Один алгоритм сжатия изображения

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «КубГУ»)

Кафедра математических и компьютерных методов

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА

ОДИН АЛГОРИТМ СЖАТИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Работу выполнил А.Г. Алтунян

Факультет математики и компьютерных наук, 4 курс, 43 группа

Направление бакалаврской подготовки 02.03.01. Математика и

компьютерные науки

Научный руководитель А. Н. Марковский

кандидат физико-математических

наук, доцент

Нормоконтролер Е.В . Мазур старший лаборант

Краснодар 2015



Содержание

Введение

1. Проблема алгоритмов архивации с потерями

2. Технология jpeg

2.1 Разложение Фурье, основные свойства

2.2 Квантование, Фурье-сжатие

2.3 Сжатие без потерь, алгоритм Хаффмана

3. Модификация jpeg

3.1 Разложение пространства

3.2 Сглаживание изображений, обратная операция

4. Практическая часть

Заключение

Список использованных источников

Приложения

фурье сжатие хаффман сглаживание



Введение

Сжатие цифровых изображений -- одна из задач цифровой обработки изображений, наряду с сегментацией, морфологической обработкой, распознаванием образов и другими.

Под сжатием цифрового изображения понимают сопоставление ему такого набора данных, количество единиц информации для представления которого будет меньше, чем для представления исходного изображения. Операция преобразования набора данных, представляющих сжатое изображение, в новое изображение называется восстановлением. Если в результате последовательного выполнения сжатия и восстановления восстановленное изображение совпадает с исходным, то метод, реализующий этот процесс, называется сжатием без потерь информации, в противном случае метод называется сжатием с потерями информации.

Задача сжатия в цифровой обработке изображений возникла вместе с развитием вычислительной техники и средств связи в 60-е года 20 века. В настоящее время сжатие изображений играет существенную роль во многих разнообразных и важных областях, таких, как дистанционное зондирование Земли (использование изображений, получаемых со спутников, для прогноза погоды и изучения земных ресурсов), обработка медицинских изображений, факсимильная передача, управление беспилотными летательными аппаратами, цифровая фотография и многих других. Сжатие изображений становится возможным в силу наличия избыточности данных, которую можно разделить на три типа: межэлементная избыточность, визуальная избыточность, кодовая избыточность. Межэлементная избыточность возникает вследствие того, что в естественных изображениях имеет место сильная межэлементная корреляция, которая является следствием структурных или геометрических взаимосвязей между объектами на изображении. В силу этого, значение любого элемента изображения может быть достаточно точно предсказано по значениям его соседей, следовательно, информация, содержащаяся в отдельном' элементе, оказывается относительно малой. Для уменьшения данного вида избыточности выполняется такое преобразование исходного набора данных, что межэлементная корреляция становится меньше.

Визуальная избыточность является следствием психофизических характеристик зрения человека, связанных с тем, что глаз воспринимает не количественное значение яркости элементов изображения, а фиксирует особенности изображений, такие как текстуры или контуры.

Присутствие визуальной избыточности позволяет, например, затрачивать меньшее количество единиц информации на представление однородных областей изображения, увеличивая за счет этого количество единиц информации на представление деталей. Основанием для сокращения кодовой избыточности является то, что распределение уровней яркости в естественном изображении неравномерно. Максимальное количество единиц информации, необходимых для представления изображения, получается в том случае, если каждому значению яркости присваивать код равной длины. Однако если учитывать знания о вероятностях появления уровней яркости, можно сократить среднее количество бит на представление каждого значения, используя неравномерное кодирование, присваивающее менее вероятным событиям коды большей длины.

Суммируя сказанное выше, можно утверждать, что в основе современных методов сжатия изображений лежат следующие идеи: выполнение дискретного преобразования элементов изображения для снижения межэлементной избыточности; квантование коэффициентов преобразования для снижения визуальной избыточности; статистическое кодирование проквантованных значений для снижения кодовой избыточности.

Самый распространенный в настоящее время метод сжатия изображений с потерями, называемый JPEG, основан на квантовании и статистическом кодировании коэффициентов дискретного косинусного преобразования (ДКП).

Популярность метода JPEG обусловлена сравнительной простотой реализации, разработкой стандарта, а также многочисленными исследованиями в области оптимизации его основных этапов. Несмотря на то, что, начиная с 1990-х годов, активно развиваются методы сжатия изображений на основе вейвлет-преобразований, разработанный на базе этой группы преобразований стандарт JPEG 2000 до сих пор не стал общепринятым. Одна из причин этого заключается в вычислительной сложности реализации JPEG 2000, в том числе и аппаратной. Сокращения сложности вычислений можно достичь за счет уменьшения количества операций умножения при вычислении преобразования, лежащего в основе метода сжатия. Быстрые алгоритмы дискретного косинусного и вейвлет-преобразований предоставляют такую возможность, однако достигнутый результат оказывается недостаточным для некоторых задач, в частности, при необходимости обработки большого количества изображений за короткий промежуток времени, как, например, в задаче дистанционного зондирования Земли.

Кроме того, в последнее время повсеместно используются мобильные телефоны, карманные компьютеры и коммуникаторы, то есть такие устройства, где аппаратные ресурсы ограничены, и, вместе с тем, требуется хранение и обработка фотографий. В указанных приложениях для сжатия изображений можно использовать известные дискретные преобразования, позволяющие проводить вычисления без использования операций умножения (например, дискретное преобразование Уолша-Адамара), но методы на их основе могут не обеспечивать желаемой эффективности. Здесь и далее под эффективностью метода сжатия подразумевается соотношение среднеквадратичной ошибки восстановления и степени сжатия изображения.

Применение алгоритмов, обеспечивающих высокую степень сжатия, позволяет увеличить скорость передачи данных по каналам связи и эффективность их хранения.

Эта проблема и была поставлена для решения в данной работе. Здесь предполагается реализация возможности сжатия изображения с помощью сингулярного разложения

Актуальность дипломного исследования обуславливается тем, что современный мир компьютерных технологий требует постоянного создания и внедрения новых более эффективных методов сжатия изображения, способных заменить старые методы. Так как в наше время мы нередко сталкиваемся с проблемой сжатия изображения для документов, веб-страниц, сообщений электронной почты.

Структура выпускной работы. Выпускная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений.



1. Проблемы алгоритмов архивации с потерями

Первыми для архивации изображений стали применяться привычные алгоритмы. Те, что использовались и используются в системах резервного копирования, при создании дистрибутивов и т.п. Эти алгоритмы архивировали информацию без изменений. Однако основной тенденцией в последнее время стало использование новых классов изображений. Старые алгоритмы перестали удовлетворять требованиям, предъявляемым к архивации. Многие изображения практически не сжимались, хотя “на взгляд” обладали явной избыточностью. Это привело к созданию нового типа алгоритмов -- сжимающих с потерей информации. Как правило, коэффициент архивации и, следовательно, степень потерь качества в них можно задавать. При этом достигается компромисс между размером и качеством изображений.

Одна из серьезных проблем машинной графики заключается в том, что до сих пор не найден адекватный критерий оценки потерь качества изображения. А теряется оно постоянно -- при оцифровке, при переводе в ограниченную палитру цветов, при переводе в другую систему цветопредставления для печати, и, что для нас особенно важно, при архивации с потерями. Можно привести пример простого критерия: среднеквадратичное отклонение значений пикселов (L2 мера, или root mean square -- RMS):

По нему изображение будет сильно испорчено при понижении яркости всего на 5% (глаз этого не заметит -- у разных мониторов настройка яркости варьируется гораздо сильнее). В то же время изображения со “снегом” -- резким изменением цвета отдельных точек, слабыми полосами или “муаром” будут признаны “почти не изменившимися”. Свои неприятные стороны есть и у других критериев.

Рассмотрим, например, максимальное отклонение:

Эта мера, как можно догадаться, крайне чувствительна к биению отдельных пикселов. Т.е. во всем изображении может существенно измениться только значение одного пиксела (что практически незаметно для глаза), однако согласно этой мере изображение будет сильно испорчено.

Мера, которую сейчас используют на практике, называется мерой отношения сигнала к шуму (peak-to-peak signal-to-noise ratio -- PSNR).

Данная мера, по сути, аналогична среднеквадратичному отклонению, однако пользоваться ей несколько удобнее за счет логарифмического масштаба шкалы. Ей присущи те же недостатки, что и среднеквадратичному отклонению.

Лучше всего потери качества изображений оценивают наши глаза. Отличной считается архивация, при которой невозможно на глаз различить первоначальное и разархивированное изображения. Хорошей -- когда сказать, какое из изображений подвергалось архивации, можно только сравнивая две находящихся рядом картинки. При дальнейшем увеличении степени сжатия, как правило, становятся заметны побочные эффекты, характерные для данного алгоритма. На практике, даже при отличном сохранении качества, в изображение могут быть внесены регулярные специфические изменения. Поэтому алгоритмы архивации с потерями не рекомендуется использовать при сжатии изображений, которые в дальнейшем собираются либо печатать с высоким качеством, либо обрабатывать программами распознавания образов. Неприятные эффекты с такими изображениями, как мы уже говорили, могут возникнуть даже при простом масштабировании изображения.



2. Технология

Это самая распространенная технология сжатия восстановления (название от Joint Photographic Expert Group).Применяется для сжатия с потерями полутоновых изображений, для их передачи и хранения. Рассмотрим ее схему на примере черно-белого изображения. Итак, изображение двоичная целочисленная матрица интенсивностей яркости, например, 8-ми битовая (256 градаций яркости). Технология для черно-белых изображений состоит из следующих основных этапов.

1) Матрица-изображение разбивается на квадраты 8 х 8.Числа каждого квадрата вытягиваются в цепочку из 64-х чисел, что интерпретируется как кусочно-постоянная функция на (0,); отрезок (0,) разбивается на равные части , ,=1,…,64 ; на этих частичных отрезках функция принимает постоянные значения (это числа от 0 до 255).

2) К этой функции применяется быстрое преобразование Фурье, вычисляются коэффициенты Фурье. Используется свойство убывания к нулю коэффициентов Фурье. Оказывается, что для многих классов изображений обычно только 6-10 первых коэффициентов являются значимыми, основными, остальные приблизительно равны нулю и их можно отбросить (квантование). Получают сжатие в 6-10 раз (если значащих коэффициентов больше, чем оставлено, т.е. некоторые значащие отброшены, то на экране просматриваются квадратики).

4) Объединяют основные, оставленные коэффициенты всех квадратиков в общий массив, к новому общему массиву чисел применяется алгоритм Хаффмана, дающий сжатие примерно в полтора-два раза. Окончательно получаем сжатие в jpeg примерно в 12-15 раз. Обратная процедура, восстановление изображения:

1) к сжатому массиву применяется обратный алгоритм Хаффмана (восстановление без потерь значимых коэффициентов Фурье);

2) по сохраненным значимым коэффициентам восстанавливается (в виде суммы Фурье, приближенно) функция на (0,), вычисляются ее значения на 64 частичных отрезках длины и ими заполняется соответствующий квадрат 8х8;

3) формируется общая матрица изображения (сжатого) и в BMP формате подаётся на экран. Для цветных изображений используются три матрицы интенсивностей для каждого из трёх цветов. В каждом пикселе экрана расположены три люминофора, дающие яркость своего цвета в зависимости от цифровых значений соответствующих им элементов матриц.

2.1 Разложение Фурье, основные свойства

Теория рядов Фурье наиболее просто строится в пространстве т.е. на множестве функций , для которых сходится интеграл от ее квадрата,

в пространстве определено скалярное произведение ,

если, то говорят, что иортогональны . Эта скалярное произведение порождает норму

все эта аналогично евклидову пространству R2 на плоскости.

Тригонометрическая система функций

, ,,, … (2.1.1)

является в пространствеортонормированной : если обозначить для краткости эти функции последовательно как ,,…,то(,)=0 при и равно 1 при .

Основное утверждение состоит в том, что тригонометрическая система (2.1.1) является полной системой функций в этом пространстве, т.е. любая функция из может быть как угодно точно аппроксимирована конечными суммами этих функций,

или ==

т.е. может быть представлена рядом этих функций и единственным образом . в классической форме это имеет вид

=++ (2.1.2)

При этом выполняется единственное равенство

которое называется равенство Парсеваля ( и является простым аналогом теоремы Пифагора).

Следовательно, имеет место взаимно однозначное соответствие

между элементами пространства и пространство .

Если умножить левую и правую части равенства (2.1.2) скалярно на и на, то получим

)=,

Если четная, то, нечетная, и все, а для получаем

(2.1.3)

Функция, определена на может быть разложена в ряд Фурье только по косинусам,

с формулами (2.1.3) для коэффициентов.

2.2 Квантование, Фурье-сжатие

Рассмотри косинус-пребразование Фурье для кусочно-постоянных функций

В jpeg используется ступенчатые кусочно-постоянные функции : отрезок (0,р) разбивается на части, ; на этих частичных отрезках функция принимает постоянные значения (это числа от 0 до 255, полученные на квадратике 8х8).

Интеграл (2.1.3) принимает вид



=( (2.2.1)

Обозначим значение интегралов, стоящих в круглых скобках (2.2.1), и рассмотрим матрицу (). Рассмотрим также вектор-столбцы = и .

Из (2.2.1) следует, что вектор коэффициентов a определяется умножением матрицы на вектор значений.

Так как матрица вычислена заранее, то это дает быстрое вычисление коэффициентов. При этом феноменология задачи такова, что достаточно вычислять лишь первые 6-10 коэффициентов (квантование).

2.3 Сжатие без потерь, алгоритм Хаффмана

Некоторые виды информации должны быть переданы точно, без потерь, например, чертежи, буквенный или числовой текст и т.п. Одним из самых распространенных алгоритмов сжатия без потерь является алгоритм Хаффмана, его можно назвать статистическим алгоритмом; коэффициент сжатия - 8, 1.5, 1 (лучший, средний, худший случаи). В задаче сжатия изображений он применяется как дополнительный. Текстовый документ обычно формируется некоторым алфавитом с буквами постоянной длины в битах. Алгоритм Хаффмана состоит, во-1х, в подсчете частоты появления каждой буквы. Например, если текст состоит из n букв, то вычисляют число повторений в тексте k-ой буквы алфавита и вычисляют частоту pk= (говорят также -вероятность,.

Во-2х, формируется по некоторому алгоритму новый двоичный алфавит с буквами переменной длины, что и обеспечивает сжатие. Буквам исходного алфавита с наибольшими ставятся в соответствие новые с наиболее короткой записью.

Например, пусть текст состоит из 4-х цифр, обозначим их , , , . Для записи в тексте каждой требуется 3 бита. = 0.5, = 0.24, = 0,15, = 0.11, т.е. занимает 11% объема текста. Можно предложить следующий двоичный алфавит - 0, - 10, - 110, - 101, не трудно проверить непротиворечивость этого алфавита, т.е. любая запись читается единственным образом и не может быть прочитана двояко.



3. Модификация

Физическая интерпретация решений уравнения Пуассона может быть использована для модификации методов сжатия изображений. В частности, может быть построена обратимая операция сглаживания функций двух переменных.

3.1 Разложение пространства

Докажем лемму о полной системе в подпространстве гармонических в Q функций из

Далее предполагается, что ограниченная последовательность точек

Является базисной, т.е. удовлетворяет условию единственности гармонических функций и отделена от границы S.

Лемма 1.1 Система функций

линейно независима и замкнута в подпространстве .

Доказательство. Пусть произвольная из , рассмотрим

функцию :

.

Предположим, что ортогональна всем , тогда , m=1,2,…Отсюда следует, что гармоническая в функция тождественно равна нулю в . Если , то , т.е.

, (3.1.1)

Функция в области Q удовлетворяет бигармоническому уравнению

и граничным условиям (3.1.1). Следовательно, в т.е.

Замкнутость доказана.

Для доказательства линейной независимости предположим противное: пусть некоторая конечная линейная комбинация функций тождественно равна нулю на S, обозначим ее F(x).

Отсюда следует тождественное равенство нулю в , а также в любой области D, содержащей и не содержащей базисных точек . Пусть , возьмем D, для которой принадлежит границе. Тогда при слагаемых остается ограниченной, т.е. равенство не может выполнятся. Лемма доказана.

Лемма (Новикова). Если Q ограниченная область с границей Ляпунова , то пространство имеет следующее разложение в прямую сумму:

где подпространство гармонических в функций, а функция принадлежит тогда и только тогда, когда

Доказательство. Рассмотрим функцию

(3.1.3)

и пусть функция удовлетворяет (3.1.2). Положим , получим, что , m=1,2,… Из леммы 1.1. следует, что , т.е. .

Обратно, пусть , т.е. для любого m=1,2,…,. Гармоническая в функция равна нулю в точках и, следовательно, равна нулю тождественно, условие (3.1.3) выполняется. Лемма доказана.

3.2 Сглаживание изображений, обратная операция

Предварительно изображение раскладывается в ортогональную сумму,

f(x)=g(x)+h(x),

где коэффициенты аппроксимирующей суммы определяются алгоритмом. Функция содержит все особенности изображения, и они ухудшают качество сжимаемости -преобразованием.

Заменим более гладкой функцией

т.е. решение краевой задачи для уравнения Пуасона:

,

Коэффициент jpeg сжатия будет более высоким. При пересылке сжатой информации передается информация jpeg сжатия ( т.е. результат преобразования Хаффмана для массива оставленных коэффициентов Фурье) и набор коэффициентов разложения функции . Процедура восстановления состоит в следующем.

1) По сжатой информации восстанавливается операцией приближенный прообраз функции .

2) Вычисляется =

3) Вычисляется аппроксимация функции по коэффициентам разложения и восстанавливается приближенно изображение

.



4. Практическая часть

Приведенная теория используется для сжатия изображений. Изображение размера - это попросту -матрица, элемент (i,j) которой интерпретируется как яркость точки (пикселя) (i,j).

Другими словами, элементы матрицы, изменяющиеся от 0 до 255, интерпретируются как точки с окраской от черной (что соответствует 0) до белой (что соответствует 255) с различными промежуточными степенями серого цвета (возможны и цветные изображения, тогда там будут фигурировать 3 матрицы).

Вместо того, чтобы хранить или передавать все mn элементов матрицы, представляющей изображение, часто бывает предпочтительным сжатие этого изображения, т.е. хранение гораздо меньшего массива чисел, с помощью которых исходный образ все же может быть приближенно восстановлен.

Итак, для реализации jpeg сжатия изображения был разработан следующий алгоритм:

1Шаг (Разбиваем исходное изображение на матрицы 8х8)

b. Берем квадратик, и строим матрицу для каждого пикселя данной катринки

Шаг ( зигзаг )

a.Переводим матрицу 8x8 в 64-элементный вектор при помощи “зигзаг”-сканирования,

b. Преобразуем 64-элементный вектор в кусочно-постоянную функцию на (0, р), вида:



3 Шаг (Разложение Фурье)

Теория рядов Фурье наиболее просто строится в пространстве

т.е. на множестве функций , для которых сходится интеграл от ее квадрата,

в пространстве определено скалярное произведение ,

если, то говорят, что иортогональны . Эта скалярное произведение порождает норму

все эта аналогично евклидову пространству R2 на плоскости.

Тригонометрическая система функций

, ,,, … (1)

является в пространствеортонормированной : если

обозначить для краткости эти функции последовательно как 

, ,…,то (, )=0 при и равно 1 при .

Основное утверждение состоит в том, что тригонометрическая система (1) является полной системой функций в этом пространстве, т.е. любая функция из может быть как угодно точно аппроксимирована конечными суммами этих функций,

или ==

т.е. может быть представлена рядом этих функций и единственным образом . в классической форме это имеет вид

=++ (2)

При этом выполняется единственное равенство

которое называется равенство Парсеваля ( и является простым аналогом теоремы Пифагора).

Следовательно, имеет место взаимно однозначное соответствие

между элементами пространства и пространство .

Если умножить левую и правую части равенства (2) скалярно на и на, то получим



)=,

Если четная, то, нечетная, и все, а для получаем

(3)

Функция, определена на может быть разложена в ряд Фурье только по косинусам,

с формулами (3) для коэффициентов.

4 Шаг Оставляем 15 коэффициентов и получаем сжатие



Сжатое изображение :

Алгоритм модификации jpeg имеет следующий вид:

1 ШАГ

Функция картинки может быть разложена на ортогональные слагаемые:

где - гармоническая функция, - ортогональное дополнение.

Считываем картинку, матрицу этой картинки преобразуем в функцию

Находим систему функций

Находим коэффициенты :

Находим гармоническую составляющую:

Исходное изображение	Гармоническая составляющая	Ортогональное дополнение

2 ШАГ

Заметим, что функция содержит все особенности изображения.

Заменим более гладкой функцией :

т.е. w(x) решение краевой задачи для уравнения Пуассона:

,

Коэффициент jpeg сжатия w(x) будет более высоким. При пересылке сжатой информации передается информация jpeg сжатия w(x) ( т.е. результат преобразования Хаффмана для массива оставленных коэффициентов Фурье) и набор коэффициентов разложения функции g(x).

3 ШАГ

Процедура восстановления состоит в следующем:

1) По сжатой информации восстанавливается операцией приближенный прообраз функции .

2) Вычисляется =

3) Вычисляется аппроксимация g ?(x)функции g(x) по коэффициентам разложения и восстанавливается приближенно изображение



Заключение

Результатом работы является алгоритм для сжатия изображения путем сжатия, разработанный на базе математического аппарата Mathcad. Данный алгоритм может быть использован в различных областях.



Список использованных источников

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // УФН. 1996. Т.166. ќ 11. С.11451170.

2. Белозерский Л.А. Распознавание образов. Курс лекций.М.: Триумф, 1999. 255 с.

3. Василенко В.В., Лежнев В.Г., Свидлов А.А. К проблеме анализа цифровых изображений // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2005.Прил. ќ3. С.1322.

4. Вешвез В.П. Алгоритмы анализа изображения лица человека для построения интерфейса человек-компьютер: Автореф. дис...канд. физ.-матем. наук. М., 2004. 24 с.

5. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания: Учеб. пос. для вузов. М.: Высш. шк. 2004. 261 с.

6. Миано Дж. Форматы и алгоритмы сжатия изображений в действии: Учеб. пос. М.: Триумф, 2003. 363 с.

7. Коршунова Н.П. Повышение эффективности применения методов сжатия цифровых изображений: Автореф. дис...канд. тех. наук. Тула, ТГУ. 2004. 20 с.

8. Лежнев В.Г., Нестеренко А.Г. Метод сингулярного разложения матрицы //Численные методы анализа. М.: МГУ, 1995. С.183189.

9. Морозов В.А., Поспелов А.В. Математические методы обработки изображений. М.: МГУ, 1989. 74 с.

10. Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений. //ДАН СССР, 1983. Т. 269. ќ 5. С.10611064.50

11. Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения // Математика и кибернетика. М.: Знание,1988, ќ5.

12. Сэломон Д. Сжатие данных, изображений и звука. М.: Техносфера, 2004. 368 с.

13. Грузман И.С., Киричук В.С. и др. Цифровая обработка изображений в информационных системах: Учеб. пособие. Новосибирск: НГТУ, 2002. 352 с.

14. Лепский А.Е., Броневич А.Г. Математические методы распознавания образов: Курс лекций. 2009.

15. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

16. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит. 1989. 489 с.

17. Лежнев В.Г. Лабораторный курс по численной математической физике. Краснодар, КубГУ, 1998. 32 с.

18. Лежнев А. В., Лежнев В. Г. Метод базисных потенциалов в задачах математической физики и гидродинамики. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2009. 111 с.

19. Лежнев В. Г., Марковский А. Н. Метод базисных потенциалов для неоднородного бигармонического уравнения // Вестник Самарского государственного ун-та, ќ 8/1 (67). Самара, 2008. С. 127139.

20. Лежнев М. В. Задачи и алгоритмы плоскопараллельных течений. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2009. 131 с.

21. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1983. 387 с.51

22. Новиков П. С. Об единственности решения обратной задачи потенциала // Доклады Академии наук СССР. 1938. Т. XVIII, ќ 3. С. 165168.

23. Дроботенко М.И., Лежнев В.Г., Марковский А.Н. Методы вычислений: практикум. Краснодар: Кубан. гос. ун-т, 2009. 46 с.

24. Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М. Физматлит, 2007. 480 с.

25. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. 2-е изд. М., 2008. 536 с.

26. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник. 3-е изд., перераб. М.: Физматлит, 2005. 400 с.

Приложение А

Изображение с различным количеством коэффициентов ряда Фурье (количество компонент указано под изображением).



Приложение Б

Модификация

Изображение с различным количеством коэффициентов ряда Фурье (количество компонент указано под изображением).



Приложение В

Рассмотрим рисунок на котором построены графики, где specil_pi(i) - нормы Фробениуса сжатого изображения, а mod_ratio(i) - коэффициент сжатия.

Из рисунка видно, что уже при р=2, изображения сохраняет 99% от нормы Фробениуса и все тонкости изображения содержится в 1% . Видно, что для сохранения 80% от 1 %, необходимо 20 членов частичной суммы Фурье.

Размещено на Allbest.ru