Паралельні асинхронні методи та засоби моделювання перистальтичних процесів

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Науково-технічний прогрес веде до розширення кола фізичних процесів, що можуть бути досліджені за допомогою сучасних методів та засобів математичного моделювання. До таких процесів відносяться фізичні процеси переміщення рідких середовищ з рухомими границями, які називають перистальтичними процесами. Вони лежать в основі переважної більшості механізмів забезпечення руху рідин в живій природі, а також у техніці при перекачуванні агресивних та стерильних рідин. Математичне моделювання -- це один з найважливіших інструментів дослідження перистальтичних процесів, тому велику актуальність має напрям по розробці адекватних математичних моделей цих процесів.

Сучасні математичні моделі перистальтичних процесів у більшості випадків представлені системою рівнянь, до якої входить рівняння Нав'є-Стокса та рівняння неперервності потоку. Крайова задача, сформована на основі даної системи рівнянь, істотно ускладнюється за умови її розв'язування в області скінченної довжини, оскільки приводить до необхідності розгляду нестаціонарної задачі, яка дозволяє дослідити коливання тиску та ретроградну складову руху рідини. Науково-практична проблема полягає в тому, що нестаціонарна задача потребує врахування зміни в часі геометричної форми фізичної області, яка відбувається за рахунок дискретних коливань границь тривимірного обмежувального об'єкта.

З огляду на згадані проблеми, моделі перистальтичних процесів не розглядалися для складних геометричних форм тривимірних об'єктів скінченної довжини, оскільки розв'язок їх потребує розробки нових теоретичних та практичних підходів, а також значних затрат часу та технічних ресурсів, що ускладнює застосування моделювання на практиці.

Дисертаційна робота присвячена вирішенню актуальної науково-практичної проблеми розробки теоретичних основ методів та засобів моделювання процесу розв'язування нестаціонарної крайової задачі, представленої системою рівнянь, що складається з рівняння Нав'є-Стокса і рівняння неперервності потоку та враховує динамічні зміни області розв'язування в просторі і часі.

Природним напрямком вирішення цієї проблеми є застосування паралельних методів та засобів. Синхронні паралельні методи, хоч і дозволяють досягти високої швидкості збіжності, характеризуються значними затратами часу на синхронізацію паралельних процесів. Асинхронні методи забезпечують організацію обчислювального процесу без затрат часу на синхронізацію, але при застосуванні їх до розв'язування крайових задач згаданого типу потребують подальшого розвитку з метою вирішення проблеми зростання обсягів обчислень та обсягів передачі даних між паралельними обчислювальними вузлами при збільшенні досліджуваної області, що призводить до зростання обчислювального та комунікаційного навантаження.

Ще одна важлива проблема полягає в уповільненні швидкості збіжності при зменшенні кроку дискретизації, що є наслідком зменшення впливу низькочастотних складових функції розв'язку на одержання кінцевого результату.

В дисертаційній роботі для моделювання перистальтичних процесів запропоновано локально-асинхронний паралельний мультисітковий метод, який дозволяє зменшити обсяг обчислень шляхом введення модифікації асинхронної взаємодії, знизити комунікаційне навантаження за рахунок забезпечення збіжності методу при використанні локального обчислювального шаблону, та забезпечити високу швидкість збіжності ітераційного процесу за рахунок використання мультисіткових обчислень.

Реалізація даного методу на паралельній обчислювальній системі включає вирішення проблеми формалізації переходу від математичної постановки задачі до відповідного відтворення в моделююче середовище, представлене програмною системою моделювання. Специфіка організації локально-асинхронних обчислень представлена поєднанням принципів моделювання списком подій, що описують природу моделі на кожному обчислювальному вузлі, та процесного моделювання, яке відображає асинхронний характер міжвузлових комунікацій. Такий підхід вимагає розробки нового формального засобу на основі поєднання властивостей мережних засобів моделювання та алгебри процесів.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є підвищення ефективності моделювання фізичних процесів руху рідини в порожнистих трубчатих об'єктах з рухомими границями (перистальтичних процесів) шляхом розвитку теорії розробки локально-асинхронних і мультисіткових методів та засобів, які забезпечують скорочення часу моделювання за рахунок підвищення ступеня паралельності обчислень.

Завдання дослідження, які необхідно вирішити для досягнення поставленої мети:

1. Провести аналіз відомих математичних моделей переміщення рідкого середовища з рухомими границями, визначити найбільш перспективні напрямки розвитку паралельних асинхронних і мультисіткових методів і програмних засобів для їх реалізації та розглянути сучасні тенденції розвитку формальних засобів опису програмних систем моделювання.

2. Розробити теоретичні основи застосування паралельних локально-асинхронних і мультисіткових методів розв'язування рівнянь математичної фізики на кліткових нейронних мережах.

3. Розробити модель кліткових нейронних мереж на основі тривимірних пошарових циркулянтних графів, створити методи оптимальної маршрутизації в таких графах, обґрунтувати доцільність використання проблемно-орієнтованої програмної системи моделювання (обчислювального середовища) на базі моделей кліткових нейронних мереж для реалізації обчислень на паралельних обчислювальних системах.

4. Розробити інструмент APRO-мереж (асинхронних процесних мереж) для опису об'єкта моделювання, що включає правила визначення процедур переходів та атрибутів міток, можливості побудови ієрархічних моделей, механізми моделювання асинхронної взаємодії. Розробити формальний апарат алгебри процесів на основі застосування подій, активностей взаємодії та внутрішніх активностей для забезпечення аналітичного представлення APRO-мережної структури моделі.

5. Створити формальний опис програмної системи моделювання на основі дискретних кліткових нейронних мереж зі структурою тривимірного пошарового циркулянтного графа, розробити нові підходи до побудови моделі нейрона.

6. Розробити програмні засоби для дослідження математичних моделей складних фізичних процесів на основі запропонованих паралельних локально-асинхронних і мультисіткових методів та засобів їх реалізації, представлених у вигляді формальних описів, дослідити параметри моделі, що описує гідродинамічні процеси в порожнистих травних органах.

1. Двовимірні та осьосиметричні математичні моделі перистальтичних процесів у вигляді нескінченних еластичних каналів

Такі моделі у більшості випадків є стаціонарними та можуть бути описані засобами класичної механіки рідин. Сучасний рівень розвитку засобів моделювання дозволяє істотно підвищити точність результатів моделювання шляхом дослідження тривимірних моделей зі скінченною довжиною трубчатого об'єкта. Такі моделі є нестаціонарними, а об'єкт їх дослідження може характеризуватись як складний фізичний процес. У такому представленні моделі описуються рівняннями математичної фізики, які можуть бути розв'язані лише зі застосуванням чисельних методів, що потребують значних обчислювальних ресурсів для своєї реалізації. Вирішення проблеми полягає у розробці паралельних чисельних методів, які завдяки асинхронному характеру взаємодії між паралельними процесами можуть забезпечити розв'язування рівнянь математичної фізики на паралельних обчислювальних системах з високим ступенем паралельності.

Особливість розробки паралельних методів полягає в певній орієнтації на засоби їх реалізації. З метою забезпечення математичного моделювання складних фізичних процесів на паралельних обчислювальних системах з різною структурою запропоновано використання засобів моделювання, представлених програмними системами моделювання (обчислювальними середовищами). Інструментом опису моделей програмних систем є формальні засоби опису, які задають модель обчислювального процесу. Сучасними формальними засобами опису дискретних моделей є мережні засоби та алгебри процесів. Наведено огляд переваг та недоліків мереж Петрі. Показано, що з метою подолання їх недоліків було створено нові типи мереж, зокрема E-мережі, що характеризуються розширенням правил спрацювання переходів. Мережні засоби мають спільний недолік, пов'язаний з громіздкістю структурного опису моделей. Для подолання цього недоліку застосовано опис моделі, що використовується в агентному моделюванні. З цією метою створено алгебри процесів, подібність моделей у яких може бути доведена шляхом застосування теорем загальної теорії систем про взаємну подібність.

Наведено огляд обчислювальних середовищ, орієнтованих на розв'язування рівнянь математичної фізики методом скінченних елементів. Особливість проблемно-орієнтованих паралельних обчислювальних середовищ полягає в наявності механізму адаптації до паралельної обчислювальної структури. В якості такого механізму запропоновано використання імітаційної моделі паралельної структури, що є найбільш зручною для реалізації паралельного методу. Дано короткий огляд засобів реалізації імітаційних моделей та показано, що для емуляції доцільно використовувати структуру кліткових нейронних мереж. На основі їх аналізу зроблено висновок про необхідність подальшого розвитку кліткових нейронних мереж з метою реалізації на них асинхронних методів.

2. Математична модель переміщення рідини в об'єктах з рухомими границями

У даній моделі розглядається потік в'язкої нестисливої рідини в об'єкті, який обмежений у часі відрізком і у просторі областю. Необхідно визначити поля швидкостей та тиску, для яких взаємна залежність та залежність від граничних умов визначається системою рівнянь, що складається з рівняння Нав'є-Стокса та рівняння неперервності потоку:

Відповідно до рівняння збереження потоку задано початкові значення швидкостей при :

Граничні умови представлено ортогональною до поверхні об'єкта компонентою швидкості і тангенціальною компонентою швидкості . Для всієї множини точок граничної поверхні розглянуто такі типи граничних умов: рухлива границя, вхідний потік, вихідний потік та відкрита границя.

Для чисельного розв'язування крайової задачі застосовано дискретизацію області за допомогою зміщеної сітки, у якій невідомі змінні швидкості та тиску розташовані у різних вузлах.

Тривимірна сітка складається з множини елементарних кубів у центрах яких розміщуються точки.

Таким чином, для дискретизації змінних та застосовано чотири різні сітки, зміщені між собою на 0.5 кроку дискретизації. Таке зміщення просторового розташування точок дискретизації змінних застосовано з метою запобігання осциляційним коливанням тиску, які можуть виникнути у випадку просторового суміщення згаданих точок.

Для генерації сітки застосовано метод трансфінітної інтерполяції, який задає спосіб відображення кубічної обчислювальної області на фізичну область у тривимірному просторі з координатами. Згадане відображення задано функцією

Урахування деформацій сітки, що виникають внаслідок руху границь об'єкта дослідження, реалізовано шляхом модифікації процедури генерації сітки. Відповідний метод включає формування параметричної залежності для всіх точок області, обчислення деформацій ребер та точок перетину, виконання тривимірної трансфінітної інтерполяції, додавання одержаної деформації до початкової сітки з метою визначення кінцевої деформованої сітки.

Дискретизація крайової задачі включає дискретизацію базових термів та граничних умов. В результаті сформовано метод, що дозволяє визначити значення розв'язку на наступному часовому рівні, спираючись на розв'язок, одержаний на попередньому рівні.

Обчислення дискретизованої крайової задачі починаються з моменту часу з початковими значеннями змінних та і виконуються у вигляді послідовного циклічного процесу, що полягає у розв'язуванні системи лінійних алгебраїчних рівнянь на кожному часовому рівні з кроком дискретизації. Система лінійних алгебраїчних рівнянь складається з рівнянь та містить множину невідомих.

Таким чином, вона може бути розв'язана з використанням одного з ітераційних методів. Вибір такого методу є нетривіальною задачею, яка повинна враховувати також і особливості засобів, за допомогою яких дана задача може бути розв'язаною.

З метою ефективної реалізації даної системи алгебраїчних рівнянь на паралельній обчислювальній системі запропоновано локально-асинхронний ітераційний метод, що базується на застосуванні глобального оператора , який складається з множини парастискаючих операторів.

Кожний нейрон на ітераційному кроці використовує множину даних для обчислення виразу та забезпечує виконання комунікацій для передачі результатів обчислень в нейронів, які утворюють множину вузлів обчислювального шаблону.

Доведено умови збіжності парастискаючого оператора. З метою покращення збіжності локально-асинхронного методу за рахунок корекції низькочастотних складових помилки розв'язку запропоновано застосовувати цей метод в сукупності з мультисітковим методом. В зв'язку з останнім у роботі розглянуто основні принципи організації мультисіткових обчислень у кліткових мережах, що включають узагальнення ітераційної схеми згладжування та вид операторів пролонгації і рестрикції, які забезпечують правила переходів між сітками відповідно до циклів, показаних на рис. 2. Правила і порядок застосування даних циклів входять до параметрів навчання кліткової нейронної мережі. Запропоновано паралельну реалізацію мультисіткового методу та розглянуто умови його збіжності.

Розроблено теоретичні основи створення проблемно-орієнтованої програмної системи моделювання на базі дискретних кліткових нейронних мереж, які відносяться до найбільш перспективних обчислювальних структур для реалізації паралельних методів розв'язування рівнянь математичної фізики.

Структура моделі кліткової нейронної мережі представлена оригінальною топологією тривимірних пошарових циркулянтних графів, які утворюють множину тривимірних циркулянтних графів ступеня 6 і характеризуються такими параметрами: вершини пронумеровані за допомогою послідовності цілих чисел; з кожної вершини виходять шість ребер, які пов'язують цю вершину з сусідніми вершинами:

Функція досяжності задає номер вершини, в яку можна потрапити з вершини 0, виконуючи послідовно переходи , та , , вздовж ребер графа:

Розроблено методику побудови кільцевих циркулянтних графів, ізоморфних пошаровим тривимірним циркулянтним графам. Використання кільцевих циркулянтних графів дозволило створити послідовності діофантових рівнянь, на яких базуються методи прокладки трас: по початковому перерізу, по кінцевому перерізу та змішаний, по початковому і кінцевому перерізах.

Модель кліткової мережі представлена множиною дискретних нейронів, кожний з яких орієнтований на реалізацію обчислень відповідно до локально-асинхронного мультисіткового методу.

3. Розробка формальних засобів для опису програмної системи моделювання на базі імітаційної моделі дискретних кліткових мереж

Запропоновано використання версії мереж (APRO-мережі) для структурного представлення моделі спільно з версією алгебри процесів для аналітичного опису.

Структура APRO-мереж представлена у вигляді кортежу:, де -- скінченна множина позицій,; -- скінченна множина переходів,; -- множина ребер між переходами та позиціями;-- скінченна множина маркувань; -- множина глобальних змінних; -- множина натуральних чисел.

Позиції APRO-мережі:, де -- множина параметрів позиції, -- множина міток, розміщених на даній позиції.

В даному розділі детально описано роботу згаданих процедур у кожному із станів переходу. Розглянуто проблеми, що виникають при транзитних пересилках міток, та запропоновано застосування методів просування модельного часу з загальним ресурсом, а також консервативних та оптимістичних методів. На рис. 6 показана структура APRO-мережі, яка включає перехід, pre-множину позицій та post-множину позицій. Окремо розглянуто питання аналізу APRO-мереж та їх еквівалентності.

Для аналітичного опису формальної моделі розроблено алгебру процесів, яка використовує деякі властивості класичних базових алгебр процесів, а також нові тенденції розвитку, що виникли при застосуванні алгебр процесів до вирішення проблем моделювання складних систем з дискретними подіями. Множина активностей в даній алгебрі процесів складається з підмножини взаємодії та підмножини внутрішніх активностей. Підмножина взаємодії містить підмножину активностей вводу та підмножину сполучених активностей.

Керована передача реалізована у вигляді зв'язку переходів через позицію, яка містить активність. Тому ініціатором акту передачі є префіксний процес. Процеси паралельної композиції виступають як постійно готові до прийому приймачі інформації завдяки префіксації. У випадку синхронної взаємодії переходи мережі містять симетричні зв'язки через сполучені активності. Тому обидва процеси можуть ініціювати взаємодію. Перший із процесів, який прибув у точку взаємодії, відсилає процесу-партнеру активність і зупиняється до одержання сполученої активності на вхідну позицію переходу. Прибуття очікуваної активності на вхідну позицію свідчить про те, що партнер по взаємодії готовий до обміну даними.

Операція асинхронної взаємодії додатково представлена переходом, що моделює функції розподіленого ресурсу. Активація переходу відбувається після надходження на одну з його вхідних позицій мітки з атрибутом активності.

Висновки

математичний мультисітковий асинхроний програмний

Робота присвячена вирішенню важливої науково-технічної проблеми підвищення ефективності моделювання перистальтичних процесів шляхом розвитку теорії розробки локально-асинхронних і мультисіткових методів та засобів, які забезпечують скорочення часу моделювання за рахунок підвищення ступеня паралельності обчислень.

В роботі отримано такі теоретичні та практичні результати:

1. Набув подальшого розвитку асинхронний паралельний метод розв'язування рівнянь математичної фізики, які описують перистальтичні процеси у тривимірній області. Даний метод відрізняється застосуванням модифікованого принципу асинхронної взаємодії вузлових процесів, що полягає у використанні для обчислень даних, не синхронізованих у часі з поточною ітерацією, локальним характером обміну даних між обчислювальними вузлами та використанням мультисіткових обчислень. Запропонований принцип асинхронної взаємодії дозволяє зменшити обсяг обчислень при високому рівні ефективності завантаження технічних засобів, локальний характер обміну даних забезпечує зменшення затрат часу на комунікації, а використання мультисіткових обчислень дозволяє подолати негативний ефект від зменшення швидкості збіжності ітераційного методу при зменшенні кроку дискретизації.

2. Розроблено топологію тривимірного пошарового циркулянтного графа на основі об'єднання топологічних властивостей двовимірного оптимального циркулянтного графа та тривимірного тора, що дозволило зменшити діаметр графа та його середню відстань на 16,7% у порівнянні з тривимірним тором. Застосовано властиву циркулянтним графам нумерацію вершин тривимірного графа послідовністю натуральних чисел, що спростило врахування фактору координатного напряму при формуванні функції досяжності.

3. Розроблено методи оптимальної прокладки трас у тривимірних пошарових циркулянтних графах, що включають прокладку трас по початковому перерізу, по кінцевому перерізу та по початковому і кінцевому перерізах. Дані методи відрізняються локальним характером прийняття рішення про вибір маршруту, що дозволяє підвищити надійність доставки даних, та можливістю рівномірного розподілу комунікаційного навантаження при моделюванні перистальтичних процесів.

4. Розроблено модель кліткової нейронної мережі для чисельного розв'язування рівнянь математичної фізики, яка представлена сукупністю паралельних асинхронно взаємодіючих процесів зі зв'язками, що визначаються структурою тривимірного циркулянтного графа. Застосування даного графа дозволяє скоротити середній час комунікацій, що припадає на одну ітерацію, на 12%-16%. Навчання кліткової нейронної мережі забезпечує оптимізацію обчислювального процесу за критерієм швидкості збіжності паралельного локально-асинхронного мультисіткового методу.

5. Розроблено засоби формального опису паралельних асинхронних процесів: APRO-мережі та версію алгебри процесів. Для компактної генерації APRO-мережі використано модифіковану версію алгебри процесів, одна з головних відмінностей якої полягає у використанні додаткового класу внутрішніх активностей, так званих активностей обробки, що дозволяють використовувати запропонований формальний засіб для забезпечення емуляції дискретних кліткових нейронних мереж на паралельних обчислювальних системах. Операції алгебри процесів використані як базові синтаксичні конструкції мови моделювання, що дозволяє формалізувати процес задавання правил функціонування моделі та структур даних.

6. Створено формальний опис обчислювального середовища у вигляді APRO-мережної моделі тривимірної кліткової нейронної мережі на основі тривимірного пошарового циркулянтного графа. Розроблено методи реалізації процедур оптимальної маршрутизації в моделі тривимірної кліткової мережі. Дано формальний багаторівневий опис даної моделі в термінах алгебри процесів. Головними відмінностями даного формального опису є застосування нового підходу до реалізації методів паралельного просування модельного часу та розробка механізму уніфікації дроблення загального процесу моделювання на підпроцеси, що виконуються на вузлах паралельного обчислювального засобу. Згадані підходи дозволили реалізувати моделі зі структурою пошарового циркулянтного графа на кластерній обчислювальній системі та забезпечити завантаження апаратних ресурсів кластера на рівні 80%-87%.

7. На основі запропонованої формальної моделі створено програмні системи моделювання кліткових нейронних мереж “PROSimul” та “Multigrid”, які орієнтовані на розв'язування рівнянь математичної фізики та відрізняються застосуванням комбінованого підходу, що поєднує процесне моделювання та моделювання списком подій, включають адаптивний інтерфейс для задавання структури та параметрів моделі і спеціальні механізми диспетчеризації. Застосування програмної системи моделювання “PROSimul” для дослідження руху рідини в травному тракті людини дозволило підвищити успішність оперативних втручань на 15% - 20% завдяки визначенню кількісних критеріїв вибору параметрів реконструктивної хірургічної операції методом “бік-в-бік” та дослідженню гідродинамічних параметрів тонко-кишкових петель зі замкненим циклом. Використання результатів математичного моделювання підтверджено актами впровадження наукових досліджень у Вінницькому національному медичному університеті імені М.І. Пирогова та Національному медичному університеті імені О.О. Богомольця.

Література

1. Новотарский М.А. Мультипроцессорные системы / Б.Б. Нестеренко, М.А. Новотарский.- К.: изд-во “Институт математики АН Украины”, 1995.- 408с.

2. Новотарський М.А. Штучні нейронні мережі: обчислення / М.А. Новотарський, Б.Б. Нестеренко.- К.: Інститут математики НАН України, 2004.- 408с.

3. Новотарский М.А. Имитационное моделирование нейросетей для решения уравнений математической физики локально-асинхронными методами / М.А. Новотарский // Радиоэлектроника. Информатика. Управление.- 2001.- №1.- С.113-116.

4. Новотарский М.А. PRO-сетевая модель цифрового нейрона / М.А. Новотарский // Радиоэлектроника. Информатика. Управление.- 2002.- №1.- С.74-77.

5. Novotarskiy M.A. Solving of boundary value problems for mathematical physics equations in cellular neural networks / M.A. Novotarskiy // Radio Electronics, Computer Science, Control.- 2003.- №1.- P.42-47.

6. Новотарский М.А. Асинхронные параллельные алгоритмы нейронных сетей / Б.Б. Нестеренко, М.А. Новотарский // Искусственный интеллект.- 2004.- №4.- С.554-561.

7. Новотарский М.А. Клеточные нейронные сети с транзитными пересылками / М.А. Новотарский // Радиоэлектроника. Информатика. Управление.- 2004.- №2.- С.118-121.

8. Новотарский М.А. Имитационное моделирование клеточных нейронных сетей / Б.Б. Нестеренко, М.А. Новотарский // Искусственный интеллект.- 2005.- №3.- С.296-307.

Размещено на Allbest.ru