Pixels[round(t/dt)+20,i+20]:=rgb(round(255*ar[i]/(2*t0)),0,round(255*(1-(ar[i]/(2*t0)))));

form2.Image1.Canvas.Refresh;

end;

if checklistbox1.Checked[1] then

begin

form3.Caption:='T(x) t='+floattostr(t);

form3.Series1.Clear;

for i:=1 to 400 do form3.Series1.AddXY((i/400)*l,ar[i],'',rgb(round(255*ar[i]/(2*t0)),0,round(255*(1-(ar[i]/(2*t0))))))

end;

if checklistbox1.Checked[2] then

begin

for i:=1 to round(l/dx)-1 do begin

form4.StringGrid1.Rows[form4.StringGrid1.RowCount-1].Strings[0]:=floattostr(t);

form4.StringGrid1.Rows[form4.StringGrid1.RowCount-1].Strings[1]:=floattostr(i*dx);

form4.StringGrid1.Rows[form4.StringGrid1.RowCount-1].Strings[2]:=floattostr(at[i]);

form4.StringGrid1.RowCount:=form4.StringGrid1.RowCount+1;

end;

end;

end

else timer1.Enabled:=false;

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var a:array[1..400] of Double; i,j:integer;

begin

if prover then

begin

if t=0 then

begin

if checklistbox1.Checked[0] then

begin

form2.Show;

for i:=20 to form2.image1.Width do

for j:=20 to 420 do form2.Image1.Canvas.Pixels[i,j]:=clwhite;

form2.image1.Canvas.TextOut(440,450,' ');

form2.image1.Canvas.TextOut(440,450,floattostr(2*t0));

form2.image1.Canvas.TextOut(5,20,floattostr(l));

end;

if checklistbox1.Checked[1] then

begin

form3.Show;

end;

if checklistbox1.Checked[2] then

begin

form4.Show;

form4.StringGrid1.RowCount:=2;

form4.StringGrid1.Rows[1].Strings[0]:='';

form4.StringGrid1.Rows[1].Strings[1]:='';

form4.StringGrid1.Rows[1].Strings[2]:='';

end;

at[0]:=2*t0;

for i:=1 to round(l/dx)-1 do at[i]:=t0;

at[round(l/dx)]:=0;

end;

timer1.Enabled:=true;

end;

end;

procedure TForm1.FormShow(Sender: TObject);

var i,j:integer;

begin

for i:=1 to 400 do

begin

for j:=1 to 50 do

begin

image2.Canvas.Pixels[i-1,j-1]:=rgb(round(255*i/400),0,round(255*(1-i)/400));

end;

end;

end;

function tform1.prover;

begin

try

try

prover:=false;

if radiobutton3.Checked then a:=aA[combobox1.itemindex];

if radiobutton4.Checked then a:=strtofloat(edit5.Text);

except

on EConvertError do begin edit5.Text:='';

showmessage('Неправельный формат числа "коэффициент теплопровадности"');//если данные не являются числом

end;

end;

try

l:=strtofloat(edit1.Text);

except

on EConvertError do begin edit1.Text:='';

showmessage('Неправельный формат числа "длинна стержня"');//если данные не являются числом

end;

end;

try

t0:=strtofloat(edit2.Text);

label6.Caption:=floattostr(t0*2);

except

on EConvertError do begin edit2.Text:='';

showmessage('Неправельный формат числа "начаоьная температура"');//если данные не являются числом

end;

end;

try

dt:=strtofloat(edit3.Text);

except

on EConvertError do begin edit3.Text:='';

showmessage('Неправельный формат числа "dt"');//если данные не являются числом

end;

end;

try

dx:=strtofloat(edit4.Text);

except

on EConvertError do begin edit4.Text:='';

showmessage('Неправельный формат числа "dx"');//если данные не являются числом

end;

end;

try

t:=strtofloat(edit6.Text);

except

on EConvertError do begin edit6.Text:='0';

showmessage('Неправельный формат числа "время"');//если данные не являются числом

end;

end;

if ((a*a*dt)/(dx*dx))<0.5 then

prover:=true

else showmessage('(a*a*dt/(dx*dx))='+floattostr(((a*a*dt)/(dx*dx)))+'>0.5');

except

on EConvertError do showmessage('Неправельный формат числа');//если данные не являются числом

end;

end;

procedure TForm1.ScrollBar1Change(Sender: TObject);

begin

timer1.Interval:=scrollbar1.Position;

end;

procedure TForm1.Button5Click(Sender: TObject);

begin

edit6.Text:='0';

timer1.Enabled:=false;

end;

function tform1.raz;

var i:integer; max:Double;

begin

max:=abs(atp[0]-at[0]);

for i:=1 to round(l/dx) do begin

if abs(atp[i]-at[i])>max then max:=abs(atp[i]-at[i]);;

end;

raz:=abs(max);

end;

procedure TForm1.Timer1Timer(Sender: TObject);

begin

show2d;

end;

function tform1.f;

begin

f:=a*a*dt*(u2-2*u1+u0)/(dx*dx);

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

timer1.Enabled:=false;

end;

procedure TForm1.Button4Click(Sender: TObject);

var i:integer;

begin

if prover then

begin

if t=0 then

begin

at[0]:=2*t0;

for i:=1 to round(l/dx)-1 do at[i]:=t0;

at[round(l/dx)]:=0;

end;

end;

show2d;

end;

procedure TForm1.CheckListBox1Click(Sender: TObject);

begin

if checklistbox1.Checked[0] then

form2.Show;

if checklistbox1.Checked[1] then

form3.Show;

if checklistbox1.Checked[2] then

form4.Show;

end;

end.

3.3 Результаты работы программы

Моделирование производилось различных параметров.

Рис 4. Диаграмма зависимости температуры в уздах стержня от координаты(вертикальная ось) и времени (горизонтальная) при l=3 a=1 t0=100



Рис 5. Диаграмма зависимости температуры в уздах стержня от координаты(вертикальная ось) и времени (горизонтальная) при l=1 a=1 t0=100

Рис 6. Диаграмма зависимости температуры в уздах стержня от координаты(вертикальная ось) и времени (горизонтальная) при l=1 a=2 t0=100

Рис 7. График зависимости температуры в уздах стержня от координаты при l=10 a=1 t0=100 t=0.001

Рис 8. График зависимости температуры в уздах стержня от координаты при l=10 a=1 t0=100 t=0.09

Рис 9. График зависимости температуры в уздах стержня от координаты при l=10 a=1 t0=100 t=0.249



Вывод

Выполнив данную лабораторную работы я выполнил основную поставленную передо мной цель а именно исследовал динамики изменения температуры в стержне длиной / с теплоизолированными концами, который в начальный момент времени имеет одинаковую вдоль всего стержня температуру Т0, если температура на его концах скачком изменилась и поддерживается равной 2Т0 на левом конце и нулю на правом. По результатам моделирование был сделан вывод что время переходного процесса пропорционален квадрату длины стержня и обратно пропорционален коэффициенту температуропроводности.

Список использованных источников

1. Фленов М. Е. Delphi. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 368 с: ил.

2. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных. М.: Мир, 1989.-55

3. А.В.МОГИЛЕВ, Н.И.ПАК, Е.К.ХЕННЕР ПРАКТИКУМ ПО ИНФОРМАТИКЕ 2005 609с.

4. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. -- М.: Наука, 1978. -- 399 с.

5. Трофимова В. И. Курс Физики 2003 542 с.

Размещено на Allbest.ru