Численное решение нелинейной задачи устойчивости цилиндрических изотропных оболочек на основе динамического критерия

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Уравнения, определяющие устойчивость цилиндрических изотропных оболочек относятся к классу «жёстких» нелинейных дифференциальных уравнений. Метод Рунге - Кутта - Фальберга и ему подобные требует много времени на составление программы численного решения, её отладку и само решение уравнений.

Самый простой способ их численного интегрирования предлагается системами руководства для решения инженерных задач Mathcad. Дифференциальные уравнения в них заменены уравнениями в конечных разностях и представлены в матричном виде.

Найдём критическое напряжение цилиндрической оболочки, сжатой силой q, равномерно распределённой по торцам оболочки (рис. 1).

Рис. 1

(1)

Уравнения (1) введением новых переменных:

,

приводятся к нормальному виду задачи Коши и решаются численными методами.

В первом уравнении (1) заменим погонным значением силы q и будем считать, что она линейно изменяется во времени, а её наибольшее значение запишем через критическое напряжение , полученное по линейной теории устойчивости.

При таком представлении силы q критическое напряжение будет долей напряжения, найденного по линейной теории устойчивости.

Теперь уравнение (1) примет вид:

(2)

Для решения на ЭВМ оно приводятся к нормальному виду уравнений задачи Коши введением новых переменных:

(3)

и уравнения (2) становятся уравнениями первого порядка.

Программы Mathcаd для решения систем этих уравнений очень просты, возможно и символьное, и численное решение задач.

Обозначим в (2) множители при квадратных скобках Ак, множители при амплитудах перемещений Вк, тогда (2 и 3) предстанут в виде:

(4)

.

.

Программа решения «жёстких» дифференциальных уравнений для определения критической силы дана после представления в матричном виде.

Амплитуды перемещений точек fk и их производные в начальных условиях обозначим:

x1=f1, x2= f2, x3=f3 , x4=,..x6=,

а в решении задачи

t=z1, f1=z2, f2=z3, f3=z4; .

В этих обозначениях получится такая программа решения:

ORIGIN=1

. (5)

D (t, x) - матрица первых и вторых производных амплитуд перемещений, в ней А,- коэффициенты при первых производных:

,,;

,

Bk - коэффициенты при перемещениях,

x и z1- пределы интегрирования уравнений.

Последовательность вычисления амплитуд перемещений fi их производных c помощью операторов программирования Mathcad обычная - сверху вниз, справа налево.

Решение начинается с набора некоторой функции, например:

z= rkfixed (x, 0, 1, D, 100),

в которой начальное 0 и конечное 1 значения амплитуды прогиба, 100 - максимальное число шагов интегрирования уравнений.

Решение выдаётся в виде графиков (рис. 2).

Критическое время (рис. 3б), время, до которого оболочка только сжимается по образующим её срединной поверхности, и докритическое состояние её безынерционно: ускорение по опасной гармонике амплитуды перемещений:

критический дифференциальный цилиндрический уравнение

Потеря устойчивости, динамический процесс, начинается с появления сил инерции (рис 3б), когда ускорение движения точки по нормали к срединной поверхности z5 > 0.

При символьном решении уравнений Bk в матрице D (t, x) даны при числах волн т=п= 1.

Для численного решения уравнений элементы матрицы D (t,x).

B1=B1 (r, l, h, m, n, t), Bi=Bi (r, l, m, n ), i= 1, 2, 3,

коэффициенты при амплитудах перемещений fi =х1, f2=x2, f3=x3 , представляются векторами или функциями числа полуволн m=1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8 и числа волн n =2,3, 4, 5, 6,7, 8 , которые потом перебираются при каждом значении t < 1.

Рис. 2

Решение может быть представлено и графиками, и таблицами.

Критическое время оболочки, как показано на рис. 2 соответствует z1= t =0.6, до которого оболочка только сжимается вдоль образующих её срединной поверхности.

Найденное таким решением уравнений устойчивости безразмерное критическое напряжение дюралюминиевой оболочки диаметром 0,5 м. длиной 2 м. и толщиной 2 мм. (r/h =250) соответствует математическому ожиданию безразмерного параметра критического напряжения =0,375 результатов известных экспериментов по рис. 3.

Рис. 3

Критическое давление газа (жидкости), действующего на внешнюю поверхность цилиндрической оболочки, так же можно найти решением уравнений (1). Если это давление одинаково по всей поверхности, в первом уравнении (1) оно представляется в виде . Критическое время той же цилиндрической оболочки tkp = z1=0,5 (рис. 2), соответствующее ему критическое давление составляет половину критического давления, найденного по формуле Папковича. Заметим, кстати, что при практических расчётах найденное критическое давление для оболочек с r/h= 1000 по формуле Папковича умножают на = 0,5. Проекции вектора перемещений и вектора скоростей, когда при численном решении применяется функция z= rkfixed (x, 0, 1, D, 100), точны только в конечной точке.

По перемещениям точек оболочки определяются деформации:

,

,

,

затем напряжения по обобщённому закону Гука:

,

,

.

По ним находят эквивалентное напряжение.

Размещено на Allbest.ru