Компьютерное моделирование электрической цепи в системе MathCAD

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Математическое моделирование

1.1 Основные концепции математического моделирования

1.2 Аппроксимация и интерполяция в MathCad

1.3 Система Mathcad, основные функции

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

2.2 Описание математической модели

2.3 Анализ исходных и результирующих данных

2.4 Графическая схема алгоритма

3. Описание реализации задачи в MathCAD

3.1 Описание реализации базовой модели

3.2 Описание исследований

3.3 Выводы по результатам исследований

Заключение

Список используемой литературы

Введение

В курсовой работе необходимо исследовать электрическую цепь. Электрической цепью называют совокупность устройств, состоящая из источников, преобразователей электрической энергии и соединяющих их проводов, образующих замкнутые пути для электрического тока. В наше время эта тема является очень актуальной, т.к. роль ее в подготовке инженеров и научных работников, специализирующихся в области электротехники, электроники, радиотехнике и т.д. все более возрастает, поэтому расчет и исследование электрической цепи является важной задачей для инженерных работ.

MathCAD - мощный пакет программ, предназначенный для решения различных математических задач с возможностью программирования. Система MathCAD занимает лидирующее положение среди всех остальных математических систем. Помимо выполнения своих математических функций система MathCAD является очень неплохим текстовым и графическим редактором, по многим параметрам не уступающим специализированным программам.

Система MathCAD является на данный момент единственной математической системой, в которой описание решения задач задаётся с помощью привычных математических формул и знаков. Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера позволило резко повысить скорость расчётов и уровень сложности задач. Приобретаемые при выполнении навыки и опыт будут важны при дипломном проектировании, а также инженерной и научной деятельности.

Актуальность проводимых нами исследований состоит в том, что в наше время наибольшее распространение приобретают уже рассчитанные и проверенные в теории проекты, а моделирование очень удобно производить с помощью компьютера. В последнее время в электротехнике, также как и в других областях науки, наблюдается тенденция оптимизации и алгоритмизации процессов. С точки зрения студента, такой подход также является эффективным, так, как позволяет сэкономить временные затраты на проведение исследований. Практическое применение расчета электрических цепей очень важно.



1. Математическое моделирование

1.1 Основные концепции математического моделирования

Известно, что системный анализ - это целенаправленная творческая деятельность человека, на основе которой обеспечивается представление объекта в виде системы. Процессы изучения и использования свойств системы становятся определяющими и решающими для успешной практической деятельности. Одним из современных инструментов системного анализа и синтеза систем является информационное (абстрактное) моделирование, проводимое на компьютерах. Информационные модели могут имитировать существенные черты объектов-оригиналов и достаточно точно воспроизводить их поведение [2].

Таким образом, одной из сильнейших сторон информатики является ее интегративный характер. Используя идеологию системного подхода, можно изучать объекты и процессы из разных предметных областей, используя для этого современные компьютерные средства и методы. Следует отметить, продуктивный характер подобной деятельности, в основу которой заложена ориентация на исследование и творчество. При этом помимо развития системного мышления может быть достигнута не менее важная цель - закрепление знаний и умений, полученных учеником на других школьных предметах [2].

Цель курса - научить моделированию, подробно рассматривая каждый этап моделирования на примере большого количества задач. Основное внимание уделяется этапу формализации задач и разработке информационной модели изучаемого объекта или системы. В зависимости от типа задачи моделирование проводится в системе графического редактора и текстового процессора.

Математическое моделирование - процесс создания модели и оперирование ею с целью получения сведений о реальном объекте.

Можно заметить, что альтернативой математического моделирования является физическое макетирование, но у математического моделирования есть ряд преимуществ:

по форме представления: инвариантные (представляют собой систему уравнений вне связи с методом решения), алгоритмические (модели связаны с выбранным численным методом решения и его реализацией в виде алгоритма), аналитические (отображаются явными зависимостями переменных), графические (схемные);

по характеру отображаемых свойств: функциональные (описывают процессы функционирования объектов), структурные (отображают только структуру и используются при решении задач структурного синтеза); по степени абстрагирования: модели микроуровня с распределенными параметрами, модели макроуровня с сосредоточенными параметрами, модели метауровня;

по способу получения: теоретические, экспериментальные; по учету физических свойств: динамические, статические, непрерывные, дискретные, линейные, нелинейные;

по способности прогнозировать результаты: детерминированные, вероятностные [2].

Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, которая оценивается степенью совпадения предсказанного в процессе эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными значениями [2].

Погрешность о по совокупности m выходных параметров оценивается одной из норм вектора

(1.1)



Или

(1.2)

где оj - относительная погрешность модели по j-тому выходному параметру:

(1.3)

где - значение j-того выходного параметра, полученное в результате эксперимента на принятой для проектирования математической модели [2].

yj - значение того же параметра, полученное при испытаниях технического объекта в тестовых условиях.

При проектировании технических объектов используют множество видов математических моделей, в зависимости от уровня иерархии, степени декомпозиции системы, аспекта, стадии и этапа проектирования. На любом уровне иерархии объект проектирования представляют в виде некоторой системы, состоящей из элементов. В этой связи различают математические модели элементов и систем. В общем случае уравнения математической модели связывают физические величины, которые характеризуют состояние объекта и не относятся к перечисленным выше выходным, внутренним и внешним параметрам. Величины, характеризующие состояние технического объекта в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми координатами). Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. Фазовое пространство, в отличие от геометрического, многомерное. Его размерность определяется количеством используемых фазовых координат. Обычно в уравнениях математической модели фигурируют не все фазовые переменные, а только часть из них, достаточная для однозначной идентификации состояния объекта. Такие фазовые переменные называют базисными координатами. Через базисные координаты могут быть вычислены значения и всех остальных фазовых переменных [2].

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы, поэтому обычно для проектирования каждого объекта используют свою оригинальную модель. Математические модели технических объектов, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но, в то же время, обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса [2].

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента [2].

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей. Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими переменными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа дерева. Они позволяют аккумулировать накопленный опыт, используя описания всех существующих аналогов, известных из патентной литературы, и гипотетических объектов. Такие модели наиболее широко используют на мета уровне при выборе технического решения [2].

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные -- на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический "черный ящик". Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели). При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы [2].

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др. [2].

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным [2].



1.2 Аппроксимация и интерполяция в MathCad

Аппроксимацией функции f (x) называется нахождение такой функции g (x), которая была бы близка к заданной в соответствии с выбранным критерием.

Задачей аппроксимации является нахождение функции g (x), проходящей через заданные узлы в соответствии с заданным критерием [4].

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по функции f (x) можно рассмотреть другую функцию g (x) близкую в некотором смысле к f (x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешности такой замены [4].

Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f (x), имеющей значение x0 f (x0) требуется построить аппроксимирующую функцию g (x) совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется интерполяцией [4].

Функции аппроксимации.

Для осуществления сплайновой аппроксимации MathCAD предлагает четыре встроенные функции.

Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн-функций при различном виде интерполяции:

(VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

(VX, VY) - возвращает вектор \/S вторых производных при приближении к опорным точкам к параболической кривой;

(VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам прямой.(vs, vx, vy, х) - возвращает значение у (х) для заданных векторов VS, VХ, VУ и заданного значения х [4].

Таким образом, сплайн-аппроксимация проводится в два этапа.

На первом с помощью одной из функций cspline, pspline или ispline отыскивается вектор вторых производных функции у (х), заданной векторами VХ и VУ ее значений (абсцисс и ординат). Затем на втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение у (х) с помощью функции interp [4].

1.3 Система Mathcad, основные функции

MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением [3].

Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения c помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Для эффективной работы с редактором MathCAD достаточно базовых навыков пользователя [3].

Свойства MathCAD являются:

- математические выражения и текст вводятся с помощью формульного редактора MathCAD, который по возможностям и простоте использования не уступает, к примеру, редактору формул, встроенному в Microsoft Word;

- математические расчеты производятся немедленно, в соответствии с введенными формулами;

- графики различных типов (по выбору пользователя) с богатыми возможностями форматирования вставляются непосредственно в документы;

- возможен ввод и вывод данных в файлы различных форматов;

- документы могут быть распечатаны непосредственно в MathCAD в том виде, который пользователь видит на экране компьютера, или сохранены в формате RTF для последующего редактирования в более мощных текстовых редакторах (например, Microsoft Word);

- возможно сохранение документов в формате Web-страницы, причем создание файлов с рисунками происходит автоматически;

- символьные вычисления позволяют мгновенно получить разнообразную справочную математическую информацию, а система помощи, Центр Ресурсов и встроенные электронные книги помогают быстро отыскать нужную справку или пример тех или иных расчетов. Функции являются решение алгебраических уравнений и систем (линейных и нелинейных); решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем; работа с векторами и матрицами (линейная алгебра и др.); поиск минимумов и максимумов функциональных зависимостей; статистическая обработка данных (интерполяция, экстраполяция, аппроксимация и многое другое) и др. [3].



2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

1. С использованием системы MathCAD рассчитать значения функции реакции u(t) на воздействие e1(t). Построить графики функций u(t) и e1(t).

2. Исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции реакции u(t).

3. Построить сводный график всех полученных функций на одном поле.

4. Вычислить аналитические аппроксимирующие функции по результатам исследований пункта 2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.

5. Для функции напряжения на конденсаторе, рассчитанной в п. 1, вычислить параметры по индивидуальному заданию из таблицы 11.2. Результаты вычислений продемонстрировать графически.

2.2 Описание математической модели

Работу цепи, приведенной на рисунке 2.1, описывает интегро-дифференциальное уравнение вида:

(2.1)

где



Рисунок 2.1 - Электрическая цепь

2.3 Анализ исходных и результирующих данных

Исходные данные:

С - значение емкости конденсатора

R - исходное сопротивление

e1(t) - исходная функция внешнего воздействия

U0 - параметр функции внешнего воздействия

u0 - начальное значение напряжения

Т - время исследования

Таблица 2.1 - Исходные данные

№	R	U0	C	t1	t2	T	Варьируемый параметр
4	0.7	11	0.8•10-6	1.5•10-6	0.3•10-6	3.5•10-6	C= 1.2•10-6 - 1.8•10-6

Выбираем 10 значений варьируемого параметра емкости C.

Значения варьируемого параметра:

С= ,,,,,, ,,,.

Результатом расчетов являются:

· Вычислил значения функции e1(t) и построил график.

· Вычислил значение функции u(t) на внешнее воздействие e1(t) , описывающее состояние цепи при значениях T от 0 до 3.5*10^-6 с шагом 10^-7 и построил график.

· Построил сводный график зависимости u(t) для всех значений варьируемого параметра С.

· Вычислил значения аппроксимирующей функции g(x) и построил график исходной и аппроксимирующей функции для всех значений варьируемого параметра.

· Определил значение времени при максимальном напряжении с помощью программного фрагмента и построил график зависимости.



2.4 Графическая схема алгоритма

Схема, изображённая на рисунке 2.2 - алгоритм решения задачи.

Рисунок 2.2 - Схема алгоритма решения задачи



Словесное описание графической схемы алгоритма:

1. Вводим исходные данные из таблицы 2.1 (п. 2.3).

2. Расчет и построение графика и исходной функции гармонического воздействия e1(t) , рисунок 2.2 (п. 2.2).

3. Рассчитываем значение функции напряжения на конденсаторе и времени в цепи с учётом гармонического воздействия e1(t); производим построение графика этой функций.

4. Затем решаем уравнение 2.1 (п.2.2), для каждого значения варьируемого параметра С.

5. Построение графиков зависимости u(t) для каждого варьируемого параметра.

6. Далее строим сводный график изменения всех значений варьируемого параметра С.

7. По полученным данным аппроксимируем каждое значение варьируемого параметра при помощи функции linfit и производим построение графиков.

8. Находим значение времени при максимальном напряжении и строим график зависимости U(t) .



3. Описание реализации задачи в MathCAD

3.1 Описание реализации базовой модели

Задаем исходные данные, выраженные в виде констант. Исходная электрическая цепь описывается уравнением вида:

(3.1)

В первом подпункте рассчитал значение функций и построил график зависимости напряжения на конденсаторе от времени в цепи с учета гармонического воздействия e1(t) из формулы:

(3.2)

Определяем значение функции е1(t) и строим ее график:



Определяем значение функции u(t) на воздействие е1(t) и строим ее график.



3.2 Описание исследований

Задаем начальное значение напряжения в цепи, равным 0. В качестве области D выражаем первую производную напряжения по времени. Решаем исходное уравнение методом Рунге-Кутта с постоянными коэффициентами.

Изменяем значение параметра C 10 раз. Производим все вышеперечисленные операции для измененного значения C - в результате чего получаем функцию напряжения для заданного C.Строим сводный график зависимостей напряжения в цепи при различных значениях C (рис. 3.6).

Находим численное решение уравнения из опыта №1 методом Рунге-Кутта:

Получаем матрицу k1,где 1 столбец-время,а 2-ой напряжение на конденсаторе:

Строим график зависимости U(t):



Строим сводный график всех получивших значений варьируемого параметра C:

Вычисляем исходную и аппроксимирующую функцию по результатам проделанного опыта и строим график.

Вначале задаем вектор времени и вектор напряжения на конденсаторе,которые были полученны в предыдущем опыте.



С помощью функции linfit расчитываем значение коэффициентов и расчитываем значение аппроксимирующей функции g(x) и подбираем такую функцию чтобы график исходной функции совпадал с графиком аппроксимирующей функции.

электрический цепь mathcad напряжение



Конечным шагом данной курсовой работы является: нахождение времени при максимальном напряжении на конденсаторе.

Для решения воспользуемся программным фрагментом. Для этого напишем алгоритм решения данной задачи.

Рисунок 3.6 - Схема алгоритма нахождения времени



Получили вектора со значениями времени и напряжения на конденсаторе:

Построили график зависимости Uc():

3.3 Выводы по результатам исследований

В проделанной работе я с использованием системы MathCAD рассчитал значения функций напряжения на конденсаторе и времени в цепи первого порядка при гармоническом воздействии е1(t). В результате, получили графики функций напряжения на конденсаторе в цепи.

В результате анализа результатов практической части можно сделать вывод о том, что характер протекания переходного процесса в электрической цепи зависит от переменной емкости С, задаваемого подключаемым источником тока, а также от количества активных и реактивных элементов цепи. Решая ДУ видно, что с увеличением емкости С напряжение в цепи уменьшается, доходя до резонанса, а затем увеличивается, что отчётливо видно на сводном графике. По результатам предыдущих опытов построил на графике исходные и аппроксимирующие зависимости.

В индивидуальном задании с помощью программного фрагмента определил время при максимальном напряжении на конденсаторе, которое составило t=1.127*10^-6.



Заключение

В данной работе я рассматривал влияние параметра C на изменение графика напряжения в электрической цепи. Математической моделью такой цепи являлось дифференциальное уравнение. Решение этого уравнения было реализовано с помощью встроенной в систему MathCAD функции rkfixed, позволяющей решать дифференциальные уравнения. Благодаря этой встроенной функции системы MathCAD расчеты существенно упростились, и уменьшилось время, затраченное на расчеты. В ходе работы было установлено, что график зависимости различен по форме для различных значений изменяемого параметра.

В последнее время все большую и большую популярность приобретают методы компьютерного моделирования. Это происходит из-за возможности теоретической проверки результатов без непосредственного внедрения модели в производство. Ещё одним достоинством компьютерного моделирования является то, что возможные ошибки в компьютерной модели гораздо легче исправить, чем ошибки в модели на производстве. Также к плюсам такого моделирования можно отнести высокую точность и надежность полученных результатов.

На сегодняшний день сочетание вычислительных технологий и теоретических навыков студентов является, на мой взгляд, основой для всех электротехнических, энергетических, и многих других специальностей, которые в будущем столкнуться с ещё более совершенными информационными системами.

Данная система достаточно проста в освоении и вот почему систему MathCAD можно рекомендовать как студентам, так и конструкторам. После проделанной работы можно с уверенностью сказать, что семейство MathCAD успешно справляется с поставленными перед ним задачами, делая это намного быстрее, нежели сам человек.

Эти системы можно порекомендовать для использования в сфере энергетики, т.к. в данной сфере всегда присутствуют сложные трудоемкие математические расчеты, разнообразные графики и векторные диаграммы. передел.



Список используемой литературы

1. Симонович С.В. Информатика. Базовый курс. 2-е издание - СПб.: Питер, 2007. - 640 с.

2. Охорзин В.А. Компьютерное моделирование в системе MathCAD: учеб. пособие.- М.: Финансы и статистика, 2006. - 144 с.

3. Тарасевич Ю.Ю. Численные методы на Mathcad - Астраханский гос. пед. ун-т: Астрахань, 2000. - 70 c.

4. Дьяконов А.А. Справочник по MathCAD 2000. М.: Ск - пресс, 2000. - 352 с.

5. Костевич Л.С. Математическое программирование: Информ. Технологии оптимальных решений: Учеб. Пособие / Л.С. Костевич. - Мн.: Новое знание, 2003. - 424 с.

Размещено на Allbest.ru