Розробка програми для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь точними методами

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Мова програмування - це система позначень для опису алгоритмів та структур даних, певна штучна формальна система, засобами якої можна виражати алгоритми. Мову програмування визначає набір лексичних, синтаксичних і семантичних правил, що задають зовнішній вигляд програми і дії, які виконує виконавець (комп'ютер) під її управлінням.

Існують мови програмування низького та високого рівня.

Мови низького рівня були створені у 40-х рр. ХХ ст. вони базуються на командних кодах для роботи з адресами оперативної пам'яті та регістрами процесора. Їх використовують для розробки швидкодіючих програм. Прикладом такої мови є Асемблер. Для того, щоб писати програми на мовах низького рівня, потрібно бути фахівцем не тільки з програмування, але й апаратної частини персонального комп'ютера (ПК). Програми написані на мовах низького рівня «прив'язані» до конкретної конфігурації ПК.

Мови високого рівня були створені в 50-х рр. ХХ ст. з метою наблизити користувача до комп'ютера. Ці мови близькі до розмовних мов, оскільки дають змогу записувати команди у вигляді речень. Прикладами таких мов є: Фортран, Pascal, Delphi, C, C++.

На даний момент комп'ютерні технології стрімко розвиваються. і відповідно розробляються та вдосконалюються нові мови програмування:

· Java.

· C++.

· Objective-C.

· C#.

Delphi -- мова програмування, що ґрунтується на мові Pascal від компанії Borland. До версії 7.0 мала назву Object Pascal.

Технологія роботи у середовищі Delphi базується на ідеях об'єктно-орієнтованого та візуального програмування. Ідея об'єктно-орієнтованого програмування полягає в об'єднанні даних і засобів їх опрацювання (методів) у тип, який називають класом. Конкретною змінною певного класу є об'єкт. Прикладами об'єктів можуть бути елементи керування у вікні: кнопки, списки, текстові поля тощо.

Процес написання програми розділяється на дві частини:

· перша частина - програміст розташовує на вікна своєї програми, необхідні елементи, позиціонує їх, встановлює потрібні розміри, зінює властивості;

· друга частина - написання програмного коду, опис властивостей елементів, доступних тільки під час роботи додатка, опис реакцій на подію вікна.

До переваг мови Delphi відносять :

· простий код порівняно з іншими мовами;

· легка робота з формами і об'єктами;

· створення систем клієнт-сервер (для баз-даних);

· простіше шукати помилки так як менші можливості мови.

До недоліків мови Delphi відносять:

· великий код;

· менші можливості для роботи з пам'яттю на низькому рівні;

· швидкодія менша від С++.

Java -- це один із самих значних кроків вперед в області розробки середовищ програмування за останні 20 років. Мова Java потрібна була для якісного стрибка в створенні інтерактивних продуктів для мережі Internet.

Три ключових елементи об'єдналися в технології мови Java і виділили її з всіх існуючих мов програмування, що існують на сьогоднішній день.

Java надає для широкого використання свої апплети (applets) -- невеликі, надійні, динамічні програми, що не залежать від платформи ЕОМ, активні мережні додатки, що вбудовуються в сторінки Web. Апплети Java можуть набудовуватися і поширюватися з такою же легкістю, як будь-які документи HTML.Java надає програмісту багатий набір класів об'єктів для чіткого абстрагування багатьох системних функцій, використовуваних при роботі з вікнами, мережею і для введення-виведення. Ключова риса цих класів полягає в тім, що вони забезпечують створення незалежних від платформ абстракцій для широкого спектра системних інтерфейсів

До переваг мови Java відносять :

· Java є типобезпечною мовою;

· Java-код компілюються спочатку не в машинний код, а в певний проміжний код, який надалі інтерпретується або компілюється;

· У мові Java є чіткі певні стандарти на введення-виведення, графіку, геометрію, діалог, доступ до баз даних і інших типових застосувань;

· У мові Java реалізована повноцінна збірка сміття;

· Мова Java є чисто об'єктно-орієнтованою.

До недоліків мови Java відносять:

· Ціною переносимості є вимога наявності на комп'ютері віртуальної Java-машини, що приводить до уповільнення обчислень і практичної неможливості використання нових можливостей апаратної архітектури;

· Збірка сміття призводить до втрати ефективності;

· Стандарти на графіку, доступ до баз даних тощо є недоліком, якщо програміст хоче визначити свій власний стандарт.

Отже, оскільки я лиш початківець в проектуванні програм, то я буду використовувати мову Object Pascal і середовище візуального програмування Delphi.

1. Аналіз розв'язку задачі

Метою курсового проекту було створити програму, яка б знаходила розв'язок системи алгебраїчних рівнянь з трьома змінними та забезпечити простий користувацький інтерфейс. Програма буде розв'язувати системи лінійних рівнянь двома способами:

· Метод Гауса,

· Формулами Крамера.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь в загальному вигляді задається так:

(1.1)

Із коефіцієнті ai складаємо розширену матрицю, а з коефіцієнтів bj - стовпець вільних членів.

Інтерфейс програми буде реалізовано просто і зручно, тому що перша оцінка програми від простого користувача - це є зручність. Користувачу потрібно буде задати розширену матрицю - А і матрицю вільних членів - В. Також потрібно ввести розмірність 3 х 3. Відповідно до того введення даних буде реалізовуватись через клавіатуру, це один з простіших і ефективніших способів введення. Матриця реалізована за допомогою компоненту StringGrid.

Виведення результату на екран або точніше на форму програм відбувається за допомогою компоненту ListBox.

Нижче я наведу приклади формул з методів і наведу коротку характеристику кожному з них.

Метод Гауса: Нехай дано таку систему рівнянь:

, ??0 (1.2)

Метод Гауса ще називають методом послідовного виключення невідомих. Суть методу Гауса полягає в перетворені системи (1) до системи з трикутною матрицею, з якою послідовно (зворотнім ходом) виходить значення всіх невідомих. Ця схема називається схемою єдиного ділення. Тоді, (ведучий елемент) розділимо на перше рівняння.

Отримаємо:

(1.3)

Користуючись рівнянням (2), легко виключити невідомі з решти рівняння системи (для цього достатньо з кожного рівняння відняти рівняння (2) попередньо помножене на відповідний коефіцієнт при , тоді на першому кроці отримаємо:

(1.4)

Іншими словами на першому кроці кожен елемент наступних рядків, починаючи з другого, дорівнює різниці між вихідним елементом і твором його проекції на перший стовпець і перший перетворений рядок. Слідом за цим залишивши перше рівняння, над іншими рівняннями системи, отриманої на першому кроці, зробимо аналогічне перетворення: виберемо з числа рівняння з провідним елементом і виключимо з його допомогою з інших рівнянь (крок 2). Після n кроків замість (1) отримаємо рівносильну систему:

 (1.5)

програмування алгоритм алгебраїчний

Таким чином, на першому етапі ми отримаємо трикутну систему (3). Цей етап називається прямим ходом.

Зворотній хід.

З останнього ненульового рівняння виражаємо кожну з базисних змінних через небазисні і підставляємо в попередні рівняння. Повторюючи цю процедуру для всіх базисних змінних, отримуємо фундаментальний розв'язок.

Реалізація прямого ходу буде відбуватись за допомогою такого коду програми:

for i:=1 to n-1 do

for j:=i+1 to n do

begin

a[j,i]:=-a[j,i]/a[i,i];

for k:=i+1 to n do

a[j,k]:=a[j,k]+a[j,i]*a[i,k];

b[j]:=b[j]+a[j,i]*b[i]

end;

x[n]:=b[n]/a[n,n];

А зворотній хід за допомогою такого коду:

for i:=n-1 downto 1 do

begin

h:=b[i];

for j:=i+1 to n do h:=h-x[j]*a[i,j];

x[i]:=h/a[i,i]

end;

Опис алгоритму розв'язку системи лінійних рівнянь методом Гауса наведено в другому розділі.

Формули Крамера:

Метод або формули Камера призначений для розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь n-змінних, із ненульовим визначником головної матриці. Розв'язок для таких рівнянь є тільки один. Формули були виведені швейцарським математиком, одним із творців лінійної алгебри Габріелем Крамером у 1750 році.

На мою думку цей метод є найпростішим для розв'язання рівнянь з багатьма змінними. Щоб навчитись ним користуватись необов'язково знати вищу математику. Для того щоб оперувати цим методом необхідно вміти знаходити визначник матриці, ну і звичайно знати елементарну математику. Нижче я детально наведу алгоритм розв'язку для цього методу.

Запис формули Крамера запам'ятати легко, всього лиш три формули.

Отже, формули дозволяють розрахувати ті змінні, які Вам потрібно знайти в системі рівнянь. У кожній системі може бути різна кількість змінних, починаючи з двох. Я навів лише три змінні тому що найчастіше використовують рівняння з трьома змінними але і бувають рівняння з більшою кількістю тоді позначатиметься, наприклад, так Але рівняння можуть позначатись будь-якими буквами латинського алфавіту.

Обчислення визначника буде реалізоване за допомогою такого коду:

 for i:=0 to strngrd1.ColCount-1 do

begin

mas1[i]:=StrToFloat(strngrd1.Сells[i,0]);

mas2[i]:=StrToFloat(strngrd1.Cells[i,1]);

mas3[i]:=StrToFloat(strngrd1.Cells[i,2]);

end;

ще буде використовуватись для обчислення така функція:

function podstanov (mas1,mas2,mas3:TMArray):real;

begin

Result:= mas1[0]*mas2[1]*mas3[2]+mas2[0]*mas3[1]*mas1[2]+mas1[1]*mas2[2]*mas3[0]-

mas3[0]*mas2[1]*mas1[2]-mas2[0]*mas1[1]*mas3[2]-mas3[1]*mas2[2]*mas1[0];

end;

2: Опис алгоритму розв'язку задачі

В даному розділі я наведу опис алгоритмів реалізації двох методів словесно та графічно (блок-схема).



Рис.2.1. Блок-схема методу Гауса

Покрокове виконання блок-схеми:

1. На першому кроці вводжу коефіцієнти рівняння.

2. Після того формую розширену матрицю.

3. Виконуємо прямий хід: тобто зводимо матрицю до трикутного вигляду.

4. Спочатку обнулимо коефіцієнти при Х в другому та третьому рядку.

5. Після того обнулимо коефіцієнт при Y в третьому рядку.

Тепер ми звели нашу матрицю до трикутного вигляду.

6. Отже можна приступати до оберненого ходу.

7. Тепер нам потрібно обчисляти рівняння і рухатись знизу до гори підставляючи змінні. Таким чином ми обчислимо значення x, y, z.

Метод Крамера:

Блок-схема:

Рис.2.2. Блок-схема методу Крамера

Покрокове виконання блок-схеми:

1. На першому кроці формуємо матрицю А з коефіцієнтів при змінних рівняння.

2. Обчисляємо головний визначник з матриці А, а також формуємо матрицю В з вільних членів.

3. Якщо визначник дорівнює 0, то система коренів немає, а якщо не дорівнює то ідемо далі.

4. Визначаємо допоміжні визначники заміняючи по черзі кожен зі стовпців головного визначника вільними членами матриці В.

5. Підставляємо визначники в формули та обраховуємо значення x,y,z.

3. Лістинг розробленої програми

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Menus, Grids;

const MaxDimension = 10;

type

TMArray =array [0..3] of real;

Vector = array[1..MaxDimension] of Double;

Matrix = array[1..MaxDimension] of Vector;

TForm1 = class(TForm)

grp1: TGroupBox;

grp2: TGroupBox;

lbl2: TLabel;

lbl6: TLabel;

lbl7: TLabel;

lbl8: TLabel;

lbl9: TLabel;

lbl10: TLabel;

lbl11: TLabel;

lbl12: TLabel;

strngrd3: TStringGrid;

strngrd4: TStringGrid;

btn3: TButton;

edt1: TEdit;

edt2: TEdit;

edt3: TEdit;

edt4: TEdit;

mm1: TMainMenu;

mniN1: TMenuItem;

mniN2: TMenuItem;

mniN3: TMenuItem;

mniN4: TMenuItem;

mniN5: TMenuItem;

mniN6: TMenuItem;

lbl1: TLabel;

lbl16: TLabel;

edt9: TEdit;

lbl3: TLabel;

lbl18: TLabel;

edt10: TEdit;

edt11: TEdit;

lbl4: TLabel;

edt12: TEdit;

edt13: TEdit;

lbl5: TLabel;

lst1: TListBox;

btn1: TButton;

btn2: TButton;

lbl19: TLabel;

strngrd5: TStringGrid;

strngrd6: TStringGrid;

btn4: TButton;

mniN7: TMenuItem;

mniN8: TMenuItem;

procedure mniN6Click(Sender: TObject);

procedure btn3Click(Sender: TObject);

procedure mniN2Click(Sender: TObject);

procedure btn1Click(Sender: TObject);

procedure btn4Click(Sender: TObject);

procedure strngrd5KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

procedure strngrd6KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

procedure strngrd7KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

procedure strngrd5KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

procedure strngrd6KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

procedure strngrd7KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

procedure btn2Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

implementation

uses Unit2;

{$R *.dfm}

procedure TForm1.mniN6Click(Sender: TObject);

begin

AboutBox.Show;

end;

function pidstanovka (mas1,mas2,mas3:TMArray):real;

begin

Result:= mas1[0]*mas2[1]*mas3[2]+mas2[0]*mas3[1]*mas1[2]+mas1[1]*mas2[2]*mas3[0]-

mas3[0]*mas2[1]*mas1[2]-mas2[0]*mas1[1]*mas3[2]-mas3[1]*mas2[2]*mas1[0];

end;

for j:=0 to strngrd3.RowCount do

procedure TForm1.btn3Click(Sender: TObject);

var mas1,mas2,mas3:TMArray;

i,j:integer; x1,x2,x3,X,Y,Z:real;

Delta,Delta1,Delta2,Delta3:real;

begin

for i:=0 to strngrd7.ColCount-1 do

begin

mas1[i]:=StrToFloat(strngrd7.cells[i,0]);

mas2[i]:=StrToFloat(strngrd7.Cells[i,1]);

mas3[i]:=StrToFloat(strngrd7.Cells[i,2]);

end;

Delta:=pidstanovka(mas1,mas2,mas3);

for j:=0 to strngrd7.RowCount do

begin

strngrd8.Cells[0,j]:=strngrd7.Cells[3,j];

strngrd8.Cells[1,j]:=strngrd7.Cells[1,j];

strngrd8.Cells[2,j]:=strngrd7.Cells[2,j];

strngrd8.Cells[3,j]:='0';

end;

for i:=0 to strngrd8.ColCount-1 do

Delta1:=pidstanovka(mas1,mas2,mas3);

for j:=0 to strngrd3.RowCount do

begin

strngrd3.Cells[0,j]:=strngrd7.Cells[0,j];

strngrd3.Cells[1,j]:=strngrd7.Cells[3,j];

strngrd3.Cells[2,j]:=strngrd7.Cells[2,j];

strngrd3.Cells[3,j]:='0';

end;

Delta1:=pidstanovka(mas1,mas2,mas3);

begin

strngrd3.Cells[0,j]:=strngrd7.Cells[0,j];

strngrd3.Cells[1,j]:=strngrd7.Cells[3,j];

strngrd3.Cells[2,j]:=strngrd7.Cells[2,j];

strngrd3.Cells[3,j]:='0';

end;

for i:=0 to strngrd3.ColCount-1 do

begin

mas1[i]:=StrToFloat(strngrd3.cells[i,0]);

mas2[i]:=StrToFloat(strngrd3.Cells[i,1]);

mas3[i]:=StrToFloat(strngrd3.Cells[i,2]);

end;

Delta2:=pidstanovka(mas1,mas2,mas3);

for j:=0 to strngrd4.RowCount do

begin

strngrd4.Cells[0,j]:=strngrd7.Cells[0,j];

strngrd4.Cells[1,j]:=strngrd7.Cells[1,j];

strngrd4.Cells[2,j]:=strngrd7.Cells[3,j];

strngrd4.Cells[3,j]:='0';

end;

for i:=0 to strngrd3.ColCount-1 do

begin

mas1[i]:=StrToFloat(strngrd4.cells[i,0]);

mas2[i]:=StrToFloat(strngrd4.Cells[i,1]);

mas3[i]:=StrToFloat(strngrd4.Cells[i,2]);

end;

Delta3:=pidstanovka(mas1,mas2,mas3);

edt8.Text:= FloatToStr(Delta1);

edt9.text:= FloatToStr(Delta);

edt10.Text:= FloatToStr(Delta2);

edt11.text:= FloatToStr(Delta);

edt12.Text:= FloatToStr(Delta3);

edt13.text:= FloatToStr(Delta);

X:=Delta1/Delta;

Y:=Delta2/Delta;

Z:=Delta3/Delta;

edt1.text:= FloatToStr(X);

edt2.text:= FloatToStr(Y);

edt3.text:= FloatToStr(Z);

edt4.text:= FloatToStr(Delta);

edt5.text:= FloatToStr(Delta1);

edt6.text:= FloatToStr(Delta2);

edt7.text:= FloatToStr(Delta3);

end;

procedure TForm1.mniN2Click(Sender: TObject);

begin

Close;

end;

procedure TForm1.btn1Click(Sender: TObject);

var a: Matrix;

b,x: Vector;

h: Double;

i,j,k,n:integer;

begin

n := StrToIntDef(Text, strngrd5.ColCount);

for j := 0 to n - 1 do

for i := 0 to n - 1 do

a[i + 1, j + 1] := StrToFloatDef(strngrd5.Cells[j, i], 0);

for I := 0 to n - 1 do b[i + 1] := StrToFloatDef(strngrd6.Cells[0, i], 0);

for i:=1 to n-1 do

for j:=i+1 to n do

begin

a[j,i]:=-a[j,i]/a[i,i];

for k:=i+1 to n do

a[j,k]:=a[j,k]+a[j,i]*a[i,k];

b[j]:=b[j]+a[j,i]*b[i]

end;

x[n]:=b[n]/a[n,n];

for i:=n-1 downto 1 do

begin

h:=b[i];

for j:=i+1 to n do h:=h-x[j]*a[i,j];

x[i]:=h/a[i,i]

end;

for i:=1 to n do lst1.Items.Append('x(' + IntToStr(i) + ')=' + FloatToStr(x[i]));

end;

procedure TForm1.btn4Click(Sender: TObject);

var i, k: integer;

begin

with strngrd7 do

for i := 0 to ColCount - 1 do

for k := 0 to RowCount - 1 do

Cells[i, k] := '';

with strngrd8 do

for i := 0 to ColCount - 1 do

for k := 0 to RowCount - 1 do

Cells[i, k] := '';

with strngrd3 do

for i := 0 to ColCount - 1 do

for k := 0 to RowCount - 1 do

Cells[i, k] := '';

with strngrd4 do

for i := 0 to ColCount - 1 do

for k := 0 to RowCount - 1 do

Cells[i, k] := '';

edt1.clear;

edt2.clear;

edt3.clear;

edt4.clear;

edt5.clear;

edt6.clear;

edt7.clear;

edt8.clear;

edt9.clear;

edt10.clear;

edt11.clear;

edt12.clear;

edt13.clear;

end;

procedure TForm1.strngrd5KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

case key of

'0'..'9','-', #8:;

else

key:=#0;

end;

end;

procedure TForm1.strngrd6KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

case key of

'0'..'9','-', #8:;

else

key:=#0;

end;

end;

procedure TForm1.strngrd7KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

case key of

'0'..'9','-', #8:;

else

key:=#0;

end;

end;

procedure TForm1.btn2Click(Sender: TObject);

var i,k: Integer;

begin

with strngrd5 do

for i := 0 to ColCount - 1 do

for k := 0 to RowCount - 1 do

Cells[i, k] := '';

with strngrd6 do

for i := 0 to ColCount - 1 do

for k := 0 to RowCount - 1 do

Cells[i, k] := '';

lst1.Clear;

end;

end.

end.

unit Unit2;

interface

uses Windows, SysUtils, Classes, Graphics, Forms, Controls, StdCtrls,

Buttons, ExtCtrls;

type

TAboutBox = class(TForm)

OKButton: TButton;

lbl1: TLabel;

procedure OKButtonClick(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

AboutBox: TAboutBox;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TAboutBox.OKButtonClick(Sender: TObject);

begin

Close;

end;

unit Unit3;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls;

type

TForm3 = class(TForm)

lbl1: TLabel;

btn1: TButton;

procedure btn1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form3: TForm3;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm3.btn1Click(Sender: TObject);

begin

Close;

end;

end.

Висновок

Метою створення програми є реалізація розв'язання рівнянь методом Гауса і Крамера. Під час виконання курсовою роботи я згадав обидва методи, які вивчались раніше. Також згадав основні складові технології ООП, і навики в мові програмування Object Pascal, які дали змогу виконати проектування програми.

Програмі створено простий інтерфейс для простої експлуатації програми. Простий користувач який немає навиків в програмуванні і не розуміє як виконується обчислення в даній програмі, може ознайомитись в меню Допомоги.

Размещено на Allbest.ru