Аппроксимация 3-й краевой задачи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аппроксимация 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности

А.А. Семенякина

Д.С. Хачунц

И.Ю. Кузнецова

C.В. Проценко

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение диффузии-конвекции-реакции [1, 2], которое выступает как задача транспорта веществ:

с учетом граничных условий:

где f - функция, описывающая распределение и интенсивность источников, м - коэффициент турбулентного обмена, u,v - компоненты вектора скорости.

Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи введем равномерную сетку:

где - шаг по времени, - границы по пространству, - верхняя граница по времени, - шаги по пространству,

В случае частичной заполненности ячеек дискретные аналоги 2-ого порядка погрешности аппроксимации операторов конвективного и диффузионного переноса выглядят следующим образом [3,4]:

где - коэффициенты «заполненности» контрольных областей [5].

Для аппроксимации третьей краевой задачи диффузии-конвекции достаточно рассмотреть оператор диффузионного переноса Построим аппроксимацию оператора диффузионного переноса разностной схемой четвертого порядка точности, аппроксимируя оператор вторым порядком точности [6, 7]. аппроксимация конвективный диффузионный погрешность

3-я краевая задача

Рассмотрим случай, когда Тогда для получения схемы четвертого порядка погрешности аппроксимации достаточно будет рассмотреть выражение

Для этого доопределим задачу вычислительными граничными условиями Для этого обозначим:

, , .

Запишем аппроксимацию оператора

Аппроксимация оператора с учетом граничного условия и :

(3)

(4)

Подставим (3) в выражение (4), в результате чего получим:

.

Таким образом, представление оператора диффузионного переноса разностной схемой, четвертого порядка точности может быть записано в следующем виде:

(5)

.

Рассмотрим аппроксимацию граничных условий. Пусть , тогда аппроксимация оператора диффузионного переноса запишется:

. (6)

Представим в виде ряда Тейлора функцию в узлах относительно

,

Запишем с учетом преставлений (7):

.

Подставим данное выражение в уравнение (6), в результате чего получим:

. (8)

Из полученного выражения и равенств следует, что схема (9) аппроксимирует оператор диффузионного переноса в случае граничных условий третьего рода со вторым порядком точности.

Теперь рассмотрим случай , тогда аппроксимация оператора диффузионного переноса запишется:

(9)

Представим в виде ряда Тейлора функцию в узлах относительно

(10)

(11)

(12)

Запишем с учетом преставлений (10) - (12):

(13)

Выражение (9) с учетом равенства (13) запишется в следующем виде:

. (14)

Из полученного выражения и равенств следует, что схема (14) аппроксимирует оператор диффузионного переноса в приграничных узлах в случае граничных условий третьего рода со вторым порядком точности.

Построены схемы повышенного (четвертого) порядка точности для операторов конвективного и диффузионного переносов, которые учитывают заполненность ячеек. Исследована аппроксимация третьей краевой задачи диффузии-конвекции для оператора диффузионного переноса. Схема повышенного (четвертого) порядка точности для оператора диффузионного переноса аппроксимирует данный оператор в приграничных узлах в случае граничных условий третьего рода со вторым порядком точности. Для аппроксимации задачи по временной переменной предлагается использовать схемы с весами [8]. После дискретизации задача сводится к решению сеточных уравнений для решения которых предлагается применять адаптивный вариант попеременно-треугольного метода [9], который показал себя как наиболее эффективный метод при решении задач гидродинамики [10, 11].

Работа выполнена при частичной поддержке задания №2014/174 в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России, РФФИ по проектам №15-07-08626, № 15-01-08619.

Литература

1. Дегтярева Е.Е., Проценко Е.А., Чистяков А.Е. Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях// Инженерный вестник Дона. 2012. Т. 23. № 4-2. С. 30. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1283.

2. Никитина А.В., Чистяков А.Е., Фоменко Н.А. Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды// Инженерный вестник Дона. - 2012, - Т.20, №2, - С. 335-339. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2012/794

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука, 1989.

4. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежных водных системах на многопроцессорной вычислительной системе // Вычислительные методы и программирование. 2014. Т. 15. №4. С. 610-620.

5. Сухинов А.И., Проценко Е.А., Чистяков А.Е., Шретер С.А. Сравнение вычислительных эффективностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах // Выч. мет. программирование, 2015. Т 16. №3. C. 328-338.

6. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Семенякина А.А., Никитина А.В. Параллельная реализация задач транспорта веществ и восстановления донной поверхности на основе схем повышенного порядка точности // Вычислительные методы и программирование. 2015. Т. 16. № 2. C. 256-267.

7. Чистяков А.Е., Семенякина А.А. Применение методов интерполяции для восстановления донной поверхности // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2013. №4. - С. 21-28.

8. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E., Shishenya A. V. Error estimate for diffusion equations solved by schemes with weights // Mathematical Models and Computer Simulations. 2014. Vol. 6, Issue 3. pp. 324-331.

9. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E. Adaptive modified alternating triangular iterative method for solving grid equations with a non-self-adjoint operator // Mathematical Models and Computer Simulations. 2012. Vol. 4, Issue 4. pp. 398-409.

10. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs // Mathematical Models and Computer Simulations. 2014. Vol. 6, Issue 4. pp. 351-363.

11. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E., Timofeeva E. F., Shishenya A. V. Mathematical model for calculating coastal wave processes // Mathematical Models and Computer Simulations. 2013. Vol. 5, Issue 2. pp. 122-129.

Размещено на Allbest.ru