Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информатика»

«Автоматизация инженерных задач»

Введение

Многие инженерные задачи требуют решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). С появлением ВТ в математике активно развивается направление, связанное с реализацией методов решения таких задач с помощью ЭВМ, которое называют вычислительной математикой. Для решения инженерных задач на ЭВМ с использованием численных методов чаще всего применяются готовые программы обеспечения, например, MathCAD, MS Excel и другие.

Линейные системы имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним сводится приближенное решение широкого круга вычислительных задач вообще и инженерных задач в частности. Теория решения линейных систем достаточно хорошо разработана и во многих частях доведена до совершенства. Имеется большое число разнообразных программных средств для решения самых различных систем уравнений, в том числе плохо обусловленных, блочных, с разреженными матрицами и т.д.

Целью курсовой работы являются приобретение навыков автоматизации инженерных расчетов в табличном процессоре MS Excel.

Задачами курсовой работы являются:

1. Решить систему алгебраического уравнения итерационным и матричным методами.

2. Использовать MS Excel в решении системы.

1. Описание численных методов решения СЛАУ

1.1 Матричный метод

Пусть дана система линейных уравнений:

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матрицы столбцов:

Тогда, используя правило умножение матриц, эту систему уравнений можно записать так:

или

A·x = b. (1)

Равенство (1) называется матричным уравнением или системой уравнений в матричном виде.

Матрица А коэффициентов при неизвестных называется главной матрицей системы.

Иногда рассматривают также расширенную матрицу системы, т. е. главную матрицу системы, дополненную столбцом свободных членов, которую записывают в следующем виде:

Любую линейную систему уравнений можно записать в матричном виде. Например, пусть дана система:

Эта система из двух уравнений с тремя неизвестными - x, y,. В высшей математике можно рассматривать системы из очень большого числа уравнений с большим количеством неизвестных и поэтому неизвестные принято обозначать только буквой х, но с индексами:

Запишем эту систему в матричном виде:

Здесь главная матрица системы:

Расширенная матрица будет иметь вид:

Решения матричных уравнений.

Матричные уравнения решаются при помощи обратных матриц. Уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А - невырожденная (D ? 0), тогда существует обратная матрица А-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем А-1(АХ) = А-1В. Используя сочетательный закон умножения, перепишем это равенство в виде

(А-1А) Х = А-1В.

Поскольку А-1 А = Е и ЕХ = Х, находим:

Х = А-1В.

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1. Найти обратную матрицу А-1.

2. Найти произведение обратной матрицы А-1 на матрицу столбец свободных членов В, т. е А-1В.

Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

При этом собственно нахождение обратной матрицы - процесс достаточно трудоемкий и его программирование вряд ли можно назвать элементарной задачей. Поэтому на практике чаще применяют численные методы решения систем линейных уравнений.

К численным методам решения систем линейных уравнений относят такие как: метод Гаусса, метод Крамера, итеративные методы. В методе Гаусса, например, работают над расширенной матрицей системы. А в методе Крамера - с определителями системы, образованными по специальному правилу.

1.2 Метод простой итерации

Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы, подобно тому, как это делается для одного уравнения.

Для определенности ограничимся системой из четырех уравнений с четырьмя неизвестными (система четвертого порядка), которую запишем в виде:

Разрешим первое уравнение системы относительно х1:

х1 = (-a12/a11)х2-a13/a11х3-a14/a11х4-a15/a11.

Затем разрешим второе уравнение относительно х2 и т. д. Тогда систему можно переписать в виде:

где ? = -aik/aii, i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, 3, 4, 5.

Система является частным случаем записи вида:

При этом линейная функция L1 фактически не зависит от х1.

Зададим какие-либо начальные значения неизвестных (нулевые приближения):

х1(0), х2(0), х3(0), х4(0).

Подставляя эти значения в правые части системы (*), получим первые приближения:

Полученные первые приближения могут быть так же использованы для получения вторых, третьих и т. д. приближений. Т. е. можно записать:

система алгебраический уравнение матричный



Условия сходимости итерационного процесса.

Установим условия, выполнение которых обеспечит сходимость получающихся приближений к истинному (точному) решению системы х1, х2, х3, х4. Не вдаваясь в подробности, скажем, что для того чтобы итерационный процесс сходился к точному решению, достаточно, чтобы все коэффициенты системы были малы по сравнению с диагональными.

Это условие можно сформулировать и более точно:

Для сходимости процесса итераций достаточно, чтобы в каждом столбце сумма отношений коэффициентов системы к диагональным элементам, взятым из той же строки, была строго меньше единицы:

2. Прикладное ПО, применяемое для решения СЛАУ

Для решения инженерных задач на ЭВМ чаще всего применяют готовое программное обеспечение, например MathCAD, MS Excel и другие.

MathCAD - программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, снабженная простым в освоении и в работе графическим интерфейсом, которая предоставляет пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами. В среде Mathcad доступны более сотни операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения математических задач различной сложности.

Для автоматизации математических, инженерно-технических и научных расчётов используются разнообразные вычислительные средства - от программируемых микрокалькуляторов до сверхмощных суперЭВМ. И, тем не менее, такие расчёты для многих остаются сложным делом. Более того, применение компьютеров для расчётов внесло новые трудности: прежде чем начать расчёты, пользователь должен освоить азы алгоритмизации, изучить один или несколько языков программирования, а также численные методы расчётов. Положение существенно изменилось после выпуска специализированных программных комплексов для автоматизации математических и инженерно-технических расчётов.

К таким комплексам относятся пакеты программ Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive и др. Mathcad занимает в этом ряду особое положение.

Mathcad является интегрированной системой решения математических, инженерно-технических и научных задач. Он содержит текстовый и формульный редактор, вычислитель, средства научной и деловой графики, а также огромную базу справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в виде встроенного в Mathcad справочника, комплекта электронных книг и обычных «бумажных» книг, в том числе и на русском языке

Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментариями, и входящие в них математические выражения не выполняются. Текст может состоять из слов, математических символов, выражений и формул.

Формульный процессор обеспечивает естественный «многоэтажный» набор формул в привычной математической нотации (деление, умножение, квадратный корень, интеграл, сумма и т.д.). Последняя версия Mathcad полностью поддерживает буквы кириллицы в комментариях, формулах и на графиках.

Вычислитель обеспечивает вычисление по сложным математическим формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, интегралы, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, а также дифференциальные уравнения и системы, проводить минимизацию и максимизацию функций, выполнять векторные и матричные операции, статистический анализ и т.д. Можно легко менять разрядность и базу чисел (двоичная, восьмеричная, десятеричная и шестнадцатеричная), а также погрешность итерационных методов. Автоматически ведётся контроль размерностей и пересчёт в разных системах измерения (СИ, СГС, англо-американская, а также пользовательская).

В Mathcad встроены средства символьной математики, позволяющие решать задачи через компьютерные аналитические преобразования.

Графический процессор служит для создания графиков и диаграмм. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями средств деловой и научной графики. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение вида и размера графиков, наложение на них текстовых надписей и перемещение их в любое место документа.

Mathcad является универсальной системой, т.е. может использоваться в любой области науки и техники - везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе Mathcad на языке, очень близком к стандартному языку математических расчётов, упрощает постановку и решение задач.Mathcad интегрирован со всеми другими компьютерными системами счёта.

Mathcad позволяет легко решать такие задачи как:

§ ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчётов или создания документов, презентаций, Web-страниц или электронных и обычных «бумажных» книг);

§ проведение математических расчётов (как аналитических, так и при помощи численных методов);

§ подготовка графиков (как двумерных, так и трёхмерных) с результатами расчётов;

§ подготовка ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

§ отчетов работы в виде печатных документов;

§ подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;

§ получение различной справочной информации;

Назначение Microsoft Office Excel 2007.

Microsoft Office Excel нужен прежде всего тем людям, которые в своей работе имеют дело с цифрами, например бухгалтерам и научным работникам. Но этим не исчерпывается потенциал электронных таблиц. Практически во всех случаях, когда информация может быть представлена в табличном виде, Excel является незаменимым помощником. Любой пользователь, знающий возможности Ехсеl'я, всегда может найти ему применение в своей работе.

С помощью Ехсеl можно создавать, редактировать и печатать красиво оформленные таблицы. Благодаря встроенным в него математическим и логическим функциям, можно очень быстро выполнять разнообразные операции как над цифрами, так и над текстами, производить простые и сложные вычисления. Можно создавать всевозможные диаграммы, строить графики и т.п.

Причем таблицы Excel могут быть встроены во многие документы, в том числе и в документы текстового редактора Word.

Excel имеет огромные возможности и , несомненно, является одной из лучших программ своего класса. Однако его изучение и применение является полезным не только поэтому. Большую роль играет его распространенность. Эта программа установлена сегодня практически на любом компьютере. Получая откуда-либо файлы электронных таблиц, можно быть почти уверенным, что эти документы создавались в Ехсеl'е или, по крайней мере, могут быть прочитаны в нем. Именно поэтому умение использовать Excel является очень важным.

Первые версии Excel были созданы еще до появления операционных систем семейства Windows. Но и после этого Excel не остановился в своем развитии: были созданы версии 7.0,97,2000,2002,2003,2007, в каждой из которых появлялись новые возможности и совершенствовались имеющиеся, устранялись ошибки предыдущих версий. Microsoft Office Excel 2007 входит в состав пакета офисных программ Microsoft Office 2007 и, как правило, устанавливается вместе со всеми остальными программами пакета.

В настоящее время имеется большое количество книг по изучению работы с электронными таблицами. В них дается полное описание работы в таблицах, что создает трудности для начинающих, а если учесть и стоимость этих книг, то актуальность настоящего учебного пособия не вызывает сомнения.

Microsoft Excel является мощной и, одновременно, достаточно простой в использовании программой. Кроме больших возможностей работы в электронных таблицах, эта программа позволяет оперировать с несколькими листами, хранящимися в одном файле.

Excel может работать не только с текстами, числами, датами и другими данными, но и с графиками и диаграммами.

Запуск программы Excel.

Запустить программу для создания, просмотра и работы в электронной таблице можно несколькими способами. Стандартным запуском можно считать следующие действия:

1. Щелкните на кнопке Пуск в левом нижнем углу панели задач.

2. Раскройте меню Программы.

3. В раскрывшемся меню выберите пункт Microsoft Excel.

Если пользователь часто обращается к Microsoft Excel, то он, обычно, выносит его в виде ярлыка на Рабочий стол. Тогда запуск, электронной таблицы на выполнение, сводится только к установке курсора на этот ярлык, щелкнув на нем левой клавишей мышки.

Работа с формулами. Общие положения.

Числовая обработка внесенных данных в электронную таблицу (ЭТ) одна из главных задач Excel. ЭТ позволяет находить сумму рада чисел, производить вычитание, нахождение процента от общей суммы, строить различного вида графики и т.д.. Однако Excel позволяет производить вычисления по 320-ти функциям. Так, например, по названию товара, из прейскуранта, автоматически возвращается его стоимость и пересылается в указанную ячейку.

При создании, прежде всего, своих формул необходимо помнить ряд правил:

Формулы начинаются со знака равенства (=).

В формулу может входить до 1024-х символов (вряд ли Вам, когда либо, придется руководствоваться этим правилом, но надо помнить о нем !).

Результат вычисления отображается в указанной ячейке, а формула, по которой производилось вычисление, в строке формул.

Как Вы уже успели заметить, необходимо при составлении формул знать фактически не три, а два правила. При необходимости внесения в формулу ссылки на некоторую ячейку легче и, главное, надежнее вводить ее имя не с клавиатуры (возможны ошибки !), а установить курсор мышки на необходимую ячейку и нажать левую клавишу мышки имя ячейки автоматически введется в формулу.

Копирование формул.

Вы, наверное, при составлении формул уже убедились в том, что их составление достаточно трудоемкий процесс, даже при использовании мышки, при добавлении в нее ссылок на ячейки. А если таких формул, в процессе вычислений, потребуется несколько ? Затраты времени, на их создание, будут возрастать пропорционально их числу. Где же выход ? Копирование вот эффективный выход из создавшегося положения.

Для копирования формулы методом Автозаполнения можно использовать маркер заполнения (этот метод был описан в первой главе). При этом автоматически осуществляется последовательность создания, под вычисляемые строки (столбцы), формул. При копировании формул необходимо учитывать понятия относительных и абсолютных адресов ячеек. При необходимости копирования формулы в другую ячейку или группу ячеек (в этом случае Автозаполнение не годится), можно воспользоваться буфером обмена.

Относительные адреса ячеек появляются при копировании формул с автоматическим преобразованием ссылок на вычисление столбцов или строк таблицы. Так, например, в ячейке F7 записывается сумма строки «Покупка» (ячейки -В7 и С7), а при копировании этой формулы в ячейку F9, строка «Продажа», автоматически вычисляется сумма ячеек В9 и С9 с последующей записью результата в ячейку F9. То есть, имена ячеек В7 и С7, в написанной ранее формуле, автоматически заменились на В9 и С9

Но, иногда, необходимо зафиксировать один из адресов ячейки, тогда запись исходной формулы принимает вид, например:

=СУММ(А1:А4)$А$5

Здесь, $А$5 - фиксированное имя ячейки, так, при переходе на колонку с именем В, формула автоматически преобразуется в:

=СУММ(В1:В4)$А$5

При такой записи имени ячейки, с использованием знака «доллар» ($), называется абсолютным адресом ячейки.

Функция - это уже готовая сложная формула, по которой проводятся операции вычисления над группой данных определенного типа. Функции задаются с помощью формул, которые выполняют вычисления по заданным величинам, называемым аргументами, и в указанном порядке, называемом синтаксисом. Например, функция СУММ складывает значения или группы ячеек, а функция ППЛАТ вычисляет величину выплаты за один период годовой ренты на основе постоянных выплат и постоянной процентной ставки. Функцию можно вводить в ячейку самостоятельно или при помощи Мастера функций.

* Мастер функций позволяет использовать весь набор функций Excel, даже если вы точно не знаете их названия. Все функции организованы в группы (или категории), такие как Financial (Финансовые), Statistical (Статистические) и др. Мастер функций выводит краткое описание каждой функции, благодаря которому вы сможете выбрать нужную функцию. Кроме того, мастер функций помогает вводить аргументы функции и поясняет, для чего они нужны. При использовании мастера функций практически исключаются ошибки при записи формул в ячейки, кроме того, так удобнее вводить сложные функции с несколькими аргументами.

Для того, чтобы воспользоваться мастером функций необходимо:

1. Выделите ячейку, в которую нужно поместить функцию, и нажмите кнопку Вставка функции на стандартной панели инструментов.

2. В списке Категории функций открывшегося окна диалога укажите нужную категорию функции.

3. Выберите нужную вам функцию в списке Имя функции. В нижней части окна диалога появится описание выбранной функции. Прочитайте его и убедитесь, что функция выбрана правильно. Щелкните на кнопке ОК.

4. Под строкой формул появится окно -- так называемая палитра формул. Введите аргументы в соответствующие поля. Вы можете вводить значения или адреса ячеек вручную, а можете щелкать на нужных ячейках или выделять нужные диапазоны.

5. Щелкните на кнопке ОК, чтобы завершить ввод функции. Результат вычисления функции появится в ячейке.

КАТЕГОРИИ ФУНКЦИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В EXEL

Арифметические и тригонометрические функции позволяют производить простые и сложные математические вычисления, например вычисление суммы диапазона ячеек, вычисление суммы ячеек диапазона, удовлетворяющих указанному условию, округление чисел и прочее.

Например:

ФАКТР - возвращает факториал числа. Факториал числа - это значение, которое равно 1*2*3*...* число.

ФАКТР(число)

Число - это неотрицательное число, факториал которого вычисляется. Если число не целое, то производится отбрасывание дробной части.

МОПРЕД - возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

МОПРЕД(массив)

Массив - это числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

Массив может быть задан как интервал ячеек, например, A1:C3 или как массив констант, например {1;2;3:4;5;6:7;8;9}.

КОРЕНЬ - возвращает положительное значение квадратного корня.

КОРЕНЬ(число)

Число - это число, для которого вычисляется квадратный корень. Если число отрицательно, то функция КОРЕНЬ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

ABS - возвращает модуль (абсолютную величину) числа. Абсолютная величина числа - это число без знака.

ABS(число)

Число - это действительное число, абсолютную величину которого требуется найти.

ПИ - возвращает число 3,14159265358979, математическую константу с точностью до 15 цифр

3. Автоматизация решения СЛАУ

3.1 Постановка задачи

Решить систему линейных алгебраических уравнений 2-мя способами: матричным методом и методом простой итерации с точностью =0,01

3.2 Вычисление СЛАУ матричным методом

3.2.1 Традиционный способ решения СЛАУ

1. Запишите систему уравнений в матричной форме.

где

, ,

2. Сначала необходимо убедиться, что определитель матрицы не равен 0

3. Вычислите обратную матрицу

Находится обратная матрица по следующей формуле:

Где - определитель матрицы ,

- транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Порядок определения обратной матрицы:

1. Найдите определитель матрицы

2. Вычислить 9 миноров элементов матрицы и записать их в матрицу миноров

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Таким образом, матрица миноров

3. Найти матрицу алгебраических дополнений А

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца - четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба - нечетное число.

Таким образом, в матрице миноров необходимо сменить знаки строго у следующих элементов

В результате смены знака заданных элементов матрица алгебраических дополнений:

4. Найти транспонированную матрицу алгебраических дополнений

Транспонирование матрицы - это переход от матрицы к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Таким образом, транспонированная матрица алгебраических дополнений:

5. Найти обратную матрицу по формуле

Так как все элементы не делятся на , то обратную матрицу оставляем без изменений.

6. Найдите решения системы по формуле:

Таким образом,

3.2.2 Решение СЛАУ с помощью MS Excel

1. Переименуйте Лист1 в Матричный метод.

Запишите коэффициенты при неизвестных (а1, а2, а3) и свободные члены bi, т.е. сформируйте матрицу систему.

2. Найдите обратную матрицу с помощью функции МОБР().

а) Поместите курсор в ячейку С12:E14.

б) Перейдите на вкладку Формулы. В группе Библиотека функций из списка Математические выберите функцию МОБР().

МОБР (массив) - возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

Массив -- обязательный аргумент. Числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

в) В окне Аргументы функции в поле Массив введите диапазон ячеек, содержащий коэффициенты - С7:E9.



г) Нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

д) Результат выполненных операций

3. Для нахождения неизвестных необходимо умножить обратную матрицу на вектор свободных членов bi. Умножение матриц можно выполнить с помощью функции МУМНОЖ().

а) Выделите диапазон ячеек С17:С19.

б) Перейдите на вкладку Формулы. В группе Библиотека функций из списка Математические выберите функцию МУМНОЖ().

в) В окне Аргументы функции в поле Массив1 введите диапазон ячеек, содержащий коэффициенты - С12:E14, в поле Массив2 - вектор свободных членов bi - F7:F9.



г) Нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

д) Результат выполненных операций

3.3 Вычисления СЛАУ методом простой итерации

3.3.1 Традиционный способ решения СЛАУ

1. Проверьте условие сходимости

2. Приведите систему к нормальному виду, т.е. из первого уравнения выразите x1, из второго x2, из третьего x3.



3. Разделите первое уравнение на 200, второе на 400, третье на 600.

4. Выберите начальное приближение

5. Итерационный процесс

1-я итерация

Требуемая точность не достигнута

2-я итерация

Требуемая точность достигнута

Таким образом

3.3.2 Решение СЛАУ с помощью MS Excel

1. Переименуйте Лист2 в метод простых итераций.

2. Запишите коэффициенты при неизвестных (а1, а2, а3) и свободные члены bi, т.е. сформируйте матрицу систему.

3. В ячейки G2:G4 введите точное решение уравнений, используя ссылки на ячейки С17:С19 листа Матричный метод.

4. В ячейку E1 введите точность , равной 0,01.

Результаты выполненных действий

5. Проверьте условие сходимости с помощью функции ЕСЛИ

Результат вычислений

6. Введите в ячейки C19:E19 формулы, вычисляющие начальные приближения к точному значению x1, x2 x3, в ячейки C20:E20 - итерационные формулы, вычисляющие последовательные приближения к точному значению x1, x2, x3.

Результат вычислений

7. В ячейки G20:I20 введите формулы, вычислите критерии окончания итерационного процесса для x1, x2 и x3.

8. В ячейку K20 введите условие окончания итерационного процесса с помощью функции ЕСЛИ.

Результаты вычислений

9. Копируйте формулы итерационного процесса, критериев и условия окончания итерационного процесса до тех пор, пока критерии 1, 2 и 3 не достигнут значения, меньше заданного (=0,01).

Результаты вычислений

Заключение

Ещё совсем недавно основными инструментами инженера были калькулятор и чертёжная доска. Расчёты занимали немало рабочего времени. Например, большинство инженерных расчётов проводятся в нескольких приближениях, т.е. один и тот же алгоритм вычислений повторяется несколько раз, но каждый раз с новыми, уточнёнными данными. Инженер вынужден был повторять на калькуляторе вычислительные операции каждого приближения снова и снова. Выполнение чертежей также было нелегким занятием. За кульманом (большая чертёжная доска с закреплённой на ней рейсшиной) как правило, работали стоя, что приводило к возникновению профессиональных болезней. Так как чертежи выполнялись при помощи карандашей различной твёрдости или туши, то неосторожное движение рукой приводило к появлению на чертежах грязных разводов и смазанных линий. В современных условиях рыночной экономики, такой подход, несомненно, не позволит предприятию быть конкурентоспособным и получать прибыль. При размещении заказа на выполнение проектных работ одним из основных критериев является минимальное время выполнения проекта. Автоматизация инженерной работы (расчётов, выполнения чертежей и текстовых документов) позволяет сократить время выполнения проекта в несколько раз. Для этого требуется оборудовать место работы инженера персональным компьютером и установить на него соответствующее программное обеспечение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.В. Голышева, В.Н. Корнеев. Excel 2007 "без воды". Все, что нужно для уверенной работы. -СПб.: Наука и Техника, 2008. -192 с.: ил.

2. Ю. В. Васильков, Н. М. Василькова. Компьютерные технологии вычислений: Учеб. Пособие. - М.: Финансы и статистика, 2012. - 256с.: ил.

3. В. В. Трофимова. Информатика. Издательства «Юрайт», «ИД Юрайт», 2011. - 911с.: ил.

4. Н. А. Лизунова, С. П. Шкроба. Матрицы и системы линейных уравнений. 2007. - 352с.: ил.

5. Е. А. Веденеева. Функции и формулы Excel 2007. Библиотека пользователя. - СПб.: Питер, 2009. - 384с.: ил. - (Серия «Библиотека пользователя»).

6. А. Г. Днепров. Видеосамоучитель Excel 2007 (+ CD) - СПб. [и др.] : Питер, 2007. - 202 с. ; 24 см. + 1 электрон. опт. диск. - (Очевидное обучение) (Видеосамоучитель).

7. И. Киреев, А. В. Пантелеев. Численные методы в примерах и задачах.: Учеб. Пособие - 3-е изд. стер. - М.: Высш. шк., 2008. - 480с.: ил.

8. Симонович С.В. и др. Информатика Базовый курс: Учеб, для технических вузов. СПБ: Изд. «Питер», 2007.-640с

9. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. "Практикум по информатике" - М.: Изд. центр "Академия", 2011.

10. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. "Информатика. Учебное пособие" - М.: Изд. центр "Академия", 2008.

11. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. "Информатика. Учебное пособие для студентов педагогических вузов" - М.: Изд. центр "Академия", 2008.

12. Могилев А.В., Хеннер Е.К., Пак Н.И. Информатика. М.: Изд. центр Академия 2008

13. Степанов А.Н. Информатика для студентов гуманитарных специальностей. - СПб.: Питер, 2009

14. Турецкий В.Я. Математика и информатика М.: Инфра-М, 2008

15. Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев: Учеб. для вузов. - М.: Гардарики, 2010.

Размещено на Allbest.ur