Визначення екстремуму цільової функції оптимальності при заданих обмеженнях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначення екстремуму цільової функції оптимальності при заданих обмеженнях

Вхідні данні

Функція:

F1 (x₁, x₂) = (n+1)/2·x₁³ + x₁x₂² + (n+8)/3·x₁² + x₂², n = 3

Метод:

Метод прямого пошуку, n = 3

Зміст розрахунково-пояснювальної записки.

1. Завдання.

2. Зміст.

3. Теоретична частина.

4. Практична частина.

5. Список використаної літератури.

6. Додатки

1. Постановка задачі оптимального керування

екстремум програма алгоритм

При синтезе САУ, предполагалось, что требуемые показатели качества процесса задаются не в виде точных числовых значений или характеристик, а в виде области, внутри которой они должны располагаться. Это предопределяло многозначность решения задачи синтеза. Возможность выбора из множества вероятных решений, с одной стороны, облегчает задачу инженера, позволяя находить более простое конструктивное решение, но, с другой стороны, и затрудняет задачу, вводя неопределенность, предоставляя поиск наиболее удачной структуры искусству и интуиции инженера, оставляя неуверенность, действительно ли найденное решение является наиболее удачным. Так возникла задача об оптимальном, т.е. наилучшем, управлении - таком управляющем воздействии (u(t)), которое, решая основную задачу, было бы одновременно оптимальным и обеспечивало бы наилучший показатель качества.

При постановке задачи об оптимальном управлении, прежде всего, нужно точно сформулировать критерий оптимальности, или; как его часто называют, целевую функцию. Один из возможных способов его формулировки состоит в том, что показатель качества выражается в виде такой функции, наблюдаемых координат системы, которая имела бы экстремум в рабочей области. Эта функция J(x), x = {x_l х₂,…. х_n} физически должна выражать или выгоду (к. п. д., производительность, прибыль и т.п.), или потери (расход энергии, материала, времени, труда, средств и т.п.). Оптимальное управление должно обеспечить поддержание заданного режима системы таким образом, чтобы в первом случае J(x) была максимальной, во втором - минимальной, т.е. должно обеспечить экстремальное значение J(x). Этим объясняется название - экстремальное управление.

Иногда показатель качества J(x) зависит только от координат процесса х и не. зависит явно от времени, т.е. является статической характеристикой. При существовании такой характеристики управление будет оптимальным, если минимум («или максимум) поддерживается в каждый момент времени. Примерами могут служить настройка приемника на частоту передающей радиостанции; регулирование поворотно-лопастной турбины на максимум к. п. д. В первом случае добиваются максимальной громкости или яркости свечения индикаторной лампочки.

2. Детерміновані методи пошуку екстремуму в системах екстремального керування

Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:

1) детерминированные,

2) случайные,

3) комбинированные.

Некоторые детерминированные методы:

· Задачи оптимизации, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями, разрешаются так называемыми методами линейного программирования.

· В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программирования и применяют соответствующие методы. В свою очередь из них выделяют две частные задачи:

o если и  - выпуклые функции, то такую задачу называют задачей выпуклого программирования;

o если , то имеют дело с задачей целочисленного (дискретного) программирования.

Алгоритмы поиски глобального экстремума предназначены для определения на всем множестве допустимых решений точки, в которой целевая функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Т.к. глобальный экстремум выбирается среди множества локальных экстремумов, то в А.п.г.з. обычно как составная часть входит алгоритм поиска локального экстремума, который чаще всего используется на заключительном этапе поиска для уточнения значения и местоположения локального экстремума. А.п.г.е. делятся на детерминированные, статистические и комбинированные. Отдельно можно выделить сканирование на детерминированной сетке по всей области определения целевой ф, и сканирование с уточнением в «подозрительной» области. Эти методы, гарантируя нахождение глобального экстремума, отличаются повышенной трудоемкостью. Детерминированные А.п.г. 3. базируются на использовании методов адаптации и самообучения, например:

· метода «оврагов»,

· метода «тяжелого шарика» (гольф-метод),

· А.п.г.э. на сетке кода Грея.

Статистические методы: метод Монте-Карло, метод конкурирующих точек и др. - отличаются от детерминированных намеренным выделением элемента случайности, тем самым являясь прямым развитием метода проб и ошибок. По существу эти методы в той или иной мере моделируют имеющие место в природе случайные мутации с последующим отбором. Практически для каждого детерминированного метода существует статистический аналог, напр., метод поиска на детерминированной сетке во многом аналогичен методу слепого случайного поиска в пространстве параметров с псевдоравномерным распределением точек, который, как доказано, в п раз (п - число параметров) эффективнее первого. Аналогом методов спуска является метод случайного спуска. Можно утверждать, что статистические А.п.г.э. эффективнее детерминированных на начальных этапах поиска при выделении области расположения глобального экстремума, а также в обстановке помех. Достоинством статистических А.п.г.э. является возможность отсеивания точек, не принадлежащих множеству допустимых решений, на этапе генерации псевдослучайных точек, что повышает их быстродействие. Комбинированные методы сочетают достоинства статистических и детерминированных методов поиска. При этом в одних методах на начальном этапе проводится случайный поиск с выделением нескольких «подозрительных» зон, в которых производятся детерминированные спуски в область экстремума. В других методах на начальном этапе для сужения области допустимых решений выполняются пробные детерминированные спуски из разных точек множества допустимых решений. В любом случае для уточнения местоположения глобального экстремума используют детерминированный спуск. А.п.г.э. применяются для решения задач определения оптимальных параметров технических систем.

3. Практична частина

1. Пошук екстремума.

Знайдемо аналітичним шляхом точки екстремуму:

F1 (x₁, x₂) = (n+1)/2·x₁³ + x₁x₂² + (n+8)/3·x₁² + x₂², n = 3

F1 (x₁, x₂) = 2·x₁³ + x₁x₂² + 3,67·x₁² + x₂²

Знайдемо часткові похідні заданої функції:

З другого рівняння знайдемо точку екстремуму x₂ = 0. Підставимо отримане значення у перше рівняння та отримаємо значення другої координати екстремуму x₁:

Отже, маємо дві точки екстремуму:

2. Побудуємо за допомогою Маtlab графік поверхні заданої функції. Це можна зробити за допомогою наступного коду:

[X1, X2]=meshgrid([-3:0.15:3]);

Z=(2*X1.^3+X1*X2.^2+3.67*X1.^2 + X2.^2);

meshc (X1, X2, Z);

Отримаємо такі графіки поверхні:

4. Алгоритм пошуку екстремуму функції

У якості методу прямого пошуку візьмемо метод Гауса-Зейделя. Алгоритм цього методу наступний:

Встановлюємо черговість зміни координат X₁, X₂, …, X_n. Спочатку робиться крок Дx_i по першій координаті та виявляється знак викликаної цим кроком зміни ДJ. Якщо крок виявився хибним, потрібно змінити його напрям та зробити наступні кроки по тій самій координаті доти, доки ДJ не стане рівним 0 (або не змінить знак). Як тільки це трапиться, необхідно зробити крок по наступній координаті та продовжувати процедуру аналогічним шляхом. Зображення ідеальної траєкторії руху до екстремуму у площині двох змінних зображено на рисунку, де тонкими лініями зображені лінії J = const. Вигляд траєкторії суттєво залежить від розташування початкової точки та форми поверхні. Лінія J відповідає найбільш кращому розташуванню, прихід до екстремуму проходить за один цикл зміни лише координати X₁. При цьому ж розташуванні осей, але іншому розташуванні початкової точки на поверхні, наближення до екстремуму проходить за декілька етапів (крива 2) і процес пошуку подовжується.

Алгоритм програми:

1. Двічі надаємо приросту початковій точці Х₀ - отримаємо x1=x+dx та x2=x1+dx;

2. Обчислюємо значення функції в цих точках - f, f1, f2

3. Знаходимо різницю значень функцій - J1=f-f1 та J2=f1-f2;

4. Якщо (f1-f)>0, то змінюємо знак приросту аргументу dx=-dx;

5. Накладаємо дві умови на цикл виконання пошуку:

· виконувати пошук поки нас не задовольнить точність dfdx>E

· крокувати в тому ж напрямку поки не зміниться один із знаків різниці розрахованих функцій or (and((J1>0), (J2>0)), and((J1<0), (J2<0)))

6. Повторюємо пункти 1-3, поки не виконається друга умова та кожен раз запам'ятовуємо значення Х₁

7. Одразу після виконання другої умови розраховуємо отриману точність значення екстремуму - dfdx=(f1-f)/dx; зменшуємо приріст аргументу та змінюємо його напрям на протилежний - dx=-dx/2;

8. Переходимо у точку Х₂ та виконуємо пункти 1-3; запам'ятовуємо Х₂;

9. Виконуємо пункти 6-8 поки не виконається перша умова;

Размещено на Allbest.ru