Рис.3 - График траектории движения снаряда

В результате полученного в пакете MathCAD графического изображения траектории движения снаряда можно приближённо найти его максимальную высоту, дальность и время полета, которые составляют:

ymax ? 5019 м - максимальная высота;

xmax ? 11140 м - максимальная дальность;

t ? 64 с - время полета.

Ответ: ymax ? 5019 м, xmax ? 11140 м, t ? 64 с.

Задание 3

Найдите решение системы линейных уравнений матричным способом.

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 26

2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 34

3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 26

4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 26

Решение

Система линейных алгебраических уравнений в матричной форме имеет вид: AX = B, где А - квадратная матрица коэффициентов, Х - вектор-столбец неизвестных, В - вектор-столбец свободных членов системы.

Согласно заданной системе уравнений вводим матрицу А и вектор-столбец В:

Решение системы в матричной форме:

В результате получаем значение вектора-столбца неизвестных:

Ответ: х1 = 2,8; х2 = 2,8; х3 = 4,8; х4 = 0,8.

Задание 4

Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера.

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 26

2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 34

3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 26

4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 26

Для полученной матрицы-решения системы линейных уравнений найдите квадрат суммы всех её элементов.

Решение

Задаем основную и расширенную матрицы согласно данной системе линейных алгебраических уравнений:

Определим совместность системы линейных уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы были равны.

,

Так как ранги матриц А и В равны 4, а также равны количеству неизвестных n=4, то система имеет единственное решение.

Находим главный определитель основной матрицы (?):

Для вычисления х1 найдем первый определитель (?1), для чего заменим первый столбец столбцом свободных членов:

Точно как же как и для х1 найдем определители для вычисления х2, х3 и х4 (?2, ?3, ?4):

В результате осталось разделить нужные определители на главный, в итоге получим:

Матрица-решение системы линейных уравнений представляет собой:

Для полученной матрицы-решения системы линейных уравнений находим квадрат суммы всех её элементов:

Ответ: х1 = 2,8; х2 = 2,8; х3 = 4,8; х4 = 0,8; (?Х)2 = 125,44.

Задание 5

Выполнить в соответствии с Вашим вариантом исходных данных (входные и выходные напряжения) следующие задания:

1. Выполнить в пакете MathCAD кусочно-линейную и сплайновую интерполяцию табличных данных Uвых = f(Uвх). Построить графики этих интерполяций на одной координатной сетке.

2. Аппроксимировать таблично заданную зависимость Uвых = f(Uвх) с помощью линейного и полиномиального регрессионного анализа. Построить сравнительный график по образцу, который приведен в примере.

Решение

А) Выполним кусочно-линейную интерполяцию табличных данных Uвых = f(Uвх).

В начале исходную табличную зависимость Uвых = f(Uвх) задаем векторами Vх = Uвх и Vy = Uвых (по 6 точек), причем элементы вектора Vx должны быть записаны в порядке возрастания:

Определяем интерполяционную функцию F1_inter(х), которая позволяет для любого значения аргумента х определить искомую величину функции Uвых = f(Uвх). График этой функции представлен на рис. 4 вместе с узловыми точками (крестики).

Б) Выполним сплайновую интерполяцию табличных данных Uвых = f(Uвх).

Определяется вектор вторых производных Vs при помощи функции: csptine:

Далее определяется интерполяционная зависимость посредством функции interp.

График этой функции представлен на рис. 4 вместе с узловыми точками (крестики).

Вычислим значения интерполяционных функций в произвольных точках:

Из рис. 4 видно, что в узловых точках Vx, значения функций F1_inter(x) и F2_inter(x) совпадают с табличными Vy.

Очевидно из сравнения графиков, представленных на рис. 4, что сплайновая интерполяция дает более гладкий и точный график интерполяционной функции.

Рис.4 - Кусочно-линейная и сплайновая интерполяция табличных данных Uвых = f(Uвх)

В) Аппроксимируем таблично заданную зависимость Uвых = f(Uвх) с помощью линейного и полиномиального регрессионного анализа.

Исходную табличную зависимость Uвых = f(Uвх) задаем векторами Vх = Uвх и Vy = Uвых (по 6 точек):

Задаем коэффициенты линии регрессии:

,

Задаем функцию регрессии:

Определяем коэффициент корреляции (связи) входного и выходного напряжений:

Определяем значения коэффициентов линии регрессии:

,

Задаем коэффициент полинома регрессии k(3), k(4), …:

Вид аппроксимирующего полинома будет иметь следующий вид:

Строим графики исходной зависимости, а также линейной и полиномиальной регрессии:

Рис.5 - Графики исходной зависимости, линейной регрессии и полиномиальной регрессии

Список использованных источников

1. Степанов А.Н. Информатика / А.Н. Степанов /учебник для вузов. 4-е изд. - СПб.: Питер, 2006. - 684 с.

2. Иопа Н.И. Информатика (для технических специальностей) / Иопа Н.И. /учебное пособие - М.: Кнорус, 2011. - 472 с.

3. Трусов П.В. Введение в математическое моделирование / П.В. Трусов /учебное пособие под ред. Трусова П.В. - М.: Логос. 2005. - 440 с.

4. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем / В.П. Тарасик /учебник для вузов. - Минск: Дизайн-Про, 2004. - 370 с.

5. Гурьяшова Р.Н. Информатика. Пакет MathCad / Р.Н. Гурьяшова, А.В. Шеянов / учебное пособие. - Н.Новгород: Изд. ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. - on-line. - (Единое окно доступа к образовательным ресурсам: http: //window.edu.ru/window_catalog/files/r72718/Paket%20MathCAD.pdf).

6. ГОСТ Р 21.1101-2009 «Система проектной документации для строительства. Основные требования к проектной и рабочей документации».

Размещено на Allbest.ru