Математические основы теории систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Задание 1. Элементы теории графов

Задание 2. Задача о максимальном потоке и потоке минимальной стоимости

Задание 3. Анализ сетей Петри

Задание 4. Элементы математической логики и теории автоматов

Задание 5. Математическое описание линейных систем

Список используемой литературы

Задание 1. Элементы теории графов

Связный ориентированный граф G(Х, Г) задан множеством вершин X={x₁, x₂, …, x_n} и отображением , i =1, 2,…, n. Здесь i - текущий номер вершины, n- количество вершин графа. Значение индексов n, k и l возьмем из табл. 1 в соответствии с номером варианта. Индексы k и l формируют значения индексов , , … переменной x в отображении Гx_i = {x , x , x,…}. Если значения индексов , , … переменной x не соответствуют ни одному из номеров вершин графа, то эта переменная не учитывается во множестве Гx_i.

Выполнить следующие действия:

а) определить исходный граф графическим, матричным и аналитическим способами;

б) описать систему уравнений, соответствующую сигнальному графу, считая, что передача между вершинами x_i и x_j

i*j при i j;

Kij =

1/(p+1) при i<j .

Найти передачу между вершинами x₁ и x_n, используя правило Мезона. Построить структуру кибернетической системы, определяемой топологией графа;

Таблица 1

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
N	5	5	5	5	5	5	5	5	5	6	6	6	6	6	6
K	2	3	4	1	1	1	3	5	2	4	2	3	4	5	6
L	1	1	1	2	3	4	2	1	3	3	1	1	1	1	1
№ варианта	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
N	6	6	6	6	6	6	6	6	6	7	7	7	7	7	7
K	1	1	1	1	3	2	5	5	2	3	4	5	6	5	3
L	2	3	4	5	2	3	2	3	3	2	3	2	1	3	5

Решение:

Множество вершин

X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}, n = 5 k = 3, l = 2 .

а) определим исходный граф графическим, матричным и аналитическим способами:

Определим граф аналитическим способом:

Гx₁ = {x₄, x₃, x₁};

Гx₂ = {x₅,x₄};

Гx₃ = {x₅,x₁};

Гx₄ = {x₂};

Гx₅ = {x₃}.

Ориентированный граф графическим способом:

Ориентированный граф матричным способом:

R_G - матрица смежности

	x1	x2	x3	x4	x5
x1	1*	0	1	1	0
x2	0	0	0	1	1
x3	1	0	0	0	1
x4	0	1	0	0	0
x5	0	0	1	0	0

A_G - матрица инцидентности

	v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7	v8	v9
x1	1*	1	1	-1	0	0	0	0	0
x2	0	0	0	0	0	0	-1	1	1
x3	0	0	-1	1	-1	1	0	0	0
x4	0	-1	0	0	0	0	1	-1	0
x5	0	0	0	0	1	-1	0	0	-1

б) Считая, что передача между вершинами x_i и x_j

Сигнальный граф имеет вид:



Система уравнений, соответствующая сигнальному графу имеет вид

x₁ = x₁+3x₃;

x₂ =8x₄;

x₃ =x₁ +15 x₅;

x₄ = x₁+ x₂ ;

x₅ =x₃+x₂.

Определить передачу k₁₅ по правилу Мезона. Формула Мезона имеет вид

P_S - передача пути,

D_S - алгебраическое дополнение,

D - определитель.

Пути из х₁ в х₅ и передаточные функции для каждого из них имеют вид:

Контуры:

l₁={x₁,x₁}; L₁=1;

l₂={x₁,x₃,x₁}; L₂=3/(p+1);

l₃={x₂,x₄,x₂}; L₃=8/(p+1);

l₄={x₃,x₅,x₃}; L₄=15/(p+1);

l₅={x₁,x₄,x₂,x₅,x₃,x₁}; L₅=360/(p+1)³.

Пары несоприкасающихся контуров

L₁L₃, L₁L₄,

L₂L₃,

L₃L₄.

Независимые тройки:

L₁L₃L₄.

Отсюда D = 1 - (L₁ +L₂ +L₃ +L₄+L₅)+ (L₁L₃ +L₁L₄ + L₂L₃ + L₃L₄) - L₁L₃L₄.

k_1,5=(P₁D₁+P₂D₂)/D=(9/(p+1)²)/(-(386+(p+1))/(p+1)+8/(p+1)+15/(p+1)+ 24/(p+1)²+120/(p+1)²-120/(p+1)²=(9/(p+1)²)/(24/(p+1)²-(364+p)/(p+1))

Структура кибернетической системы представлена на рисунке:



Задание 2. Задача о максимальном потоке и потоке минимальной стоимости

На рисунке приведена транспортная сеть в виде ориентированного графа.

Для заданной сети определить: максимальный поток _max транспортировки груза между указанной парой вершин, считая одну из них источником, а другую -- стоком.

Решение:

Первый шаг. 1. Находим какой-либо путь из х₁ в х₁₀ с положительной пропускной способностью.

Tаблица 1

	x1	x2(1)	x3(1)	x4(3)	x5(1)	x6(5)	x7(5)	x8(2)	x9(6)	x10(7)
x1		10	2		18-
x2	0		4					18
x3	0	0		1				2
x4			0					10
x5	0+					19	4-	4
x6					0		5		15
x7					0+	0		19	16	17-
x8		0	0	0	0		0			10
x9						0	0			10
x10							0+	0	0

В результате получен путь l₁ = (x₁,х₅,х₇,х₁₀). Элементы этого пути C_ij помечаем знаком минус, а симметричные элементы C_ji - знаком плюс.

Определяем пропускную способность найденного пути, которая равна наименьшей из пропускных способностей дуг:

Определяем остаточные пропускные способности дуг найденного пути и симметричных ему дуг. Для этого из элементов табл. 1 вычитаем C₁, а к элементам прибавляем C₁. В результате получим новую табл. 2 с измененными пропускными способностями.

Tаблица 2

	x1	x2(1)	x3(1)	x4(3)	x5(1)	x6(5)	x7(6)	x8(2)	x9(6)	x10(7)
x1		10-	2		14
x2	0+		4					18-
x3	0	0		1				2
x4			0					10
x5	4					19	0	4
x6					0		5		15
x7					4	0		19	16	13
x8		0+	0	0	0		0			10-
x9						0	0			10
x10							4	0+	0

Второй шаг. 1. Помечаем столбцы табл. 2, находим второй путь l₂ = (x₁,х₂,х₈,х₁₀) и расставляем знаки.

2. Пропускная способность пути l₂

Изменим пропускные способности помеченных дуг на С₂ в табл. 3.

Tаблица 3

	x1	x2	x3(1)	x4(3)	x5(1)	x6(5)	x7(6)	x8(2)	x9(6)	x10(7)
x1		0	2		14-
x2	10		4					8
x3	0	0		1				2
x4			0					10
x5	4+					19-	0	4
x6					0+		5-		15
x7					4	0+		19	16	13-
x8		10	0	0	0		0			0
x9						0	0			10
x10							4+	10	0

Третий шаг. 1. Пометив столбцы, находим l₃ = (x₁,х₃, х₈,х₁₀).

Величина потока по пути l₃

Вычислив новые пропускные способности дуг, приходим к табл. 4.

Tаблица 4

	x1	x	x3(1)	x4(3)	x5(1)	x6(5)	x7	x8(2)	x9(6)	x10(7)
x1		0	2		9-
x2	10		4					8
x3	0	0		1				2
x4			0					10
x5	9+					14-	0	4
x6					5+		0		15-
x7					4	5		19	16	8
x8		10	0	0	0		0			0
x9						0+	0			10-
x10							9	10	0+

Четвертый шаг. 1. Пометив столбцы, находим l₄ = (x₁,х₅, х₆,х₉,х₁₀).

Величина потока по пути l₄

Вычислив новые пропускные способности дуг, приходим к табл. 5.

Tаблица 5

	x1	x2	x3(1)	x4(3)	x5	x6(5)	x7	x8(2)	x9(6)	x10(7)
x1		0	2		0
x2	10		4					8
x3	0	0		1				2
x4			0					10
x5	18					5	0	4
x6					14		0		6
x7					4	5		19	16	8
x8		10	0	0	0		0			0
x9						9	0			1
x10							9	10	9

Пятый шаг. Просматривая строки, убеждаемся в том, что больше не существует ни одного пути с положительной пропускной способностью из вершины x₁ в вершину x₈.

Заключительный шаг. Вычитая из элементов табл.1 соответствующие элементы табл.5, получим табл.6

Таблица 6

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
x1		10	0		18
x2	-10		0					10
x3	0	0		0				0
x4			0					0
x5	-18					14	4	0
x6					-14		5		9
x7					-4	-5		0	0	9
x8		-10	0	0	0		0			10
x9						-9	0			9
x10							-9	-10	-9

Величина максимального потока равна сумме элементов x₁-й строки табл. 6 или сумме элементов x₁₀-го столбца.

Максимальный поток равен .

2) положительные элементы табл.6 характеризуют величины дуговых потоков:

Стоимость доставки груза определяется по формуле:

.



Задание 3. Анализ сетей Петри

Сеть Петри задана графически (рис. 23…30). В табл. 1 в соответствии с вариантом и указанным номером рисунка приведены различные начальные маркировки сети.

Выполнить следующие действия:

Описать сеть аналитическим и матричным способами.

Проверить условия срабатывания каждого из переходов и найти новые маркировки, к которым приведет срабатывание соответствующих переходов, путем выполнения матричных преобразований.

Построить дерево достижимости заданной сети.

Проверить, является ли достижимой одна из маркировок, получаемых на четвертом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.

Таблица 1

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	0	1	0	1	1	1	1	2	2	0	1	3	0	1	1
2	1	2	2	2	3	1	2	2	1	2	3	1	1	2	0
3	2	3	1	0	1	1	1	3	2	1	0	1	2	3	3
4	3	1	3	4	0	2	1	1	0	1	1	2	1	1	2
5	1	2	5	1	2	2	3	0	3	3	2	0	3	2	1
№ рисунка	Рис. 23	Рис. 27	Рис. 28	Рис. 29



Решение:

1. Опишем сеть аналитическим и матричным способами. Приведем графическое представление сети Петри, в которой позиции P = {p₁, p₂, p₃, p₄, p₅} и переходы T = {t₁, t₂, t₃, t₄, t₅}. Начальная маркировка сети обозначается вектором м₀ [м₁,м₂,м₃,м₄,м₅], м₀ [1,2,1,1,3]. Отсюда получим:

При аналитическом способе задания сеть Петри задается как C = (P,T,F,H,м₀), где, кроме множеств позиций Р и переходов Т, задаются входная F и выходная Н функции. Через F(t_j) обозначается множество входных позиций, а через H(t_j) - множество выходных позиций перехода t_j; м₀ - начальная маркировка сети.

F(t₁) = {p₁}, H(t₁) = { p_2, p₃},

F(t₂) = { p₂}, H(t₂) = { p₄},

F(t₃) = { p₃}, H(t₃) = { p₅},

F(t₄) = { p₄, p₅}, H(t₄) = { p₁},

F(t₅) = { p₄, p₅}, H(t₅) = {p_2, p₃}.

Матричная форма определения сети Петри эквивалентна аналитическому способу задания C = (P,T,D-,D⁺,м⁰). Здесь D- и D⁺ - матрицы входных и выходных инциденций соответственно размером m Ч n, где m - число переходов и n - число позиций.

Элемент d_ij- матрицы D- равен кратности дуг, входящих в i-й переход из j-й позиции.

Элемент d_ij⁺ матрицы D⁺ равен кратности дуг, выходящих из i-ro перехода в j-ю позицию.

Для рассматриваемой сети Петри

D^-=

	p1	p2	p3	p4	p5
t1	1	0	0	0	0
t2	0	1	0	0	0
t3	0	0	1	0	0
t4	0	0	0	1	1
t5	0	0	0	1	1

D⁺=

	p1	p2	p3	p4	p5
t1	0	1	1	0	0
t2	0	0	0	1	0
t3	0	0	0	0	1
t4	1	0	0	0	0
t5	0	1	1	0	0

Матрица D = D⁺ - D ^- называется матрицей инцидентности сети Петри,

D=

	p1	p2	p3	p4	p5
t1	-1	1	1	0	0
t2	0	-1	0	1	0
t3	0	0	-1	0	1
t4	1	0	0	-1	-1
t5	0	1	1	-1	-1

2. При начальной маркировке м₀ [1 2 1 1 3] сети Петри разрешенными являются переходы t₁, t₂, t₃, t₄, t₅.

Переход t₁

[м₀] ? [10000]* D- = [10000] · ; [1 2 1 1 3] ? [1 0 0 0 0] -

условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t₁ равна:

.

Переход t₂

[м₀] ? [01000]* D- = [01000] · ; [1 2 1 1 3] ? [01 0 0 0] -

условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t₂ равна:

.

Переход t₃

[м₀] ? [00100]* D- = [00100] · ; [1 2 1 1 3] ? [0 0 1 0 0] -

условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t₃ равна:

.

Переход t₄

[м₀] ? [00010]* D- = [00010] · ; [1 2 1 1 3] ? [0 0 0 1 1] -

условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t₄ равна:

.

Переход t₅

[м₀] ? [00001]* D- = [00001] · ; [1 2 1 1 3] ? [0 0 0 1 1] -

условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t₅ равна:

.

Построим дерево достижимости заданной сети.

3. Проверим, является ли достижимой одна из маркировок, полученных на четвёртом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.

Уравнение принимает вид

Перенесем в левую часть и выполним умножение, тогда

.

Приравняем составляющие векторов

Система имеет решение x₁ = 1; x₂ = 1; x₃ = 1; x₄ = 1; x₅ = 1.

Это значит, что исследуемая маркировка достижима и в последовательности срабатываний все переходы срабатывают по одному разу.

математический граф матричный линейный

Задание 4. Элементы математической логики и теории автоматов

Конечный автомат задан графом, определенным в задаче 1. Вершины графа отождествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = {q₁, q₂ ,…, q_n}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X={x₁, x₂, x₃, x₄}. Переходы определяются законом отображения Г вершин графа, причем каждому переходу соответствует только одна из букв множества X. При задании графа эти буквы расставить произвольно.

Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y={y₁, y₂, y₃}:

y₁ - переход из состояния q_i в состояние q_i (петля);

y₂ - переход из состояния q_i в q_j при i<j;

y₃ - переход из состояния q_i в q_j при i>j.

Осуществить структурный синтез конечного автомата. Реализацию осуществить на элементах, указанных в табл. 1, в соответствии с номером варианта. Обязательной является минимизация реализуемых функций.

Таблица 1

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тип элементов	И НЕ	И ИЛИ НЕ	ИЛИ НЕ	И ИЛИ НЕ	И НЕ	ИЛИ НЕ	ИЛИ НЕ	И ИЛИ НЕ	И НЕ	ИЛИ НЕ
Тип триггера	RS	JK	T	RS	JK	D	RS	T	D	RS

Решение:

Множество вершин X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}.

Вершины графа отожествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = {q₁, q₂, q₃, q₄, q₅}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X={x₁, x₂, x₃, x₄}. Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y={y₁, y₂, y₃}.

На основании аналитического описания ориентированного графа из задания № 1 запишем закон отображения состояний автомата:

Гq₁ = {q₁(x₁/y₁), q₃(x₄/y₂), q₄(x₂/y₂)},

Гq₂ = {q₄(x₂/y₂), q₅(x₁/y₂)},

Гq₃ = {q₁(x₃/y₃), q₅(x₄/y₂)},

Гq₄ = {q₂(x₁/y₃)},

Гq₅ = {q₃(x₃/y₃)}.

Обобщенная таблица переходов и выходов соответствующего конечного автомата представлена в табл. 2.

Таблица 2

X	Q	q1	q2	q3	q4	q5
X1	q1/y1	q5/y2	-	q2/y3	-
X2	q4/y2	q4/y2	-	-	-
X3	-	-	q1/y3	-	q3/y3
X4	q3/y2	-	q5/y2	-	-

Осуществим структурный синтез автомата, заданного табл. 1. В качестве элементов памяти используем RS-триггеры, в качестве элементной базы используем логические элементы ИЛИ-НЕ.

Количество букв входного алфавита n = 4

Количество входов p ? log₂ n = log₂ 4 = 2;

Количество букв выходного алфавита m = 3

Количество выходов e ? log₂ m = log₂ 3 = 2;

Количество состояний r = 5

Количество триггеров z ? log₂ r = log₂ 5 = 3.

Приступаем к кодированию:

	u	u1	u2
x1	0	0	3
x2	0	1	3
x3	1	0	3
x4	1	1	2

	v1	v2
y1	0	0	1
y2	0	1	5
y3	1	0	3

q	w	w1	w2	w3
q1	0	0	0	2
q2	0	1	1	1
q3	0	0	1	2
q4	0	1	0	2
q5	1	0	0	2

На основании результатов кодирования строим обобщенную таблицу переходов и выходов структурного автомата (табл.3), заменяя состояния, входные и выходные переменные их кодами.

Таблица 3

u1u2	w1w2w3	000	011	001	010	100
00	000/00	100/01	-	011/10	-
01	010/01	010/01	-	-	-
10	-	-	000/10	-	001/10
11	001/01	-	100/01	-	-

Используя таблицу переходов RS-триггера и данные предыдущей таблицы, составим обобщенную таблицу функционирования структурного автомата (табл.4). Функции возбуждения трех триггеров обозначены через D₁, D₂, D₃, соответственно.

Таблица 4

u1	u2	w1(t)	w2(t)	w3(t)	w1 (t+1)	w2 (t+1)	w3 (t+1)	v1	v2	R1	S1	R2	S2	R3	S3
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	*	0	*	0	*	0
0	1	0	0	0	0	1	0	0	1	*	0	0	1	*	0
1	0	0	0	0	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*
1	1	0	0	0	0	0	1	0	1	*	0	*	0	0	1
0	0	0	0	1	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*
0	1	0	0	1	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*
1	0	0	0	1	0	0	0	1	0	*	0	*	0	1	0
1	1	0	0	1	1	0	0	0	1	0	1	*	0	1	0
0	0	0	1	0	0	1	1	1	0	*	0	0	*	0	1
0	1	0	1	0	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*
1	0	0	1	0	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*
1	1	0	1	0	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*
0	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	1	1	0	1	0
0	1	0	1	1	0	1	0	0	1	*	0	0	*	1	0
1	0	0	1	1	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*
1	1	0	1	1	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*
0	0	1	0	0	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*
0	1	1	0	0	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*
1	0	1	0	0	0	0	1	1	0	1	0	*	0	0	1
1	1	1	0	0	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*

По этой таблице запишем КНДФ выходных функций V и функций возбуждения триггеров D₁, D₂, D₃, зависящих от набора переменных u₁, u₂, w₁(t), w₂(t), w₃(t). В результате получим систему логических функций для построения комбинационной части автомата:

;

;

;

;

;

;

;

;

Минимизируем функции согласно картам Карно:

V1
	*	*	*	*	0	1	0	*
	*	*	*	*	0	*	0	*
	*	*	*	*	0	*	*	0
	*	*	*	1	*	*	*	1

В базисе ИЛИ-НЕ:

V2
	*	*	*	*	0	0	1	*
	*	*	*	*	1	*	1	*
	*	*	*	*	1	*	*	1
	*	*	*	0	*	*	*	0

В базисе ИЛИ-НЕ:

R1
	*	*	*	*	*	*	0	*
	*	*	*	*	*	*	*	*
	*	*	*	*	*	*	*	0
	*	*	*	1	*	*	*	*

S1
	*	*	*	*	0	0	1	*
	*	*	*	*	0	*	0	*
	*	*	*	*	0	*	*	1
	*	*	*	0	*	*	*	0

В базисе ИЛИ-НЕ:

R2
	*	*	*	*	*	0	1	*
	*	*	*	*	0	*	0	*
	*	*	*	*	*	*	*	*
	*	*	*	*	*	*	*	*

В базисе ИЛИ-НЕ:

S2
	*	*	*	*	0	*	0	*
	*	*	*	*	1	*	*	*
	*	*	*	*	0	*	*	0
	*	*	*	0	*	*	*	0



В базисе ИЛИ-НЕ:

R3
	*	*	*	*	*	0	1	*
	*	*	*	*	*	*	1	*
	*	*	*	*	0	*	*	1
	*	*	*	0	*	*	*	1

S3
	*	*	*	*	0	1	0	*
	*	*	*	*	0	*	0	*
	*	*	*	*	1	*	*	0
	*	*	*	1	*	*	*	0

В базисе ИЛИ-НЕ:

Задание 5. Математическое описание линейных систем

Согласно заданию

Передаточная функция системы - это отношение изображения по Лапласу сигнала на выходе к изображению по Лапласу сигнала на входе при нулевых начальных условиях.

Создадим стационарный линейный объект с именем w в пакете Matlab

>> w=tf([84 126 42],[1 14 61 84])

Transfer function:

84 s^2 + 126 s + 42

------------------------

s^3 + 14 s^2 + 61 s + 84

Чтобы перейти от передаточной функции к дифференциальному уравнению системы, нужно перейти из области изображений по Лапласу во временную область.

Для перехода во временную область воспользуемся формальными
правилами:

Тогда дифференциальное уравнение системы имеет вид

(5.1)

Характеристическое уравнение системы определяется знаменателем передаточной функции

Итак,

Тогда

Найдем корни многочлена в пакете Matlab с помощью команды pole(w).

>> pole(w)

ans =

-7.0000

-4.0000

-3.0000

Передаточная функция системы в форме нулей и полюсов имеет вид

Получим разложение передаточной функции на сумму простых
слагаемых

Найдем a, b,c :

Следовательно,

Получим систему уравнений:

В результате решения данной системы уравнений получим a=105; b=-294; c= 273



Импульсная переходная характеристика w(t) - это процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход д-функции. Ее можно найти в результате обратного преобразования Лапласа, примененного к каждому слагаемому передаточной функции.

В соответствии с таблицами соответствия тогда

Matlab

>> ch=[84 126 42]

>> zn=[1 14 61 84]

>> [x]=residue(ch,zn)

x =

273.0000

-294.0000

105.0000

Переходная характеристика h(t) - это процесс изменения сигнала на выходе системы при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия. Преобразование по Лапласу 1(t) это

Для получения аналитической формы переходной характеристики дополним систему интегратором:

С помощью метода неопределенных коэффициентов аналогично найдем a=-35; b=73.5; c=-39; d=0.5.

Matlab

>> ch=[84 126 42]

>> zn=[1 14 61 84]

>> [c]=residue(ch,[zn,0])

c =

-39.0000

73.5000

-35.0000

0.5000

Запишем аналитическую форму переходной характеристики

Переходную характеристику можно также вычислить следующим образом получим такой же результат.

Временные характеристики системы, построенные в пакете Matlab, приведены на рис. 5.1 и 5.2.

График h(t)

>> step(w)



Рисунок 5.1 - График h(t).

График w(t)

>>impulse(w)

Рисунок 5.1 - График w(t).



Построение асимптотических ЛАЧХ и ФЧХ. При определении частотных характеристик подразумевается, что на входе и выходе системы сигналы являются гармоническими.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, как изменяется отношение выходного сигнала к входному в зависимости от частоты.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) показывает изменение сдвига фаз между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты.

ЛАЧХ строится в двойных логарифмических шкалах. По одной логарифмической оси откладывается круговая частота , по другой значение , выраженное в децибелах. Асимптотическая ЛАЧХ состоит из отрезков прямых линий с наклонами кратными 20 дБ/дек.

Преобразуем передаточную функцию к следующему виду:

Теперь она представляет собой произведение трёх апериодических и двух форсирующих звеньев с постоянными времени

Коэффициент усиления Сопрягающие частоты звеньев равны

Далее необходимо правильно разметить оси, и отметить на оси сопрягающие частоты. ЛАЧХ приведена на рис. 5.3, а.

Так как интегрирующие звенья отсутствуют, то первый наклон в области низких частот будет нулевой. Он идёт параллельно оси частот на уровне -5 lgK до первой сопрягающей частоты 1,2. Эти частоты относятся к форсирующему звену. Следовательно, наклон изменится на +2. Этот наклон будет идти до сопрягающей частоты 3. Так как эта частота относится к апериодическому звену, то наклон изменится на -1 и станет +1. После частоты 4 наклон изменится на (-1) и станет нулевым, будет продолжаться до 5. После частоты 5 он изменится ещё на (-1) и станет равным (-1).

Фазочастотная характеристика (рис. 5.3, б) построена в соответствии с выражением

Значения каждого из слагаемых определяются приближенно для значений , . В этих точках

В пакете Matlab для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ используется команда bode(w), а для построения АФЧХ команда nyquist(w). Соответствующие характеристики приведены на рис. 5.4 и 5.5.



Рисунок 5.3 - Фазочастотная характеристика.

ЛАЧХ и ЛФЧХ системы

>>margin(w)



Рисунок 5.4 - ЛАЧХ системы.

АФЧХ системы:

>> nyquist(w)

Рисунок 5.5 - АФЧХ системы.



Кроме входных и выходных переменных при описании систем выделяют переменные x, связанные с внутренней структурой устройства - переменные состояния. Тогда систему можно описать с помощью уравнений состояния.

Нормальная форма уравнений состояния имеет вид:

Здесь А - квадратная матрица определенного вида, размер которой определяется порядком дифференциального уравнения. Элементы, стоящие над главной диагональю - единицы, элементы нижней строки - коэффициенты левой части дифференциального уравнения, взятые с противоположным знаком. Все остальные элементы - нули. Такая матрица называется матрицей Фробениуса.

Дифференциальное уравнение системы имеет вид:

	-14		-61		-84			+	42u(t)

где и - коэффициенты уравнения.

		0	1	0				0	1	0
A=		0	0	1		=		0	0	1
								-84	-61	-14

Элементы матриц B и D вычисляются по следующим рекуррентным соотношениям:



						84
B=				, B=		-1050		, C=[1 0 0]
						9618

Подставив рассчитанные матрицы в систему (5.2), получим

						0	1	0								84
				=		0	0	1		?				+		-1050
						-84	-61	-14								9618

Схема модели приведена на рис. 5.6.



Рисунок 5.6 - Схема модели.

Записать уравнения состояния в канонической форме. Изобразить схему моделирования.

Введем новую переменную состояния q, которая связана с переменной состояния x следующим образом: х = М q. М - это модальная матрица, которая имеет вид

		1	1	1				1	1	1
М=						=		-3	-4	-7
								9	16	49

где i-характеристические числа матрицы Фробениуса А.

При подстановке q вместо x в нормальную форму уравнений состояния (5.2), то после преобразований получим уравнения состояния системы в канонической форме:

(5.3)

Здесь - диагональная матрица:

			0	0				-3	0	0
=						=		0	-4	0		,
								0	0	-7

где M-1 - матрица, обратная модальной.

,

где AdjM - матрица, присоединённая к M, т. е. транспонированная матрица алгебраических дополнений.

		7	2,75	0,25
=		-7	-3,33	-0,33		,
		1	0,583	0,083

			7	2,75	0,25				84				105
	=		-7	-3,33	-0,33				-1050		=		-265,44
			1	0,583	0,083				9618				270,144

[1 0 0]		1	1	1
		-3	-4	-7		=[1 1 1],
		9	16	49

>> M=[1 1 1;-3 -4 -7;9 16 49]

M =

1 1 1

-3 -4 -7

9 16 49

>> inv(M)

ans =

7.0000 2.7500 0.2500

-7.0000 -3.3333 -0.3333

1.0000 0.5833 0.0833

>> B=[84;-1050;9618]

B =

84

-1050

9618

>> (M^(-1))*B

ans =

105.0000

-294.0000

273.0000

Подставив найденные значения в (5.3), получим

						-7	0	0								105.0000		?
				=		0	-8	0		?				+		-294.0000
						0	0	-9								273.0000

Схема модели, соответствующая полученной системе, приведена на рис. 5.7. Для нее характерно параллельное соединение интеграторов, выходы которых определяются переменными состояния q₁, q₂, q₃.

Блок-схема модели

Рис. 5.7

Найдем решение y(t) для системы уравнений в нормальной форме, если начальные условия имеют вид: 2, Сигнал 2 Переходя к начальным условиям для х, в соответствии с принятыми ранее обозначениями получим 2

Решение уравнения состояния складывается из двух составляющих - свободной и вынужденной.

Свободная составляющая - это общее решение дифференциального уравнения системы с нулевой правой частью. Оно не зависит от внешнего воздействия и характеризует естественное поведение системы.

Вынужденная составляющая - это частное решение дифференциального уравнения с ненулевой правой частью. Оно зависит от сигнала и характеризует поведение системы под его воздействием.

Решение уравнения состояния имеет вид

где - фундаментальная матрица или матрица перехода.

Она вычисляется по следующей формуле:

где - неизвестные коэффициенты.

Вычислить их можно, решая матричное уравнение

Для рассматриваемого примера

	1	-3	9
	1	-4	16		?				=				.
	1	-7	49

Перемножая матрицы, получаем систему уравнений следующего вида

Решение данной системы уравнений имеет вид

		0	1	0				0	0	1
A=		0	0	1		=		-84	-61	-14
		-84	-61	-14				1176	770	135

Итак,

		7	0	0				-7	0	0
=		0	7	0		+		0	-7	0		+
		0	0	7				0	0	-7

		6	0	0				0	2,75	0
+		0	6	0		+		0	0	2,75		+
		0	0	6				-231	-167,75	-38,5

		0	-3,33	0				0	3,5	0
+		0	0	-3,33		+		0	0	3,5		+
		279,72	203,13	46,62				-294	-213,5	-49

		0	0	0,25				0	0	-0,33
+		-21	-15,25	-3,5		+		27,72	20,13	4,62		+
		294	192,5	33,75				-388,08	-254,1	-44,55

		0	0	0,5				7	2,75	0,25
+		-42	-30,5	-7		=		-21	-8,25	-0,75		+
		588	385	67,5				63	24,75	2,25

		-7	-3,33	-0,33				6	3,5	0,5
+		27,72	13,13	1,29		+		-42	-24,5	-3,5
		-108,36	-50,97	-4,93				294	171,5	24,5



			2				14				-14				12
			0		=		-42		+		55,44		+		-84
			0				126				-216,72				588

Так как , то свободная составляющая выходного сигнала будет равна

Определим вынужденную составляющую при входном сигнале u(t) = 2*1(t). Сигнал на выходе при поступлении на вход 1(t) уже вычислен - это переходная характеристика системы (5.4). Чтобы получить вынужденную составляющую сигнала в нашем случае - умножим переходную характеристику на 2.

Найдем решение уравнений состояния, представленных в канонической форме (5.3). Каждое из дифференциальных уравнений первого порядка зависит только от одной переменной и его решение в общем виде имеет вид

Определим начальные условия для вектора

Так как , то

									7	2,75	0,25				2				14
							=		-7	-3,33	-0,33				0		=		-14
									1	0,583	0,083				0				2

Решения нормальных и канонических уравнений состояния совпадают.

Проверим, одинаково ли значение коэффициента усиления: по передаточной функции, переходной характеристике, моделям в пространстве состояний, аналитической записи импульсной переходной характеристики.

Проверим значение коэффициента усиления по передаточной функции

По переходной характеристике:

По моделям в пространстве состояний.

Каноническая форма:

Нормальная форма (в установившемся режиме на входах интеграторов нули):

По аналитической записи импульсной переходной характеристики:

Мы видим, что значение коэффициента усиления одинаково.

Список используемой литературы

1. Коршунов Ю.В. Математические основы кибернетики. М.: Энергоатом-издат, 1987.-496с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики; Учеб.пособие для сту-дентов вузов. М.: Высш.шк., 1986.

3. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. М., 1973.

4. Костевич Л.С., Лапко А.А. Теория игр. Исследование операций; Учеб.пособне для экон.спец. вузов. Мн.: Выш.шк., 1981.

5. Основы кибернетики. Математические основы кибернетики /Под ред. К.Л.Пункова: Учеб.пособие для вузов. М.: Высш.шк., 1974.

6. Путков В.Н. и др. Электронные вычислительные устройства: Учеб.пособие для студентов вузов. Мн.: Выш.шк., 1981.

Размещено на Allbest.ru