Оптимальное управление распределенной колебательной системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 681.3 (075)

Нургулжанова Асель Нургулжановна, соискатель (Алматы, КазАТК)

Оптимальное управление распределенной колебательной системой

Состояние распределенной колебательной системой, т.е. ее отклонение от состояния равновесия, пусть описывается функцией которая подчиняется при и волновому уравнению

со следующими начальными и граничными условиями:

Q(x, 0)=Q0(x), , 0 ? x ? р

Q(0, t)=u(t),

Q(р,t) = 0, t?0.

Задача оптимального управления ставится следующим образом: требуется найти такое управляющее воздействие u(t), 0 ? t ? T, норма которого ограничена числом l>0, т.е.

Чтобы за минимально возможное время Т успокоить колеблющуюся от воздействия ненулевых начальных условий (2) систему (1), т.е. чтобы при минимальном Т выполнялись условия равновесия

Q(x, T)=0,

0?x?р.

Будем предполагать, что Q0 (x), 0<x<р, дважды (непрерывно) дифференцируема и имеет кусочно- непрерывную третью производную. Что касается функции Q1 (x), 0<x<р, то предположим, что она (непрерывно) дифференцируема и имеет кусочно- непрерывную вторую производную, причем будем считать Q0 (0) = Q0 (р)= Q1 (0)= Q1 (р)= 0 . Функцию u(t) будем предполагать принадлежащей пространству Lp[0, T] при 1<p<. Решение: разрешимость бесконечный оптимальный фурье

Q(x, t) уравнения (1) с условиями (2), (3) будем понимать в обобщенном смысле как предел при n> решений Qn (x, t) уравнений (1) - (3) , соответствующих функциям управления un(t) , дважды непрерывно дифференцируемым при условии un(0) = u'n(0) = 0 , когда { un(t) } сходится на [0, T] в пространстве Lp[0, T] к функции u(t).

В этом случае, воспользовавшись методом разделения переменных, решение уравнения (1) с условиями (2), (3)можно записать в виде

где и , n=1, 2, …,- коэффициенты разложения в ряд по синусам соответственно функций Q0 (x) и Q1 (x), на отрезке [0,р], или, по-другому, , n=1, 2, …, суть коэффициенты ряда Фурье соответственно функций Q0 (x) и Q1 (x) на отрезке [-р, р], когда с отрезка [0,р] на отрезок [-р, 0] эти функции продолжены нечетным образом (т.е. графики этих функций симметричны относительно точки начала координат оси х).

Выражение (6) есть обычное решение уравнения (1) с условиями (1), (3) при u(t)L2[0, T] внутри прямоугольника 0?х?р, 0?t?T. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно два раза проинтегрировать по частям интеграл

и вопользоваться равенством

при .

С учетом решения (6) условия успокоения системы (5) примут вид

0<х<р.

Так как система функций {sin nx} на отрезке [0,р] является полной, то для того, чтобы выполнялись условия (7) и (8), необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты при sin nx, n=1,2, . . , в уровнениях (7) и (8) были равны нулю. Отсюда получаем бесконечную систему равенств

n = 1, 2, . . .

Умножая уравнение (9) при фиксированном n на j и складывая его с уравнением (10) при том же фиксированном n, а затем сокрощая на ejnT и снова разделяя вещественные и мнимые части, получим новую систему равенств, выполнение которых необходимо и достаточно для выполнения условий успокоения (5):

n=1, 2,,

n=1, 2,

Таким образом, задача об определении успокаивающего управления u(t) оказалась эквивалентной задаче о разрешимости бесконечной проблемы моментов.

Далее, задача определения оптимального управления u(t) по минимуму времени Т тесно связана с l - проблемой моментов, которая состоит в том, чтобы найти такое u(t), 0?t?T, удовлетворяющее всем моментным неравенствам (11), (12), чтобы еще выполнялось дополнительное условие - условие ограниченности нормы функции u(t) в пространстве , т.е. условие (4).

Заметим сразу, что так как пространство слабо бикомпактно, то решение l- проблемы моментов (11), (12), (4) должно принадлежать пространству и, следовательно, быть периодическим с периодом 2р.

Представим Т в виде Т=2рk + е, где k - одно из чисел k=0, 1, 2, . . . и 0?е<2р. Тогда равенства (11), (12) с учетом периодичности u(t) с периодом 2р можно записать в виде

Где

Но из условий (13), (14) функция определяется однозначно, правда, с точностью до некоторой произвольной аддитивной постоянной С, так как из (13) и (14) видно, что и суть коэффициенты Фурье функции на отрезке [0, 2р] (нет среди (13) и (14) только условия на постоянную составляющую функции , чем и обусловлено наличие произвольной постоянной С).

Итак,

В силу условий, наложенных на функции Q0(x) и Q1(x), ряд в (16) сходится равномерно.

Из равенства (15) тогда получаем, что при k ? 0 искомое управление равно (на отрезке времени [0, 2р])

Выводы

1 Показаны эффективность визуального компьютерного моделирования для систем с распределенными параметрами уравнениями в частных производных с использованием различных инструментальных программных средств: «Stratum-2000», MatLAB.

2. Получена расчетная формула в виде разностного уравнения путем замены выражения производных их дискретным аналогом, реализуемая на цифровой вычислительной машине для расчета значения параметра y в любой точке (x, t).

3. Рассмотрены подходы для обеспечения устойчивости (точности) с использованием шаблонов.

Литература

1. Утепбергенов И.Т., Нургулжанова А.Н. Об одной задаче управления с использованием уравнения колебания струны //Материалы международной научно-практической конференции «Наука и инновации на железнодорожном транспорте».- Алматы, КазАТК, 2005.

2. Утепбергенов И.Т., Нургулжанова А.Н. Моделирование управления, описываемого уравнениями с распределенными параметрами // Алматы, Вестник КазАТК, 2008, №5.

Размещено на Allbest.ru