Комп’ютерне моделювання динамічних об’єктів на основі ланцюгово-дробової апроксимації складних передатних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Черкаський державний технологічний університет

УДК 004.942+519.6

Автореферат на здобуття

наукового ступеня кандидата технічних наук

Комп'ютерне моделювання динамічних об'єктів на основі ланцюгово-дробової апроксимації складних передатних функцій

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Іванюк Віталій Анатолійович

Черкаси - 2009

Дисертація є рукописом.

Роботу виконано в Кам'янець-Подільському національному університеті імені Івана Огієнка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - член-кореспондент АПН України, заслужений діяч науки і техніки України, доктор технічних наук, професор Верлань Анатолій Федорович, Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, завідувач відділу моделювання динамічних систем.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Златкін Артур Анатолійович,Черкаський державний технологічний університет, завідувач кафедри управління проектами;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Голуб Анатолій Петрович,Інститут математики НАН України, старший науковий співробітник відділу теорії функцій.

Захист відбудеться «21» травня 2009 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 73.052.01 Черкаського державного технологічного університету за адресою: 18006, м. Черкаси, бул. Шевченка, 460.

Із дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Черкаського державного технологічного університету за адресою: 18006, м. Черкаси, бул. Шевченко, 460.

Автореферат розіслано «14» квітня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Палагін

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. При створенні та дослідженні технічних систем, які постійно удосконалюються та ускладнюються, виникають задачі формування та чисельної реалізації відповідних динамічних моделей за умов забезпечення необхідної адекватності та точності чисельних розрахунків при обмеженнях щодо їх складності. Методи і програмні засоби, які призначені для розв'язання такого роду задач, основані, головним чином, на можливому спрощенні моделей, які представлені у вигляді звичайних диференціальних рівнянь. Основою даних методів є оптимізаційні підходи. При цьому залишаються недостатньо розв'язаними задачі перетворення моделей у вигляді передатних функцій, тоді як вони є основою застосування системного підходу при дослідженні складних об'єктів та ефективними в практичних інженерних дослідженнях. При цьому в багатьох випадках вимоги до точності моделей технічних систем приводять до необхідності використання передатних функцій дробово-раціонального вигляду високого порядку, а також у застосуванні складних передатних функцій у вигляді трансцендентних та ірраціональних виразів при дослідженні об'єктів з розподіленими параметрами. Характерним прикладом застосування складних передатних функцій є задачі синтезу та проектування технічних об'єктів, у складі яких є елементи як із зосередженими, так і з розподіленими параметрами.

Застосування математичних моделей у формі дробово-раціональних передатних функцій високого порядку в багатьох випадках приводить до занадто складних обчислювальних алгоритмів та до значного накопичення похибок обчислення. В свою чергу, безпосереднє використання передатних функцій трансцендентного та ірраціонального вигляду при чисельних розрахунках у більшості випадків є неможливим або досить складним. Тому задача розробки методів та алгоритмів еквівалентного або апроксимаційного перетворення складних передатних функцій з метою їх ефективної чисельної реалізації при комп'ютерному моделюванні є актуальною і такою, яка поки що не достатньо розв'язана.

Аналіз існуючих пакетів прикладних програм комп'ютерної математики показує, що серед розроблених програмних засобів явно недостатньо таких, які забезпечують ефективне моделювання широкого класу динамічних об'єктів, які описуються складними передатними функціями. Це свідчить про важливість і актуальність задачі відповідного розширення можливостей існуючих відкритих програмних пакетів. Значним внеском у вирішення задач моделювання складних динамічних систем є роботи А.Г. Бутковського, В.В. Васильєва, А.Ф. Верланя, В.Ф. Євдокимова, В.К. Задіраки, Я.Б. Кадимова, М.Ф. Кириченка, Г.Є. Пухова, Е.Я. Рапопорта, Л.Н. Рассудова, І.В. Сергієнка, А.А. Фельдбаума та інших.

Ефективним підходом при вирішенні проблеми побудови адекватних математичних моделей є застосування апарата ланцюгових дробів, характерною особливістю яких є можливість отримання широкої гами ефективних, простих у реалізації безпошукових обчислювальних алгоритмів і програм з отриманням апроксимаційних виразів мінімальної складності, що дозволяє віддати їм перевагу порівняно з іншими відомими методами апроксимації функцій. Основи методів апроксимації з використанням теорії ланцюгових дробів закладені в роботах В.І. Арнольда, Дж. Бейкера, Д.І. Боднара, У. Джоунса, В.К. Дзядика, В.Я. Скоробогатька, В. Трона, А.Я. Хінчіна, А.Н. Хованського та інших.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження проводилось в рамках науково-дослідної роботи «Теоретичні основи та прикладні методи створення інтегрованих та розподілених засобів комп'ютерного моделювання для оптимального управління електромеханічними системами нафтогазодобувного, гірничого та транспортного обладнання» (№ д/р 0107U000889), що виконувалась в Кам'янець-Подільському національному університеті імені Івана Огієнка згідно Угоди про спільну науково-освітню діяльність з Інститутом проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційного дослідження є створення та розвиток методів комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів, що описуються складними передатними функціями, на основі побудови та реалізації ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання дослідження:

- аналіз особливостей прикладних задач та математичних моделей динамічних об'єктів з розподіленими та зосередженими параметрами, що мають велику розмірність;

- розробка алгоритмів спрощення дробово-раціональних передатних функцій високого порядку за допомогою ланцюгових дробів;

- розробка алгоритмів побудови ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей динамічних об'єктів, що описуються трансцендентними та ірраціональними передатними функціями;

- вибір середовища моделювання динамічних об'єктів та розробка структури комплексу програм апроксимації складних передатних функцій;

- створення програмних модулів моделюючого комплексу та рекомендацій щодо реалізації процесу моделювання динамічних об'єктів, які описуються складними передатними функціями на основі ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей;

- апробація розроблених методів комп'ютерного моделювання при розв'язуванні тестових та практичних задач в області аналізу і проектування динамічних об'єктів, що описуються складними передатними функціями.

Об'єктом дослідження є методи та засоби моделювання динамічних об'єктів, що описуються складними передатними функціями.

Предметом дисертаційного дослідження є методи та засоби математичного та комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів на основі ланцюгово-дробової апроксимації дробово-раціональних передатних функцій високого порядку та передатних функцій ірраціонального і трансцендентного типу.

Методи дослідження, за допомогою яких розв'язувались поставлені в дисертаційній роботі задачі, наступні: методи математичного моделювання для дослідження моделей динамічних систем; методи обчислювальної математики для побудови апроксимаційних моделей в прикладних програмних середовищах; методи теорії диференціальних рівнянь для перетворення математичних моделей та побудови передатних функцій; методи теорії автоматичного керування для перетворення моделей до вигляду передатних функцій; елементи теорії програмування для побудови пакету програм; методи обчислювального експерименту для дослідження апроксимаційних моделей.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

– вперше запропонований, обґрунтований та досліджений метод моделювання динамічних об'єктів на основі ланцюгово-дробової апроксимації складних передатних функцій, який забезпечує отримання економічних за складністю апроксимаційних моделей, орієнтованих на ефективну комп'ютерну реалізацію;

– на основі методу ланцюгово-дробової апроксимації неперервних функцій вперше розроблено алгоритм пониження степеня дробово-раціональних передатних функцій високого порядку, що дає змогу отримувати редукційні моделі динамічних об'єктів із зосередженими параметрами з можливістю досягнення оптимального показника «складність моделі - точність моделювання»;

– на засадах застосування С-дробів, g-дробів, приєднаних ланцюгових дробів, ланцюгових дробів Тіле вперше створено набір алгоритмів апроксимації трансцендентних та ірраціональних передатних функцій, що дозволяють будувати такі дробово-раціональні апроксимаційні моделі об'єктів з розподіленими параметрами, реалізація яких може бути забезпечена широким колом стандартних чи спеціалізованих програмних засобів;

– на основі запропонованого способу перетворення складних передатних функцій із застосуванням прямої та оберненої заміни змінних створено апроксимаційний алгоритм формування моделей динамічних об'єктів з розподіленими параметрами, що описуються ірраціональними передатними функціями з сингулярними властивостями;

– розроблені структура та модульний склад комплексу програм, призначеного для комп'ютерного моделювання широкого класу динамічних об'єктів, що описуються складними передатними функціями, на основі формування та реалізації ланцюгово-дробових наближень.

Практичне значення одержаних результатів полягає в наступному: створено комплекс програм, в якому реалізовані алгоритми побудови ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей динамічних об'єктів; розроблені алгоритми, методи та програмні модулі можуть бути використані при моделюванні складних динамічних об'єктів як із зосередженими, так і з розподіленими параметрами, дозволяють отримувати апроксимаційні моделі ірраціональних та трансцендентних передатних функцій, спрощувати дробово-раціональні передатні функції високого порядку.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи, що винесені на захист, отримані автором самостійно. Роботи [7, 10, 13, 16, 17] написані самостійно. В опублікованих працях у співавторстві особисто дисертанту належать такі результати: побудова апроксимаційних моделей в середовищі Matlab математичної моделі електроприводу нафтопереробного механізму [1]; чисельна реалізація алгоритму апроксимації складних передатних функцій [2]; розробка алгоритму пониження степеня дробово-раціональної передатної функції високого порядку [3]; розробка алгоритмів апроксимації трансцендентних передатних функцій за допомогою ланцюгових дробів [4]; дослідження можливостей середовища Matlab для побудови апроксимаційних моделей динамічних систем, що описуються складними передатними функціями [5]; комп'ютерна реалізація алгоритму інтерполяції передатних функцій ланцюговими дробами [6]; комп'ютерне моделювання бурової установки в середовищі Matlab [8]; побудова комп'ютерної моделі залізничного потягу [9]; комп'ютерна реалізація алгоритму пониження степеня дробово-раціональної передатної функції високого порядку [11]; комп'ютерне моделювання залізничного потягу [12]; комп'ютерна реалізація алгоритму апроксимації трансцендентних та ірраціональних передатних функцій [14]; комп'ютерна реалізація алгоритмів ланцюгово-дробової апроксимації [15].

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційного дослідження апробовано на 12 міжнародних, всеукраїнських та регіональних конференціях, семінарах, а саме: Звітна наукова конференція викладачів і аспірантів Кам'янець-Подільського державного університету (Кам'янець-Подільський, 2005 р.); Міжнародна конференція «Информационные технологи в управлении энергетическими системами» (Київ, 2005 р.); Міжародна науково-методична конференція «Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації» (Кам'янець-Подільський, 2006 р.); Звітна наукова конференція викладачів і аспірантів Кам'янець-Подільського державного університету (Кам'янець-Подільський, 2006 р.); XXVI щорічна науково-технічна конференція молодих науковців та спеціалістів ІПМЕ НАНУ (Київ, 2007 р.); Звітна наукова конференція викладачів і аспірантів Кам'янець-Подільського державного університету (Кам'янець-Подільський, 2007 р.); Міжнародна конференція «Компьютерная математика в образовании и научных исследованиях» (Херсон, 2007 р.); XIV Всеукраїнська наукова конференція «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики» (Львів, 2007 р.); XXVIІ щорічна науково-технічна конференція молодих науковців та спеціалістів ІПМЕ НАНУ (Київ, 2008 р.); Звітна наукова конференція викладачів і аспірантів Кам'янець-Подільського національного університету (Кам'янець-Подільський, 2008 р.); Міжнародна конференція «Моделирование-2008» (Київ, 2008 р.); Міжнародна науково-методична конференція «Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації» (Кам'янець-Подільський, 2008 р.).

Публікації. Результати дисертаційного дослідження опубліковано в 17 наукових працях, зокрема, у науково-фахових журналах та збірниках, затверджених ВАК України - 8.

Структура дисертації. Робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, додатків та списку використаних літературних джерел (192 найменувань). Загальний обсяг дисертації - 185 сторінки, в тому числі 146 сторінки основної частини, 61 рисунок і 10 таблиць.

Основний зміст роботи

Вступ містить загальну характеристику роботи, актуальність проблеми, зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами, мету і завдання дослідження, об'єкт та предмет, методи дослідження, наукову новизну і практичне значення отриманих результатів, особистий внесок здобувача в працях у співавторстві, дані апробації результатів дослідження та основні положення, що виносяться на захист.

У першому розділі «Задачі моделювання динамічних об'єктів, що описуються складними передатними функціями» проведено аналіз прикладних задач та математичних моделей динамічних об'єктів з розподіленими та зосередженими параметрами, що мають велику розмірність. Всі реальні системи містять в тій чи іншій мірі розподілені параметри. Як приклади можна вказати на численні задачі механіки (коливання струн, стержнів, мембран, трьохвимірних об'єктів) та фізики (електромагнітні коливання), процеси розповсюдження тепла і дифузії частинок в середовищі, які описуються рівняннями в частинних похідних. Але далеко не у всіх системах виникає потреба їх враховувати. При цьому в залежності від поставленої задачі для однієї і тієї ж системи можуть бути розроблені типи моделей, які відображають в більшій чи меншій мірі її основні характеристики. Очевидно, що ефективність моделей буде тим вищою, чим вища її точність.

Системи із зосередженими параметрами, що описуються складними математичними моделями, зустрічаються в задачах механіки, електродинаміки, синтезу систем управління та ін. Як правило, вони описуються звичайними диференціальними рівняннями високого порядку, або задаються великою структурною схемою, макромодель якої має високий порядок.

В багатьох випадках при розв'язанні таких задач традиційним апаратом опису моделей є передатні функції. Застосування системного підходу і структурного методу при дослідженні технічних систем також найчастіше пов'язано із використанням передатних функцій. Програмні засоби моделювання, які містяться в розповсюджених пакетах програм, орієнтовані на операції з передатними функціями.

Відомо, якщо поведінка деякої системи із зосередженими параметрами описується лінійним диференціальним рівнянням

,

де -- диференціальний оператор, то передатна функція системи рівна

,

де

, , -- оператор перетворення Лапласа.

При використанні методів отримання передатних функцій (прямий, інтегральний, функціональних перетворень, матричний), для технічних об'єктів з розподіленими параметрами, що описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних, знаходяться еквівалентні моделі у вигляді складних передатних функцій, а саме у вигляді двоточкових передатних функцій

,

де і -- перетворення Лапласа за часом вихідного сигналу та вхідного впливу.

Типовими прикладами складних передатних функцій, є функції містять ірраціональні та трансцендентні залежності, зокрема, , , ,, , , й ін. та дробово-раціональні передатні функції високого порядку:

().

Для комп'ютерного відтворення цих моделей при розв'язанні практичних задач необхідно попередньо здійснити апроксимаційне перетворення цих виразів.

У другому розділі «Ланцюговий дробовий метод апроксимації складних передатних функцій та алгоритми його чисельної реалізації» розглянуто підхід до моделювання динамічних об'єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації складних передатних функцій.

В сучасній математиці наближене представлення функцій зазвичай шукається у вигляді многочленів від незалежної змінної. Між тим, дробово-раціональні наближення успішно замінюють дану функцію в тих областях зміни аргументу, де розвинення цієї функції в степеневий ряд не забезпечує збіжності до вихідної функції і де, відповідно, наближення у вигляді многочленів недопустиме. Крім того, за допомогою дробово-раціональних наближень можна ефективно розв'язувати задачі знаходження нулів і полюсів. Разом з тим, при використанні дробово-раціональних наближень непотрібно обраховувати високі степені аргументів. Таким чином, застосування дробово-раціональних наближень значно спрощує розрахункові формули.

При виборі методів наближення необхідно враховувати швидкість збіжності рядів та інформативність параметрів отриманих моделей тощо. Одним з найбільш ефективних методів апроксимації передатних функцій є метод апроксимації за допомогою ланцюгових дробів.

Для спрощення системи, що задається дробово-раціональною передатною функцією високого порядку, побудовано алгоритм з використанням теорії ланцюгових дробів, який полягає в наступному:

- розмістити поліноми чисельника і знаменника передатної функції за зростанням степеня оператора ;

- розвинути передатну функцію в неперервний дріб;

- виконати зрізання неперервного дробу;

- перетворити зрізаний неперервний дріб у відношення двох поліномів. При цьому буде отримана передатна функція більш низького порядку, ніж вихідна.

Для досягнення потрібної точності апроксимації та мінімальної складності апроксимуючого виразу максимальний степінь дробово-раціональної передатної функції підбирається такий, щоб виконувалась наступна умова:

,

де - час моделювання, - задана максимальна похибка.

При побудові наближених моделей динамічних систем з розподіленими параметрами, що описуються складними передатними функціями ірраціонального та трансцендентного типу, пропонується наступний алгоритм побудови ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей.

Розвинувши функцію в степеневий ряд, отримаємо

. (1)

Обмеживши ряд (1) до порядку можна знайти такий ланцюговий дріб, що розвинення його будь-якого -го підхідного дробу в степеневий ряд буде співпадати з вихідним рядом до члена включно.

Для заданого ряду (1) побудуємо правильний -дріб

,

який відповідає (в точці ). Коефіцієнти шукаємо за формулами:

і , , ,

,

,

, (2)

де - визначник Ганкеля зв'язаний з (1) та визначається таким чином:

, , . (3)

У випадку, якщо функція містить особливі точки, пропонується виконувати заміну

,

в результаті отримаємо функцію , для якої застосовуємо описаний вище алгоритм. Отримаємо наближення . Виконуємо обернену заміну

і маємо , що буде наближенням функції .

Розглянутий алгоритм подамо у більш стислому вигляді:

1) виконати заміну змінної виразом (якщо точка 0 є особливою точкою );

2) розвинути функцію в степеневий ряд, в результаті отримуємо

;

3) взяти членів степеневого ряду;

4) перетворити скінченний степеневий ряд одним із методів утворення ланцюгових дробів;

5) за коефіцієнтами ланцюгового дробу побудувати його підхідний дріб, що буде дробово-раціональною передатною функцією;

6) виконати обернену заміну змінної виразом (якщо виконувався пункт 1).

Дробово-раціональна апроксимаційна модель може мати різний вигляд, в залежності від використаного алгоритму перетворення степеневого ряду в ланцюговий дріб. Для перетворення скінченного степеневого ряду в ланцюговий дріб пропонується низка алгоритмів утворення різних типів ланцюгових дробів, а саме: аналог формули Тейлора в теорії ланцюгових дробів; алгоритм побудови правильних -дробів; QD-алгоритм отримання ланцюгових -дробів; QD-алгоритм отримання -дробів; алгоритми отримання приєднаних ланцюгових дробів; алгоритм отримання -дробів; алгоритми отримання -дробів та загальних -дробів.

Для досягнення потрібної точності апроксимації та мінімальної складності апроксимуючого виразу максимальний степінь дробово-раціональної передатної функції підбирається такий, щоб виконувалась одна з двох умов, в залежності від поставленої задачі, а саме, інтегральна похибка амплітудно-частотної або фазо-частотної характеристики не перевищувала заданого значення:

, ,

де - максимальна частота, - задані похибки амплітудно-частотної та фазо-частотної характеристик.

Для побудови апроксимаційних моделей складних передатних функцій трансцендентного та ірраціонального типу шляхом інтерполяції ланцюговими дробами пропонується такий алгоритм:

- розбити проміжок на рівновіддалені вузли;

- обчислити значення у вузлах;

- побудувати ланцюговий дріб Тіле за алгоритмом обернених різниць або розділених обернених різниць;

- отримати підхідний дріб шляхом згортання ланцюгового дробу Тіле.

Розглянемо особливості застосування методу пониження степеня дробово-раціональних передатних функцій на типовому прикладі. Нехай маємо передатну функцію:

,

де коефіцієнти чисельника та знаменника задаються векторами

Для порівняння точності наближення апроксимуємо дану функцію стандартними засобами Matlab та за допомогою ланцюгових дробів. Для оцінки точності отриманих апроксимаційних моделей скористаємося представленням перехідної характеристики вихідної передатної функції та порівняємо його з результатом при використанні апроксимаційних наближень. Проведемо ряд експериментів для виявлення точності апроксимаційних моделей різного степеня. Результати дослідження показано у таблиці 1, з якої слідує, що точність методу апроксимації за допомогою ланцюгових дробів вища, ніж методів, реалізованих в Matlab, в тому випадку, коли відбувається значне пониження степеня дробово-раціональної передатної функції. В свою чергу, при невеликому зменшенні степеня вихідної передатної функції точність алгоритмів, реалізованих стандартними засобами Matlab, буде вищою.

Таблиця 1. Похибка моделювання

Степінь апроксимаційної моделі	2	5	6	8	11	14
	Інтегральна похибка
Апроксимація функцією modred	1.9352	0.7861	0.5760	0.3496	0.1124	0.0092
Апроксимація ланцюговими дробами	0.6886	0.3152	0.2840	0.2265	0.1750	0.1310
	Максимальна похибка
Апроксимація функцією modred	2.5494	2.1839	1.9995	1.9535	0.9157	0.0989
Апроксимація ланцюговими дробами	1.2085	0.8349	0.7365	0.5575	0.3405	0.2020

Розглянемо типові приклади побудови апроксимаційних моделей об'єктів з розподіленими параметрами.

Нехай задано передатну функцію:

.

Точний розв'язок для перехідної характеристики має вигляд:

При побудові апроксимаційних моделей отримано передатні функції 50-го порядку:

(використання ланцюгових дробів) та

(використання апроксимації Паде, яка реалізована в середовищі Matlab).

Провівши моделювання в середовищі Matlab отримано результати, які зображені на рис. 1 в логарифмічному масштабі точний і наближені розв'язки та абсолютні похибки обчислень. Крім цього, для аналізу точності проведено експерименти побудови апроксимаційних моделей різного степеня та знайдено інтегральну похибку моделювання, яка показана у таблиці 2, а у таблиці 3 подано інтегральну похибку амплітудно-частотної та фазо-частотної характеристик апроксимаційних моделей різного степеня та при різній заданій частоті.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. а) точний та наближені розв'язки (--- - , •••••• - ), б) абсолютні похибки (----- - , •••••••••• - )

Таблиця 2. Інтегральна похибка моделювання

Степінь	5	10	15	20	30	50
З використанням ланцюгових дробів	0.1776	0.1080	0.0813	0.0666	0.0504	0.0357
З використанням Паде-апроксимації	0.2416	0.1596	0.1248	0.1049	0.0823	0.0610

Для апробації запропонованого алгоритму проведено низку чисельних експериментів отримання ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей ірраціональних передатних функцій. Зокрема, отримано дробово-раціональні наближення передатних функцій

,

,

.

Інтегральні похибки наближень апроксимаційних моделей різного степеня приведені в таблиці 4 (час моделювання ).

Таблиця 3. Інтегральна похибка частотних характеристик

Частота	р	2 р	4 р	10 р	30 р
Апроксимаційна модель 20 степеня
Похибка амплітудно-частотної характеристики	3.1974•10-16	1.1702•10-15	1.9543•10-14	0.0023	-
Похибка фазово-частотної характеристики	1.2434•10-16	1.0947•10-15	1.5130•10-14	0.0025	-
Апроксимаційна модель 50 степеня
Похибка амплітудно-частотної характеристики	2.4980•10-16	1.0780•10-15	1.8465•10-14	5.8930•10-11	0.2030
Похибка фазо-частотної характеристики	2.3981•10-16	1.2412•10-15	3.5636•10-14	9.7630•10-11	0.8817

Таблиця 4. Інтегральна похибка моделювання

Степінь апроксимаційних моделей	5	10	15	20	30
Похибка наближення	0.0026	1.53·10-4	1.34·10-4	5.63·10-6	2.04·10-6
Похибка наближення	0.002	2.62·10-4	9.31·10-5	4.88·10-5	2.34·10-5
Похибка наближення	0.0015	2.49·10-4	9.13·10-5	4.83·10-5	2.33·10-5

Проведені обчислювальні експерименти побудови ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей типових складних передатних функцій, які найчастіше зустрічаються на практиці, показали ефективність запропонованого методу при дослідженні динамічних систем із зосередженими параметрами складної структури та динамічних систем з розподіленими параметрами. В залежності від конкретної задачі, поставлених вимог до точності, можна використовувати апроксимаційні моделі різного порядку.

У порівнянні з відомими методами, зокрема з реалізованими у Matlab, точність ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей вища, що дозволяє підвищити ефективність досліджень складних динамічних систем.

У третьому розділі «Структура та модулі моделюючого програмного комплексу» приведено аналіз серійних пакетів прикладних програм для моделювання динамічних об'єктів, представлено структуру та модулі пакету Chain Fractions Toolbox, описано методику застосування пакету та розглянуто сеанс роботи основних програмних модулів на основі тестових прикладів.

На сьогодні існує досить великий арсенал програмних засобів для розв'язування різних математичних задач, які надають користувачеві можливість використовувати широкий набір функцій. Серед найбільш популярних програм комп'ютерної математики слід назвати Matlab, Mathematica, Mathcat, Maple, Gauss.

Математичний пакет MATLAB має ряд переваг, зокрема за рівнем універсальності та функціональності. Він містить багато засобів моделювання динамічних об'єктів, серед яких можна виділити широкий клас функцій, які реалізують методи розв'язання диференціальних рівнянь. Крім того, в середовищі Matlab є пакет прикладних програм Control System Toolbox, призначений для дослідження і синтезу лінійних стаціонарних систем автоматичного управління, а також самостійний додаток Simulink, який призначений для імітаційного моделювання динамічних систем. Але незважаючи на широкі можливості, пакет Matlab містить недостатньо засобів для моделювання динамічних систем, що описуються складними передатними функціями.

В зв'язку з цим, на основі розглянутих вище алгоритмів, розроблено пакет Chain Fractions Toolbox. Він складається з 23 модулів, серед яких можна виділити 3 основних, які призначені для побудови ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей динамічних об'єктів, що описуються складними передатними функціями - ApproxTFCF, InterpTFCF, LDTFCF. Структура пакету Chain Fractions Toolbox зображена на рис. 2.

Програма ApproxTFCF призначена для отримання апроксимаційних наближень трансцендентних та ірраціональних передатних функцій шляхом застосування розвинення їх в степеневий ряд та з наступним перетворенням в ланцюговий дріб. Для побудови різних апроксимаційних наближень, в залежності від вибраного типу ланцюгового дробу, розроблені відповідні модулі, до яких при роботі звертається ApproxTFCF: AT_CFr, AT_CFz, C_CFr, C_CFz, C_QD_CFr, C_QD_CFz, g_CFr, g_CFz, Pr_CFr, Pr_CFz.

InterpTFCF призначений для інтерполювання складних передатних функцій. Дана програма використовує модулі InterpTFCFr та InterpTFCFz, які обчислюють коефіцієнти ланцюгових дробів та підхідних дробів у вигляді коефіцієнтів чисельника та знаменника.

Для пониження степеня складних дробово-раціональних передатних функцій великого степеня використовується програма LDTFCF. Дана програма спочатку перетворює дробово-раціональну функцію в ланцюговий дріб за допомогою модуля LDTFCFr, а потім апроксимує за допомогою модуля LDTFCFz до заданого степеня.

Крім даних модулів в пакеті CHAIN FRACTIONS присутні ще 5 додаткових модулів: Zamina, CH, conv_CF, minAprox та minLD. Модуль Zamina використовується при побудові ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей ірраціональних та трансцендентних передатних функцій, розклад яких в степеневий ряд неможливий. За допомогою модуля CH будуються амплітудно-частотні, фазо-частотні та амплітудно-фазо-частотні характеристики початкових та отриманих передатних функцій після апроксимації. Модуль conv_CF призначений для визначення збіжності коефіцієнтів ланцюгового дробу. Для побудови апроксимаційних моделей мінімальної розмірності розроблені модулі minAprox та minLD.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Структура пакету Chain Fractions Toolbox

Кожен із описаних модулів можна використовувати незалежно від інших. Розроблені модулі орієнтовані на роботу з математичними моделями у вигляді передатних функцій, які задаються, як і в Matlab (а саме Control System Toolbox, Simulink), у вигляді векторів чисельника та знаменника. Таким чином програмний комплекс Chain Fractions Toolbox інтегрується в середовище Matlab та може ефективно використовуватись при моделюванні динамічних об'єктів, що описуються складними передатними функціями.

У четвертому розділі «Комп'ютерне моделювання прикладних задач» за допомогою розглянутих методів розв'язано наступні прикладні задачі: моделювання багатодекадного індуктивного дільника напруги; досліджено зміну навантаження на верхньому та нижньому кінцях бурильної колони; проведено моделювання теплопереносу в одномірній нескінченній пластині; досліджено вплив морського хвилювання на глибину занурення об'єктів, що буксируються.

Розглянемо детальніше моделювання теплопереносу в одношаровій нескінченній пластині при відсутності внутрішніх джерел тепла. Рівняння теплопереносу має вигляд:

,

де

- температуропровідність, . Розподіл густини теплового потоку на поверхні тіла, як функції координати і часу, задаються граничними умовами:

,

де - тепловий потік.

Використовуючи прямий метод отримання передатних функцій, отримуємо наступні вирази для передатної функції між тепловим потоком та температурою:

.

В частковому випадку, при маємо:

.

При передатна функція має вигляд:

.

На основі останніх двох виразів отримано передатну функцію, що описує зміну температури на різних боках пластини:

.

Для срібної пластини товщиною теплопровідність

,

теплоємність , густина . За допомогою розглянутого методу були отримані апроксимаційні наближення передатних функцій , , . На рис. 3.а зображена перехідна характеристика зміни температури на сторонах пластини при умові надання теплового потоку від 2 до 8 с. На рис. 3.б показана залежність між температурою на одному боці та температури на другому боці пластини.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3. а) перехідна характеристика зміни температури на сторонах пластини, б) залежність зміни температури на одному боці до зміни температури на другому боці пластини

У додатках подані частотні характеристики, які отриманні при розв'язанні модельних задач.

Висновки

У дисертаційній роботі розроблено, обґрунтовано та досліджено методи комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів, що описуються складними передатними функціями, на основі побудови та реалізації ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей.

У тому числі отримано наступні наукові результати:

1. Запропоновано підхід до побудови математичних моделей динамічних об'єктів на основі ланцюгово-дробової апроксимації складних передатних функцій, який забезпечує отримання економічних за складністю апроксимаційних моделей, орієнтованих на ефективну комп'ютерну реалізацію.

2. Розроблено алгоритм спрощення моделей динамічних систем, які описуються складними дробово-раціональними передатними функціями, на основі методу ланцюгово-дробової апроксимації неперервних функцій, що дає змогу отримувати редукційні моделі динамічних об'єктів із зосередженими параметрами з можливістю досягнення необхідного показника «складність моделі - точність моделювання». В процесі апроксимації дробово-раціональна передатна функція розвивається в ланцюговий дріб з наступним зрізанням залишку та будується підхідний дріб, що і дає дробово-раціональну передатну функцію нижчого порядку ніж вихідна.

3. На засадах застосування С-дробів, g-дробів, приєднаних ланцюгових дробів, які базуються на розвиненні складної передатної функції в степеневий ряд з наступним перетворенням його в ланцюговий дріб, та ланцюгових дробів Тіле, при побудові яких здійснюється інтерполяція передатних функцій ланцюговими дробами, вперше створено набір алгоритмів апроксимації трансцендентних та ірраціональних передатних функцій, який дозволяє будувати дробово-раціональні апроксимаційні моделі об'єктів з розподіленими параметрами, що відповідають вимогам чисельної та комп'ютерної реалізації.

4. Створено апроксимаційний алгоритм формування моделей динамічних об'єктів з розподіленими параметрами, що описуються ірраціональними передатними функціями з сингулярними властивостями, на основі запропонованого способу перетворення складних передатних функцій із застосуванням прямої та оберненої заміни змінних: в складній передатній функції виконується заміна

,

проводиться апроксимація одержаної функції ланцюговими дробами, та виконується обернена заміна

.

5. На основі розроблених алгоритмів створено експериментальний пакет прикладних програм Chain Fractions Toolbox, який призначений для побудови ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей в середовищі Matlab. Запропоновані програмні засоби організовані у відповідності до прийнятої в системі Matlab концепції пакетів прикладних програм, що дозволяє його використовувати сумісно з іншими засобами Matlab.

6. Шляхом проведення обчислювальних експериментів на тестових задачах апробовано програмні модулі, показано їх ефективність, можливість сумісного використання з іншими пакетами, оцінено якість апроксимаційних моделей. Проведено порівняння розроблених засобів з існуючими засобами в системі Matlab, яке дало такі результати: при пониженні порядку моделей динамічних систем, які задаються дробово-раціональними передатними функціями, точність наближення ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей вища у порівнянні з моделями, отриманими за допомогою реалізованих в Matlab методів, при умові значного зниження степеня дробово-раціональної передатної функції; точність наближення апроксимаційних моделей ланки запізнення побудованих за допомогою ланцюгових дробів вища, у порівнянні з апроксимацією Паде, яка реалізована в Matlab у вигляді функції pade.

7. Для проведення комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів, які описуються складними передатними функціями створено систему рекомендацій застосування додатку Chain Fractions Toolbox для моделювання динамічних систем шляхом побудови апроксимаційних моделей: для пониження степеня дробово-раціональних передатних функцій, для апроксимації трансцендентних та ірраціональних передатних функцій, передатних функцій, розвинення яких в степеневий ряд неможливе.

8. За допомогою запропонованих алгоритмів та розроблених програмних засобів розв'язано ряд прикладних задач: моделювання багатодекадного індуктивного дільника напруги; моделювання розподіленої ланки бурової установки; моделювання процесу теплопереносу в одномірній нескінченній пластині; дослідження впливу морського хвилювання на глибину занурення об'єктів, що буксируються. Отримані результати використовуються в технічних розробках та в учбовому процесі.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Федорчук В.А. Дослідження динаміки електропривода нафтопереробного механізму засобами MATLAB / В.А. Федорчук, В.А. Іванюк // Збірник наукових праць. - Вип. 32. - К. : ІПМЕ НАНУ, 2006. - С. 49-56.

2. Федорчук В.А. Реалізація ланцюгово-дробових наближень передатних функцій в середовищі Matlab / В. А. Федорчук, В.А. Іванюк, Ю.Д. Бойко // Збірник наукових праць. - Вип. 36. - К. : ІПМЕ НАНУ, 2006. - С. 137-146.

3. Федорчук В.А. Алгоритм приближения передаточных функций цепными дробями / В.А. Федорчук, В.А. Іванюк, Ю.Д. Бойко // Электронное моделирование. - 2007. - Т. 29. - № 3. - С. 93-100.

4. Федорчук В.А. Апроксимація трансцендентних передатних функцій гіперболічного типу ланцюговими дробами / В.А. Федорчук, В.А. Іванюк // Вестник Херсонского национального технического универистета. Вып. 2(28). - Херсон : ХНТУ, 2007. - С. 353-358.

5. Федорчук В.А. Представление и реализация динамических моделей в среде Matlab / В.А. Федорчук, А.А. Дячук, В.А. Іванюк // Збірник наукових праць «Моделювання та інформаційні технології». - Вип. 40. - К. : ІПМЕ, 2007. - С. 71-77.

6. Федорчук В.А. Інтерполювання передатних функцій ланцюговими дробами / В.А. Федорчук, В.А. Іванюк // Збірник наукових праць «Моделювання та інформаційні технології». - Вип. 43. - К.: ІПМЕ, 2007. - С. 94-100.

7. Іванюк В.А. Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об'єктів з розподіленими параметрами // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. праць / Кам'янець-Подільський національний університет, Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова Національної академії наук України / В.А. Іванюк. -- Кам'янець-Подільський : Кам'янець-Подільський національний університет, 2008. -- Вип. 1. -- С. 75-85.

8. Федорчук В.А. Побудова ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей об'єктів з розподіленими параметрами на прикладі бурової установки / В.А. Федорчук, В.А. Іванюк // Сборник трудов конференции МОДЕЛИРОВАНИЕ-2008. Том 1. - К. : ИПМЕ НАНУ, 2008. - С.364-371.

9. Федорчук В.А. Моделювання залізничного потягу в середовищі MATLAB / В.А. Федорчук, В.А. Іванюк // Наукові праці Кам'янець-Подільського державного університету : Збірник за підсумками звітної наукової конференції викладачів і аспірантів. - Випуск 3. В 3-х томах. - Кам'янець-Подільський : Кам'янець-Подільський державний університет, інформаційно-видавничий відділ, 2004. - Т. 1. - С. 234-236.

10. Іванюк В.А. Апроксимація передатних функцій ланцюговими дробами в середовищі Matlab / В.А. Іванюк // Наукові праці Кам'янець-Подільського державного університету: Збірник за підсумками звітної наукової конференції викладачів і аспірантів. -- Кам'янець-Подільський : Кам'янець-Подільський державний університет, інформаційно-редакційний відділ, 2006. - С. 129-130.

11. Федорчук В.А. Комп'ютерна реалізація ланцюгово-дробових наближень передатних функцій лінійних об'єктів / В.А. Федорчук, В.А. Іванюк // Матеріали міжнародної науково-методичної конференції «Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації». - Кам'янець-Подільський : Кам'янець-Подільський державний університет, інформаційно-редакційний відділ, 2006. - С. 217-226.

12. Федорчук В.А. Моделювання систем з розподіленими параметрами на прикладі моделі залізничного потягу / В.А. Федорчук, В.А. Іванюк // Міжнародна конференція «Информационные технологи в управлении энергетическими системами». - К. : ІПМЕ НАНУ, 2006. - С. 85-86.

13. Іванюк В.А. Пониження степення дробово-раціональних передатних функцій в середовищі Matlab / В.А. Іванюк // Наукові праці Кам'янець-Подільського державного університету: Збірник за підсумками звітної наукової конференції викладачів і аспірантів. - Випуск 6. В 3-х томах. - Кам'янець-Подільський : Кам'янець-Подільський державний університет, редакційно-видавничий відділ, 2007. - Т. 1. - С. 119-121.

14. Федорчук В.А. Апроксимація трансцендентних передатних функцій гіперболічного типу в середовищі Matlab / В.А. Федорчук, В.А. Іванюк // Матеріали XIV Всеукраїнської наукової конференції «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики». - Львів : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2007. - С. 139.

15. Федорчук В.А. Апроксимація об'єктів з розподіленими параметрами ланцюговими дробами / В.А. Федорчук, В.А. Іванюк // Матеріали XXVI науково-технічної конференції «Моделювання». - К. : ІПМЕ, 2007. - С. 24-26.

16. Іванюк В.А. Отримання апроксимаційних ланцюгово-дробових передатних функцій об'єктів з розподіленими параметрами на основі тейлорівських наближень / В.А. Іванюк // Матеріали XXVIІ науково-технічної конференції «Моделювання». - К. : ІПМЕ, 2008. - С. 32.

17. Іванюк В.А. Реалізація ланки запізнення в середовищі Matlab на основі лацюгово-дробових апроксимаційних наближень / В.А. Іванюк // Наукові праці Кам'янець-Подільського національного університету імені Івана Огієнка : збірник за підсумками звітної наукової конференції викладачів, докторантів і аспірантів, присвяченої 90-річчю Кам'янець-Подільського національного університету. - Випуск 7. В 5-х томах. - Кам'янець-Подільський : Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, редакційно-видавничий відділ, 2008. - Т. 1. - С. 142-143.

Анотація

Іванюк В.А. Комп'ютерне моделювання динамічних об'єктів на основі ланцюгово-дробової апроксимації складних передатних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи. - Черкаський державний технологічний університет, Черкаси, 2008.

Дисертаційна робота присвячена моделюванню динамічних об'єктів, що описуються складними передатними функціями, шляхом ланцюгово-дробової апроксимації. У роботі розвинуто ідею застосування ланцюгових дробів при побудові апроксимаційних моделей динамічних об'єктів. Розроблено алгоритми апроксимації дробово-раціональних передатних функцій високого порядку, побудови апроксимаційних моделей об'єктів з розподіленими параметрами, що описуються ірраціональними та трансцендентними передатними функціями. Розроблено пакет прикладних програм, що містить модулі які реалізують алгоритми побудови ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей.

Ключові слова: математична модель, передатні функції, апроксимація, ланцюгові дроби, об'єкти з розподіленими параметрами.

математичний алгоритм функція дріб

Аннотация

Иванюк В.А. Компьютерное моделирование динамических объектов на базе цепно-дробной аппроксимации сложных передаточных функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - Математическое моделирование и численные методы. - Черкасский государственный технологический университет, Черкассы, 2008.

Диссертационная работа посвящена моделированию динамических объектов, которые описываются сложными передаточными функциями, путем цепно-дробной аппроксимации. В работе развита идея применения цепных дробей при построении аппроксимационных моделей динамических объектов.

Предложен алгоритм упрощения модели динамической системы описываемой сложной дробно-рациональной передаточной функцией, который базируется на методе цепно-дробной аппроксимации. В процессе аппроксимации производится разложение дробно-рациональной передаточной функции в цепную дробь, отбрасываются ее последние члены и производится построение подходной дроби с целью получения дробно-рациональной передаточной функции низшего порядка.

При моделировании объектов с распределенными параметрами, которые описываются сложными передаточными функциями (трансцендентными, иррациональными), предложен ряд алгоритмов построения цепно-дробных аппроксимационных моделей, а именно с использованием C-дробей, g-дробей, присоединенных цепных дробей, цепных дробей Тиле. Данные алгоритмы базируются на разложении сложной передаточной функции в степенной ряд с последующим превращением его в цепную дробь. При использование дробей Тиле производится интерполяция передаточной функции.

Для моделирования динамических систем, описываемых передаточными функциями, разложение которых в степенной ряд невозможно, предложен способ замены переменных. Он заключается в том, что в сложной передаточной функции производится замена переменной

,

проводится аппроксимация полученной функции цепной дробью с последующей обратной заменой

.

На основе описанных методов и алгоритмов разработан экспериментальный пакет прикладных программ Chain Fractions Toolbox, который предназначен для построения цепно-дробных аппроксимационных моделей в среде Matlab. Предложенные программные средства организованны в соответствии с принятой в системе Matlab концепцией пакетов прикладных программ, что позволяет его использовать совместимо с другими средствами.

Путем проведения вычислительных экспериментов на тестовых задачах апробировано программные модули, их эффективность, совместное использование с другими пакетами, оценено качество аппроксимационных моделей. Проведено сравнение предложенных методов с существующими средствами в системе Matlab, которое дало такие результаты: при понижении порядка моделей динамических систем, которые задаются дробно-рациональными передаточными функциями, при условии значительного снижения степени дробно рациональной передаточной функции точность приближения цепно-дробных аппроксимационных моделей выше по сравнению с моделями, полученными с помощью реализованных в Matlab методов; точность приближения аппроксимационных моделей звена запаздывания построенных с помощью цепных дробей более высока, по сравнению с аппроксимацией Паде, которая реализована в Matlab в виде функции pade.

Для проведения компьютерного моделирования динамических объектов описываемых сложными передаточными функциями создано систему рекомендаций применения приложения Chain Fractions Toolbox для моделирования динамических систем путём построения аппроксимационных моделей: для понижения порядка дробно-рациональных передаточных функций, для аппроксимации трансцендентных и иррациональных передаточных функций, передаточных функций с особенностями.

С помощью предложенных алгоритмов и программных средств решено ряд прикладных задач: моделирование многодекадного индуктивного делителя напряжения; моделирования распределенного звена буровой установки; моделирование процесса теплопереноса в одномерной бесконечной пластине; исследование влияния морского волнения на глубину погружения буксируемых объектов.

Разработанные алгоритмы, методы и программные модули, могут быть использованы при моделировании сложных динамических объектов, как с сосредоточенными, так и с распределенными параметрами, позволяют получать аппроксимационные модели иррациональных и трансцендентных передаточных функций, упрощать дробно рациональные передаточные функции высокого порядка.

Ключевые слова: математическая модель, передаточные функции, аппроксимация, цепные дроби, объекты с распределенными параметрами.

Abstract

Ivanjuk V. A. Computer modeling of dynamic objects with complex transfer functions using chain-fraction approximations. - Manuscript.

Dissertation for Academic Degree of Candidate of Engineering Sciences by specialty 01.05.02 - Mathematical modeling and numerical methods. - Cherkasy State Technological University, Cherkassy, 2008.

The dissertation is focused on using chain-fraction approximations in the modeling of dynamic objects, which are described by complex transfer functions. The dissertation offers an approach in applying chain fractions while developing approximation models of dynamic objects. There were developed approximation algorithms for rational transfer functions of a high order, approximation models for objects with distributed parameters, which are described by irrational and transcendental transfer functions. A package of application programs, that contains modules to employ the algorithms for development of the chain-fraction approximation models, has been developed.

Keywords: mathematical model, transfer functions, approximation, chain fractions, objects with the distributed parameters.

Размещено на Allbest.ru