Поисковые методы оптимизации. Алгоритмы поиска экстремума функции многих переменных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство Образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский Государственный технический университет

Кафедра АТФ

Лабораторная работа

"Поисковые методы оптимизации. Алгоритмы поиска экстремума функции многих переменных"

Выпонила: Абдикулова Гулим

Проверила: Маденова А.Е.

Караганда - 2015г.

 Поисковые методы оптимизации. Алгоритмы поиска экстремума функции многих переменных

Цель работы: Исследование и сопоставление различных модификаций метода наискорейшего спуска. Освоение пакета программ MathCad 7.0, в том числе возможность познакомиться с символьными преобразованиями и построением различных видов трехмерных графиков.

Исследование метода Ньютона

Попытайтесь найти минимум функции Розенброка алгоритмом, использующим производную по направлению. Сравните эффективность алгоритмов по числу шагов, необходимых для достижения минимума.

Используйте метод Ньютона для нахождения минимума функции, исследованной в предыдущем вычислительном эксперименте. Сравните эффективность алгоритмов по числу шагов, необходимых для достижения минимума.

Алгоритм поиска экстремума с шагом, не зависящим от свойств минимизируемой функции

Простейший вариант метода наискорейшего спуска рассмотрим на примере поиска минимума квадратической функции

двух переменных с оврагом, пологость которого определяется параметром .

При функция f(x,y) представляет собой круговой параболоид.

При параболоид становится эллиптическим, "вытягиваясь" вдоль оси x (при - вдоль оси y).

Свойства минимизируемой функции

Представление о функции легче всего получить по ее графику. Используем для этого средства MathCad. Необходимо провести следующие операции:

а) задаться значением параметра ;

б) задаться числом точек отсчета по осям x, y и пронумеровать эти точки;

в) определить формулу для расчета координат x и y по заданному номеру точек (иными словами, задать величины дискретных отсчетов , между точками);

г) только после этого записать формулу функции с использованием знака оператора присваивания - в виде

;

д) подготовить матрицу значений функции в точках дискретных отсчетов (она понадобится для вывода графика);

е) вывести трехмерный график;

ж) преобразовать график в чертеж линий равного уровня (проекций сечений поверхности f (x,y) плоскостями f (x,y)= const)

з) "поэкспериментировать" с графиком - изменяя , убедиться в появлении оврага.

Проделаем выше описанные операции.

- значение параметра, определяющего пологость оврага.

- точки отсчета по оси x;

- точки отсчета по оси y;

- расчет координаты x, соответствующей точке i, и координаты y, соответствующей точке j;

- формула для расчета квадратической функции;

- формула для вычисления точек f(x,y) по значениям дискретных аргументов (элементов [i j] матрицы M).

Формула, определяющая функцию Розенброка:

Эта функция имеет крайне пологий изогнутый овраг, что сильно затрудняет поиск минимума (значение аргументов в точке минимума очевидны: x* =1, y* = 0 (при этом f(x*,y*) = 0). Благодаря "неприятным" для методов поиска экстремума особенностям функция Розенброка часто используется для испытания сходимости различных алгоритмов и для их сравнения. программа розенброк символьный

Используем функцию Розенброка для сравнительных испытаний метода наискорейшего спуска и метода Ньютона.

Форма и свойства функции Розенброка.

- записываем формулу для последующего вывода на график;

- максимальное число отсчетов по осям x,y;

- номера отсчетов по осям;

- настроечные параметры для формул расчета

значений аргументов x,y по номерам точек i, j;

- формулы для расчета аргументов по номерам i, j;

- матрица значений функции Розенброка.

Форму оврага лучше всего увидеть по графику линий равного уровня. Преобразуйте график в эту форму и (предварительно отключив Numbered и AutoContur в Color&Lines, установите число уровней (No. of Contours) максимально большим (99)). Вы увидите на чертеже форму оврага (Рисунок 10).

Рисунок 10 - Форма оврага

Задание - 3 в Mathcad

Размещено на Allbest.ru