Моделирование сетей

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Моделирование деятельности образовательного учреждения в статике с использованием сетей Байеса

1.1 Основы Байесовского вывода

Сети Байеса Jensen, Finn An introduction to Bayesian networks. -- Berlin: Springer, 1996. -- ISBN 0-387-91502-8 - наглядный инструмент моделирования сложных вероятностных процессов, включающих большое количество случайных переменных, связанных причинно-следственной связью. Сети Байеса - частный случай так называемых вероятностных графических моделей Koller, D.; Friedman, N. (2009). Probabilistic Graphical Models. Massachusetts: MIT Press. p. 1208. ISBN 0-262-01319-3..

Переменная в байесовском моделировании - некая сущность, обладающая именем и областью определения Comley J.W. and Dowe D.L., «Minimum Message Length, MDL and Generalised Bayesian Networks with Asymmetric Languages», chapter 11 (pp265--294) in P. Grunwald, M.A. Pitt and I.J. Myung (eds).,Advances in Minimum Description Length: Theory and Applications, Cambridge, MA: MIT Press, April 2005, ISBN 0-262-07262-9.. Обычно, рассматриваются переменные двух типов: дискретные и непрерывные. Дискретные переменные принимают значения из некоторого конечного множества X, а непрерывные - определены на некотором подмножестве множества действительных чисел. В общем случае, переменная определяется упорядоченной парой V=(N, X), где N - имя переменной, а X - множество возможных значений. В дальнейшем мы будем рассматривать только дискретные переменные.

Центральным понятием вероятностных графических моделей является понятие фактора Дьяконов А. П., Круглов В. В. MATLAB 6.5 SP1/7/7 SP1/7 SP2+Simulink 5/6. Инструменты искусственнго интеллекта и биоинформатики. М.: СОЛОН-Пресс, 2006. 456с.. Фактор это некая функция, которая ставит в соответствие каждому возможному набору значений некого множества переменных действительное число (значение фактора):

Фактор определен на некотором упорядоченном множестве переменных, называемом областью определения (scope) фактора. Область определения обозначается так: F(A,B,C) или так: scope(F)={A,B,C}, где F - фактор, A, B и C - переменные, входящие в фактор. Заметим, что определение фактора не накладывает никаких ограничений ни на отдельные значения, ни на сумму этих значений, несмотря на то, что теория вероятности предусматривает такие ограничения. Фактор - это базовый строительный блок в вероятностных графических моделях. и представление вероятностей - всего лишь одно из возможных применений факторов. Например, определим фактор на одной переменной M, следующим образом:

Фактор, представляющий безусловную вероятность

M	f
“орел”	0.5
“решка”	0.5

Этот фактор может быть интерпретирован как безусловная вероятность того, что данная переменная примет соответствующее значение. Это возможно потому, что сумма всех значений данного фактора равна 1. В математических обозначениях данный фактор определяется следующим образом: f=(“P(M)”, {M}, {0.5, 0.5}). можно определить другой фактор на той же области определения:

Фактор, представляющий ненормализованную меру

M	g
“орел”	20
“решка”	21

Данный фактор может представлять, например, количество выпадений значений данной переменной в некой серии экспериментов, допустим для определения оценки вероятности значений переменной. Оба этих фактора являются корректными, но только первый из них (f) является корректным представлением безусловной вероятности.

Факторы удобны для использования в вероятностных графических моделях тем, что на них определены некоторые операции, часто выполняемые в процессе логического вывода, в довольно общей форме, что позволяет использовать их как элементарные объекты для построения логических сетей. Определим три переменные A, B, C. A=(“A”, {1, 2, 3}), B=(“B”, {1, 2}), C=(“C”, {1, 2}). Одной из наиболее часто используемых операций над факторами является факторное произведение. F(A,B)*G(B,C)=H(A,B,C). Произведение факторов объединяет области определения двух факторов. Значением для каждого назначения является произведение соответствующих назначений множителей.

Еще одной операцией является маргинализация: H(A,B,C) - B = J(A,C). Маргинализация позволяет исключить переменную из области определения фактора, просуммировав соответствующие значения назначений маргинализируемого фактора. Маргинализация является основой алгоритма variable elimination.

Последней элементарной факторной операцией является сокращение (reduction). H(A,B,C) / B = K(A,C).

Существенно, что, несмотря на то, что в таблице для фактора K указаны значения переменной B, значения фактора не зависят от нее, то есть областью определения является набор {A,C}. Сокращение фактора позволяет выбрать те значения фактора, которые согласуются с определенным значением одной из переменных области определения этого фактора.

Также, факторы могут представлять условные вероятности. Рассмотрим пример из медицинской диагностики. Определим бинарную переменную с=(«болезнь», {«нет», «есть»}) и бинарную переменную t=(«тест», {«положительный», «отрицательный»}). Переменная с показывает, есть ли у пациента определенное заболевание. а переменная t - результат диагностического теста. Допустим, что априорная вероятность данного заболевания равна 1%. Сконструируем фактор С=(«P(c)», {c}, {0.99, 0.01}). Очевидно, что вероятность получения определенного результата теста зависит от того, есть ли данное заболевание у пациента, или нет, то есть мы предполагаем известной вероятность P(t|c). Допустим, что вероятность получения положительного результата теста равна 90%. Соответственно, вероятность ложноотрицательного результата равна 0,1. Вероятность получить отрицательный результат при отсутствии заболевания равна 0,8, а вероятность ложноположительного результата - 0,2. Создадим фактор, представляющий данную условную вероятность: Т=(«P(t|c)», {c, t}, {0.2, 0.8, 0.9, 0.1}).

Условная вероятность

c	t	P(c|t)
нет	положительный	0,2
нет	отрицательный	0,8
есть	положительный	0,9
есть	отрицательный	0,1

Графическая модель такой системы факторов в виде направленного ациклического графа G представлена на рисунке 16. Это простейшая Байесовская сеть, состоящая из двух переменных, связанных причинно-следственной связью.

Простейшая байесовская сеть

Сети Байса традиционно представляются в виде графа, в котором вершины представляют переменные, входящие в сеть, а ребра - причинно следственные связи, причем ребро направлено от причины к следствию. Это очень наглядное представление является одним из главных достоинств вероятностных графических моделей и позволяет отобразить условную вероятность в виде взаимосвязей переменных и факторов, а также зачастую построить граф по экспертным или эмпирическим данным для моделирования распределения вероятностей Korb Kevin B. Bayesian Artificial Intelligence. -- CRC Press, 2004. --ISBN 1-58488-387-1. В графе наглядно видна иерархичность условной вероятности. Если некая переменная X зависит от переменной Y, то переменная Y будет среди родителей переменной X на графе. Заметим, что причинно-следственная связь не эквивалентна зависимости переменных, которая в свою очередь, может быть прослежена на графе, используя механизм G-разделяемости (G-separation).

Рассмотрим подробнее процесс Байсовского вывода. Определим системы из трех бинарных переменных a, b, c и трех факторов: A=(“P(a)”, {a}, {0.6, 0.4}), B=(“P(b)”, {b}, {0.7, 0.3}), C=(“P(c|a,b)”, {a,b,c}, {0.7, 0.3, 0.9, 0.1, 0.8, 0.2, 0.6, 0.4}). Вычислим распределение полной вероятности P(a, b, c) = P(c|a, b)*P(a)*P(b): J=A*B*C.

Сеть Байеса

Байесовский вывод состоит в определении вероятности некого назначения при известном назначении другого набора переменных. Например, можно говорить о следующих вопросах к данной сети:

Какова вероятность того, что переменная X примет значение x₀?

Какова вероятность того, что переменная X примет значение x₀, если известно, что переменная Y принимает значение y₀?

Каково распределение вероятности для переменной Х?

Каково распределение вероятности для переменной X, если известно, что переменная Y принимает значение y₀? [8,15,19,20]

Заметим, что в общей форме вопрос к байесовской сети выглядит следующим образом: каково распределение полной вероятности набора переменных Q, при условии, что набор переменных E принимает назначение q? Множество переменных Q называется запросом (query) или целевыми переменными и может состоять из одной и более переменных. Множество условий E называется наблюдения (evidence) или наблюдаемыми переменными и, в общем случае, может быть пустым. Множества Q и E не должны пересекаться. Множество переменных, входящих в байесовскую сеть, но не входящих во множества Q и E называется скрытые (hidden) переменные. Семантика этих множеств довольно очевидна. Запрос - это целевые переменные, которые нас интересуют, исходя из контекста конкретной задачи. Наблюдение - это те переменные, значения которых мы можем измерить или предсказать. Скрытые переменные не являются ни тем, ни другим, но могут оказывать неявное влияние на запрос и/или на наблюдения. В таких обозначениях использование сети Байеса для логического вывода сводится к вычислению вероятности P(Q|E).

Достоинством сетей Байеса является универсальность. Единожды сконструированная, сеть может использоваться для вычисления любых корректных запросов на области ее определения, то есть не нужно изменять конструкцию сети, чтобы выполнять запросы определенного вида. Запрос является корректным, если выполняются два условия:

- все переменные входящие в множества наблюдений и запросов входят в область определения сети:

- множества Q и E не пересекаются: Ш;

Итак, каждый запрос разбивает множество переменных области определения сети на три непересекающихся множества: Q, E и H. Значение любого запроса к Байсовской сети на этих множествах может быть вычислен только из фактора, представляющего распределение полной вероятности P().

Рассмотрим несколько запросов к сети G:

P(C|A,B) - P(C|A=0, B=1). В данном случае скрытых переменных нет (пустое множество), С - целевая переменная, А и В - наблюдения. Требуется найти распределение вероятности переменной С при условии, что А=0. а В=1. Для вычисления необходимо выполнить последовательно четыре действия:

Из распределения полной вероятности J сократим переменную А со значением 0:

Сокращенный фактор

В	С	P'(B,C|A=0)
0	0	0.294
0	1	0.126
1	0	0.162
1	1	0.018

Важно, что данный фактор представляет так называемую ненормализованную меру вероятности: его значения не суммируются к единице. Сумма значений данного фактора равна 0,6, что в точности соответствует вероятности P(A=0).

Нормализуем все вероятности так, чтобы в сумме они давали единицу:

Нормализованный фактор

В	С	P(B,C|A=0)
0	0	0,49
0	1	0,21
1	0	0,27
1	1	0,03

Из получившегося распределения сократим переменную В со значением 1

Сокращенный фактор

С	P'(C|A=0,B=1)
0	0,27
1	0,21

Нормализуем вероятности:

Нормализованный фактор

С	P(C|A=0,B=1)
0	0,9
1	0,1

Получившееся распределение и является ответом на запрос P(C|A=0, B=1). Заметим, что данное распределение явно присутствует в таблице (3-я и 4-я строки), что очевидно. Данный конкретный запрос является тривиальным, так как распределение P(C|A,B) в явном виде использовалось нами для задания сети.

Таким образом, общий алгоритм байесовского вывода не зависит от направления причинно-следственных связей в модели и может применяться независимо от направлений ребер в графе G. Все вышесказанное верно и в общем случае. Определим общий алгоритм байсовского вывода для произвольного корректного запроса:

Построить распределение полной вероятности на множестве по формуле (1).

Для каждой скрытой переменной маргинализовать ее из этого распределения

Для каждой пары (наблюдаемая переменная, ее значение) сократить ее по соответствующему значению, а затем нормализовать вероятности.

Полученное распределение будет представлять собой полную вероятность множества целевых переменных при данном наблюдении.

1.2 Альтернативный метод вывода

Рассмотрим модифицированный алгоритм Байесовского вывода, используя индикаторные функции равенства. В классической логике, две значения могут быть либо равны друг другу, либо нет. Однако, существуют многозначные логики (например, нечеткая логика), в которых не всегда работает закон исключенного третьего. В данной работе мы опишем подход, позволяющий расширить механизм Байесовского вывода на более общий случай. Для этого нам потребуется немного изменить алгоритм операции сокращения факторов. Также необходимо, чтобы модифицированный алгоритм оставался полностью совместимым с классическим алгоритмом Байесовского вывода и давал в точности те же результаты.

Определим индикаторные функции равенства:

Далее переопределим операцию сокращения фактора следующим образом: вместо того, чтобы вычеркнуть ячейки, несовместимые со значением сокращаемой переменной, домножим соответствующие значения фактора на множитель - индикаторную функцию равенства значения переменной в данной строчке таблицы значению сокращаемой переменной, а затем маргинализуем данную переменную из фактора. В таблице показано сокращение переменной В=1 из фактора с последующей маргинализацией переменной В из получившегося фактора/

Очевидно, что получившийся результат полностью идентичен фактору, получившемуся в результате традиционного сокращения переменной В=1. Докажем, что это верно в общем случае:

Теорема: традиционный и модифицированный алгоритмы сокращения переменной всегда дают идентичные результаты для идентичных факторов и идентичных сокращаемых переменных.

Доказательство: допустим, существует фактор H(X), где Х - некий набор переменных. Мощность данного фактора равна В результате сокращения переменной традиционным способом был получен фактор K(X/x_i). Мощность данного фактора равна . В результате сокращения той же переменной альтернативным способом был получен фактор L. Альтернативное сокращение состоит из двух шагов: домножения фактора на значение индикативной функции и маргинализации. На первом этапе область определения фактора не меняется, на втором шаге из нее исключается переменная x_i. Таким образом, области определения факторов K и L, а, следовательно, и их мощности, и множества назначений, входящих в эти факторы, совпадают. Докажем, что значения факторов K и L совпадают для всех назначений, входящих в эти факторы. Обозначим прообразом назначения а im(a) множество назначений исходного фактора Н, соответствующих данному назначению a фактора K или L. Так как множества назначений этих факторов совпадают, то и прообразы соответствующих назначений также совпадают. Исходя из описания алгоритмов, значения факторов K и L для каждого назначения зависят только от значений прообраза данного назначения фактора H. Также, исходя из полноты множества назначений фактора, можно утверждать, что прообраз любого назначения факторов K или L содержит назначения всех возможных значений переменной x_i, причем каждое из них по одному и только одному вхождению. Обозначим ядром (core) прообраза назначение (всегда существующее и единственное), в котором переменной x_i назначено значение v. Индикаторная функция равенства для назначений будет принимать следующие значения в условиях классической логики:

Значением назначения а фактора K для любого а будет ядро прообраза назначения а: . Значением назначения а фактора L для любого а будет . то есть, . Что и требовалось доказать.

1.3 Детерминистский вывод

Выше был рассмотрен алгоритм, в котором подразумевалось распределение вероятности принятия целевой переменной значений из области определения в зависимости от значений наблюдений. Однако, в проблемах моделирования часто возникает задача введения переменной, которая принимает строго определенное значение при определенных комбинациях условий. Переменная, значение которой определено строго при определенной комбинации значений условий называется детерминистической Тэрано, Т.; Асаи, К.; Сугэно, М. Прикладные нёчеткие системы. М.: Мир, 1993. 368c.. Детерминистический вывод основывается на наборе логических правил вывода. Логическое правило вывода - комбинация из двух назначений, связанных логическими посылками ЕСЛИ … ТО … В части ЕСЛИ правила приведено назначение условий, а в части ТО - назначение целевой (подусловной) переменной, имеющее место при данном назначении условий. В качестве примера рассмотрим логическую операцию бинарной конъюнкции. Рассмотрим сеть из трех бинарных переменных: A, B и C, где A и B - условные переменные, а С - принимает определенные значения в зависимости от значений переменных A и B.

Система правил для детерминистической бинарной конъюнкции

ЕСЛИ	ТО
А	В	С
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Преобразуем систему правил вывода в фактор:

Фактор детерминистического вывода

A	B	C	P(C|A,B)
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Данный фактор соответствует байесовской сети, изображенной на рисунке.

Байесовская сеть с детерминистической переменной

Для полного определения такой сети не хватает только распределения априорных вероятностей значений переменных А и В. При отсутствии дополнительной информации, положим значения каждой переменной равновероятными. То есть P(A=0)=P(A=1)=0.5. Аналогично для переменной В.

Для вычисления запросов к такой сети приведем фактор, представляющий полную вероятность набора переменных {A, B, C}:

Фактор детерминистического вывода

A	B	C	P(A,B,C)
0	0	0	0.25
0	0	1	0
0	1	0	0.25
0	1	1	0
1	0	0	0.25
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0.25

Для примера, выполним запрос P(C|A=0,B=0):

Результат детерминистического вывода

C	P(A,B,C)
0	1
1	0

Как видно из таблицы, результат запроса вычисляется в полном соответствии с определением конъюнкции.

Далее, выполним запрос P(A|C=1,B=0):

Результат детерминистического вывода

A	P(A,B,C)
0	0
1	0

Как мы видим, при данном наблюдении, никакое назначение не является вероятным. Это свидетельствует о том, что данная комбинация наблюдений является несовместимой.

Таким образом, Байесовские сети позволяют органично сочетать в своей структуре случайные и детерминированные переменные, не нарушая при этом целостности подхода к вычислению запросов. В такой модели, детерминированный вывод является частным случаем вывода вероятностного.

1.4 Нечеткий логический вывод

В задачах математического моделирования часто возникает задача описания переменных, представляющих качественные значения показателей, слабо формализуемых в дискретный набор значений Коротеев, М.В. Аналитическая дефаззификация нечётких чисел / Коротеев М.В. // Известия ВолгГТУ. Серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах». Вып. 14 : межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2012. - № 10 (97). - C. 32-35.. Примером таких показателей может служить качество товара, эффективность работы учреждения, квалификация сотрудников и многие другие. В то же время, традиционно уровни таких показателей оцениваются качественно, с использованием экспертных оценок, формулируемых с помощью лингвистических понятий «низкий», «высокий», «очень высокий». Оперирование лингвистическими понятиями представляет определенную сложность, преодоление которой требует привлечения определенного математического аппарата.

Нами в наших исследованиях был выбран аппарат нечеткой логики, так как он предоставляет гибкую возможность вычислений в лингвистических термах, оперирование неопределенностью в условиях недостатка информации. Лингвистические переменные Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 166c. могут формализовать неточные, многозначные и неопределенные понятия. Это свойство весьма полезно для использования в экспертных системах, так как предоставляет методологию, позволяющую экспертам выражать свои знания в привычной для них лингвистической форме и оперировать ими как строгими математическими объектами. Далее, адаптируем алгоритм нечеткого вывода для использования в Байесовских сетях.

Центральным понятием нечеткого вывода является лингвистическая переменная - переменная, имеющая определенный набор лингвистических значений (термов), построенная на определенной области определения (обычно, действительном интервале) Murphy, Kevin (2002). Dynamic Bayesian Networks: Representation, Inference and Learning. UC Berkeley, Computer Science Division. Jensen Finn V. Bayesian Networks and Decision Graphs. -- Springer, 2001.. Для примера рассмотрим лингвистическую переменную «КАЧЕСТВО». Мы можем определить некий интегральный показатель качества, оценивающий качество в некоей шкале. Путем нормализации, практически любую шкалу мы можем привести в отрезок [0; 1]. В дальнейшем, будем использовать именно этот отрезок как иллюстрацию носителя в силу его универсальности и общеупотребимости.

Каждый уровень качества может быть охарактеризован как низкий, средний или высокий, но в разной степени. Этот набор является набором значений лингвистической переменной. Таким образом, каждому значению лингвистической переменной соответствует функция принадлежности где x - элемент области определения, определенная на области определения данной переменной. Эта функция показывает, насколько применимо в данной точке области определения данное значение. Функция принадлежности обычно принимает значения из интервала [0, 1], где значение 0 показывает, что данное значение абсолютно не применимо в данной точке, а значение 1 говорит об абсолютной применимости данного значения. Набор данных функций называется нечетким классификатором Коротеев, М.В. Проектирование программной реализации носителей нечётких множеств / Коротеев М.В. // Объектные системы - 2011 (Зимняя сессия) : матер. V междунар. науч.-практ. конф. (Ростов-на-Дону, 10-12 дек. 2011 г.) / Шахтинский ин-т (филиал) ГОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ) [и др.]. - Ростов н/Д, 2011. - C. 44-49.. В случае обычной четкой переменной, каждая точка области определения может принадлежать одному и только одному значению. В нечеткой логике, каждая точка принадлежит всем значениям, но в разной степени.

Простой нечеткий классификатор

На рисунке изображен нечеткий классификатор с тремя термами (слева направо: «низкий уровень», «средний уровень», «высокий уровень»). Носителем данной лингвистической переменной является отрезок [0, 1] (горизонтальная ось). Область значений функции принадлежности - также отрезок [0, 1] (вертикальная ось). Можно увидеть, что точка, например, 0,3 принадлежит терму «низкий уровень» со степенью принадлежности 0,5; «средний уровень» - с принадлежностью также 0,5, «высокий уровень» - с принадлежностью 0. Нестрого можно сказать, что данная точка не принадлежит терму «высокий уровень» вообще.

Далее в нашем исследовании в качестве нечетких классификаторов мы будем использовать так называемые нечеткие разбиения - классификаторы, удовлетворяющие следующим свойствам:

Для каждой точки области определения, сумма ее принадлежностей ко всем термам переменной равна 1

Для каждой точки области определения, существует не более двух и не менее одного терма, принадлежность к которым данной точки положительна.

Для каждого терма лингвистической переменной существует по меньшей мере одна точка, принадлежность которой к данному терму равна 1.

Нечеткий классификатор, не являющийся нечетким разбиением.

Рассмотрим алгоритм нечеткого логического вывода на примере алгоритма Мамдани Коротеев, М.В. Разработка арифметики нечётких чисел в общей форме / Коротеев М.В. // Известия ВолгГТУ. Серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах». Вып. 13 : межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2012. - № 4 (91). - C. 122-127. [37,38,44]. Допустим, существует две лингвистические переменные А и В, каждая из которых определена на интервале [0,1] и принимает значения из множества {«low», «middle», «high»}, характеризующие качественный уровень показателя. Значения переменной В нечетко зависят от значений переменной А по следующему набору правил логического вывода (аналогично правилам четкого логического вывода):

Система правил нечеткого логического вывода

А	В
low	high
middle	middle
high	low

Допустим, мы наблюдаем значение переменной А. равное 0,3. Используя нечеткий классификатор переменной А, найдем принадлежности данной точки каждому терму:

Принадлежности термам

А
low	0,7
middle	0,3
high	0

Исходя из этих данных, каждому правилу вывода присваивается вес, показывающий, в какой степени данное правило применимо при данном наблюдении:

Взвешенная система правил нечеткого логического вывода

А	В	б
low	high	0,7
middle	middle	0,3
high	low	0

В данном простом примере используем значения функций принадлежности как веса правил. Исходя из полученных результатов, переменная В примет значение, равное значению выражения |0.7*”high” + 0.3*”middle”|. Рассматривая каждый терм как НПМ, мы можем вычислить значение данного выражения. и оно гарантированно будет являться элементом области определения лингвистической переменной В. Кроме численного значения, в качестве результата процесса вывода может рассматриваться и нечетко-множественное представление в виде НПМ С = 0.7*”high” + 0.3*”middle”. В общем случае, для вычисления результата нечеткого логического вывода, достаточно вычислить веса всех термов целевой переменной.

Рассмотрим пример более сложного нечеткого вывода. Имеем три аналогичные переменные, А, В и С, где значение С зависит от значений А и В по следующему набору правил:

Система правил вывода для двух условных переменных

ЕСЛИ	ТО
А	В	С
low	low	low
low	middle	low
low	high	middle
middle	low	low
middle	middle	middle
middle	high	high
high	low	middle
high	middle	high
high	high	high

Как видно из таблицы, система правил нечеткого вывода использует аналогичный механизм, когда перечисляются все возможные назначения условных переменных в разделе ЕСЛИ, и каждому назначению из них. поставлено в соответствие назначение подусловной переменной в разделе ТО.

Вычислим значения весов правил как произведения соответствующих принадлежностей: В качестве оператора комбинации при вычислении весов правил в нечетком выводе применяются различные треугольные нормы, но мы воспользуемся самой простой функцией.

Взвешенная система правил вывода двух условных переменных

А	В	С	б
low	low	low	0,7*0= 0
low	middle	low	0,7*0,4= 0,28
low	high	middle	0,7*0,6= 0,42
middle	low	low	0,3*0= 0
middle	middle	middle	0,3*0,4= 0,12
middle	high	high	0,3*0,6= 0,18
high	low	middle	0*0= 0
high	middle	high	0*0,4= 0
high	high	high	0*0,6= 0

Вычислим веса термов целевой переменной:

Результат нечеткого вывода

С	б
low	0,28
middle	0,42+0,12 = 0,54

1.5 Нечеткий вывод как расширение Байесовского алгоритма

Применим тот же подход, что и в случае с детерминированным логическим выводом, к нечеткому логическому выводу. Преобразуем эту систему в фактор от двух лингвистических переменных.

Фактор, представляющий системы нечетких правил вывода

А	В	P(B|A)
low	low	0
low	middle	0
low	high	1
middle	low	0
middle	middle	1
middle	high	0
high	low	1
high	middle	0
high	high	0

Для того же значения x, что и в примере выше вычислим вес каждого правила. В данном случае, данный вес будет играть роль индикативной функции равенства в модифицированном алгоритме сокращения фактора:

Взвешенный фактор

А	В	P(B|A)	б=I(A=x)	P'(A,B)
low	low	0	0,7	0,7*0=	0
low	middle	0	0,7	0,7*0=	0
low	high	1	0,7	0,7*1=	0.7
middle	low	0	0,3	0,3*0=	0
middle	middle	1	0,3	0,3*1=	0.3
middle	high	0	0,3	0,3*0=	0
high	low	1	0	0*1=	0
high	middle	0	0	0*0=	0
high	high	0	0	0*0=	0

Затем, как и ранее в модифицированном алгоритме сокращения. маргинализируем переменную А из фактора:

Взвешенный фактор

В	P(B|A=x)
low	0+0+0=	0
middle	0+0.3+0=	0.3
high	0.7+0+0=	0.7

Как видно из таблицы, результат полностью идентичен результату вывода, полученному классическим алгоритмом Мамдани. Доказательство идентичности этих двух алгоритмов аналогично доказательству, приведенному ранее для метода альтернативного сокращения факторов.

1.6 Применение схемы смешанного вывода для моделирования деятельности образовательного учреждения

Рассмотренная выше методика позволяет в произвольном порядке комбинировать детерминистскую, Байесовскую и лингвистическую схемы логического вывода в единой вероятностной графовой модели, которая, уже не являясь чисто вероятностной моделью, здесь и в дальнейшем будет называться смешанной графовой сетью вывода. Применение таких смешанных графовых сетей позволит, на наш взгляд, значительно расширить их аппликативность в задачах математического моделирования социо-экономических процессов, формализации качественных и нечетких экспертных оценок и, в частности, позволит значительно повысить наглядность, адекватность и простоту использования модели деятельности образовательного учреждения. За счет предоставления единого интерфейса моделирования при использовании различных математических методов для логического вывода может улучшить гибкость и вариативность получаемых моделей. В дальнейшем по умолчанию будем использовать трехпозиционный классификатор с множеством значений {«низкий», «средний», «высокий»} ({«low», «middle», «high»}) для формирования посылки правила; и семипозиционный с множеством значений {«очень низкий», «низкий», «ниже среднего», «средний», «выше среднего», «высокий», «очень высокий»} ({«very low», «low», «below middle», «middle», «above middle», «high», «very high»}) для заключения:

Трех- (а) и семи- (б) позиционные классификаторы лингвистических переменных

Рассмотрим укрупненную схему взаимовлияния качественных показателей деятельности образовательного учреждения:

Укрупненная схема взаимовлияния факторов деятельности образовательного учреждения.

Ряд факторов в данной схеме предлагается рассматривать как индикаторы, соответствующие разделам показателей деятельности вуза. Оценка уровней данных индикаторов производится методом аддитивной свертки по частным численным показателям.

Схема свертки частных показателей в интегральные индикаторы

Начнем построение систем правил нечеткого вывода. Исходной информацией для этого, главным образом, может являться суждения экспертов в конкретной организации, способных учесть специфику ее деятельности.

Согласно соображениям, заполним таблицы правил нечеткого вывода для всех не управляющих переменных (для упрощения схемы для посылок правил переменных, имеющих трех родителей - RT и EN - используем двухпозиционный классификатор, имеющий множество значений {«low», «high»}).

Рассмотренная в третьей главе математическая модель является обобщением сетей Байеса и нечеткого композитного вывода в методологически единый математический аппарат, использование которого в математическом моделировании социо-экономических систем позволит, по нашему мнению существенно улучшить адекватность получаемых результатов. При математической формализации сложных систем эксперт сталкивается, помимо прочего, с двумя фундаментальными трудностями: нечеткостью и неформализованностью экспертных знаний о принципах функционирования данной системы и со сложностью структуры самой системы, состоящей из большого числа сложновзаимодействующих факторов. подсистем и элементов. проанализированные нами существующие математические методы позволяют справиться с этими проблемами по отдельности - аппарат нечеткой логики хорошо зарекомендовал себя при работе с лингвистическими нечеткими понятиями, а вероятностные графические модели предоставляют наилучший способ работы с моделями сложной структуры. Однако, на сегодняшний момент не существовало методики, которая бы позволила работать с этими методами в объединении и методологически общо. Представленная нами методика математического моделирования социо-экономических систем совмещает достоинства двух проанализированных математических аппаратов.

2. Динамическое моделирование деятельности образовательного учреждения в статике с использованием смешанных DBN-сетей

2.1 Моделирование сетей DBN

Как было показано выше ряд выделенных факторов оценки деятельности образовательной организации демонстрируют взаимозависимости, протяженные во времени: текущий уровень показателя зависит в том числе и от уровня того же или иного показателя в предыдущем периоде. Например, квалификация выпускников зависит, помимо всего прочего, от квалификации (потенциала, успеваемости) студентов в предыдущем периоде. Другим примером могут служить факторы, уровень которых формируется не исключительно под воздействием единовременных с ним факторов, а обладает выраженной временной инерцией: инфраструктура и репутация организации, квалификация персонала. Таким образом, представляется необходимым моделировать деятельность образовательной организации в динамике с учетом такого рода взаимозависимостей.

Рассмотрим простейшую цепь Маркова Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. ІІ: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения. М.: МЦНМО, 2009. -- 295 с., граф которой изображен на рисунке:

Простейшая цепь Маркова

Из этого следует, что условие Маркова позволяет строить графовые модели с неограниченным количеством временных отрезков без всякого усложнения модели. В такой интерпретации граф сети задается только начальным и переходным состоянием. Общепринятым обозначением такого типа графовых моделей является 2TBN - 2-time slice Bayesian network. В совокупности с заданием начального распределения сеть образует DBN - dynamic Bayesian network. Приведем пример параметризованной DBN, состоящей из переменной с тремя состояниями:

Простейшая DBN, основанная на 2TBN (цепь Маркова)

Кроме простейшего случая, состояние системы в каждый конкретный момент времени может описываться произвольным фактором, состоящим из произвольного числа переменных. Приведем пример такой сети:

Более сложный пример 2TBN.

Такая модель будет описываться следующим набором распределений: P(X₁), P(Y₁|X₁), P(X₂|X₁), P(Y₂|X₂,X₁). Несложно посчитать, что понадобится |X|²|Y|+|X|(|Y|-1)-1 параметра. Если, например, переменная Х принимает 3 состояния, а переменная Y - два, то модель будет иметь 20 свободных параметров. Все данные расчеты аналогичны расчетам количества параметров модели, применяемым для классических Байесовских сетей, что подтверждает тот факт, что для полного определения неограниченного количества временных отрезков достаточно определения 2TBN.

Приведем пример логического вывода в смешанной DBN-сети. Определим следующую смешанную сеть, граф которой изображен на рисунке:

Пример смешанной DBN (2TBN) сети

В данной сети Переменные X и Z - бинарные случайные переменные, а Y - бинарная лингвистическая переменная. Эта сеть будет задаваться следующими распределениями: P(X), P(X'|X), P(Y), P(Z|Y), P(Y'|X).

2.2 Расширение смешанной графовой модели на динамический случай с использованием смешанных DBN-сетей

Расширим построенную в предыдущей главе статичную модель за счет кросс-временных взаимозависимостей из пункта 2.3. Для этого построим системы правил вывода переменных IS', RT', AQ' согласно, формализуя тем самым экспертные суждения (для сокращения схемы используем двухпозиционных классификатор для переменных, входящих в посылку правил вывода переменной RT').

На рисунке приведен фрагмент укрупненной сети Байеса, моделирующей в динамике деятельность образовательного учреждения Коваженков, М.А. Оценка инновационного потенциала университета на основе когнитивных математических моделей / М.А. Коваженков, М.В. Коротеев, Е.Е. Сидорова // Инновационная экономика и промышленная политика региона (ЭКОПРОМ-2013) : тр. междунар. науч.-практ. конф., 30 сент. - 9 окт. 2013 г. / Санкт-Петерб. гос. политехн. ун-т [и др.]. - СПб., 2013. - C. 449-451.. Как видно, модель обладает изрядной наглядностью, что значительно облегчает как разработку и модификацию модели, так и ее взаимодействие с экспертами, вносящими необходимую информацию, что значительно повышает эффективность использования такого класса моделей.

Укрупненная когнитивная карта функционирования образовательного учреждения (2TBN смешанная сеть)

Нам представляется, что применение такого подхода к моделированию деятельности вуза позволит достичь большей точности анализа, а также большей гибкости при очевидной универсальности. По нашему мнению, дополнительный объем работ, связанный с анализом большего количества данных оправдывается приведенными преимуществами.

Представленная в данной главе математическая модель является расширением методики, рассмотренной в предыдущей главе и предназначена для моделирования динамики развития социо-экономических систем. Данная методика расширяет модель динамических сетей Байеса (строящихся по принципу 2TBN) для использования со всеми возможными типами вывода смешанных сетей. Основными достоинствами данной модели мы полагаем следующие:

1. Линейность операторов вывода на пространствах терм-множеств, что позволит при проведении численных расчетов использовать оптимизированные и высокопроизводительные инструментальные средства линейной алгебры.

2. Доказанная нами сепарабельность вывода от двух и более переменных, что позволит существенно упростить как методологически, так и вычислительно разрабатываемые в данной время алгоритмы обучения смешанных сетей вывода. бинарный детерминистический интегральный

3. Возможность математической формализации лингвистических знаний экспертов о принципах функционирования социо-экономических сетей в виде неравномерных терм-множеств произвольного вида, как сатических, так и динамических с использование активно разрабатывающегося на кафедре "Информационные системы в экономике" ВолгГТУ аппарата динамических нечетких чисел.

4. Возможность проведения численных расчетов при неполной или неточной информации.



Заключение

Современный вуз как образовательное учреждение является сложной социально-экономической системой, а оценка эффективности деятельности любой системы является комплексной задачей и, как правило, не тривиальной. Ее решение изначально предполагает возможность измерения затрат и результатов деятельности рассматриваемой системы. В общем случае, оценка эффективности представляет собой соотношение, которое характеризует их связь. Как правило, под результатом понимаются какие-либо количественные (натуральные или стоимостные) показатели. В контексте вуза это могут быть: количество выпускников, успеваемость обучающихся, объемы выпускаемой печатной продукции и т. п. В свою очередь, не менее важной задачей является и точное определение затрат, произведенных на достижение тех или иных результатов.

Задача оценки эффективности деятельности образовательной организации является слабоформализуемой задачей, учитывающей большое количество различных по типу и содержанию факторов. Обобщающая оценка эффективности деятельности образовательной организации является комплексной и многоуровневой, она должна основываться на показателях, отражающих специфику вуза, его деятельности. В соответствие с данным подходом, исходные показатели оценки деятельности образовательной организации необходимо объединить в группы исходя из традиционных функций университета - научно-исследовательской, образовательной и инновационной.

Необходимо создание комплексной модели функционирования образовательного учреждения, учитывающей весь спектр процессов, протекающих в нем, и основанной на всей совокупности информации, описывающей эти процессы. В таком случае, анализ частных вопросов, таких как оценка инновационного потенциала вуза в рамках анализа деятельности могут быть представлены как определенного вида запросы к данной комплексной модели.

Для оценки эффективности деятельности вуза за основу была взята система обобщающих показателей, приведенных в форме заявки вуза, утвержденной распоряжением Минобрнауки России от 15.03.06 г. № Р-5 «Об утверждении объявления о проведении конкурсного отбора образовательных учреждений высшего профессионального образования, внедряющих инновационные образовательные программы».

Нам представляется, что применение такого подхода к моделированию деятельности вуза позволит достичь большей точности анализа, а также большей гибкости при очевидной универсальности. По нашему мнению, дополнительный объем работ, связанный с анализом большего количества данных оправдывается приведенными преимуществами.

Предложенный нами системный подход к оценке эффективности деятельности позволяет учесть современные особенности функционирования различных сфер деятельности университета. Положенный в основу реализации системного подхода метод когнитивного моделирования, основанный на вероятностных графах (сетях Байеса) позволяет выставить итоговую оценку эффективности деятельности университета, определить его сильные и слабые стороны, а также перспективные направления его развития.

Данный подход может базироваться не только на качественных оценках экспертов, но и на количественных показателях эффективности деятельности университета. Данный подход в силу его универсальности применим для оценки эффективности деятельности любого образовательного учреждения: института, академии, университета.

Размещено на Allbest.ru