Исследования автоколебаний в нелинейной системе методом гармонического баланса

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

НАО«Алматинский университет энергетики и связи»

Кафедра «Инженерная кибернетика»

Отчет

По лабораторной работе №2

Дисциплина: «Теория автоматического управления»

Тема: Исследования автоколебаний в нелинейной системе методом гармонического баланса

Выполнил: ст. гр. КСС-10-01

Жукембаева Т.Е.

Принял: ст.пр. Бойко В. М.

Алматы 2013

1. Исследования автоколебаний в нелинейной системе методом гармонического баланса

Цель работы: изучение метода гармонического баланса и приобретение навыков расчета параметров автоколебаний и моделирования нелинейных систем.

1.1 Общие сведения

Для приближенного определения автоколебаний в нелинейной системе можно применить метод гармонического баланса. Он основан на использовании частотных характеристик нелинейных систем, получаемых при гармонической линеаризации нелинейностей.

Основная идея заключается в том, что линеаризация нелинейностей систем производится на режиме автоколебаний, которые предполагаются близкими к синусоидальным. Это предложение оказывается близким для большинства автоматических систем, линейная часть которых является хорошим низкочастотным фильтром.

Если на вход статического нелинейного элемента с характеристикой y=f(x)подать гармонический сигнал x(t)=Asinщt, то на выходеустанавливаютсяпериодическиеколебания, которыеможно представить каксуммугармоническихсоставляющих с помощьюрядаФурье.

Предположим, что все гармоники, начиная со второй, имеют достаточно малую амплитуду по сравнению с первой, и ими можно пренебречь.

Тогда уравнение вынужденных колебаний напишется в виде:

Для симметричных нелинейностей а₀=0, то тогда

(3.8)

1.2 Выполненные расчеты

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2.1 Устойчивость состояния равновесия следящей системы

Рассмотримисследованиеустойчивостисостоянияравновесияследящейсистемы, структурная схема которой изображена на рисунке 2.1, если ее параметры

автоколебание гармонический баланс нелинейный

В=60 В; k₁k₂ =10c^-1; T₁=0.2c; T₂=0.1 c.

Для решения по структурной схеме запишем уравнение линейной части системы в виде

. (3.15)

Для нелинейного элемента имеем

u₁(t)=q(A)u(t) (3.16)

где

. (3.17)

Подставляя выражения (3.16) и (3.17) в уравнение (3.15), получим

. (3.18)

Применяя к уравнению (3.18) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, запишем

. (3.19)

Из уравнений (3.19) найдем характеристическое уравнение

. (3.20)

Возможность существования периодического решения уравнения проанализируем с помощью критерия устойчивости Михайлова. Для этого в уравнение (3.20) подставим s=jщ; тогда найдем

. (3.21)

Откуда, приравнивая действительную и мнимую часть нулю, получаем

(3.22)

Из второго уравнения определяем частоту периодического решения

,

а из первого при этом получаем

, (3.23)

А= 50,96.

Для определения устойчивости решения, согласно критерию, надо найти производные выражений (3.22):

Критерий удовлетворяется. Следовательно, имеют место автоколебания.

Если учесть, что q(а)=<k (см. рисунок 3.5), из уравнения (3.23) вытекают условия существования автоколебаний

или (3.24)

Где К = k₁k₂k-- общий коэффициент усиления разомкнутой цепи данной системы в линейном плане. Легко видеть, что (3.24) представляет собой условие неустойчивости этой системы как линейной согласно критерию Гурвица. Граница устойчивости

является в то же время границей автоколебаний.

Рис 1.3 Структурная схема в среде VisSim

Рис. 2 График устойчивости системы

Размещено на Allbest.ru