Точность систем автоматического управления, коэффициенты ошибок

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Точность систем автоматического управления коэффициенты ошибок

Пусть структурная схема системы автоматического управления приведена к расчетной

где - передаточная функция разомкнутой системы.

Точность системы автоматического управления определяют по установившемуся значению ошибки, т. е. по значению ошибки после окончания переходных процессов в системе

.

Значение зависит:

От свойств исследуемой системы управления, которые отражены в принятой математической модели системы, например, параметров .

От входного воздействия, которое отрабатывается исследуемой системой.

Точность системы управления оценивается при типовых входных воздействиях - полиномиальные входные воздействия.

.

ЗАДАЧА: Связать количественную оценку ошибки системы управления в установившемся режиме с передаточной функцией разомкнутой системы - с математической моделью исследуемой системы.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке равна:

.

Из последнего равенства изображение по Лапласу ошибки системы будет иметь вид:

. (1)

Для того, чтобы определить установившееся значение ошибки системы , воспользуемся предельным свойством преобразования Лапласа:

, (2)

На основании равенства (1) можно представить передаточную функцию по ошибке замкнутой системы в виде ряда (в окрестности ):

 . (3)

где числа , , … , - называются коэффициентами ошибок и определяются равенствами:

; ; … ; .

Подставим (3) в (2), получаем:

.

Исследуем изменение величины от вида входного воздействия и коэффициентов передаточной функции разомкнутой системы - параметров математической модели исследуемой системы управления.

Случай I. Единичное, входное воздействие

; .

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Тогда передаточная функция замкнутой системы по ошибке запишется в виде

.

Предполагаем, что замкнутая система асимптотически устойчива, тогда установившееся значение ошибки в замкнутой системе будет

.

С другой стороны

.

Следовательно . Обозначим через - это коэффициент усиления разомкнутой системы, тогда . - коэффициент статической ошибки, или ошибки позиционирования системы.

ВЫВОД. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

,

то установившееся значение ошибки в замкнутой системе будет определяться из соотношения: . Такие системы автоматического управления называются статическими. В статических системах для уменьшения ошибки в системе в установившемся режиме повышают коэффициент усиления разомкнутой системы ( ). Но при увеличении коэффициента усиления система может потерять устойчивость.



Особенность логарифмических характеристик статических систем: первая асимптота логарифмической амплитудно-частотной характеристики имеет наклон .

В знаменателе передаточной функции разомкнутой системы коэффициент .

В этом случае передаточная функция разомкнутой системы принимает вид:

.

С учетом полученного равенства передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид

.

Установившееся значение ошибки в замкнутой системе будет равно

.

Следовательно, и в системе, в установившемся режиме, нет статической ошибки. Система автоматического управления с передаточной функцией

обладает АСТАТИЗМОМ первого порядка. Характерно для логарифмических амплитудно-частотных характеристик разомкнутых систем: первая асимптота имеет наклон .



Если передаточная функция разомкнутой системы автоматического управления имеет вид

,

то говорят, что система обладает астатизмом второго порядка. Для систем управления с астатизмом второго порядка ; .

Характерно для логарифмических амплитудно-частотных характеристик разомкнутых систем: первая асимптота имеет наклон .

Случай II.

;

Статическая система . Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

.

Ошибка замкнутой системы автоматического управления в установившемся режиме будет

.

ВЫВОД. В статических системах при входном воздействии ошибка неограниченно возрастает; статические системы не могут отработать такой входной сигнал.

Система с астатизмом первого порядка

.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

Ошибка замкнутой системы автоматического управления в установившемся режиме будет

.

С другой стороны

, т. к. - по условию система с астатизмом первого порядка. Следовательно . Для уменьшения ошибки в системах автоматического управления, обладающих астатизмом первого порядка, при входном воздействии следует увеличивать коэффициент усиления разомкнутой системы , но это может привести к потере устойчивости замкнутой системы. Коэффициент называется коэффициентом ошибки системы по скорости.

Система автоматического управления с астатизмом второго порядка

.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

.

Установившееся значение ошибки

.

тн7С другой стороны

.

Сравнивая два последних равенства, приходим к выводу, что в системах автоматического управления, обладающих астатизмом второго порядка, коэффициент скоростной ошибки равен нулю, т.е. .

Случай III.

;

Статическая система

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

.

Ошибка замкнутой системы автоматического управления в установившемся режиме будет

.

ВЫВОД. В статических системах при входном воздействии ошибка неограниченно возрастает. Такого вида входное воздействие статическая система отработать не может.

Система с астатизмом первого порядка

.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

.

Ошибка замкнутой системы автоматического управления в установившемся режиме будет

.

ВЫВОД. В системах автоматического управления, обладающих астатизмом первого порядка, при входном воздействии ошибка неограниченно возрастает. Такого вида входное воздействие система с астатизмом первого порядка отработать не может.

Система автоматического управления с астатизмом второго порядка

.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

.

Ошибка замкнутой системы в установившемся режиме будет

.

С другой стороны

.

Сравнивая два последних равенства, приходим к выводу, что в системах автоматического управления, обладающих астатизмом второго порядка, коэффициент ошибки по ускорению .

Для уменьшения ошибки в системах автоматического управления, обладающих астатизмом второго порядка при входном воздействии следует увеличивать коэффициент усиления разомкнутой системы , но это так же может привести к потери устойчивости замкнутой системы.

Пример. Задана передаточная функция замкнутой системы

.

Найти коэффициенты ошибки системы.

Решение. Передаточная функция по ошибке связана с передаточной функцией замкнутой системы равенством:

.

В результате деления числитель на знаменатель получаем

Следовательно, , , .

2. Точность систем автоматического управления при гармоническом входном воздействии

Пусть на вход системы автоматического управления поступает сигнал вида

(1)

К такому виду сигналов могут быть приведены различные виды входных воздействий. Часто при проектировании систем автоматического управления задаются максимальные значения скорости и ускорения, которые должна отрабатывать автоматическая система.

В этом случае по известным максимальным скоростям и ускорениям входного воздействия и строят эквивалентное гармоническое воздействие.

Здесь эквивалентность понимается в том смысле, что обеспечивается равенство максимальных значений скоростей и ускорений реального входного воздействия и эквивалентного синусоидального воздействия

. (2)

Каким должно быть и , чтобы имела максимальную скорость и максимальное ускорение, равное .

Из (2) имеем

.

Откуда получаем

.

Из последних уравнений окончательно получаем

; . (3)

Итак, будем считать, что структурная схема системы приведена к расчетной

автоматический управление логарифмический амплитуда

а на вход системы подается входной сигнал , где

и - рабочая амплитуда и частота входного гармонического сигнала. В этом случае амплитуда сигнала ошибки системы будет определяться по формуле , или с учетом того, что , значение будет равно

. (4)

Если рабочая частота такова, что справедливо неравенство , то равенство (4) можно заменить приближением

. (5)

С помощью соотношений (4) и (5) можно оценить амплитуду ошибки отработки гармонического сигнала (1). Практическое значение приближенного равенства (5) состоит в том, что с его помощью и используя логарифмические амплитудно-частотные характеристики исследуемой системы, можно оценить максимальное значение ошибки в системе при гармоническом входном воздействии.

Пусть даны:

- амплитуда входного гармонического сигнала;

- рабочая частота входного гармонического сигнала.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы .

Требуется определить максимальное значение амплитуды ошибки в замкнутой системы .

Для решения этой задачи необходимо:

На рабочей частоте по графику логарифмической амплитудно-частотной характеристики определяет значение в дБ.

Так как по определению логарифмической амплитудно-частотной характеристики , то

 . (6)

Подставив (6) в приближенное равенство (5) получаем то

. (7)

Пример. Задана система автоматического управления, структурная схема которой имеет

где ; .

На вход системы поступает входной гармонический сигнал , где - амплитуда; - частота входного сигнала.

Найти амплитуду ошибки в заданной системе управления.

Решение. Передаточная функция разомкнутой системы

.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

Из последнего равенства получаем

Для заданных значений , и получаем

Поэтому искомое значение амплитуды ошибки

Вычислим значение по приближенной формуле (5)

.

Из передаточной функции разомкнутой системы последовательно получаем

 ; .

Для заданных значений параметров имеем:

.

Поэтому, на основании приближенного равенства (5) получаем:

.

Размещено на Allbest.ru