Конструирование поверхностей на базе плоской шестиугольной 3-ткани

Ключевые слова: математическое моделирование, компьютерная графика, моделирование поверхностей, шестиугольные 3-ткани.

В этой работе предлагается новый способ конструирования поверхностей на основе плоской 3-ткани, когда каждое семейство линий несет на себе некоторую информацию, определяющую параметры конструируемой поверхности.

Пусть в координатной плоскости XOY пространства задано семейство параллельных прямых. Будем считать, что каждая прямая семейства является проекцией некоторой кривой принадлежащей поверхности . Пусть также для упрощения дальнейших выкладок прямые этого семейства параллельны координатной оси OX. Тогда уравнение такого семейства имеет вид:

, (1)

где

Поставим каждой точке прямых этого семейства в соответствие некоторое значение аппликаты z. При этом значение аппликат может быть либо дискретным, либо непрерывным вдоль прямых семейства. Во втором случае необходимо задать начальные значения аппликат в точках М_i^н, а также зависимости аппликат от положения текущей точки на прямой семейства (например, линейный, квадратичный, кубический и т.д.). Уравнения таких зависимостей запишем в виде:

. (2)

Введем на плоскости XOY еще одно семейство прямых параллельных теперь координатной оси OY и будем полагать, что каждая прямая такого семейства является проекцией некоторой линии, принадлежащей конструируемой поверхности . Уравнение второго семейства прямых запишется в виде:

, (3)

где .

Очевидно, что значения аппликат z_ij произвольной точки M_ij поверхности равны значениям аппликат уравнения (2) - z_i. При этом изменение значений аппликат вдоль прямых второго семейства может быть, как и в первом случае, дискретным и непрерывным. Характер зависимости значений аппликат устанавливается в следующем виде:

. (4)

Очевидно, что из уравнений (2) и (4) можно определить поведение касательных z_i` и z_j' вдоль направлений параллельных осям OX и OY соответственно. Таким образом, можно утверждать, что прямые 1-го и 2-го семейств несут на себе информацию не только о величинах аппликат, но и о поведении касательных вдоль ортогональных направлений.

Далее введем третье семейство диагональных параллельных прямых, уравнение которых запишется в виде:

(5)

где ,.

Каждая прямая 3-го семейства является проекцией некоторой кривой принадлежащей моделируемой поверхности . Уравнения кривых можно записать в виде:

. (6)

В узлах такой 3-сети поверхность значения z_i, z_j, z_ij должны быть равными, т.к. они принадлежат поверхности .

Такая сеть будет являться шестиугольной 3-тканью.

Тогда уравнение сети поверхности будет иметь вид:

(7)

где ,.

Вид отсека поверхности при непрерывных значениях z_i и z_j показан на рис. 1. Если изменения значений z_i и z_j дискретно вдоль линий семейств, то мы получаем треугольную сеть в пространстве. треугольную сеть в пространстве показана на рис. 2.

Рис. 1. - Вид отсека поверхности Ф

Рис. 2. - Треугольная сеть в пространстве

Управлять формой отсеков поверхности можно, изменяя коэффициенты a и b в уравнении вида:

, (8)

Если наложить условия непрерывности в узлах 3-сети, то эта сеть будет определять некоторую поверхность. Для того, чтобы 3-сеть определяла поверхность необходимо, чтобы якобианы составленные попарно из производных функций f₁(x), f₃ (x_ij, y_ij) и f₂(y), f₃ (x_ij, y_ij) не были равны 0. Условие гладкости определяется равенством все производных в узлах 3-сети.

Такая сеть необходима на этапе предварительного моделирования поверхностей.

Частными случаями полученных таким способом поверхностей являются поверхности переноса, поверхности зависимых сечений и линейчатые поверхности.

Таким образом, для задания поверхности требуется задать плоскую шестиугольную 3-ткань как пучки прямых с собственными или несобственными центрами, а затем надстроить над узлами 3-ткани массив точек, на который натягивается моделируемая поверхность по заданным условиям.

Литература

1. Рачковская Г.С. Математическое моделирование кинематических линейчатых поверхностей на основе однополостного гиперболоида вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов // Инженерный вестник Дона. 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1499.

2. Рачковская Г.С. Математическое моделирование и компьютерная визуализации сложных геометрических форм // Инженерный вестник Дона. 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1498.

3. Аракелян Г.С. О многомерных три-тканях: автореф. дис. канд. физ.-мат. М., 2006. 141 с.

4. Акивис М.А., Шелехов А.М. Многомерные три-приложения // монография. Тверь: ТвГУ, 2010. 308 с.

5. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometric model of kinematic surfaces on the base of one-sheet hyperboloidal surfaces of revolution (one fixed axoid is located in the interior of another axoid). Japan: 14^th International Conference on Geometry and Graphics, 2010, 385 p.

6. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometrical model and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of pairs axoids: torse - cone and cone - torse. Canada, Toronto: 15^th International Conference on Geometry and Graphics, 2012, 415 p.

7. Толстихина Г.А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размермерностей: автореф. дис. д-р физ.-мат. наук: 01.01.04. Казань, 2007. 29 с.

8. Пиджакова Л.М. Три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.04. - Тверь, 2009. - 20 с.

9. Шестакова М.А. Шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук наук: 01.01.04. Тверь, 2003. - 116 с.

10. Гольдберг В.В. О существовании паратактических три-тканей // Известия высших учебных заведений. Математика, 2008. №4 (551). - С. 22-27.

Размещено на Allbest.ru