Системы счисления, используемые в ЭВМ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа №1

Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием 2ⁿ )

Цель: формирование представлений о математических основах информатики; показать связь между системами счисления (СС) с основанием 2ⁿ и обратно.

Позиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент («вес») цифры зависит от ее местоположения в записи числа. Основой двоичной СС являются символы 0 и 1, для хранения которых в памяти компьютера используют биты. Цепочка из 8 бит называется байт.

7 6 5 4 3 2 1 0

0	0	0	0	0	0	0	0

1 байт = 8 бит

Разрядом называется позиция цифры в изображении числа. Каждому разряду числа соответствует определенная цифра.

Основание - это количество цифр, используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Например, в двоичном числе 10000₂ единица находится в четвертом разряде.

Таблица 1

Название	Основание	Символы
Двоичная	2	0,1
Восьмеричная	8	0,1,2,3,4,5,6,7
Десятичная	10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Шестнадцатеричная	16	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A10, B11, C12,D13,E14,F15

Позиционные системы счисления

Общая формула перевода числа с основанием 2ⁿ в десятичное число:

N_(S)=K_n*Sⁿ + K_n-1*S^n-1 + ….+ K₀*S⁰ + K_-1*S^-1+….+K_-m*S^-m

Двоичная система счисления

В общем виде двоичное число можно представить в виде:

N₍₂₎=K_n*2ⁿ + K_n-1*2^n-1 + ….+ K₀*2⁰ + K_-1*2^-1+….+K_-m*2^-m, где

n - количество разрядов целой части,

m - количество разрядов дробной части,

K= 0,1 - цифры, используемые в двоичной системе

Пример перевода двоичного числа в десятичную СС:

1010001₂= 1*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰ =81₁₀

110110,1₂ = 1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰+1*2^-1 = 54,5₁₀

Задание №1. Перевести число из двоичной СС в десятичную СС:

1)100001₂ ; 5) 1, 001101₂ ;

2)10100111₂ ; 6)1001001₂ ;

3) 101011,101₂; 7) 11101₂ ;

4) 10111,111; 8) 101, 101_2.

Задание №2. Перевести число из десятичной СС в двоичную СС:

1) 59₁₀;

2) 256₁₀ ;

3) 137₁₀ ;

4) 46,75₁₀ ;

5) 19₁₀.

Восьмеричная система счисления

Для того чтобы закодировать восьмеричное число в двоичной СС достаточно трех разрядов, т.к. 2³ =8

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7
Код	000	001	010	011	100	101	110	111

Формула перевода из восьмеричной в десятичную СС:

N₍₈₎=K_n*8ⁿ + K_n-1*8^n-1 + ….+ K₀*8⁰ + K_-1*8^-1+….+K_-m*8^-m

Например,

7764,1₈= 7*8³+7*8²+6*8¹+4*8⁰+1*8^-1=3584+ 448+48+4+0,125=4084,125₁₀

Задание №3. Перевести число из восьмеричной в десятичную СС

1) 404₈;

2) 55₈;

3) 123₈ ;

4) 654_8.

Перевод из восьмеричной СС в двоичную и обратно

Для перевода числа в восьмеричной системе СС в двоичную достаточно представить каждую цифру восьмеричного числа в двоичном виде, например: 567₈ = 101 110 111₂



Задание №4. Перевести из восьмеричной СС в двоичную СС:

1) 364₈ ; 4) 0, 6672₈;

2) 5046₈ ; 5) 1,111₈;

3) 772₈; 6) 318_8.

Для перевода из двоичной СС в восьмеричную разбиваем двоичное число слева направо на триады и записываем каждую из них соответствующей цифрой. Переведем число 101100001000110010₂ в восьмеричную систему:

101	100	001	000	110	010
5	4	1	0	6	2

Ответ: 541062₈

Примечание. Если количество элементов двоичного числа, переводимого в восьмеричное, не кратно 3, то для разбиения числа на триады необходимо добавить к двоичному числу слева столько нулей, сколько необходимо для образования триады.

Задание №5. Перевести число из двоичной СС в восьмеричную СС:

1) 0,100000000011₂;

2) 111100101,011100₂;

3) 110111₂.

Задание №6. Перевести число из десятичной СС в восьмеричную СС:

1) 68₁₀;

2) 512₁₀;

3) 1024_10.

Шестнадцатеричная система счисления

Для того чтобы закодировать шестнадцатеричное число в двоичной СС достаточно четырех разрядов, т.к. 2⁴ =16.

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A10	B11	C12	D13	E14	F15
Код	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Формула перевода числа из шестнадцатеричной в десятичную СС:

N₍₁₆₎=K_n*16ⁿ + K_n-1*16^n-1 + ….+ K₀*16⁰ + K_-1*16^-1+….+K_-m*16^-m

Например:

1B5₁₆= 1*16²+11*16¹+5*16⁰= 437₁₀

Для перевода числа из шестнадцатеричной СС в двоичную достаточно каждую цифру числа, записанного в шестнадцатеричной СС, заменить ее представление в двоичном виде.

4	А	С	3	5
0100	1010	1100	0011	0101

Задание №6. Перевести число из шестнадцатеричной СС в двоичную:

1) 3BE₁₆;

2) FF₁₆;

3) 45D₁₆;

4) 13_16.

Алгоритм перевода числа из двоичной СС в шестнадцатеричную СС:

· целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную - слева направо на группы по 4 разряда в каждой;

· если в последних левой и/или правой группах окажется меньше разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов;

· рассмотреть каждую группу как 4-х разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в шестнадцатеричной СС.

Пример. Переведем число 11101001000,11010010₂ в шестнадцатеричное:

0111	0100	1000,	1101	0010
7	4	8	D	2

Задание №7. Перевести число из двоичной СС в шестнадцатеричную СС:

1) 1001011,11₂

2) 11,001101₂

3)10111111₂

Внимание! В изображении переведенного числа записывается буквенное обозначение цифры 15, т.е. F.

Задание №8. Переведите десятичное число в шестнадцатеричную СС:

1) 207₁₀;

2) 127₁₀;

3)186₁₀ ;

счисление информатика десятичный число

Задание №9. Переведите числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную:

1)777; 2)344; 3) 654.

Арифметические операции с числами в 2-ой, 8-ой, 16-ой системах счисления

1. Сложение и вычитание чисел в двоичной системе счисления

При выполнении сложения и вычитания чисел в двоичной системе счисления необходимо соблюдать следующие правила:

· в записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только символы 0 и 1;

· при сложении двух единиц, результат равен нулю с переполнением разряда слева на единицу: 1+1 = 10

· если при вычитании требуется занять единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде двух единиц.

Пример сложения. Пример вычитания

1 1 1 1 11

100101 1 0 0 0 1

10101 1 1 1

101010 0 1 0 1 0

Задание №9. Сложить числа в двоичной СС:

1) 11111+10011; 2) 101010+111001; 3) 100100+00110.

2. Сложение и вычитание чисел в восьмеричной системе счисления

При выполнении сложения и вычитания чисел в 8-ой системе счисления необходимо соблюдать следующие правила:

· в записи результатов сложения и вычитания могут использованы только цифры восьмеричного алфавита;

· десяток восьмеричной системы счисления равен 8, т.е. переполнение разряда наступает, когда результат сложения больше или равен 8. В этом случае для записи результата надо вычесть 8, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;

· если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде восьми единиц.

Пример сложения Пример вычитания

1 1 8

7 7 0₈ 7 5 0₈

2 3 6₈ 2 3 6₈

1 2 2 6 5 4 2

Задание №10. Вычислить:

1) 1274₈+ 257₈ ;

2) 773₈+ 67₈=1062;

3) 305₈ - 77₈=206;

4) 501₈-62₈ = 417

3. Сложение и вычитание чисел в шестнадцатеричной системе счисления

При выполнении сложения и вычитания чисел в шестнадцатеричной системе счисления необходимо соблюдать следующие правила:

· при записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры шестнадцатеричного алфавита: цифры, обозначающие числа от 10 до 15 записываются латинскими буквами, поэтому, если результат является числом из этого промежутка, его надо записывать соответствующей латинской буквой;

· десяток шестнадцатеричной системы счисления равен 16, т.е. переполнение разряда наступает, когда результат сложения больше или равен 16. В этом случае для записи результата надо вычесть 16, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;

· если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде шестнадцати единиц.



Пример сложения Пример вычитания

1 1 1 1 11

100101 1 0 0 0 1

10101 1 1 1

101010 0 1 0 1 0

Задание для самостоятельной работы №11. Вычислить:

1) FF₁₆+AB₁₆; 2)D01₁₆-12₁₆; 3) 121₁₆+ AF9₁₆.

Задание №12. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.

Вариант 1

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
101010,11
	127
		269
			9В

Вариант 2

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
111101,01
	351
		659
			8BF

Задание №13. Вычислить:

1) 356 ₈ + AB₁₆ (результат получить в 16-ой СС =199₁₆)

2) CF₁₆ + 101100011100₂

3) FF₁₆ - 145₁₆ =9A

4) BC7₁₆ - 5701₈ (результат получить в 8-ой СС=6₈)

5) 752₈+443₈= 1415

6) 254₈+ 11101₂ (результат получить в 2-ой СС 11001001)

7) 1110111₂- 74₈ (результат получить в 8-ой СС 73₈)

8) 1101101010₂ - 1000111₂

Размещено на Allbest.ru