ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

СТЕПАНОВ А.В.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

СТЕПАНОВ А.В.

І. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Настоящая монография является учебным, а так же справочно-информационным пособием. Осуществляя введение в теорию оптимизации, оно знакомит с приложениями этой теории к решению ряда задач, возникающих в экономической практике. В целом, теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию “наилучших” вариантов из множества альтернатив и позволяющих избегать полного перебора и оценивания возможных вариантов.

Эффективность оптимизационных методов тесно связана с широким использованием достижений в области математики путем реализации итеративных вычислительных схем, опирающихся на строго обоснованные логические процедуры и алгоритмы, на базе применения вычислительной техники. Поэтому для изложения методологических основ оптимизации требуется привлечение важнейших результатов теории матриц, элементов линейной алгебры и дифференциального исчисления, а так же положений математического анализа.

Изложение методологических основ оптимизации целесообразно вести с учетом ориентации на реализацию оптимизационных методов на ЭВМ, однако, нельзя подвергать сомнению, что главное внимание здесь важно уделять математическим и логическим построениям, лежащим в основе методов; факторам, обуславливающим выбор тех или иных аналитических схем, а так же рассмотрению важнейших прикладных аспектов теории.

I.1 Необходимые условия для применения оптимизационных методов

оптимизационный переменная задача

Корректная постановка задачи служит ключом к успеху оптимизационного исследования и связывается в большей степени с искусством исследователя, что постигается в практической деятельности на примерах успешно реализованных разработок, и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфических особенностей различных методов теории оптимизации.

В основе решения задачи оптимизации исследователю на начальном этапе необходимо выполнить следующую последовательность действий:

установить границы подлежащей оптимизации системы;

определить количественный критерий;

осуществить выбор внутриситемных переменных;

построить модель, отражающую взаимосвязи переменных.

I.1.1 Определение границ системы

При проведении анализа, в этом аспекте, обычно предполагается, что взаимосвязи между системой и внешней средой зафиксированы на некотором выбранном уровне представления. Однако, они всегда существуют и определение границ системы является первым шагом в процессе описания реальной системы.

Может оказаться, что первоначальный выбор границ является слишком жестким. В связи с этим, возникает необходимость расширения установленных границ, путем включения дополнительных подсистем, оказывающих наиболее существенное влияние на функционирование исследуемого объекта.

Разумеется, расширение границ системы, повышает размерность и сложность многокритериальной задачи и как следствие, в значительной мере затрудняет ее анализ. Очевидно, что на практике следует, на сколько это возможно, стремиться к разбиению больших сложных систем на относительно небольшие подсистемы, которые можно изучать отдельно. При этом существует опасность, что такая декомпозиция может привести к излишнему упрощению.

I.1.2 Характеристический критерий

Это следующий этап постановки задачи оптимизации. На основе этого критерия можно оценить характеристики системы или ее модели, с тем чтобы выявить “наилучшую” модель или множество “наилучших” условий функционирования системы. Обычно, критерий носит экономический характер, хотя спектр его формулировок довольно широк. Экономическими характеристиками определения критерия могут быть общие капитальные затраты, издержки за единицу времени, чистая прибыль за единицу времени, доходы от инвестиций, доля прибыли на единицу вложений или собственный капитал на данный момент. В других приложениях, критерий может основываться на некоторых технологических факторах, например, когда требуется минимизировать продолжительность процесса производства изделия, минимизировать потребление ресурсов и т.п.

Независимо от того, какой критерий выбирается при оптимизации, “наилучшему” варианту всегда соответствует экстремальное значение характеристического показателя качества функционирования системы.

Кроме того, важно отметить, что только один критерий может использоваться при определении оптимума оптимальное значение характеристического показателя совпадает с экстремумом.. Невозможно получить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат, максимум надежности и минимум потребляемой энергии одновременно. Здесь исследователь сталкивается с опасностью существенного упрощения реальной ситуации, поскольку, практически всегда желательно искать решение, которое являлось бы “наилучшим” с позиции нескольких различных критериев.

Третий этап - выбор независимых переменных, которые должны адекватно с достаточной степенью достоверности. описывать допустимые модели или условия функционирования системы.

Для этого необходимо:

выбирать соответствующий уровень детализации. Здесь необходимо придерживаться “золотой середины” между достаточной достоверностью и существенным упрощением модели;

учесть все основные переменные величины;

провести различия между переменными, значения которых могут изменяться в достаточно широком диапазоне, и переменными, значения которых фиксированы и определяются внешними факторами.

I.1.4 Модель системы

После того, как будут выполнены все указанные выше этапы постановки задачи, необходимо соответственно построить модель, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой характеристическим критерием.

Оптимизационное исследование можно провести на основе непосредственного экспериментирования с системой проведение экспериментов даже с моделью требует осмысленных действий. В последнее время с бурным развитием ЭВМ и появлением массы прикладных программ, возникла тенденция бессистемного привлечения вычислительных средств. Исследователь, не замечая за деревьями леса, блуждает в потемках, не делая при этом ни правильных посылок, ни правильных выводов.. Однако на практике оптимизация проводится на основе упрощенного математического представления системы - модели. Применение моделей обусловлено тем, что эксперименты с реальными системами требует значительных затрат средств и времени, а также в ряде случаев связаны с риском. Модель позволяет провести исследование наиболее экономичным способом, эффективно и без проявления последствий эксперимента в реальности.

Очевидно, что процесс построения модели является весьма трудоемким и требует четкого понимания специфических особенностей рассматриваемой системы.

I.2 Структура оптимизационных задач

Здесь важно отметить, что оптимизационные задачи имеют весьма разнообразные области приложений. Однако, несмотря на это, в целом, их формальное описание имеет общую схему.

Все эти задачи можно классифицировать как задачи поиска экстремума вещественной функции (здесь ), компоненты которой удовлетворяют системе уравнений:

(I. 2.1)

набору неравенств:

(I. 2.2)

а также ограничены сверху и снизу: В дальнейшем, функцию будем называть целевой функцией, уравнения (1.2.1) - ограничениями типа равенств, неравенства (1.2.2) - ограничениями типа неравенств. Здесь предполагается, что используемые в задаче функциональные зависимости вещественнозначны, а число ограничений конечно.

В общем виде формализованная постановка задачи выглядит так:

(I. 2.3)

Задача (I. 2.3) носит название задачи условной оптимизации.

Все такие задачи можно классифицировать в соответствии с видом функций и , а также с размерностью вектора .

Если ограничения (I. 2.1) и (I. 2.2) отсутствуют, а представляет собой одномерный вектор, то мы имеем дело с задачами безусловной оптимизации - хотя и простейший, но весьма важный класс оптимизационных задач.

Задачи условной оптимизации, в которых функции и являются линейными, носят название задач с линейными ограничениями. В таких задачах сама целевая функция может быть как линейной, так и нелинейной.

Задачи, которые содержат только линейные функции вектора непрерывных переменных называются задачами линейного программирования (ЛП) Здесь выделяют подкласс задач целочисленного программирования, где в дополнение всего, переменные целые..

Существует класс задач с линейными ограничениями и нелинейной целевой функцией. Оптимизационные задачи такого рода можно классифицировать на основе структурных особенностей нелинейных целевых функций:

квадратичная функция - задача квадратичного программирования;

отношение линейных функций - задачи дробно-линейного программирования;

в задачах динамического программирования целевая функция мультипликативна;

и так далее.

Деление оптимизационных задач на такие классы представляет значительный интерес, поскольку специфические особенности тех или иных задач играют важную роль при разработке методов их решения.

Размещено на Allbest.ru