Применение системы MathCad для исследования температуры нагрева цилиндрической катушки

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Исследование технического объекта -- сложный и длительный процесс, в котором стадия проектирования имеет решающее значение в осуществлении замысла и достижении высокого технического уровня. Под техническим объектом понимается техническая система -- машина, механизм, технический комплекс, технологический процесс, а также любой их компонент, выделяемый в процессе проектирования путем декомпозиции (деления) структуры целостного объекта на отдельные блоки, части, элементы и т. п.

Темой данной курсовой работы, является исследование температуры нагрева цилиндрической катушки в среде с применением системы MathCad.

Решение этой задачи становится возможным на основе автоматизации проектирования - широкого применения вычислительной техники для выполнения проектных операций и процедур.

Системы автоматизированного проектирования, неизбежность и эффективность использования которых уже ни у кого не вызывает сомнений, являются необходимым инструментом оптимизации вычислительного процесса. Системы MathCAD традиционно занимают особое место среди множества таких систем и по праву могут называться самыми современными, универсальными и массовыми математическими системами, позволяющими выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления.

Таким образом, перед нами стоят следующие задачи:

- исследование поведения температуры нагрева цилиндрической катушки от времени;

- определение времени, начиная с которого температура будет наибольшей;

- проведение исследований влияния значений температуры среды, в которой находится катушка;

- вычисление аналитических аппроксимирующих функций с помощью системы MathCad.

1. Математическое моделирование технического объекта

1.1 Понятие математической модели, свойства и классификация

Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель -- это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Математическая модель объекта моделирования - это система математических элементов (чисел, переменных, уравнений, неравенств, множеств, матриц, графов и т.д.) и отношений между ними, адекватно отражающая некоторые свойства объекта, существенные с точки зрения инженера, для решения той или иной задачи, согласно.

Вид, состав, сложность математической модели зависит от того, какой объект она описывает и для каких целей разработана.

Классификация в любой области знаний чрезвычайно важна. Она позволяет обобщить накопленный опыт, упорядочить понятия предметной области. Не является исключением в этом смысле и математическое моделирование. В таблице 1 показаны виды математических моделей по различным признакам классификации.

Таблица 1.1 Классификация математических моделей

Приведенная классификация математических моделей может быть применена по отношению к любым объектам.

Математические модели на микроуровне производственного процесса отражают физические процессы, протекающие, например, при резании металлов. Они описывают процессы на уровне перехода (прохода).

Математические модели на макроуровне производственного процесса описывают технологические процессы.

Математические модели на метауровне производственного процесса описывают технологические системы (участки, цехи, предприятие в целом).

Структурные математические модели предназначены. для отображения структурных свойств объектов. Например, в САПР ТП для представления структуры технологического процесса, расцеховки изделий используется структурно - логические модели.

Функциональные математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т.д., согласно.

Аналитические математические модели представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от параметров входных и внутренних.

Имитационные математические модели - это алгоритмические модели, отражающие развитие процесса (поведение исследуемого объекта) во времени при задании внешних воздействий на процесс (объект). Например, это модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.

Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.

Детерминированные математические модели описывают поведение объекта с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, технологические процессы обработки деталей и т.д.

Вероятностные математические модели учитывают влияние случайных факторов на поведение объекта, т.е. оценивают его будущее с позиций вероятности тех или иных событий. Примеры таких моделей: описание ожидаемых длин очередей в системах массового обслуживания, ожидаемых объемов выпуска сверхплановой продукции производственным участком, точности размеров в партии деталей с учетом явления рассеяния и т.д.

К математическим моделям предъявляются следующие основные требования: универсальности, точности, адекватности, экономичности.

К математическим моделям предъявляется и целый ряд других требований, среди которых следует выделить следующие:

1. Вычислимость, т.е. возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).

2. Модульность, т.е. соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы).

3. Алгоритмизируемость, т.е. возможность разработки соответсвующих алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ.

4. Наглядность, т.е. удобное визуальное восприятие модели.

1.2 Система MathCad, основные функции

MATHCAD- универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.

MathCAD работает с документами. С точки зрения пользователя, документ - это чистый лист бумаги, на котором можно размещать блоки трех основных типов: математические выражения, текстовые фрагменты и графические области.

Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение - слева направо и сверху вниз.

К основным элементам математических выражений MathCAD относятся типы данных, операторы, функции и управляющие структуры.

Операторы - элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т.д.

Оператор определяет:

- действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операндов;

- сколько, где и какие операнды должны быть введены в оператор.

- Операнд - число или выражение, на которое действует оператор. Например, в выражении 5! + 3 число 3 и выражение 5! - операнды оператора + (плюс), а число 5 операнд оператора факториал (!). После указания операндов операторы становятся исполняемыми по документу блоками.

К типам данных относятся числовые константы, обычные и системные переменные, массивы (векторы и матрицы) и данные файлового типа.

Константами называют поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены. Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т. д. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами. Идентификаторы в MathCAD представляют собой набор латинских или греческих букв и цифр.

Дискретные аргументы -- особый класс переменных, который в пакете MathCAD зачастую заменяет управляющие структуры , называемые циклами (однако полноценной такая замена не является). Эти переменные имеют рядфиксированных значений, либо целочисленных (1 способ), либо в виде чисел с определенным шагом, меняющихся от начального значения до конечного (2 способ).

Name := Nbegin.. Nend,

где Name -- имя переменной, Nbegin -- ее начальное значение, Nend- конечное значение символ, указывающий на изменение переменной в заданных пределах (вводится клавишей). Если Nbegin<Nend, то шаг переменной будет равен +1, иначе -1.

Name := Nbegin, (Nbegin + Step).. Nend

Здесь Step- заданный шаг изменения переменной (он должен быть положительным, если Nbegin<Nend, или отрицательным в обратном случае).

Дискретные аргументы значительно расширяют возможности MathCAD, позволяя выполнять многократные вычисления или циклы с повторяющимися вычислениями, формировать векторы и матрицы.

Массив -- имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса. В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов:

· одномерные (векторы);

· двумерные (матрицы).

Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом. Индексы могут иметь только целочисленные значения. Они могут начинаться с нуля или единицы, в соответствии со значением системной переменной ORIGIN.

Функция -- выражение, согласно которому проводятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовое значение.

Главным признаком функции является возврат значения, т.е. функция в ответ на обращение к ней по имени с указанием ее аргументов должна возвратить свое значение.

Функции в пакете MathCAD могут быть встроенные, т. е. заблаговременно введенные разработчиками, и определенные пользователем.

1.3 Аппроксимация функций в MathCad

Для простейших уравнений вида f(x)=0 решение в MathCad находится с помощью функции root.

root(f(х1, x2, …), х1),

где

f(х1, x2, …) - функция описывающая левую часть выражения вида f(x)=0. Выражение должно возвращать скалярные значения;

х1 - имя переменной, относительно которой решается уравнение.

Функция реализует вычисления итерационными методами и требует предварительного задания начального приближения искомой переменной (х1). Эта переменная называется варьируемой. Функция позволяет найти как вещественные корни, так и комплексные. В этом случае начальное приближение нужно задать как комплексное число, согласно.

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть:

- Известны из физического смысла задачи;

- Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных;

- Найдены графическим способом.

Для нахождения корней выражения, вида:

,

используется функция polyroots. В отличие от функции root, polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные. Общий вид polyroots(v), где v - вектор коэффициентов полинома длины , n - степень полинома.

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Наиболее распространенным является блочный метод. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

Mathcad возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных. Решающим блоком - называется часть документа, расположенная между ключевыми словами Given и Find.

Функция Minerr очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minerr такие же, как и функции Find. Общий вид Minerr Minerr(z1, z2, ...). Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Для решения дифференциальных однородных дифференциальных уравнений (ОДУ) - с начальными условиями пакет Mathcad имеет ряд встроенных функций:

- rkfixed - функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

- Rkadapt - функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге-Кутта с переменным шагом;

- Bulstoer -функция решения ОДУ и систем ОДУ методом - метод Булирша-Штёра если заранее известно, что решением является гладкая функция.

Рассмотрим подробнее каждую из этих функций:

- rkfixed(y, x1, x2, p, D) - возвращает матрицу первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы - решения, первые n-1 производные. Функция возвращает матрицу, состоящую из 1+n строк. Аргументы функции: y - вектор начальных условий (k элементов); x1 и x2 - границы интервала, на котором ищется решение ОДУ; p - число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение; D - вектор, состоящий из k элементов, который содержит первые производные искомой функции.

- Rkadapt(y, x1, x2, p, D) - назначение параметров то же, что и для функции rkfixed. Существует несколько модифицированная функция rkadapt(y,x1,x2, acc,p,D,k,s) - где добавлены параметры k - максимальное число промежуточных точек решения; s - минимально допустимый интервал между точками; acc - погрешность решения (рекомендуется порядка 0.001).

- Bulstoer(y, x1, x2, p, D) - назначение параметров то же, что и для функции rkfixed.

2. Алгоритмический анализ задачи

Цилиндрическая катушка изготовлена из медной проволоки. При прохождении через ее электрического тока выделяется теплота. Вывести формулу для температуры T = T(t) установившегося режима как функции времени t. С использованием системы MathCAD исследовать поведение функции T(t), а также определить время, начиная с которого температура будет наибольшей.

Исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции T(t). Значения варьируемого параметра выбрать самостоятельно.

Построить сводный график всех полученных функций T(t) на одном поле. Вычислить аналитические аппроксимирующие функции по результатам исследований п.2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.

Исходные данные к проекту: T(t) - функция температуры, k =278,4 Вт - коэффициент теплопроводности, с=0,720 Дж/кг*К - удельная теплоемкость материала, =2,1 кг/м3 - плотность материала(железо), T0 = 20 С - температура среды, в которой находится катушка, T(0) = T0, S=0,35 м2 - площадь поверхности катушки, V=16 м3 - объем, q=18750k Дж - количество теплоты, выделяемое на протяжении единицы времени.

Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира. Количество теплоты, выделяемое при прохождении через катушку электрического тока, выражается формулой:

(1)

Результатом решения дифференциального уравнения является следующая функция времени:

(2)

3. Описание реализации задачи математической модели

Для проведения исследования воспользуемся системой MathCad. Исследование будем проводить несколько раз, каждый раз изменяя температуру среды T0, и решая численно дифференциальное уравнение для заданных исходных данных. Дифференциальное уравнение будем решать на промежутке от 0 до 10 с количеством шагов интегрирования равным 1000.

Объем возьмем равный 18, 20, 22, 24, 26, 28, 34, 38, 40, 43 и 48.

Вначале решения задачи введем исходные данные задачи: температуру среды, плотность материала г, время исследования, коэффициент теплопроводности, удельную теплоемкость материала, площадь поверхности катушки, объем, количество теплоты, выделяемое на протяжении единицы времени. Определили время, начиная с которого температура будет наибольшей. Для этого вначале определили максимальную температуру на исследуемом участке, затем уточнили время, когда температура станет максимальной.

Для каждой температуры среды выполним следующие вычисления в системе MathCad:

- определили начальные условия для решения дифференциального уравнения;

- для решения дифференциального уравнения определили исходное уравнение;

- при помощи функции rkfixed численно решим заданное уравнение с заданными начальными условиями с количеством шагов интегрирования равным 1000, определив, таким образом, функцию изменения температуры нагрева цилиндрической катушки от времени исследования на интервале от 0 секунд до 10 секунд;

- построим график полученной функций.

Затем построим сводный график функций изменения температуры нагрева цилиндрической катушки от времени для всех значений температур среды.

Далее, с помощью функции linfit, определили аппроксимирующие функции и построили исходную и аппроксимирующую зависимости.

В результате проведенных исследований получены следующие результаты исследований:

- численные значения функции нагрева цилиндрической катушки в зависимости от времени на интервале от 0 секунд до 10 секунд для температур объема от 18 до 48 м3;

- построены графики данных функций;

- построен сводный график функций нагрева цилиндрической катушки в зависимости от времени на интервале от 0 секунд до 10 секунд.

- определены максимальное значение исследуемых функций.

Для определения зависимости влияния значений начальной температуры на вид функции температуры воспользуемся сводным графиком, где размещены графики функций с различными температурами сред. На основании проведенных исследований можно сделать вывод, что температура цилиндрической катушки, помещенного в среду, через некоторое время принимает некоторое установившееся значение большее, чем температура окружающей среды. Причем чем больше разность температур между катушкой и средой, тем большее время требуется для того, чтобы температура катушки, приняла установившееся значение. При увеличении объема цилиндрической катушки, время затраченное на нагревание увеличивается, а максимальная температура не изменяется, так как она равна температуре среды, где находится катушка, но увеличивается время её достижения. Аппроксимирующая зависимость практически совпадает с исходной зависимостью, что свидетельствует о правильно подобранной функции аппроксимации.

Заключение

массив программный символьный

Абстрактное моделирование с помощью компьютеров - вербальное, информационное, математическое - в наши дни стало одной из информационных технологий, в познавательном плане исключительно мощной. Изучение компьютерного математического моделирования открывает широкие возможности для осознания связи информатики с математикой и другими науками - естественными и социальными.

Компьютерное математическое моделирование в разных своих проявлениях использует практически весь аппарат современной математики.

Практически во всех науках о природе, живой и неживой, об обществе, построение и использование моделей является мощным орудием познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность, и исследование вначале этой модели. Многовековой опыт развития науки доказал на практике плодотворность такого подхода.

В результате выполнения курсовой работы была составлена графическая схема алгоритма и выполнено компьютерное моделирование исследования температуры нагрева цилиндрической катушки в среде Mathcad.

Произведенные расчеты в Mathcad позволили оперативно и точно получить требуемые значения и проанализировать результаты расчетов, как в числовом, так и в графическом виде.

Литература

1. Дьяконов В.С. Справочник по MathCADPLUS 6.0 PROM. - M.: СК Пресс, 1997. - 178с.

2. Карасев А.Н., Кремер Н.Ш., Савельева Т.Н. Математические методы в экономике. - М.: Наука,1987. - 217с.

3. Кейзер А.П., Кабакова Т.Е., Рогачева З.Н., Халамов С.Г. Решение задач контрольной работы средствами математического пакета MathCad и табличного процессора Excel. - Гомель, 2001. - 14с.

4. Кофман А. Исследование операций. - Мир, 1966. - 278с.

5. Лищенко С.В. Линейное и нелинейное программирование. - М.: Просвещение, 1987. - 178с.

6. Максимей И.В. Модели задач исследования операций: Уч. пособие. - Гомель: ГГУ, 1984.- 76с.

7. Моисеев Н.Н. Человек, среда, общество. Проблемы формализованного описания. - М.: Наука, 1982. - 240с.

8. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем, - Мн.: ДизайнПРО, 1997.- 640с.

Размещено на Allbest.ru