Анализ НМ-сети с разнотипными заявками в нестационарном режиме и ее применение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Резюме

Тема дипломной работы

«Анализ НМ-сети с разнотипными заявками в нестационарном режиме и ее применение (на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем»)»

Работа содержит: 43 страницы, 14 рисунков, 4 таблиц, 2 приложение, 4 использованных источника литературы.

Ключевые слова: сеть массового обслуживания, НМ-сеть, оптимизация доходов, диффузионная аппроксимация.

Цель дипломной работы - нахождение вероятностно-временных характеристик функционирования стохастической модели обработки заявок клиентов в УП «Проектный институт Гродногипрозем» и нахождения оптимального числа сотрудников подразделений максимизирующего доход предприятия.

Объектом исследования является процесс обработки заявок на выполнение работ от клиентов в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Предметом исследования является стохастическая модель процесса обработки заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем», методика нахождения ожидаемых доходов в этой модели.

В работе были использованы следующие методы: массового обслуживания и случайных процессов, диффузионная аппроксимация, методы оптимизации.

стохастический сотрудник доход вероятностный

Summary

The theme of the diploma work

" HM-network analysis with heterogeneous applications in the transient regime and its application (for example, UE "Design Institute Grodnogiprozem""

The work contains 43 pages, 14 drawings, 4 tables, 2 supplement, 4 used literature sources.

Keywords: queuing network, HM-network revenue optimization, diffusion approximation.

The aim of diploma work - finding likelihood-time characteristics of the functioning of the processing of applications of stochastic models of customers in UE "Project Institute Grodnogiprozem" and finding the optimal number of staff units of maximizing the income of the enterprise.

The object of research is the processing of applications for performance of work from customers in UE "Project Institute Grodnogiprozem".

The subject of study is a stochastic model applications in the processing of UP "Project Institute Grodnogiprozem" method of finding the expected revenue in this model.

In this work the following methods were used: queuing, and stochastic processes, diffusion approximation, optimization methods.

Содержание

Введение

Глава 1. Анализ сетевой вероятностной модели обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем»

1.1 Описание предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем»

1.2 Построение системы ОДУ для вероятностей состояний и среднего относительного числа заявок в системах сети

1.3 Приведение системы дифференцированных уравнений для заданной вероятностной модели предприятия

1.4 Нахождение среднего относительного числа заявок на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем»

Глава 2. Нахождение ожидаемого дохода центральной замкнутой сети для случая, когда доходы от переходов заявок между системами сети являются СВ с заданными моментами первых двух порядков

2.1 Нахождение ожидаемых доходов в центральной системе

2.2 Нахождение ожидаемых доходов в УП «Проектный институт Гродногипрозем»

2.3 Нахождение оптимального числа сотрудников в УП «Проектный институт Гродногипрозем»

Заключение

Список используемых источников

Приложения

Введение

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Моделирование - один из наиболее распространенных методов исследования процессов функционирования сложных систем. Известно достаточно большое количество методов построения математических моделей и средств реализации моделирующих алгоритмов. Наиболее распространенными из них являются системы (СМО) и сети массового обслуживания. Основным понятием теории массового обслуживания (теории очередей) является СМО. В терминах СМО описываются многие реальные системы в областях производства, бытового обслуживания, экономики и вычислительной техники.

Также система массового обслуживания включает в себя потоки заявок (требований), поступающие на ее вход в случайные моменты времени. Под заявкой понимают запрос на удовлетворение определенной потребности, например, оплата счетов, медицинская консультация, обработка запроса пользователя, разгрузку автомобиля или железнодорожного эшелона и т.д.

В первой главе разработана сетевая вероятностная модель обработки запросов клиентов в УП «Проектный институт Гродногипрозем». Составлена система ОДУ для вероятностей состояний и среднего относительного числа заявок в системах сети для модели. Представлена программная реализация решения построенной ОДУ для вероятностей состояний и среднего относительного числа заявок в системах сети.

Во второй главе описана методика нахождения ожидаемого суммарного дохода такой сети для случая, когда доходы от переходов заявок между системами сети являются СВ с заданными моментами первых двух порядков для предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем». Представлен пример решения задачи нахождения оптимального числа линий обслуживаний в системах сети при максимальном доходе сети в целом.

Цель дипломной работы - нахождение вероятностно-временных характеристик функционирования стохастической модели обработки заявок клиентов в УП «Проектный институт Гродногипрозем» и нахождения оптимального числа сотрудников подразделений максимизирующего доход предприятия.

Для достижения цели решаются следующие задачи:

Построение сетевой вероятностной модели обработки заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем». Построение систем ОДУ для вероятностей состояний и среднего относительного числа заявок в системах сети;

Нахождение ожидаемого дохода сети для случая, когда доходы от переходов заявок между системами сети являются СВ с заданными моментами первых двух порядков;

Нахождение оптимального числа линий обслуживания в системах сети при максимальном доходе сети в целом.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект и предмет исследования

Объектом исследования является процесс обработки заявок на выполнение работ от клиентов в УП «Проектный институт Гродногипрозем». Предметом исследования является стохастическая модель процесса обработки заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Цель и задачи исследования

Цель дипломной работы - нахождение вероятностно-временных характеристик функционирования стохастической модели обработки заявок клиентов в УП «Проектный институт Гродногипрозем» и нахождение оптимального числа сотрудников подразделений максимизирующего доход предприятия.

Для достижения цели были поставлены задачи:

Построение сетевой вероятностной модели обработки заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем». Построение систем ОДУ для вероятностей состояний и среднего относительного числа заявок в системах сети;

Нахождение ожидаемого дохода сети для случая, когда доходы от переходов заявок между системами сети являются СВ с заданными моментами первых двух порядков;

Нахождение оптимального числа линий обслуживания в системах сети при максимальном доходе сети в целом.

Методология и методы исследования

В работе были использованы методы массового обслуживания и случайных процессов, диффузионная аппроксимация, методы оптимизации.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты:

Стохастическая модель УП «Проектный институт Гродногипрозем»;

Постановка и решение оптимизационной задачи для нахождения числа сотрудников УП «Проектный институт Гродногипрозем»;

Программное приложение для УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Апробация результатов работы

Результаты исследований представлялись на ХIX Республиканской научной конференции студентов и аспирантов «Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях» (Гомель, 2016).

Глава 1. Анализ сетевой вероятностной модели обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем»

1.1 Описание предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем»

Гродненский филиал Республиканского проектного института по землеустройству «Белгипрозем» образован 1 ноября 1969 г. путем преобразования Гродненской землеустроительной экспедиции. В 2000 году на базе Гродненского филиала образовано Дочернее унитарное предприятие «Проектный институт Гродногипрозем» Республиканского унитарного предприятия «Проектный институт Белгипрозе» (сокращенное наименование- УП «Проектный институт Гродногипрозем») и является ведущим предприятием на территории Гродненской области по землеустроительным, геодезическим и картографическим работам.

Для высокоэффективной работы на предприятии созданы все условия. В связи с выполнением работ по установлению границ собственников, землевладельцев и землепользователей, в том числе в городах и сельских населенных пунктах, резко возрос объем геодезических работ, возросли требования к их точности. Выполнять необходимые объемы работ в сжатые сроки и с достаточной точностью устаревшими геодезическими инструментами - оптическими теодолитами и мерными лентами, стало невозможно. Поэтому был взят курс на обеспечение предприятия электронными геодезическими инструментами, компьютерной техникой.

На сегодняшний день одной из главных задач на предприятии являются работы по установлению границ земельных участков гражданам по принципу «одно окно».

Предприятие чутко реагирует на потребности рынка и изменения в земельном законодательстве, оперативно перестраивает свою деятельность для решения остро стоящих социальных заказов. Внедряя прогрессивные технологии, оборудование и инструменты, компьютерные программные комплексы, УП «Проектный институт Гродногипрозем» постоянно наращивает объёмы работ.

1.2 Построение системы ОДУ для вероятностей состояний и среднего относительного числа заявок в системах сети

Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с разнотипными заявками, которая является вероятностной моделью обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем», рис.1.1.

Рис.1.1. Модель обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Допустим, что число заявок типа требующих обслуживания в отделе, . Таким образом, в течение определенного интервала времени с требованиями по обслуживанию могут обращаться заявки заявка типа . Вначале все заявки поступают в систему , которыми занимается сотрудников. Заявки клиентов могут находиться в одном из следующих состояний: Ї заявка не подается, Ї заявка находится на стадии рассмотрения, Ї заявка находится на стадии выполнения. Переход заявки типа из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, независимо от того в каком состоянии находятся другие заявки, и независимо от времени, таким образом, что вероятность перехода на интервале времени равна , где - интенсивность такого перехода. Можно предположить, что интенсивность является кусочно-постоянной функцией от времени с четырмя интервалами постоянства на отрезке времени :

где считаем, что это количество недель за год. Так же учитывается время года: интенсивность потока заявок может быть различной в зависимости от времени года. Будем предполагать, что наша система в некоторый момент находится в состоянии

если в этот момент заявка типа находится в состояние , Ї общее число заявок, находящихся в состоянии тогда - число заявок в состоянии

Пусть, кроме того, Ї относительное число линий обслуживания заявки,, Ї относительное число заявок, , а среднее относительное число заявок, требующих обслуживания в каждой системе, .

Как указано выше, вероятностной моделью описанного выше обслуживания предприятия может служить замкнутая сеть массового обслуживания, состоящая из систем обслуживания с числом линий обслуживания соответственно и вероятностями перехода заявок; в сети обслуживаются заявок типа ; дисциплины обслуживания заявок в системах сети - FIFO. Для решения поставленной задачи необходимо, прежде всего, найти вектор среднего относительного числа единиц заявок, находящегося в состоянии в момент времени : Пусть интенсивность обслуживания заявок в каждой линии системы . Состояние сети описывается вектором где число заявок находящихся в момент времени в системе .[1]

Обозначим через - вектор с единицей наом месте. Очевидно, что . Случайный процесс является марковским с непрерывным временем и дискретным множеством состояний, поскольку времена обслуживания заявок в системах сети распределены по показательному закону. Возможны следующие переходы в состояние за время для этого процесса:

из состояния с вероятностью 

из состояния с вероятностью

из состояния с вероятностью

;

из состояния с вероятностью

из состояния с вероятностью

из остальных состояний с вероятностью .[2]

Тогда, используя формулу полной вероятности, можно записать систему разностных уравнений:



Переходя к пределу при , получим систему разностно-дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний,

которая может быть представлена в виде



(1.1)

Решение этой системы в аналитическом виде в общем случае затруднительно. В связи с этим рассмотрим важный случай большого числа исков, когда . Чтобы найти распределения вероятностей случайного вектора удобно перейти к относительным переменным, рассматривая вектор В этом случае возможные значения этого вектора при фиксированном принадлежат ограниченному замкнутому множеству

в котором они располагаются в узлах мерной решетки на расстоянии друг от друга. При увеличении "плотность заполнения" множества возможными компонентами рассматриваемого вектора увеличивается и становится возможным считать, что он имеет непрерывное распределение с плотностью вероятностей где имеет смысл плотности вероятностей случайного вектора .

Обозначим через вектор с компонентами равными нулю за исключением ой,

Заметим, что

(1.2)

(1.3)

Переписывая систему уравнений (1.1) для плотности , получим

(1.4)

где Представим правую часть этой системы уравнений с точностью до членов порядка малости Если дважды дифференцируема по , то справедливы соотношения [3]



Использую и то, что , систему уравнений (1.4) можно преобразовать к виду:

Введем следующие функции

Тогда система уравнений (1.7) имеет вид

Таким образом, плотность удовлетворяет с точностью до членов порядка системе уравнений Колмогорова-Фоккера-Планка. Отсюда следует, что математические ожидания с точностью определяются из системы уравнений

(1.5)

Правые части уравнений (1.5) являются кусочно-линейными функциями. Определим явную форму уравнений (1.5) в областях линейности их правых частей. Пусть множество индексов компонент вектора Разобьем на два непересекающихся множества и следующим образом.

При фиксированном число разбиений такого рода равно Каждое разбиение будет задавать в множестве непересекающиеся области такие, что

Теперь можно записать систему уравнений (1.5) в явной форме для каждой из областей :

, (1.6)

где

В общем случае система уравнений (1.6) в области записывается в виде [1]



С учетом того, что , , и , остальные , то она примет вид

Решение последней системы при произвольном затруднительно



1.3 Приведение системы дифференцированных уравнений для заданной вероятностной модели предприятия

Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений построенной по вероятностной модели предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем». Данная модель примет вид на рис.1.2.

Рис.1.2. Модель обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Где система Ї приемная. Обработка поступающих заявок.

Система Ї производственный отдел №1.Обслуживаются заявки, поступившие из Гродненского, Щучинского, Берестовикого района.

Система Ї производственный отдел №2. Обработка заявок, поступивших из Волковыского, Свислочского, Мостовского района.

Система Ї производственный отдел №3. Обработка заявок, поступивших из Слонимского, Зельвенского, Дятловского района.

Система Ї производственный отдел №4. Обслуживаются заявки, поступившие из Лидского, Вороновского, Ивьевского, Новогрудского района.

Система Ї производственный отдел №5. Обслуживаются заявки, поступившие из Сморгонского, Островецкого, Ошмянского, Корелического района.

Система Ї расчетно-сметная группа. В обязанности входит: составление сметы работы, заключение договора с клиентом.

В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю, а интервал моделирования 1 год (52 недели). Под заявкой в системах будем понимать заявление на услугу предприятия. В системе под заявкой понимается договор заключенный с предприятием и клиентом на оказание услуг предприятия. Под СМО понимаются отделы предприятия, оказывающие услуги населению.

Система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями описанная в главе 1 пункт 1.2 примет вид:

(1.7)

Определим явную форму уравнений (1.7) в областях линейности их правых частей, тогда приходим к системе (1.6), при :



где Здесь непересекающиеся множества индексов компонент вектора

Причем при фиксированном число всевозможных разбиений множества индексов компонент этого вектора равно Система (1.7) решается в каждой из областей разбиения фазового пространства:

и т.д.

Для нахождения среднего относительного числа заявок необходимо рассмотреть систему (1.7) в области , где она примет вид при :



(1.8)

Исследуем, работу предприятия на интервале времени . Предположим, что интенсивности поступления заявок каждого из типов с учетом времени года описываются функциями вида:

(1.9)

На интервале времени система уравнений (1.8) превращается в систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:



(1.10)

Следовательно, на интервале вид системы ДУ аналогичен (1.10), если заменить в ней на Для интервала вид системы ДУ будет аналогичен (1.10), если заменить в ней на Аналогичным образом поступаем и для интервала в ДУ (1.10) заменяем на

Решение системы (1.10) с начальным условием был использован математический пакет Wolfram Mathematica 7.0.

Для того чтобы система (1.10) находилась в области на интервале , необходимо выполнение неравенств:

(1.11)

При изменении интенсивности в момент времени возможны следующие случаи:

удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

не удовлетворяет (1.11) - произошел переход другую область.

удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

не удовлетворяет (1.11) - произошел переход другую область.

удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

не удовлетворяет (1.11) - произошел переход другую область.

.

Для решения поставленной задачи (1.10) на интервале , когда система остается в области . Система уравнений в этом случае будет иметь вид (1.10), если заменить соответственно на . Начальными условиями для нее будут . Для того чтобы система находилась в области на временном интервале , необходимо выполнение условий:

.



Осталось рассмотреть решение задачи (1.10) на интервале , когда система останется в области . Система будет иметь вид (1.10), если заменить соответственно на . Начальными условиями для нее будут . Для того чтобы система находилась в области на временном интервале , необходимо выполнение условий:

.

Решение системы производится в математическом пакете Wolfram Mathematica 7.0. Приложении 1.

1.4 Нахождение среднего относительного числа заявок на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем»

В предприятие поступило за год заявок от физических лиц за 2015 год. В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю. Функционирование предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем» описывается следующими параметрами:

Исследуя работу предприятия за год, интенсивность поступления заявок каждого из типов с учетом времени года описывается функцией вида (1.9):



На интервале рассматривается работа предприятия за осенний период. За интервал времени берем работу предприятия за зимний период. На интервале рассматривается работа предприятия за весенний период, а под интервалом рассмотрим работу за летний период. Найдем среднее относительное число заявок в области . Для решения системы (1.10) найдем линию обслуживания где количество сотрудников в производственном отделе №2.

Решение системы (1.10) на интервале примет вид на рис. 1.3-1.9:

Рис. 1.3. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени 

Рис. 1.4. Среднее число заявок первого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.5. Среднее число заявок второго типа, находящихся на интервале времени



Рис. 1.6. Среднее число заявок третьего типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.7. Среднее число заявок четвертого типа, находящихся на интервале времени



Рис. 1.8. Среднее число заявок пятого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.9. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени

Аналогично решается (1.10) для остальных интервалов времени только заменяется на соответствующее значение для интервалов . Графики среднего относительного числа заявок на остальных интервалах времени представлены в Приложении 2.



Глава 2. Нахождение ожидаемого дохода центральной замкнутой сети для случая, когда доходы от переходов заявок между системами сети являются СВ с заданными моментами первых двух порядков

2.1 Нахождение ожидаемых доходов в центральной системе

Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с разнотипными заявками, которая является вероятностной моделью обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем», рис.1.1.

Допустим, что заявка типа требующей обслуживания, . Системами в данной сети будут отделы предприятия, которые занимаются приемом и обслуживанием заявок граждан Гродненской области. Число линий обслуживания , в системах соответствуют сотрудникам, которые выполняют заявку.

Состояние сети описывается вектором где число заявок находящихся в момент времени в системе .

Заявка при переходе из одной СМО в другую приносит последней системе некоторый случайный доход и соответственно доход первой системы уменьшается на эту случайную величину.

Рассмотрим динамику изменения доходов некоторой системы сети. Обозначим через ее доход в момент времени .

Пусть в начальный момент времени доход системы равен . Доход этой СМО в момент времени можно представить в виде , где - изменение дохода системы на интервале времени . Для нахождения этой величины выпишем условные вероятности событий, которые могут произойти за время , и изменения доходов системы , связанные с этими событиями.

С вероятностью заявка из системы перейдет во внешнюю среду, при этом доход системы уменьшится на величину , где - СВ с МО , - функция Хевисайда.

С вероятностью заявка перейдет из в систему , при этом доход системы возрастет на величину , а доход системы уменьшается на эту величину, где - СВ с МО , - вероятность перехода заявки из системы в систему .

С вероятностью заявка из системы перейдет в систему , при этом доход СМО уменьшится на величину , а доход системы возрастет на эту величину, где - СВ с МО .

С вероятностью

на отрезе времени изменение состояния системы не произойдет. [4]

Кроме того, за каждый промежуток времени система увеличивает свой доход на величину , где СВ с МО . Будем также считать, что СВ независимы по отношению к СВ . Очевидно, что . Тогда вышеуказанное примет вид:

(2.1)

При фиксированной реализации процесса , учитывая (2.1), можно записать:

Усредняя по с учетом условий нормировки для изменения ожидаемого дохода системы получаем

Пусть система содержит идентичных линий обслуживания, в каждой из которых время обслуживания заявок распределено по показательному закону с параметром В этом случае

В качестве аппроксимации среднего значения выражения возьмем , т.е. воспользуемся приближенным равенством

,

где - среднее число заявок (ожидающих и обслуживающихся) в системе в момент времени . С учетом этого равенства поучаем следующее приближенное соотношение:

(2.2)

Введем обозначение . Из (2.1) и (2.2) получаем



Далее, переход к пределу при получим неоднородные линейные ОДУ первого порядка:

(2.3)

Интегрируя данные ОДУ (2.3) при начальных условиях можно найти ожидаемые доходы систем сети по формуле[4]:

(2.4)

2.2 Нахождение ожидаемых доходов в УП «Проектный институт Гродногипрозем»

Распишем (2.4) для сети УП «Проектный институт Гродногипрозем» для центральной системы . С учетом того, что, и , остальные , то формула для нахождения ожидаемого дохода для центральной системы примет вид

Полученные в главе 1 подпункте 1.4 среднее относительное число заявок используем для нахождения дохода. Интенсивность обслуживания заявок в отделах равны

Количество сотрудников в отделах равно .

В табл. 2.1.-2.4. приведен средний доход предприятия от удовлетворения заявок от физических лиц. Отдел расчетно-сметной получает доход в размере млн. бел. руб., когда заключает договор с заказчиком, т.е. при переходе заявки из расчетно-сметной группы во внешнюю среду. Так как основные затраты, связанные с удовлетворением заявки, поступающих из производственных отделов №1-5, заложены в себестоимость продукции - расчетно-сметная группа не несет дополнительных расходов.

Таблица 2.1 - Средний доход предприятия за

	Производственный отдел №1	Производственный отдел №2	Производственный отдел №3	Производственный отдел №4	Производственный отдел №5
Неделя, млн. бел. руб	55.08	61.03	21.56	75.09	68.68
1 заявка млн. бел. руб	1.05	1.08	1.13	1.074	1.08

Используя данные, представленные в табл. 2.1 и программу, разработанную в пакете Wolfram Mathematica. Листинг программы находится в Приложении 1. Получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела при начальных на интервале времени .



Рис. 2.1. График ожидаемого дохода на интервале

Таблица 2.2 - Средний доход предприятия за

	Производственный отдел №1	Производственный отдел №2	Производственный отдел №3	Производственный отдел №4	Производственный отдел №5
Неделя, млн. бел. руб	54.78	72.64	26.98	66.22	64.07
1 заявка млн. бел. руб	1.25	1.2	1.2	1.16	1.18

Используя данные, представленные в табл. 2.2 и программу, разработанную в пакете Wolfram Mathematica, получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела на интервале времени .



Рис. 2.2. График ожидаемого дохода на интервале

Таблица 2.3 - Средний доход предприятия за

	Производственный отдел №1	Производственный отдел №2	Производственный отдел №3	Производственный отдел №4	Производственный отдел №5
Неделя, млн. бел. руб	70.4	82.998	35.24	74.65	62.29
1 заявка млн. бел. руб	1.08	1.1	1.13	1.08	1.13

Используя данные, представленные в табл. 2.3 и программу, разработанную в пакете Wolfram Mathematica, получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела на интервале времени .



Рис. 2.3. График ожидаемого дохода на интервале

Таблица 2.4 - Средний доход предприятия за

	Производственный отдел №1	Производственный отдел №2	Производственный отдел №3	Производственный отдел №4	Производственный отдел №5
Неделя, млн. бел. руб	71.55	72.34	25.73	83.91	68.56
1 заявка млн. бел. руб	1.02	1.04	1.06	1.07	1.05

Используя данные, представленные в табл. 2.4 и программу, разработанную в пакете Wolfram Mathematica, получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела на интервале времени .



Рис. 2.4. График ожидаемого дохода на интервале

График для на рисунке 2.4 представлен с нарастанием, т.е. в каждый момент времени t на графике отображается суммарный ожидаемый доход на интервале [0, t]. Спрогнозированный ожидаемый доход и реальный доход по неделям за год будет иметь вид рис. 2.5.

Рис. 2.5. График изменения дохода за год УП «Проектный институт Гродногипрозем» 

По рис. 2.5. можем сделать вывод, что в целом спрогнозированный ожидаемый доход достаточно близок к реальному, за исключение зимнего периода времени. Это можно объяснить тем, что из-за недостаточного количества реальных данных, для примера средние значения показателей брались за весь год, в то время как количество заявок в зимний период значительно ниже среднегодового. Поэтому для более точной оценки ожидаемых доходов нужно брать данные усредненные, например, по кварталам или месяцам.

2.3 Нахождение оптимального числа сотрудников в УП «Проектный институт Гродногипрозем»

Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с разнотипными заявками, которая является вероятностной моделью обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем», рис.1.1.

Допустим, что число заявок типа требующих обслуживания в отделе, . Системами в данной сети будут отделы предприятия, которые занимаются приемом и обслуживанием заявок граждан Гродненской области. Число линий обслуживания , в системах соответствуют количеству сотрудников, которые обрабатывают заявку.

В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю, а интервал моделирования 1 год (52 недели). Сформулируем оптимизационную задачу для нахождения оптимального числа сотрудников отделов, максимизирующих доход предприятия.



(2.1)

где максимально возможное количество сотрудников отдела, затраты на содержание одной заявки в ом отделе (в очереди и на обслуживании), затраты на содержание одного сотрудника. Задача решена методом полного перебора по , а интегралы в выражениях можно вычислить последовательно применив метод трапеций.

Пример 2.1 Рассмотрим модель обслуживания УП «Проектный институт Гродногипрозем» рис. 1.2. Проанализировав данные за год, делаем вывод, что максимально возможное количество сотрудников в отделах следующее . Количество переборов равно , которые составляют .

Затраты на содержание одной заявки на обслуживании в отделах составляет а в отделе расчетно-сметовом затраты составляют Затраты на содержание одного сотрудника (зарплата) в отделах равны млн. бел. руб.

Поскольку на интервалах времени функция принимает различные значения, то оптимальное число сотрудников предприятия будет различным для этих временных интервалов. Обозначим их для интервалов соответственно.

Для нахождения среднего относительного числа заявок на каждом интервале времени, решается система (1.10) для заданных где ом интервале времени. Аналогично будет пересчитываться ожидаемый доход с данными из 2 главы 2.2 подпункта.

Для решения задачи (2.1) была разработана программа с помощью математического пакета Wolfram Mathematica 7.0. Приложении 3. Решение задачи (2.1) на интервале имеет вид:

млн. руб.

Решение на интервале времени имеет вид:

млн. руб.

Решение на интервале времени имеет вид:

млн. руб.

Решение на интервале времени имеет вид:

млн. руб.

Рекомендуется перевод части сотрудников в осенний и зимний период на более востребованные участки работ для получения максимального дохода.

Заключение

В дипломной работе построена сетевая вероятностная модель обработки заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

В первой главе была описана структура предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем» на основе которого была построена вероятностная модель обработки заявок в виде замкнутой сети МО. Построена в общем виде система ОДУ для среднего относительного числа заявок в системах сети. Решение этой системы ищется методом диффузионной аппроксимации. Рассмотрен пример применения программной реализации решения системы ОДУ для УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Во второй главе описано нахождение ожидаемых доходов в УП «Проектный институт Гродногипрозем». По графику изменения дохода можно сделать вывод, что в целом ожидаемый доход достаточно близок к реальному, за исключение зимнего периода времени. Это можно объяснить тем, что из-за недостаточного количества реальных данных, для примера средние значения показателей брались за весь год, в то время как количество заявок в зимний период значительно ниже среднегодового. Поэтому для более точной оценки ожидаемых доходов нужно брать данные усредненные, например, по кварталам или месяцам.

Решена задача нахождения оптимального числа сотрудников отделов УП «Проектный институт Гродногипрозем» максимизирующего доход предприятия. На основе результатов можно сделать вывод о том, что в осенний и зимний период целесообразно переводить часть сотрудников на более востребованные участки работ для получения максимального дохода.

Список используемых источников

1. Баран, Д.А. Анализ и оптимизация стохастической модели УП «Проектный институт Гродногипрозем» / Д.А. Баран // Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях: Материалы XIX республиканской научной конференции. - Гомель: ГГУ, 2016 (в печати).

2. Колузаева, Е.В. Исследование НМ-сетей со случайными доходами от переходов между их состояниями / Е.В. Колузаева, М.А. Маталыцкий//Вестник, Томского государственного университета, 2009 №4

3. Маталыцкий, М.А. Математический анализ стохастических моделей обработки исков в страховых компаниях: моногр. / М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко. -Гродно:ГрГу, 2007. -335с.

4. Маталыцкий, М.А. Системы и сети массового обслуживания: анализ и применения: моногр. / М.А. Маталыцкий, О.М. Тихоненко, Е.В. Колузаева. - Гродно: ГрГУ, 2011. - 817 с.

Приложение 1

Нахождение среднего относительного числа заявок, ожидаемого на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем»

Приложение 2

Графики среднего относительного числа заявок на интервале времени

Решение системы (1.10) на интервале примет вид на рис. 1-7:

Рис. 1. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени

Рис. 2. Среднее число заявок первого типа, находящихся на интервале времени 

Рис. 3. Среднее число заявок второго типа, находящихся на интервале времени

Рис. 4. Среднее число заявок , третьего типа, находящихся на интервале времени



Рис. 5. Среднее число заявок четвертого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 6. Среднее число заявок пятого типа, находящихся на интервале времени



Рис. 7. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени

Решение системы (1.10) на интервале примет вид на рис. 8-14:

Рис. 8. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени



Рис. 9. Среднее число заявок первого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 10. Среднее число заявок второго типа, находящихся на интервале времени



Рис. 11. Среднее число заявок третьего типа, находящихся на интервале времени

Рис. 12. Среднее число заявок четвертого типа, находящихся на интервале времени



Рис. 13. Среднее число заявок пятого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 14. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени

Решение системы (1.10) на интервале примет вид на рис. 15-21:



Рис. 15. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени

Рис. 16. Среднее число заявок первого типа, находящихся на интервале времени



Рис. 17. Среднее число заявок второго типа, находящихся на интервале времени

Рис. 18. Среднее число заявок третьего типа, находящихся на интервале времени



Рис. 19. Среднее число заявок четвертого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 20. Среднее число заявок пятого типа, находящихся на интервале времени



Рис. 21. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени

Приложение 3

Решение оптимизационной задачи на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем»

Размещено на Allbest.ru