Лінійне програмування автоматизованих систем

Размещено на http://allbest.ru

Зміст

Вступ

1. Теоретичні основи дослідження операцій

1.1 Системний підхід при дослідженні операцій

1.2 Основні принципи системного підходу

1.3 Основні визначення системного підходу

1.4 Етапи проведення дослідження операцій

1.5 Постановка основної задачі дослідження операції оптимального планування продукції машинобудівного заводу

2. Теоретичні основи програмного забезпечення дослідження операцій

2.1 Загальна схема та класифікація кінцевих методів розв'язування задач лінійного програмування

2.2 Опис варіанту симплекс-методу, який був використаний

3. Опис розробленого программного забезпечення

3.1 Обґрунтування вибору засобів розробки прикладного програмного забезпечення

3.2 Діаграма варіантів використання

4. Використання розробленого програмного забезпечення

4.1 Визначення специфікації необхідних ресурсів апаратно-програмної конфігурації та програмного інструментарію

4.2 Інструкція для користувача

Висновки

Список джерел інформації



Вступ

Саме зараз, коли Україна у занепаді та економічній кризі, тема дослідження операцій безумовно є дуже актуальною, адже треба робити все можливе задля підвищення ефективності роботи підприємств у різних галузях промисловості.

Тема розробки програмного забезпечення для автоматизованого дослідження операцій є дуже актуальною на наш час. Бо людина все більше і більше старається облегшити та автоматизувати роботу. Так, наприклад, саме розробка програмного забезпечення для автоматизованого дослідження операцій оптимального годування дітей молодшого шкільного віку використовується для розрахунку оптимального розрахунку харчування. Треба також підрахувати відношення ціни на продукти та витрати та оптимізувати й мінімізувати витрати на них завдяки отриманим результатам. Саме для таких підрахунків створюється це програмне забезпечення, котре направлене на полегшення розрахунків та зменшення часу, котрий витрачає користувач на них.

програмний файловий інтерфейс



1. Теоретичні основи дослідження операцій

1.1 Системний підхід при дослідженні операцій

Основна мета процесу дослідження операцій полягає в тому, щоб виявити вигідний (оптимальний) спосіб дії при розв'язанні тієї чи іншої задачі організаційного керування в умовах, при яких мають місце обмеження відносно техніко ? економічних характеристик і дефіциту ресурсної бази. Використання терміну дослідження операцій завжди зумовлює застосування математичних методів для моделювання процесів економічних систем і аналізу їх функціональних характеристик.

Операція ? комплекс взаємопов'язаних заходів, направлених на досягнення поставленої мети [1].

Дослідження операцій ? це теорія математичних моделей та методів отримання оптимальних розв'язань, що спрямована на обгрунтування доцільності вибору тієї чи іншої альтернативи з множини можливих в області цілеспрямованої діяльності людини [1].

Оперуюча сторона ? сукупність елементів, які утворюють певну структуру, призначену для активного досягнення поставленої мети із заданною ефективністю. В залежності від масштабу операції та характеру своєї участі у ній, елементи організаційної системи можуть самостійно формулювати собі ціль операції - кінцевий стан, який повинна досягнути система [1].

Стратегіями оперуючої сторони в даній операції називаються допустимі способи витрачання нею активних ресурсів.

Системний підхід ? напрямок методології дослідження, в основі якого лежить розгляд об'єкта як цілісного безлічі елементів у сукупності відносин і зв'язків між ними, тобто розгляд об'єкта як системи [1].

Говорячи про системний підхід, можна говорити про деякий спосіб організації наших дій, який охоплює будь-який рід діяльності, виявляючи закономірності і взаємозв'язку з метою їх більш ефективного використання. При цьому системний підхід є не стільки методом вирішення завдань, скільки методом постановки задач.

1.2 Основні принципи системного підходу

Цілісність, що дозволяє розглядати одночасно систему як єдине ціле і в той же час як підсистему для вищестоящих рівнів.

Ієрархічність будови, тобто наявність безлічі (принаймні, двох) елементів, розташованих на основі підпорядкування елементів нижчого рівня елементам вищого рівня. Реалізація цього принципу добре видно на прикладі будь-якої конкретної організації. Як відомо, будь-яка організація являє собою взаємодію двох підсистем: керуючої і керованої. Одна підпорядковується іншій.

Структуризація, що дозволяє аналізувати елементи системи та їх взаємозв'язки в рамках конкретної організаційної структури. Як правило, процес функціонування системи обумовлений не стільки властивостями її окремих елементів, скільки властивостями самої структури.

Множинність, що дозволяє використовувати безліч кібернетичних, економічних і математичних моделей для опису окремих елементів і системи в цілому.

Системність, властивість об'єкта мати всі ознаки системи.

1.3 Основні визначення системного підходу

Основоположниками системного підходу є: Л. фон Берталанфі, А.А. Богданов, Г. Саймон, П. Друкер, А. Чандлер [2].

Система ? сукупність взаємопов'язаних елементів, що утворюють цілісність або єдність.

Структура ? спосіб взаємодії елементів системи за допомогою певних зв'язків (картина зв'язків та їх стабільність).

Процес ? динамічна зміна системи в часі.

Функція ? робота елемента в системі.

Стан ? положення системи щодо інших її положень.

Системний ефект ? такий результат спеціальної переорганізації елементів системи, коли ціле стає більше простої суми частин.

Структурна оптимізація ? цілеспрямований ітераційний процес отримання серії системних ефектів з метою оптимізації прикладної мети в рамках заданих обмежень. Структурна оптимізація практично досягається за допомогою спеціального алгоритму структурної переорганізації елементів системи. Розроблено серію імітаційних моделей для демонстрації феномена структурної оптимізації і для навчання.

1.4 Етапи проведення дослідження операцій

У час НТП людина все частіше натикається на необхідність прийняття рішення, як у побутовій, так і службової областях своєї діяльності. Прийняті рішення відрізняються як за ступенем відповідальності, так і за ступенем значущості наслідків ? від особистих, до державних масштабів [3]. Різними аспектами проблем, пов'язаних з виробленням управлінських рішень, з «оптимальним» поведінкою людей» з перетином інтересів кількох сторін, займаються багато наук: економіка, соціологія, право та ін.

На відміну від інших підходів, дослідження операцій аналізує ці проблеми за допомогою математичного апарату. Це означає, що хоча б деякі дані, які фігурують у формулюванні завдання, повинні мати кількісні вирази. Якісні дані (умови) проблеми враховуються додатково і є своєрідним тлом для використання математичних моделей.

Ухвалення рішення завжди передбачає наявність особи, або осіб, котрі приймають рішення. Рішення приймаються з урахуванням певної обстановки, супутніх умов, передумов. Це ті головні чинники, властиві будь-якій задачі прийняття рішення, і які обов'язково повинні бути відображені в математичній моделі.

Мета дослідження операцій ? з урахуванням існуючих умов прийняти те рішення з безлічі допустимих в даній ситуації, яке найкращим чином сприяє досягненню переслідуваної їм мети (оптимальне рішення).

Невід'ємною частиною методології дослідження операцій є всебічний якісний і, кількісний аналіз проблеми, що передує її математичному моделюванню. Тому. говорять про системний аналіз проблеми, який передбачає виконання наступних компонент:

- до математичний аналіз проблеми;

- математичний аналіз проблеми;

- застосування результатів дослідження на практиці.

Не існує універсальних методів побудови математичних моделей і не існує універсальної методики і керівних принципів дослідження операцій. Кожне окреме дослідження має свої особливості. Тому можна рекомендувати лише деякі, досить загальні принципи та етапи дослідження операцій. Ці етапи включають:

- визначення мети дослідження;

- складання плану розробки проекту;

- формулювання проблеми;

- збір даних (статистичних, експертних та інших).

- побудова математичної моделі;

- розробку обчислювального методу;

- розробку технічного завдання на програмування, програмування та налагодження програм;

- перевірку математичної моделі та оцінку рішення;

- реалізацію результатів на практиці [1].

Етапи 1-4 відносяться до математичної частини дослідження і виконуються фахівцями тій області, до якої належить досліджуване завдання або проблема. Дуже важливо, щоб перед математичним моделюванням об'єкт дослідження (предметна область) був досконало вивчений самими замовниками. Зокрема, дослідникам повинні бути надані всі необхідні документальні та статистичні дані у вичерпному обсязі [4]. Етапи 5-8 відносяться до математичної частини досліджень. Це самі ключові і складні етапи дослідження операцій. Етап 9 ? заключна частина досліджень проводиться спільними зусиллями замовників і математиків-розробників моделі.

1.5 Постановка основної задачі дослідження операції оптимального планування продукції машинобудівного заводу

Оперуючою стороною є шкільна їдальня, яка має заощадження (активні засоби) і забезпечує при сформованих цінах на харчові продукти мінімальні щотижневої потреби дітей в поживних речовинах, елементах і інших життєво важливих компонентах при мінімальних витратах. Продукти щотижня закуповуються на ринках в обсязі xj кожен.

Оптимальний раціон характеризується вектором x = (x₁, x₂, ..., x_n) споживаннь продуктів в обсязі x_j кожен. З кожним оптимальним раціоном зв'язується відповідну йому кількість поживних речовин та елементів. Всього m видів поживних речовин. Позначимо через b_i мінімальні щотижневої потреби дітей в i-й поживній речовині, а зміст i-ої поживної речовини в одиниці j-ого поживного продукту через a_ij.

Економічна сутність стратегії визначається другим типом економії (мета операції - досягнення заданого ефекту при мінімальних витратах ресурсу).

Математична модель операції виглядає як задача лінійного програмування:



Основне завдання дослідження операції полягає у знаходженні такого вектора x^* = {x₁^*, x₂^*, ..., x_n^*}, який при мінімальних витратах забезпечить повноцінне харчування дітей на тиждень.

Оптимальний базис задає безліч номерів продуктів, які вигідно закуповувати на ринках.

Оптимальне значення цільової функції L^* визначає мінімальні витрати на закупівлю продуктів харчування.

Елементи a_ij ? зміст i-ої поживної речовини в одиниці j-ого поживного продукту:

1) a_i1- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг картоплі;

2) a_i2- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг вершкового масла;

3) a_i3- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг редису;

4) a_i4- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг капусти;

5) a_i5- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг моркви;

6) a_i6- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг манної крупи;

7) a_i7- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг молока;

8) a_i8- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг рису;

9) a_i9- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг курячих яєць;

10) a_i10- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг помідорів;

11) a_i11- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг огірків;

12) a_i12- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг яловичини;

13) a_i13- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг білого хліба;

14) a_i14- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг пшеничної крупи;

15) a_i14- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг курятини;

16) a_i14- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг макаронів;

17) a_i14- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг лосося;

18) a_i14- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг гречки;

19) a_i14- зміст i-ої поживної речовини у 1 кг свинини;

Вектор ? мінімальні щотижневі потреби в поживних речовинах:

1) b₁ - мінімальна щотижнева потреба у жирах (мкг);

2) b₂ - мінімальна щотижнева потреба у білках (мкг);;

3) b₃ - мінімальна щотижнева потреба у вуглеводах (мкг);

4) b₄ - мінімальна щотижнева потреба у кальції (мкг);

5) b₅ - мінімальна щотижнева потреба у залізі(мкг);

6) b₆ - мінімальна щотижнева потреба у фосфорі (мкг);

7) b₇ - мінімальна щотижнева потреба у магнії (мкг);

8) b₈ - мінімальна щотижнева потреба у вітаміні D (мкг);

9) b₉ - мінімальна щотижнева потреба у вітаміні E (мкг);

10) b₁₀ - мінімальна щотижнева потреба у вітаміні А (мкг);

11) b₁₁ - мінімальна щотижнева потреба у вітаміні В (мкг);

12) b₁₂ - мінімальна щотижнева потреба в вітаміні С (мкг);

Коефіцієнти цільової функції С_j показують вартість продукту.

1) С₁ - вартість картоплі;

1) С₂ - вартість вершкового масла;

2) С₃ - вартість редису;

3) С₄ - вартість капусти;

4) С₅ - вартість моркви;

5) С₆ - вартість манної крупи;

6) С₇ - вартість молока;

7) С₈ - вартість рису;

8) С₉ - вартість курячих яєць;

9) С₁₀ - вартість помідорів;

10) С₁₁ - вартість огірків;

11) С₁₂ - вартість яловичини;

12) С₁₃ - вартість білого хліба;

13) С₁₄ - вартість пшеничної крупи;

14) С₁₅ - вартість курятини;

15) С₁₆ - вартість макаронів;

16) С₁₇ - вартість лосося;

17) С₁₈ - вартість гречки;

18) С₁₉ - вартість свинини;



2. Теоретичні основи програмного забезпечення дослідження операцій

2.1 Загальна схема та класифікація кінцевих методів розв'язування задач лінійного програмування

До класу задач лінійного програмування відноситься велика кількість різноманітних завдань планування та управління, як, наприклад:

1) знаходження оптимального плану випуску продукції (оптимальний розподіл ресурсів);

2) оптимізація міжгалузевих потоків (планування виробництва різних видів продукції по галузях);

3) визначення оптимального раціону (оптимізація складу хімічної суміші);

4) транспортна задача (оптимальний розподіл потоків товарних поставок з транспортної мережі);

5) завдання про розміщення виробництва (планування з урахуванням витрат на виробництво і транспортування продукції);

6) задача про призначення (оптимальний розподіл різних видів транспортних засобів) та інші.

Наявність початкового опорного плану, що визначає вихідну вершину допустимого значення, з якої починається рух в оптимальну вершину;

Наявність ознаки оптимальності, за допомогою якого можна перевіряти оптимальність кожної поточної вершини;

Наявність механізму, за допомогою якого в разі не оптимальності вершини можна здійснити перехід до нового опорного плану, більш близького до оптимального (з великим значенням цільової функції);

На рисунку 2.1 представлена загальна схема кінцевого методу. Для розв'язаних задач лінійного програмування будь-який кінцевий метод дозволяє через кінцеве число ітерацій знайти точне рішення задачі.

Методи А і В можуть бути реалізовані двома алгоритмами:

A ? І (B ?І) ? перший алгоритм методу A (B);

A ? II (B ?II) ? другий алгоритм методу A (B).

На рисунку 2.1 зображена загальна схема кінцевого методу [2].

Рисунок 2.1 - Загальна схема кінцевого методу

2.2 Опис варіанту симплекс-методу, який був використаний

При використанні метода послідовного уточнення оцінок, необхідно перевести ЗЛП у канонічну форму

де ? план завдання;

? вектор обмежень;

? матриця умов розміром ;

? вектор умов;

? вектор коефіцієнтів лінійної форми L [2].

Крім того, необхідно вказати опорний план задачі з базисом . Послідовне просування по базисам опорних планів задачі аж до отримання оптимального базису становить ідею методу послідовного уточнення оцінок [2]. Алгоритм починається з заповнення основної таблиці:

e_ij - елементи зворотньої матриці базисних компонент, i=1…m, j=1…m;

;

e₀ - базисні компоненти псевдо плану, за допомогою яких обирається направляюча строка r=min{ e₀ < 0}. Вони обчислюються за формулою:

e_i0 = e_i1 * b₁ + e_i2 * b₂ +…+ e _{i m} * b_m (1)

= ( А_1j * _1j + А_2j * _2j +…+ А_mj * _mj ) - C_j (2)

Х_j = e_r1 * A_1j + e_r2 * A_2j +…+ e _{r m} * A_{m j} (3)

Якщо має місце ситуація, коли Х_j ?: Х_j ?Ш, то слід вважати, що задача не може бути вирішена через необмеженість знизу, при цьому умови прямої та двоїстої задач не сумісні. У іншому випадку заповнюється строка O використовуючи наступну формулу:

O_j = - / Х_j (4)

та знаходять направляючу строку k, знайшовши найнайменьше O_j ? 0. Якщо виявляэться декылька таких однакових O_j , то обираеться O_j меньшим порядковим номером. Замінюється Cs_r та Fs_r на С_k та A_k відповідно.І нарешті заповнюється стовбчик А_к основної таблиц за формулою:

A_j = e_i1 * A_1k + e_i2 * A_2k +…+ e _{i m} * A_{m k} , j=1…m (5)

A_m+1 = ?_k

Перерахунок елементів таблиць відбувається до тих пір, поки у стовбчику е₀ не залишиться від'ємних елементів. Елементи основної таблиці перераховуються за наступною формулою

(6)



3. Опис розробленого программного забезпечення

3.1 Обґрунтування вибору засобів розробки прикладного програмного забезпечення

Сьогодні при створенні програмного забезпечення і різних додатків, програмістам потрібно використовувати комплексні засоби розробки, які включають в себе усі необхідні компоненти для створення програмного забезпечення. Це такі засоби та компоненти, які об'єднують, доповнюють і поліпшують один одного. Іншими словами, сукупність таких програмних засобів, представляє можливість підтримки всіх етапів розробки програмного забезпечення: від написання початкового тексту програми, його редагування, виправлення, швидке під'єднання доповнюють модулів, можливості зручного взаємодії з іншими засобами та інструментами, налагодження і до різних методів запуску програми. Такі можливості забезпечує інтегроване середовище розробки.

Інтегроване середовище розробки (на англ. Integrated development environment, IDE) ? комплексна програма, яка включає в себе необхідні засоби і компоненти для розробки програмного забезпечення. Функціональність IDE надає можливість працювати над великими і складними проектами, які включають в себе нетривіальні і різнобічні завдання, при цьому не переходити на інші програми і робити все, використовуючи компоненти однієї IDE.

Інтегроване середовище розробки в своїй основі містить такі компоненти як:

1. Текстовий редактор. Містить у собі багатофункціональність, а саме підтримку перемикання текстових файлів, підсвічування синтаксису мови програмування, знаходження синтаксичних помилок, автодоповнення і тому подібне.

Компілятор або інтерпретатор. Компілятор переводить текс мови у команди для комп'ютеру.

Засіб відладки (дебагер). Тестування програми і знаходження в ній логічних помилок. Під час покрокового виконання програми, змінювати значення змінних, використовувати контрольні точки і так далі.

MS Visual Studio - вважається найкращою, на сьогоднішній день середою швидкої розробки на мові C#, яка має високу зручність та швидкість роботи.

3.2 Діаграма варіантів використання

Під прецедентом (case) треба розуміти фіксовану послідовність дій між користувачами підсистемами, яка забезпечує досягнення поставлених цілей. В обох випадках вони позначаються терміном “актор” (actor). Так, наприклад, процедура авторизації користувача на деякому Інтернет-ресурсі є певним прецедентом. Для нього учасниками будуть система авторизації та користувач, а результатом - перевірка наявності в системі реєстраційного запису(account) користувача [5].

Кожна модель відображає взаємозалежність прецедентів та акторів, яка визначена такими типами:

- асоціація(association);

- включення(include);

- розширення(extend);

- узагальнення(generalization).

Усі ці чотири типа залежностей надані на рисунку 3.1.



Рисунок 3.1 - Приклад побудови UML діаграми прецедентів

Відношення асоціації є основним типом залежностей між акторами та прецедентами, що вказує на те, що деякий актор відіграє певну роль у взаємодії з системою. На діаграмі асоціацій позначається суцільною прямою лінією [5].

Відношення включення дає можливість відобразити те, що деякі функції одного прецеденту А обов'язково мають бути задіяні при використанні іншого прецеденту B. На діаграмі включення позначається пунктирною прямою лінією зі стрілкою на кінці, яка направлена від того прецеденту, що включає в себе деякий інший і має назву «include»[5].

Відношення розширення дає можливість відобразити те, що при опрацюванні системою деякого прецеденту X є можливим (але не обов'язковим) використання функціональності іншого прецеденту Y. На діаграмі включення позначається пунктирною прямою лінією зі стрілкою на кінці, яка направлена від того прецеденту, що є розширенням та має назву «extend»[5].

Відношення узагальнення дозволяє показати певну ієрархію акторів та/або самих прецедентів, тобто позначити, який з них є супер-типом, а який - підтипом певного класу об'єктів. На діаграмі це позначається суцільною прямою лінією з трикутною стрілкою на кінці, яка направлена до прецеденту, що є супер-типом[5].

Діаграма варіантів використання для поставленої задачі. На основі діаграми варіантів використання, були визначені основні прецеденти системи:

- робота з файлом ЗЛП;

- розв'язання ЗЛП;

- перевірка стійкості розв'язку;

- перегляд графіку цільової функції;

- перегляд графіку стійкості.



4. Використання розробленого програмного забезпечення

4.1 Визначення специфікації необхідних ресурсів апаратно-програмної конфігурації та програмного інструментарію

Для запуску ПЗ необхідно мати апаратне забезпечення, у якому є у наявності:

- Процесор - з частотою 1 ГГц і більше;

- Оперативна пам'ять - 512 Мбайт і більше;

- Обсяг вільної пам'яті на жорсткому диску - не менше 15 Мбайт;

- NET Framework 4 та вище.

4.2 Інструкція для користувача

Дане прикладне програмне забезпечення розроблено для розв'язування задач лінійного програмування (ЗЛП), загальний вид.

Послідовність роботи користувача з програмним забезпеченням.

- Запустити додаток.

- У вікні, зображеному на рисунку 4.1, ввести данні або відкрити файл з розширенням PUO.



Рисунок 4.1 - Головне вікно програми

Натиснувши на кнопку «Решить», програма почне обчислювання, результати якого можна буде побачити у нижній частині вікна, як зображено на рисунку 4.2.

Натиснувши на кнопку «График L поитерационно», можна переглянути графік зміни лінійної форми по ітераціям, зображеного на рисунку 4.3.

Натиснувши на вкладку «График устойчивости», змінюючи номера обмежень, можна переглянути область стійкості розв'язку задачі для заданих обмежень, змінюючи його масштаб. Приклад зображений на рисунку 4.4.

Для перевірки достовірності жнайденого рішення задачі можна натиснути кнопку «проверка достоверности», після чого з'явиться вікно з результатами рівнянь, в які було підставлено знайдене рішення, наприклад як на рисунку 4.5.



Рисунок 4.2 - Розв'язка завдання

Рисунок 4.3 - Графік зміни цільової функції по ітераціях



Рисунок 4.4 - Область стійкості для вказаних обмежень

Рисунок 4.5 - Перевірка достовірності



Висновки

В результаті виконання курсового проекту було розроблено програмне забезпечення автоматизованого дослідження операцій, які задані завданням лінійного програмування. Були реалізовані всі основні функції а так само цілком дружній інтерфейс.

Основною перевагою даного програмного забезпечення є спрямованість його на вирішення завдань великої розмірності. Також варто відзначити можливість розширення цього проекту надалі, так як математична частина розроблялася, враховуючи додавання інших алгоритмів.

У ході виконання курсового проекту була досліджена операція про оптимальний раціоні харчування дітей молодшого шкільного віку. Отримано результати, які були перевірені на достовірність і досліджені на стійкість.

Розроблене програмне забезпечення дозволяє значно скоротити час, необхідний на дослідження операцій, заданих завданнями лінійного програмування. Впровадження результатів роботи сприяє раціональному використанню фінансових ресурсів організації, що використовує даний курсовий проект.



Список джерел інформації

1. Юдин Д.Б. Задачи и методы линейного программирования / Д.Б. Юдин, Е. Г. Гольштейн . - М.: Советское радио, 1964. - 621 с.

2. Лисицкий В.Л. Автоматизация операционных исследований на базе персональных ЭВМ (учебное пособие) / В.Л. Лисицкий. - Харьков: ХГПУ, 1997. - 152 с.

3. Таха Х. Введение в исследование операций / Х. Таха. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. - 976 с.

4. Шикин Е.В. Математические методы и модели в управлении: Учебник для ВУЗов / Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили. - М.: Дело, 2000. - 612 с.

5. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт по курсу «Основи проектування ПЗ»/ М.В. Ткачук, каф. АСУ, НТУ «ХПИ»2012-2013.

6. Стратиенко Н.К. Методические указания по выполнению курсовой работы по курсу «Математические методы исследования операций» для студентов, обучающихся по направлению «Программная инженерия» / Н.К. Стратиенко, Ю.Н. Соботович. - М.: НТУ»ХПИ», 2011. - 31 с.

Размещено на Allbest.ru