Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

по дисциплине Информатика

Тема: Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Введение

Целью курсовой работы является углубление знаний по информатике, развитие и закрепление навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel и применение их для решения задач с помощью ЭВМ из предметной области, связанной с исследованиями.

В каждом задании формулируются условия задачи, исходные данные, форма выдачи результатов, указываются основные математические зависимости для решения задачи. В соответствии с методом решения задачи разрабатывается алгоритм решения, который представляется в графической форме. Разработанная программа проходит этап отладки, в процессе которого обнаруживаются ошибки, допущенные при составлении алгоритма и написании программы. Контрольный расчет позволяет убедится в правильности работы программы.

_{1. Постановка задачи}

excel электронный алгоритм аппроксимация

1. Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную таблично аппроксимировать

;

;

.

2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности, общую, факторную и остаточную дисперсию на одну степень свободы.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

4. Для каждой зависимости построить линию тренда.

5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики зависимости от .

6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.

7. Для каждой зависимости провести оценку значимости уравнения регрессии в целом по критерию Фишера при уровне значимости .

8. Для каждой зависимости провести оценку параметров, входящих в уравнение регрессии, по критерию Стьюдента при уровне значимости .

9. Написать программу на одном из языков программирования и сравнить результаты счета с полученными выше.

10. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .

Вариант 8. Функция задана табл. 1.

Таблица 1

X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
0.66	3,87	8.98	44.54	16.22	82.43	20.53	100.76	23.05	116.65
1,34	6,78	10.45	51.87	17.11	85.56	20.97	104.32	23.54	117.71
3.87	17.56	11.88	59.45	18.43	90.45	21.34	106.54	24.29	120.52
5.65	26.65	13.78	70,56	19.56	92.34	21.98	109.78	24.79	121.76
6,99	37.87	15.02	72.86	20.32	96.85	21.41	111.87	25.43	128.75

_{2. Расчётные формулы}

Часто при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате опыта или измерений.

Хi (независимая величина) задается экспериментатором, а yi , называемая эмпирическими или опытными значениями получается в результате опыта.

Аналитический вид функциональной зависимости, существующей между величинами x и y обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу

, (1)

(где - параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

(2)

Будет минимальной.

Используя необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных, находят набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции, определяемой формулой (2) и получают нормальную систему для определения коэффициентов :

(3)

Таким образом, нахождение коэффициентов сводится к решению системы (3).

Вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости система (3) примет вид:

(4)

В случае квадратичной зависимости система (3) примет вид:

 (5)

В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которую неопределенные коэффициенты входят не линейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость

(6)

где a1и a2 неопределенные коэффициенты.

Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (6), после чего получаем соотношение

(7)

Обозначим и соответственно через и , тогда зависимость (6) может быть записана в виде

,

что позволяет применить формулы (4) с заменой a1 на и на .

График восстановленной функциональной зависимости y(x) по результатам измерений (xi, yi), i=1,2,…,n называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

(8)

где - среднее арифметическое значение соответственно по x, y.

Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе к 1, тем теснее линейная связь между x и y.

В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.

Корреляционное отношение вычисляется по формуле:

(9)

где

а числитель характеризует рассеяние условных средних около безусловного среднего.

Всегда. Равенство = соответствует случайным некоррелированным величинам; = тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между x и y. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.

Коэффициент детерминированности определяется по формуле:

(10)

где Sост =

остаточная сумма квадратов, характеризующая отклонение экспериментальных данных от теоретических.

Sполн - полная сумма квадратов, где среднее значение yi.

- регрессионная сумма квадратов, характеризующая разброс данных.

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности r2, который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.

Коэффициент детерминированности служит показателем тесноты связи между независимой переменной и предиктом. Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока)

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы (df- degrees of freedom), т.е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Поскольку при заданном объеме наблюдений по X и Y регрессионная сумма квадратов при линейной регрессии составляет n-2. Число степеней свободы для общей суммы квадратов определяется числом единиц, и поскольку мы используем среднюю вычисленную по данным выборки, то теряем одну степень свободы, т.е.

Итак, имеем два равенства:

(11)

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что то же самое, дисперсию на одну степень свободы D.

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к справедливому виду. Сопоставляя регрессионную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-отношения (F-критерий):

где F - критерий для проверки нулевой гипотезы H0:

Если нулевая гипотеза справедлива, то регрессионная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для H0 необходимое опровержение, чтобы регрессионная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F- отношения признается достоверным, если оно больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи: Fфакт >Fтабл. H0 отклоняется.

Если же величина окажется меньше табличной Fфакт <Fтабл , то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня (например 0,05) и она не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статически незначимым. H0 не отклоняется.

Для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F - критерию Фишера F вычисляют через коэффициент детерминированности по формуле:

где - коэффициент детерминированности; n- число наблюдений; m - число параметров при переменных Х.

Величина m характеризует число степеней свободы для факторной суммы квадратов, а (n-m-1) - число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

Для линейной и экспоненциальной функций формула F - критерия примет вид:

Для параболы формула F - критерия примет вид :

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка sa1 и sa2.

Стандартная ошибка коэффициентов регрессии a2 определяется по формуле

Величина стандартной ошибки совместно с t- распределением Стьюдента при n-2 степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии a2 и для расчета его доверительных интервалов.

Для оценки существенности коэффициента регрессии a2 его величина сравняется с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t - критерия Стьюдента:

,

которая затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости a и числе степеней свободы n-2.

Стандартная ошибка параметра а1 определяется по формуле:

Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренного выше для коэффициента регрессии а2;

Вычисляется t-критерий:

,

его величина сравнивается с табличным значением при df=n-2 степенях свободы.

3. Расчёт с помощью таблиц, выполненных средствами Microsoft Excel

Для проведения расчётов, данные целесообразно расположить в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Excel.

Таблица 2

y	x
3,87	0,66	0,4356	2,5542	0,287496	0,189747	1,685772	1,353255	0,893147975
6,78	1,34	1,7956	9,0852	2,406104	3,224179	12,17417	1,913977	2,564729317
17,56	3,87	14,9769	67,9572	57,9606	224,3075	262,9944	2,865624	11,08996329
26,65	5,65	31,9225	150,5725	180,3621	1019,046	850,7346	3,282789	18,5477587
37,87	6,99	48,8601	264,7113	341,5321	2387,309	1850,332	3,634159	25,4027731
44,54	8,98	80,6404	399,9692	724,1508	6502,874	3591,723	3,796388	34,0915612
51,87	10,45	109,2025	542,0415	1141,166	11925,19	5664,334	3,948741	41,26433915
59,45	11,88	141,1344	706,266	1676,677	19918,92	8390,44	4,085136	48,5314112
70,56	13,78	189,8884	972,3168	2616,662	36057,6	13398,53	4,256463	58,65406581
72,86	15,02	225,6004	1094,357	3388,518	50895,54	16437,25	4,28854	64,41386767
82,43	16,22	263,0884	1337,015	4267,294	69215,51	21686,38	4,411949	71,56182005
85,56	17,11	292,7521	1463,932	5008,988	85703,79	25047,87	4,449218	76,126118
90,45	18,43	339,6649	1666,994	6260,024	115372,2	30722,69	4,504797	83,02341261
92,34	19,56	382,5936	1806,17	7483,531	146377,9	35328,69	4,525477	88,51833828
96,85	20,32	412,9024	1967,992	8390,177	170488,4	39989,6	4,573163	92,92668008
100,76	20,53	421,4809	2068,603	8653,003	177646,1	42468,42	4,612741	94,699582
104,32	20,97	439,7409	2187,59	9221,367	193372,1	45873,77	4,647463	97,45730117
106,54	21,34	455,3956	2273,564	9718,142	207385,2	48517,85	4,668521	99,6262275
109,78	21,98	483,1204	2412,964	10618,99	233405,3	53036,96	4,698478	103,2725544
111,87	22,41	502,2081	2507,007	11254,48	252213	56182,02	4,717337	105,715533
116,65	23,05	531,3025	2688,783	12246,52	282282,3	61976,44	4,759178	109,6990529
117,71	23,54	554,1316	2770,893	13044,26	307061,8	65226,83	4,768224	112,2439923
120,52	24,29	590,0041	2927,431	14331,2	348104,8	71107,29	4,791816	116,3932037
121,76	24,79	614,5441	3018,43	15234,55	377664,5	74826,89	4,802052	119,0428665
128,75	25,43	646,6849	3274,113	16445,2	418201,4	83260,68	4,857873	123,5356987
cуммы
1978,3	398,59	7774,071	38581,31	162307,4	3513428	805712,6	103,2134	1799,295999

Аппроксимируем функцию линейной функцией . Для определения коэффициентов и воспользуемся системой (4). Используя итоговые суммы таблицы 2, запишем систему (4) в виде

(11)

решив которую, получим и .

Систему решали методом Крамера. Суть которого состоит в следующем. Рассмотрим систему n алгебраических линейных уравнений с n неизвестными:

(12)

Определителем системы называется определитель матрицы системы:

(13)

Обозначим - определитель, который получится из определителя системы Д заменой j-го столбца на столбец

 (14)

Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид

(15)

Решение системы (11) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 3.

Таблица 3

	A	B	C	D	E
31	25	398,59	1978,3	линейная аппроксимация
32	398,59	7774,071	38581,31
33
34	Обратная матрица
35	0,219125	-0,01123492		a1=	0,037215
36	-0,011235	0,00070467		a2=	4,960911

Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией

.

Для определения коэффициентов a1, a2 и a3 воспользуемся системой (5). Используя итоговые суммы таблицы 2, запишем систему (5) в виде

(16)

решив которую, получим a1=0.506195, и

Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид

(17)

Решение системы (16) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 4.

Таблица 4

	A	B	C	D	E	F
38	25	398,59	7774,071	1978,3	квадратичная аппоксимация
39	398,59	7774,071	162307,4	38581,31
40	7774,071	162307,4	3513428	805712,6
41
42	обратная матрица
43	0,4631255	-0,06619145	0,002033		a1=	0,506195
44	-0,066191	0,01308259	-0,00046		a2=	4,855282
45	0,0020331	-0,00045791	1,69E-05		a3=	0,003908

Теперь аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов и прологарифмируем значения и, используя итоговые суммы таблицы 2, получим систему

(18)

где .

Решив систему (18), получим и .

После потенцирования получим .

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид

(19)

Решение системы (18) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 5.

Таблица 5

	A	B	C	D	E
47	25	398,59	103,2134	экспоненциальная аппроксимация
48	398,59	7774,071	1799,296
49
50	обратная матрица			с=	2,402
51	0,219	-0,011		а2=	0,108
52	-0,011	0,001		а1=	11,04

Вычислим среднее арифметическое и по формулам:

; .

Результаты расчета и средствами Microsoft Excel представлены в

таблице 6.

Таблица 6

	A	B
54	xср	15,9436
55	уср	79,132

Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7, которая является продолжением таблицы 2.

Таблица 7

1150,274	233,588	5664,369	0,312	0,025	63,842	1,353	7,702	1,254
1056,6	213,265	5234,812	0,009	0,057	35,839	1,914	4,904	0,401
743,396	145,772	3791,111	2,809	3,221	0,591	2,866	1,595	0,002
540,229	105,958	2754,36	2,006	1,997	39,546	3,283	0,715	0,072
369,443	80,167	1702,553	9,960	10,462	205,297	3,634	0,244	0,226
240,885	48,492	1196,606	0,002	0,014	235,185	3,796	0,110	0,178
149,767	30,180	743,217	8E-05	0,040	310,655	3,949	0,032	0,172
79,980	16,513	387,381	0,228	0,506	379,032	4,085	0,002	0,157
18,546	4,681	73,479	4,672	5,789	459,817	4,256	0,016	0,131
5,793	0,853	39,338	2,856	2,114	278,333	4,289	0,026	0,068
0,912	0,076	10,877	3,713	4,593	340,634	4,412	0,080	0,064
7,498	1,360	41,319	0,412	0,699	228,387	4,449	0,103	0,038
28,141	6,182	128,097	1,034	0,751	84,184	4,505	0,142	0,011
47,765	13,078	174,451	22,398	21,442	0,234	4,525	0,158	3E-05
77,541	19,153	313,928	15,944	15,437	8,337	4,573	0,198	0,001
99,195	21,035	467,770	1,265	1,1495	1,618	4,613	0,234	0,0002
126,605	25,265	634,435	0,064	0,079	7,247	4,647	0,269	0,0006
147,905	29,121	751,198	0,406	0,413	23,499	4,669	0,292	0,0020
185,004	36,438	939,300	0,493	0,445	92,210	4,698	0,325	0,007
211,697	41,814	1071,777	0,434	0,353	174,349	4,717	0,347	0,012
266,618	50,501	1407,6	5,125	4,637	302,814	4,759	0,398	0,019
293,054	57,705	1488,262	0,797	0,555	559,230	4,768	0,409	0,034
345,441	69,662	1712,967	0,0003	0,051	1075,847	4,792	0,440	0,058
377,104	78,259	1817,146	1,583	2,280	1607,371	4,802	0,454	0,081
470,696	89,992	2461,946	6,537	5,049	1999,813	4,858	0,532	0,089
суммы
7040,087	1419,112	35008,3	83,058	82,158	8513,913	103,213	19,727	3,079

Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле (8) (только для линейной аппроксимации) и коэффициента детерминированности по формуле (10). Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8.

Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим, что они полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то , что вычисления верны.

Примечание: Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности не совпадает с истинным значением (это значение было сосчитано вручную выше) ибо при преобразовании в линейную форму рассчитывается линейный коэффициент корреляции между Х и логарифмом Y, т.е. заменяется на и заменяется на Вычисление уточненного коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости приведено в таблице 9.

Таблица 8

	A	B
62	Уточненный	0,8439

_{4. Результаты, полученные с помощью функции ЛИНЕЙН}

Рассмотрим назначение функции ЛИНЕЙН.

Эта функция использует метод наименьших квадратов, чтобы вычислить прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные.

Функция возвращает массив, который описывает полученную прямую. Уравнение для прямой линии имеет следующий вид:

y = m1x1 + m2x2 +... + b или y = mx + b,

где зависимое значение y является функцией независимого значения x. Значения m - это коэффициенты, соответствующие каждой независимой переменной x, а b - это постоянная. Заметим, что y, x и m могут быть векторами.

Для получения результатов необходимо создать табличную формулу, которая будет занимать 5 строк и 2 столбца. Этот интервал может располагаться в произвольном месте на рабочем листе. В этот интервал требуется ввести функцию ЛИНЕЙН.

В результате должны заполниться все ячейки интервала А66:В70 (как показано в таблице 10).

Таблица 9

	A	B
66	4,9609107	0,03722387
67	0,050445	0,88955406
68	0,9976275	1,90031847
69	9671,3399	23
70	34925,242	83,057837

Поясним назначение некоторых величин, расположенных в таблице 10.

Величины, расположенные в ячейках А66 и В66 характеризуют соответственно наклон и сдвиг.

A68 - коэффициент детерминированности.

A69 - F-наблюдаемое значение.

B69 - число степеней свободы.

A70- факторная сумма квадратов.

B70- остаточная сумма квадратов.

_{Представление результатов в виде графиков}



Рис. 1 График линейной аппроксимации

Рис. 2 График квадратичной аппроксимации



Рис. 3 График экспоненциальной аппроксимации

_{5. Оценка значимости линейной аппроксимации}

Оценку зависимости коэффициента детерминированности проводим по F-критерию Фишера, используя формула (17), а оценку параметров a1 и а2 по t-критерию Стьюдента, используя формы (20) и (19). Результаты приведены в табл.11.

Таблица 10

	D	E	F	G	H	I	J
65			Fтабл=	4,28	Fлин>Fтабл
66	dобщ	1458,679	Fлин=	9671,34	tтабл	2,7969
67	dфакт	34925,24	sa1=	0,889554	ta1=	0,041835587	ta1<tтаб
68	dост	3,61121	sa2	0,050445	ta2=	98,34298157	ta2>tтаб

Заметим, что значения стандартных ошибок параметров a1 и а2, вычисленные в ячейках F67 и F68, совпадают с данными значениями, вычисленными при помощи функции ЛИНЕЙН (они находятся в ячейках B67 и A67 табл.10), что свидетельствует о правильности вычислений.

Имеем следующие неравенства:

Значит гипотеза H0 не принимается, т.е. коэффициент детерминированности значим.

Значит гипотеза H0 принимается, т.е. коэффициент а1 не значим.

Значит гипотеза H0 не принимается, т.е. коэффициент а2 значим.

_{Получение числовых характеристик квадратичной зависимости}

Таблица 11

	A	B	C
72	0,0039038	4,85538586	0,505743
73	0,0079538	0,22103796	1,315125
74	0,9976532	1,93247647	#Н/Д
75	4676,1904	22	#Н/Д
76	34926,142	82,1582368	#Н/Д

В ячейках A72:C76 введена формула

{=ЛИНЕЙН(A3:A27;B3:C27;;ИСТИНА)}.

Назначение величин, расположенных в клетках табл.12, ясно из общей табл.10.

_{6. Оценка значимости квадратичной аппроксимации}

Оценку зависимости коэффициента детерминированности проводим по F-критерию Фишера, используя формула (18), а оценку параметров a1 и а2 и а3 по t-критерию Стьюдента, используя данные таблицы 12. Результаты приведены в табл.13.

Таблица 12

	D	E	F	G	H	I	J
72	Fтабл=	4,3	Fквадр	4676,19	Fкв>Fтаб	tтабл=	2,8073
73	dобщ	1458,679	sa1=	1,315125	ta1=	0,000108249	ta1<tтаб
74	dфакт	34926,14	sa2=	0,221038	ta2=	3,6918777	ta2>tтаб
75	dост	3,734465	sa3=	0,007954	ta3=	0,017678503	ta3<tтаб

• Имеем следующие неравенства:
• Значит гипотеза H0 отвергается, т.е. коэффициент детерминированности значим.
• Значит гипотеза H0 принимается, т.е. коэффициент а1 не значим.
• Значит гипотеза H0 отвергается, т.е. коэффициент а2 значим.
• Значит гипотеза H0 принимается, т.е. коэффициент а3 не значим.

_{7. Получение числовых характеристик экспоненциальной зависимости}

Таблица 13

	A	B
79	1,1143928	11,0418077
80	0,009713	0,17127974
81	0,8439045	0,365898
82	124,3457	23
83	16,64757	3,07927091

В ячейках A79:B83 введена формула {

=ЛГРФПРИБЛ(A3:A27;B3:B27;;ИСТИНА.)}.

Сравнивая значения коэффициентов, полученных вручную с табличными, видим отличие в значении а2 (он вычислен в ячейке A78). Это связано с тем, что функция ЛГРФПРИБЛ возвращает параметры для соотношения , а мы строим аппроксимацию вида . То есть . Отсюда следует, что .

В ячейке А78 введена формула

= LN(A78).

_{7. Оценка значимости экспоненциальной аппроксимации}

Оценку зависимости коэффициента детерминированности проводим по F-критерию Фишера, используя формула (17), а оценку параметров a1 и а2 по t-критерию Стьюдента, используя данные таблицы 14. Результаты приведены в табл.16.

Таблица 14

	D	E	F	G	H	I	J
78			Fтабл=	4,28	Fэк>Fтаб
79	dобщ	0,821952	Fэксп=	124,3457	tтабл=	2,8073
80	dфакт	16,64757	sa1	0,17128	ta1=	64,46706973	ta1>tтаб
81	dост	0,133881	sa2=	0,009713	ta2=	11,15099538	ta2>tтаб

Значит гипотеза H0 отвергается, т.е. коэффициент детерминированности значим.

Значит гипотеза H0 отвергается, т.е. коэффициент а1 значим.

Значит гипотеза H0 отвергается, т.е. коэффициент а2 значим.

Вывод: Лучше всего функцию, заданную табл.1 аппроксимирует линейная функция (15): , т.к. не смотря на то, что коэффициент детерминированности квадратичной аппроксимации значим, но он меньше, чем у линейной зависимости и коэффициент квадратичной зависимости при не значим, и она фактически сводится к линейной. У экспоненциальной аппроксимации коэффициент детерминированности значим, но он меньше, чем у линейной зависимости. Полученные соотношения являются простыми и пригодными для анализа и прогноза. Значения числовых характеристик вычислялись различными способами, и все результаты совпали, что свидетельствует об их правильности.

_{8. Программа расчета на языке программирования Turbo Pascal}

{апроксимация функции}

program kursovik;

uses crt;

{описание констант}

const

m=25;

{создание новых переменных mas, mas2, mas3}

type mas=array[1..2,1..m] of real;

mas2=array[1..2,1..2] of real;

mas3=array[1..3,1..3] of real;

{описание переменных}

var

i,k:integer;

a:mas;

aprlin,A1aprlin,A2aprlin,caprexp,A1aprexp,A2aprexp,

aprstep,A2aprstep,uaprstep:mas2;

aprkvad,A1aprkvad,A2aprkvad,A3aprkvad:mas3;

f:text;

t,h,x,x2,x3,x4,xy,x2y,y,ly,xly,lx,lx2,lxly,A1lin,A2lin,

A1kvad,A2kvad,A3kvad,cexp,A1exp,A2exp,A1step,A2step,ustep,

q,q1,q2,q3,ysr,R,R1,R2,R3,w:real;

{подпрограмма вычисления определителя второго порядка}

function opr2(mat:mas2):real;

var

resultat:real;

begin

resultat:=mat[1,1]*mat[2,2]-mat[1,2]*mat[2,1];

opr2:=resultat;

end;

{подпрограмма вычисления определителя третьего порядка}

function opr3(mat:mas3):real;

var

s1,s2,s3,s4,s5,s6,resultat:real;

begin

s1:=mat[1,1]*mat[2,2]*mat[3,3];

s2:=mat[1,3]*mat[2,1]*mat[3,2];

s3:=mat[3,1]*mat[1,2]*mat[2,3];

s4:=mat[1,3]*mat[2,2]*mat[3,1];

s5:=mat[3,3]*mat[1,2]*mat[2,1];

s6:=mat[1,1]*mat[3,2]*mat[2,3];

resultat:=s1+s2+s3-s4-s5-s6;

opr3:=resultat;

end;

{ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА}

begin

{установление соответствия между файловой переменной f и файлом

zi.txt}

assign(f,'F:\zi.txt');

{открытие f для чтения}

reset(f);

{ввод исходных данных}

read(f);

for i:=1 to 2 do

for k:=1 to m do read(f,a[i,k]);

{освобождение файловой переменной f}

close(f);

{установление соответствия между файловой переменной f и zin.txt}

assign(f,'F:\zin.txt');

{создание и открытие файла zin.txt для записи}

rewrite(f);

{введение начальных значений}

x:=0;y:=0;x2:=0;x3:=0;x4:=0;xy:=0;x2y:=0;ly:=0;xly:=0;lx:=0;lx2:=0;

lxly:=0;ysr:=0;

for k:=1 to m do

begin

{вычисление сумм}

x:=x+a[1,k];

y:=y+a[2,k];

x2:=x2+a[1,k]*a[1,k];

x3:=x3+a[1,k]*a[1,k]*a[1,k];

x4:=x4+a[1,k]*a[1,k]*a[1,k]*a[1,k];

xy:=xy+a[1,k]*a[2,k];

x2y:=x2y+a[1,k]*a[1,k]*a[2,k];

ysr:=y/m;

end;

{линейная апрксимация}

begin

aprlin[1,1]:=m;

aprlin[1,2]:=x;

aprlin[2,1]:=x;

aprlin[2,2]:=x2;

A1aprlin:=aprlin;

A1aprlin[1,1]:=y;

A1aprlin[2,1]:=xy;

A2aprlin:=aprlin;

A2aprlin[1,2]:=y;

A2aprlin[2,2]:=xy;

A1lin:=opr2(A1aprlin)/opr2(aprlin);

A2lin:=opr2(A2aprlin)/opr2(aprlin);

q:=0;

w:=0;

R:=0;

for k:=1 to m do

begin

{вычисление суммы квадратов отклонений}

q:=q+sqr((A1lin+A2lin*a[1,k])-a[2,k]);

w:=w+sqr(a[2,k]-ysr);

end;

{вычисление коэффициента детерминированности}

R:=(1-(q/w));

{вывод полученных данных}

writeln(f,'koificient lineinoi approksimacii:');

writeln(f,' A1=',A1lin:7:2);

writeln(f,' A2=',A2lin:7:2);

writeln(f,' summa kvadrdtov otklonenii');

writeln(f,' q=',q:7:2);

writeln(f,' koeificient determinirovansti:');

writeln(f,' R=',R:7:2);

end;

{квадратичная апроксимация}

begin

aprkvad[1,1]:=m;

aprkvad[1,2]:=x;

aprkvad[1,3]:=x2;

aprkvad[2,1]:=x;

aprkvad[2,2]:=x2;

aprkvad[2,3]:=x3;

aprkvad[3,1]:=x2;

aprkvad[3,2]:=x3;

aprkvad[3,3]:=x4;

A1aprkvad:=aprkvad;

A1aprkvad[1,1]:=y;

A1aprkvad[2,1]:=xy;

A1aprkvad[3,1]:=x2y;

A2aprkvad:=aprkvad;

A2aprkvad[1,2]:=y;

A3aprkvad[2,3]:=xy;

A3aprkvad[3,3]:=x2y;

A1kvad:=opr3(A1aprkvad)/opr3(aprkvad);

A2kvad:=opr3(A2aprkvad)/opr3(aprkvad);

A3kvad:=opr3(A3aprkvad)/opr3(aprkvad);

q1:=0;

R1:=0;

for k:=1 to m do

begin

{вычисление суммы квадратов отклонений}

q1:=q1+sqr((A1kvad+A2kvad*a[1,k]+A3kvad*a[1,k]*a[1,k])-a[2,k]);

end;

{вычисление коэффициента детерминированности}

R1:=(1-(q1/w));

{вывод полученных данных}

writeln(f,'koeificient dlia kvadrotichnoi approksimacii:');

writeln(f,' A1=',A1kvad:7:2);

writeln(f,' A2=',A2kvad:7:2);

writeln(f,' A3=',A3kvad:7:2);

writeln(f,' summa kvadrdtov otklonenii:');

writeln(f,' q=',q1:7:2);

writeln(f,' koefficient determinirovanosti:');

writeln(f,' R=',R1:7:2);

end;

{показательная апроксимация}

t:=m;

h:=m;

begin

for k:=1 to m do

{проверка условия при котором она возможна}

if a[2,k]<0 then h:=h-1;

if h<m then writeln(f,'pokazatelnaia approasimacia nevozmozhna') else

begin

for k:=1 to m do

begin

{расчет сумм}

ly:=ly+ln(a[2,k]);

xly:=xly+a[1,k]*ln(a[2,k]);

end;

caprexp:=aprlin;

caprexp[1,1]:=ly;

caprexp[2,1]:=xly;

A2aprexp:=aprlin;

A2aprexp[1,2]:=ly;

A2aprexp[2,2]:=xly;

cexp:=opr2(caprexp)/opr2(aprlin);

A1exp:=exp(cexp);

A2exp:=opr2(A2aprexp)/opr2(aprlin);

q2:=0;

R2:=0;

for k:=1 to m do

begin

{вычисление суммы квадратов отклонений}

q2:=q2+sqr(A1exp*exp(A2exp*a[1,k])-a[2,k]);

end;

{вычисление коэффициента детерминированности}

R2:=(1-(q2/w));

{вывод полученных данных}

writeln(f,'koefficienti dlia pokazatelnoi approksimacii:');

writeln(f,' A1=',A1exp:7:2);

writeln(f,' A2=',A2exp:7:2);

writeln(f,' summa kvadrdrov koefficientov:');

writeln(f,' q=',q2:7:2);

writeln(f,' koefficient determinirovanisti:');

writeln(f,' R=',R2:7:2);

{степенная апроксимация}

for k:=1 to m do

{проверка условия при котором она возможна}

if a[1,k]<0 then t:=t-1;

if t<m then writeln(f,'stepenaia approksimacia nevozmoshna') else

begin

for k:=1 to m do

begin

{расчет сумм}

lx:=lx+ln(a[1,k]);

lx2:=lx2+ln(a[1,k])*ln(a[1,k]);

lxly:=lxly+ln(a[1,k])*ln(a[2,k]);

end;

end;

end;

close(f);

end;

end.

_{Файл вывода данных}

_koificient lineinoi approksimacii:

_A1= 0.04

_{A2= 4.96}

_{summa kvadrdtov otklonenii}

_{q= 83.46}

_{koeificient determinirovansti:}

_{R= 1.00}

_{koeificient dlia kvadrotichnoi approksimacii:}

_{A1= 0.51}

_{A2= 4.85}

_{A3= 0.00}

_{summa kvadrdtov otklonenii:}

_{q= 82.55}

_{koefficient determinirovanosti:}

_{R= 1.00}

_{koefficienti dlia pokazatelnoi approksimacii:}

_{A1= 11.04}

_{A2= 0.11}

_{summa kvadrdrov koefficientov:}

_q=8512.65

_koefficient determinirovanisti:

_R= 0.76

_Выводы

Сделаем выводы по результатам полученных данных.

1. Анализ результатов расчетов показывает, что линейная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные, т.к. линия тренда для неё наиболее точно отражает поведение функции на данном участке.

2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН, видим, что они совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то, что вычисления верны.

3. Результаты, полученные с помощью программы на языке PASCAL, совпадают со значениями приведенными выше. Это говорит о верности вычислений.

Список используемой литературы

Б.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики. М: Государственное издательство физико-математической литературы.

С.А Немнюгин Учебник по Turbo Pascal. М:Питер, 2000.

Леонтьев В.П. Новейшая энциклопедия персонального компьютера 2001. М:Олма-Пресс, 2000г.

Информатика.Аппроксимация методом наименьших квадратов: Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов всех специальностей специальностей/ СПГГИ(ТУ), под ред.Господарикова А.П., Прудинского Г.А.,СПб, 2005.

Правила оформления курсовых и квалификационных работ:Методические указания/СПГГИ(ТУ),под ред.Иванова С.Л.СПб,2005.

Размещено на Allbest.ru