Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.

Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений.

Решение уравнений -- одна из древнейших математических проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи.

Проблема численного решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер (1704-1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный, как правило, Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.

В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и предпринимались активные попытки увеличить их точность.

Вплоть до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов. В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.

Существует множество классов уравнений и систем уравнений, которые решаются аналитически - выводом соответствующих формул. Тем не менее, подавляющее большинство уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть решены аналитически.

Численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. Они тоже не всемогущи, но в умелых руках численные методы позволяют получать решения множества уравнений, совершенно недоступных для аналитических методов. При этом надо заметить, что указанная недоступность может быть обусловлена двумя обстоятельствами: недостаточным уровнем математического образования того, кто решает уравнение, и принципиальной невозможностью; в данном случае речь идет и о первом, и, что гораздо важнее, о втором обстоятельствах.

Объект исследования - процесс решения систем уравнений с помощью различных численных методов (Метода Крамера, Метода Гаусса), посредством приложения MS Excel.

Предмет исследования - численные методы решения систем уравнений.

Целью работы является изучение численных методов решения систем линейных уравнений и построение компьютерной модели этих решений систем линейных уравнений с помощью приложения MS Excel.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

1. изучить литературу по данной теме;

2. ознакомиться с численными методами решения систем уравнений - Методом Крамера, методом Гаусса;

3. создать компьютерные модели решения системы линейных уравнений разными способами в MS Excel;

4. сравнить имеющиеся численные методы решения систем линейных уравнений, выявить их достоинства и недостатки.

При изучении литературы по данной теме выявлено, что подавляющее большинство уравнений не могут быть решены аналитически, численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. На основе этого была выдвинута гипотеза.

Гипотеза: все системы уравнений можно решить с помощью численных методов с той или иной степенью точности.

В данной работе будут рассмотрены численные способы в электронных таблицах Excel.

Планы и перспективы: продолжить изучение численных методов решения систем уравнений в других программных приложениях.

1. Численные методы решение систем линейных уравнений