Численное моделирование и анализ переходных процессов в электрической цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е.алексеева

Кафедра «Прикладная математика»

Контрольная работа по информатике

Численное моделирование и анализ переходных процессов в электрической цепи

1. Постановка задачи

Дана схема электрической цепи (рис. 1), содержащая источник переменного тока, катушку индуктивности, конденсатор, набор резисторов и ключ. численный дифференциальный аппроксимация интегрирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1

Параметры элементов цепи:

- гармонический источник тока; E0=15В - амплитуда колебаний;

- циклическая частота;

- линейная частота;

- фаза; - текущее время; =30ом, =25ом, =50ом, =1,88ом, =15ом, =50ом - резисторы; L=5,57мГн- катушка индуктивности; С=20мкФ - конденсатор. Параметры задаются по вариантам.

В начальный момент времени t=t0=0 ключ находится в положении 1. При этом цепь разомкнута, напряжение на конденсаторе и ток на катушке равны нулю (U=0,I=0). Происходит первое переключение ключа (ключ мгновенно переводится в положение 2). При этом происходит заряд конденсатора, меняются значения U и I.

В момент времени t=t1=0,01с ключ мгновенно переключается в положение 1. Конденсатор разряжается, вновь меняются значения U и I. Анализ схемы заканчивается в момент t=t2=0,02с.

2. Вывод системы дифференциальных уравнений

В соответствии с рис. 1 запишем выражения для 1-го и 2-го законов Кирхгофа для положения ключа 1:

Систему (1) можно преобразовать, исключив токи I1 и I2. Тогда для величин I и U получим систему дифференциальных уравнений первого порядка:

Аналогично может быть получена система дифференциальных уравнений для величин I и U при положении ключа 2. В этом случае имеем:

В интервале t0 ? t ? t1 решается система (3) с начальными условиями I(t0)=0; U(t0)=0. В интервале t1 ? t ? t2 решается система (2). В качестве начальных условий для системы (2) I(t1), U(t1) следует использовать соответствующие значения, полученные в результате решения системы (3).

3. Численное решение системы дифференциальных уравнений в MathCad

Численное решение системы дифференциальных уравнений в среде MathCad было реализовано с помощью метода Рунге-Кутта и модифицированного метода Эйлера. В методе Рунге-Кутта использовалась встроенная функция rkfixed(). Получены графики зависимости силы тока и напряжения от времени согласно системе уравнений. При наложении графики, полученные разными методами, совпали, значит расчеты проведены верно.

Решение задачи аппроксимации

Решение задачи аппроксимации было проведено в MathCad и в Microsoft Excel 2007. Точки для аппроксимации брались из предыдущего пункта (MathCad). В среде MathCad был реализован метод наименьших квадратов, при этом участок был разбит на три промежутка для получения более точной аппроксимирующей функции. В Excel аппроксимация была проведена двумя способами: с помощью линии тренда и поиска решения. Как видно из графиков, аппроксимирующая функция довольно точно описывает зависимость силы тока от времени. Коэффициенты полиномов совпадают во всех сделанных способах.

Численное интегрирование

Численное интегрирование было реализовано в среде MathCad. Разные методы, дают ответы, близкие к точному значению, что видно по рассчитанным ошибкам. Наибольшую точность имеет решение, полученное методом Симпсона.

Выводы

В проделанной мной курсовой работе была проанализирована электрическая цепь переменного тока. Все расчеты были проведены с помощью численных методов решения математических задач. Данные методы довольно точны, поэтому результаты дали малое отклонение от ответа. Графики, приведенные выше, наглядно показывают зависимость силы тока I и напряжения U от времени t.

Небольшое выделение тепла на резисторе R4 было получено из-за малого промежутка времени, рассмотренного нами.

Размещено на Allbest.ru