Граничний аналіз параметризованих варіаційних нерівностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет

Мусейко Олег Володимирович

УДК 517.9

ГРАНИЧНИЙ АНАЛІЗ ПАРАМЕТРИЗОВАНИХ ВАРІАЦІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ

01.05.01--теоретичні основи інформатики та кібернетики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дніпропетровськ - 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі прикладної математики Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту імені академіка В.Лазаряна Міністерства транспорту України.

Науковий керівник: Доктор фізико-математичних наук, професор КОГУТ Петро Ілліч, Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту ім. ак. В. Лазаряна Міністерства транспорту України, завідувач кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Вітюк Олександр Никанорович, Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова Міністерства освіти і науки України, Інститут математики, економіки та механіки, професор кафедри теорії оптимального керування та економічної кібернетики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Васильєва Наталя Костянтинівна, Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, доцент кафедри обчислювальної математики та математичної кібернетики.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра системного аналізу та теорії прийняття рішень.

Захист відбудеться " 13 " березня 2003 p. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49044, м. Дніпропетровськ, пр. К.Маркса, 35, корп. 3, ауд.25.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий " 12 " лютого 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 Турчина В.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

усереднений варіаційний нерівність абстрактний

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена розробці методології граничного аналізу варіаційних нерівностей у банахових просторах, всі компоненти математичного опису яких залежать від малого параметру.

Варіаційні нерівності привертають до себе значну увагу математиків і фізиків, починаючи з 60-х років XX-го століття, коли з'явилися роботи Ж.-Л. Ліонса з дослідження варіаційних нерівностей як узагальнення умов оптимальності в задачах умовної мінімізації. Інтерес до цих об'єктів обумовлений в першу чергу тим, що вони часто є більш зручним та “природнім” апаратом, ніж класичні варіаційні методи, при дослідженні задач з обмеженнями. Про це свідчить значна кількість різноманітних публікацій, як вітчизняних, так і зарубіжних, в яких досліджуються математичні та фізичні аспекти моделей, які містять варіаційні нерівності. З теорією варіаційних нерівностей пов'язані імена Ж.-Л. Ліонса, Г. Дюво, Д. Стампакк'я, О.О. Ладиженської, Н.М. Уральцевої та багатьох інших вчених.

При дослідженні численних задач на областях складної структури, наприклад, перфорованих областях, при моделюванні процесів в композитних матеріалах тощо виникають варіаційні нерівності, складові частини яких залежать від малого параметру . Суттєвим є той факт, що чисельне розв'язання таких задач стає неможливим при достатньо малих значеннях параметру , а аналітичний розв'язок вдається одержати лише у виключних випадках. Разом з тим суттєвим є розуміння поведінки варіаційних нерівностей при > 0, що є не тільки самостійною математичною проблемою, але й дозволяє порівняно просто знаходити наближені розв'язки вихідної задачі, оскільки складові граничної варіаційної нерівності не залежать від .

Усередненню (граничному аналізу) варіаційних нерівностей присвячені роботи М. Біролі, У. Моско, Х. Атуша, С. Пікарда, Ф. Мюра, Д. Чіоранеску, Д. Дал Масо, Г.О. Іосіф'яна, О.О. Ко-валевського та інших. Аналіз доступних публікацій показує, що більшість з них присвячено граничному аналізу при > 0 (усередненню) варіаційних нерівностей, які відповідають конкретній фізичній проблемі. І майже не існує робіт, в яких би будувався загальний підхід до усереднення таких об'єктів, встановлювалися умови, за яких можна гарантувати існування граничної варіаційної нерівності, досліджувалися її властивості і т.п. Зауважимо, що більшість авторів під усередненою варіаційною нерівністю розуміють таку варіаційну нерівність, до розв'язку якої (як правило єдиного) збігаються розв'язки вихідної варіаційної нерівності при > 0. Проте на сьогоднішній день не існує аксіоматичної теорії побудови усереднених варіаційних нерівностей досить широкого класу. Це означає, що актуальними є питання компактності класів варіаційних нерівностей відноснопроцедури усереднення, визначення достатніх умов існування граничних варіаційних нерівностей та ін.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась згідно з індивідуальним планом підготовки аспіранта та загальним планом наукових досліджень кафедри прикладної математики Дніпропетровського державного технічного університету залізничного транспорту Міністерства транспорту України.

Мета і задачі дослідження. Дисертаційна робота ставить за мету ввести для широкого класу варіаційних нерівностей єдину процедуру їх усереднення, запропонувати математичну основу для побудови граничних варіаційних нерівностей, встановити достатні умови їх існування і єдиності, а також вказати основні властивості їх розв'язків.

Об`єктом дослідження виступає наступна варіаційна нерівність

де - операція канонічного спарювання в парі банахових просторів Y* та Y, , , - підмножина Y. Оператор , функціонал і множина , на якій визначена варіаційна нерівність, залежать від деякого параметра .

Предметом дослідження є граничний аналіз таких варіаційних нерівностей за параметром .

При цьому основними проблемами, які розглядаються в роботі, є

· формалізація поняття граничної варіаційної нерівності;

· процедура побудови граничних нерівностей;

· визначення умов існування та єдиності усередненої варіаційної нерівності;

· дослідження структури усередненої варіаційної нерівності.

Методи досліджень. Оскільки розглядаються варіаційні нерівності в банахових просторах, то базовими є методи функціонального аналізу. Для усереднення задач умовної мінімізації існують, на відміну від варіаційних нерівностей, загальні методи усереднення, тому використовано регуляризацію варіаційних нерівностей (перехід до задач умовної мінімізації) і концепцію S-збіжності задач умовної мінімізації.

В основу ідентифікації множин допустимих значень граничної регуляризуючої задачі покладено концепцію топологічної збіжності множин за Куратовським.

Для дослідження структури усередненої задачі залучено концепцію G-збіжності операторів. Це дозволяє охопити найбільш загальний випадок при усередненні регуляризуючої задачі. В нерегулярному випадку, коли застосування G-збіжності неможливе, використовується концепція G*-збіжності операторів, що є узагальненням G-збіжності.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі:

? вперше запропоновано загальне означення усередненої варіаційної нерівності;

? вперше представлено загальну методику усереднення варіаційних нерівностей, яка базується на концепції варіаційної S-збіжності відповідних задач умовної мінімізації;

? вперше для досить широкого класу абстрактних варіаційних нерівностей встановлені достатні умови його компактності відносно процедури S-усереднення, умови існування і єдиності усередненої варіаційної нерівності, доведені відповідні теореми;

? вперше для розглянутого класу варіаційних нерівностей ідентифіковано загальну структуру усередненої варіаційної нерівності, яка може як співпадати з результатом покомпонентного усереднення вихідної варіаційної нерівності, так і суттєво відрізнятись від нього.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертації, дозволяють для широкого класу варіаційних нерівностей, що залежать від параметру і чисельне дослідження яких може бути ускладненим або неможливим, побудувати усереднену варіаційну нерівність, розв'язок якої в більшості випадків шукати значно легше. Отримано структуру варіаційних нерівностей, які є усередненими по відношенню до нерівностей, які виникають при дослідженні різноманітних задач в перфорованих областях. Основні результати дисертації включено в робочу програму дисципліни “Нелінійний аналіз та його застосування”, яка читається студентам четвертого курсу спеціальності “Економічна кібернетика” Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту імені академіка В.Лазаряна.

Особистий внесок автора. Результати дисертаційної роботи отримано автором особисто. В роботах [1-7] дисертантові належить розв'язання основних задач, а їх постановка -- науковому керівнику. А саме, в роботах [1,4] анонсовано результати автора з концепції S-усереднення нелінійних варіаційних нерівностей; наведені основні теореми про існування, єдиність і структуру усередненої варіаційної нерівності. В роботах [2,3] автору належать доведення результатів про характеристику топологічної збіжності множин за Куратовським в термінах напрямленостей для локально опуклих просторів. Зокрема в [2] автором доведені теореми про структуру і властивості усередненої регуляризуючої задачі (множини її допустимих пар і граничного функціоналу) та структуру і властивості розв'язків відповідної усередненої нелінійної варіаційної нерівності. В [3] автору належать результати ідентифікації усередненої варіаційної нерівності у “регулярному” випадку. В інших публікаціях, що написані у співавторстві, автору належить формулювання результатів граничного переходу за параметром у варіаційних нерівностях.

Апробація результатів дисертації. Результати, які наведені в дисертації, доповідались і обговорювались на V Міжнародній Кримській математичній школі "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, 2000 р.), Міжнародній конференції з диференційних рівнянь і динамічних систем (Росія, Суздаль, 2000 р.), Міжнародній конференції "Моделювання та оптимізація складних систем" (МОСС-2001), присвяченій 65-річчю з дня народження чл.-кор. НАН України Б.М. Бублика (Київ, 2001 р.), Міжнародній конференції "Dynamic System Modelling and Stability Investigation" (DSMSI-2001, Київ, 2001 р.), Республіканському семінарі "Проблеми керування та інформатики" (Дніпропетровськ, ДІІТ, 2001 р.), I-му Українському математичному конгресі (Київ, 2001 р.), Міжнародній конференції "Автоматика-2001" (Одеса, 2001 р.) та Міжнародній конференції "Асимптотики решений дифференциальных уравнений", присвяченій 70-річчю академіка А.М. Ільїна (Росія, Уфа, 2002 р.).

Публікації. За основними результатами дисертації опубліковано 3 статті в наукових журналах з переліку фахових видань з фізико-математичних наук, затвердженого ВАК України, 4 тези доповідей.

Обсяг та структура роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 101 найменування. Повний обсяг дисертації становить 119 сторінок друкованого тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, що розглядається в дисертації, обгрунтовано її актуальність, зазначено її зв'язок з науковими планами, темами, сформульовано мету і задачі дослідження. Охарактеризовано наукову новизну одержаних результатів, їх теоретичне та практичне значення. Відзначено також апробацію результатів, публікації за темою дисертації, висвітлено особистий внесок здобувача.

У першому розділі подається огляд літератури за обраною темою, окреслені основні етапи розвитку наукової думки в галузі методів усереднення оптимізаційних задач. Наведено характеристику основних методів, що використовуються при усередненні оптимізаційних задач, а саме: топологічної збіжності множин за Куратовським, G-, H-, H0- та G*- збіжності операторів, Г- та S-збіжності функціоналів, методу тестових функцій та слабкої двомасштабної збіжності тощо.

Зазначено, що на сьогоднішній день майже відсутні роботи з граничного аналізу абстрактних варіаційних нерівностей. Так, існує чимало прикладів усереднення конкретних варіаційних нерівностей “бар'єрного” типу (М. Біролі та У. Моско, Л.Бокардо і Ф.Мюра). Чималий інтерес привертають випадки усереднення, коли результатом граничного переходу є варіаційна нерівність з деякими “аномаліями” - якісними відмінностями порівняно з вихідною варіаційною нерівністю (Д. Чіоранеску, Ф. Мюра, Н. Атуш та С. Пікард, Дж. Дал Масо та А. Гарроні, Г. Іосіф'ян та багато інших). В роботах О. Ковалевського розглянуто проблему усереднення абстрактних варіаційних нерівностей за досить специфічних умов.

Таким чином, досі не існує аксіоматичної теорії побудови усереднених варіаційних нерівностей, достатніх умов існування усереднених нерівностей та ін.

У другому розділі вводяться всі необхідні поняття, які використовуються в подальшому, та доводяться допоміжні результати з теорії топологічної збіжності множин за Кураторським, теорії нелінійного аналізу та інше.

Так, у підрозділі 2.1 наведені відомі означення напрямленості, піднапрямленості, збіжної напрямленості. Для функціоналів - означення надграфіку та його звуження, властивість рівномірної коерцитивності. Для операторів в банахових просторах даються означення графіку, звуження графіку, означення радіальної неперервності, монотонності та строгої монотонності, псевдомонотонності та властивості М. Введено рівномірні аналоги властивості напівобмеженої варіації та локальної обмеженості операторів для напрямленості операторів. Доведено, що кожна напрямленість операторів з рівномірно напівобмеженою варіацією є рівномірно локально обмеженою. Завершує підрозділ означення рівномірної коерцитивності операторів.

Підрозділ 2.2 присвячений регуляризації варіаційних нерівностей за допомогою екстремальних задач. Мета цього підрозділу - подати результат В.С. Мельника та О.В. Солонухи, який стверджує еквівалентність досліджуваної варіаційної нерівності з коерцитивним радіально неперервним оператором з напівобмеженою варіацією та наступної задачі оптимального керування:

де , v - функція керування.

Еквівалентність полягає в співпаданні множин y-розв'язків. Цей результат дає можливість проводити граничний аналіз, використовуючи структуру задачі (1)-(2).

В підрозділі 2.3 доведено результати, які характеризують топологічну збіжність множин за Куратовським в хаусдорфовому топологічному просторі за допомогою збіжних напрямленостей. Ці результати узагальнюють відому характеристику збіжних за Куратовськтм множин в метричних просторах за допомогою збіжних послідовностей.

Підрозділ 2.4 містить означення та результати з теорії варіаційної S-збіжності задач умовної мінімізації. Концепція варіаційної S-збіжності встановлює умови для абстрактних задач умовної мінімізації, за яких з вихідного сімейства задач умовної мінімізації можна вилучити збіжну підпослідовність, для якої має місце збіжність мінімальних значень функціоналів до мінімального значення функціоналу граничної задачі та збіжність розв'язків вилученої послідовності задач до розв'язку граничної задачі. Саме збіжність розв'язків, точніше y-розв'язків задачі (1)-(2), дозволяє говорити про усереднення варіаційних нерівностей, якщо вдається знайти S-границю для задач (1)-(2) та поставити у відповідність до неї деяку варіаційну нерівність.

В підрозділі 2.5 наведене означення G-збіжності абстрактних операторів, яке було введене Де Джорджі і Спаньоло в 70-х роках. Використання цієї концепції пов'язано з тим, що G-границя операторів є однією з найслабших збіжностей операторів і в рамках цієї концепції отримано багато результатів з усереднення для багатьох класів операторів.

В підрозділі 2.6 наведено основні результати з концепції G*-збіжності операторів, яка була розроблена Когутом П.І. і є узагальненням G-збіжності. Необхідність переходу до G*-збіжності операторів виникає тоді, коли при усередненні операторних рівнянь немає сильної збіжності правих частин (тобто функціоналів ), що є необхідною умовою при класичній схемі G-усереднення. Наведена концепція дозволяє за деяких умов перейти до границі навіть в таких рівняннях при наведених умовах на їх праві частини.

Означення 2.36. Для оператора множина

називається прототипом графіка gr(A). Тут {B } - лінійні рівномірно обмежені оператори такі, що збігається слабко в Y* для будь-якої сильно збіжної напрямленості .

Означення 2.37. Припустимо, що - деякий лінійний неперервний коерцитивний оператор. Будемо казати, що напрямленість операторів G*-збігається до оператора відносно сімейства операторів B , якщо

Зауважимо, що означення G*-границі операторів {} дається в термінах -топології (добутку сильної топології в Y* та слабкої в Y). Більше того, якщо припустити B = I, де I : - оператор тотожності, то кожний з прототипів графіків співпадає з відповідним графіком gr(). Отже, означення 2.37 зводиться до відомого означення G-збіжності.

Наведемо головну умову, що дозволяє скористатися перевагою концепції G*-збіжності операторів.

(A) Нехай для напрямленості , яка слабко збігається до деякого , знайдуться оператори і напрямленість такі, що збігається сильно до, при всіх і при цьому для операторів існує G*-границя відносно сукупності операторів B .

Надалі сукупність будемо називати напрямленістю прототипів для . Теорема 2.13. За виконання умови (А) для будь-якої обмеженої слабко збіжної напрямленості та обмеженої слабко збіжної в Y* напрямленості справедливо

,

де u - слабка границя для , f - слабка границя для .

Узагальненню результатів G*-усереднення операторних рівнянь на випадок варіаційних нерівностей присвячений підрозділ 3.8 дисертаційної роботи, де розглядається так званий нерегулярний випадок. Зауважимо, що G*-граничний оператор в загальному випадку може суттєво відрізнятися від G-граничного.

У третьому розділі встановлені всі основні результати дисертаційної роботи: результати ідентифікації S-усередненої регуляризуючої задачі та відповідної варіаційної нерівності. Розглянуто так званий регулярний випадок і випадок із послабленими умовами на вихідну варіаційну нерівність. Наведені топологічні властивості усередненої варіаційної нерівності.

Підрозділ 3.1 є вступом в проблему усереднення варіаційних нерівностей. Він містить постановку задачі усереднення і ідею методу її розв'язання. Тут же наведене загальне означення усередненої варіаційної нерівності.

Означення 3.1. Будемо казати, що варіаційна нерівність є усередненою до вихідної варіаційної нерівності (*) при , якщо множина її розв'язків включає в себе верхню слабку секвенційну топологічну границю послідовності, що складається з множин розв'язків варіаційної нерівності (*) при відповідних значеннях .

Зрозуміло, що це означення дає широкий простір для знаходження усередненої варіаційної нерівності: їх може бути, взагалі кажучи, нескінченно багато. Навряд чи буде за доцільне вважати усередненими всі підпадаючі під це означення об'єкти (які за структурою можуть і не бути варіаційними нерівностями). Цілком природньо вимагати, щоб усереднена варіаційна нерівність мала структуру типу (*), тобто була визначена на строго детермінованій множині , за допомогою деякого оператора і функціонала так, щоб усі ці компоненти "природньо" виражалися через відповідні компоненти вихідної варіаційної нерівності (*). Все це означає, що необхідно знайти такі методи усереднення, які б гарантували існування единої усередненої варіаційної нерівності та можливість ідентифікації її структури.

Разом з тим підкреслимо, що, відповідно до означення 3.1, основною вимогою до процедури усереднення є слабка збіжність множин розв'язків вихідної варіаційної нерівності (*) до деякої підмножини розв'язків усередненої варіаційної нерівності. Проте далеко не завжди структура усередненої варіаційної нерівності може бути визначена через "пряме" усереднення відповідних компонент , , вихідної нерівності.

Ідея методу усереднення, який задовольняє всім цим вимогам, полягає в наступному: поставити у відповідність варіаційній нерівності (*) екстремальну задачу (1)-(2), побудувати для неї абсолютну варіаційну S-границю (усереднити), а потім відтворити для неї варіаційну нерівність, яку можна назвати усередненою завдяки властивостям S-границь. Цей підхід відображено в наступній діаграмі:

ВН ВН

ЗУМ ЗУМ

де ВН - вихідна варіаційна нерівність (*), ЗУМ - задача умовної мінімізації, необхідні та достатні умови екстремуму якої можна подати у вигляді варіаційної нерівності (*), S-lim - процедура пошуку усередненої ЗУМ у відповідності до концепції варіаційної S-збіжності.

Підрозділ 3.2 присвячений питанню S-компактності сімейства регуляризуючих екстремальних задач (1)-(2). Позитивну відповідь на це питання дає концепція S-збіжності у разі рівномірної компактності функціоналів . Тож найважливішим результатом цього підрозділу є наступна

Лема 3.1. Припустимо, що виконуються наступні умови:

напрямленість операторів є рівномірно коерцитивною з рівномірно напівобмеженою варіацією;

.

Тоді напрямленість функціоналів з (1)-(2) є рівномірно коерцитивною в добутку сильної та слабкої топології для Y*Y.

Підрозділ 3.3 присвячений визначенню структури топологічної границі множин допустимих пар задач (1)-(2), на якій, згідно з концепцією S-збіжності, визначається S-граничний функціонал усередненої задачі. Доведено, що для класу строго монотонних рівномірно коерцитивних радіально неперервних операторів , які G-збігаються до, множина допустимих пар граничної задачі є наступною :

, (3)

де - слабка топологічна границя множин , - сильна границя функціоналів в просторі Y*.

Підрозділ 3.4 є ключовим для регулярного випадку. Тут встановлено структуру S-граничного функціоналу та варіаційні властивості S-граничної задачі.

Теорема 3.2. Нехай оператори є рівномірно коерцитивними, радіально неперервними з рівномірно напівобмеженою варіацією та функціонали є сильно збіжними. Тоді структура S-граничного функціоналу для напрямленості функціоналів з сімейства задач (1)-(2) має наступний вигляд:

, (4)

де .

Доведення теореми базується на секвенційних властивостях S-границь, застосування яких є можливим завдяки рівномірній коерцитивності функціоналів в напрямленості задач (1)-(2).

Варіаційні властивості отриманої граничної задачі є наслідком властивостей абстрактних S-границь.

Теорема 3.3. Нехай оператори є рівномірно коерцитивними, радіально неперервними, строго монотонними та G-збіжними. Нехай - єдиний розв'язок задач (1)-(2) для вилученої S-збіжної послідовності задач. Якщо послідовність збігається в -топології - добутку сильної топології на Y* та слабкої на Y - до , то - мінімізант S-граничного функціоналу на граничній множині (3) і при цьому

.

Проте -збіжності мінімізантів може й не бути. Отже, можна стверджувати лише їх збіжність в добутку слабких топологій. Таким чином, щоб скористатися запропонованою схемою, вводиться наступна умова.

Означення 3.2. (властивість П). Будемо казати, що варіаційна нерівність (*) задовольняє властивості (П), якщо при образи її розв'язків під дією операторів (тобто ) є компактними в сильній топології простору Y*.

Зауважимо, що це є єдиною суттєвою умовою, при виконанні якої можна стверджувати наведений в підрозділі 3.5 результат усереднення.

Теорема 3.4. Нехай для варіаційної нерівності (*) в банаховому просторі Y (з рефлексивним сепарабельним спряженим простором Y*) виконуються наведені умови, а також властивість (П), і при цьому оператори G-збігаються до оператора , де - радіально неперервний строго монотонний коерцитивний оператор з напівобмеженою варіацією. Тоді існує послідовність така, що результатом усереднення для відповідної послідовності варіаційних нерівностей виду (*) є нерівність

єдиний розв'язок якої є слабкою границею послідовності розв'язків нерівністей (*) при .

Звичайно, умова (П) є лише достатньою, а не необхідною. Дослідженню альтернативних умов присвячений підрозділ 3.6. В ньому показано, що для класу рівномірно псевдомонотонних операторів, коли кожна з множин включена в “попередню”, результат усереднення залишається справедливим і без умови (П).

Іншим напрямком послаблення отриманих умов (підрозділ 3.7) є припущення, що для сімейства множин існує лише нижня непорожня слабка границя за Куратовським , яка не обов'язково співпадає із верхньою, як вимагалося вище. Виявляється, що в цьому випадку, при збереженні всіх інших умов, хоча й не вдається повністю ідентифікувати S-границю, все ж таки можна стверджувати, що функціонал (4) з теореми 3.2 досягає мінімуму на множині , і при цьому його мінімізант є -границею послідовності мінмізантів регуляризуючих задач. Таким чином, від отриманої “граничної” задачі можна перейти до наступної варіаційної нерівності, яка буде усередненою до (*) згідно запропонованої схеми:



Відмовитись від умови існування топологічної границі множин і при цьому перейти до границі в варіаційній нерівності було можливим за рахунок умови (П), яка суттєво використовувалась при визначенні структури граничного функціоналу з граничної регуляризуючої задачі.

Підрозділ 3.8 є узагальненням наведених раніше в розділі 3 результатів на “нерегулярний” випадок, коли не виконується умова (П) і припускається, що функціонали з правої частини варіаційної нерівності (*) не збігаються сильно, а мають лише слабку границю в спряженому просторі. Такі послаблення не дозволяють скористатися наведеною схемою безпосередньо в першу чергу через те, що при ідентифікації S-граничного функціоналу приходиться переходити до границі в послідовності {}, елементами якої є елементи слабко збіжних послідовностей та . Як відомо, границя такої послідовності скалярних добутків може відрізнятись від скалярного добутку слабких границь. Через те доцільним виявилось використання концепції G*-збіжності, основні твердження якої були наведені в підрозділі 2.6. При цьому відповідно змінилася регуляризуюча задача та основна умова - умова (П), аналог умови (А) : в цьому випадку вимагається не сильна збіжність образів розв'язків під дією операторів , а сильна збіжність так званих прототипів цих образів, точніше збіжність послідовності до - слабкої границі - та до . Тут - прототип для , , - слабка границя . Регуляризуюча екстремальна задача набуває відповідний вигляд:

де .

Такий підхід дозволив застосовувати запропоновану процедуру усереднення, все ще оперуючи в добутку сильної топології спряженого простору та слабкої - простору Y. (Розглянуто лише випадок лінійних операторів).

Доведено, що функціонали (6) є рівномірно коерцитивними в топології ?. Це дозволяє встановити S-компактність сімейства регуляризуючих задач (5)-(6) (теорема 3.6).

Нехай - множина допустимих пар регуляризуючої задачі (5)-(6), тобто .

Лема 3.5. Нехай виконуються умови (А) та (П). Тоді

,

де - G*-граничний оператор для сімейства операторів .

При цьому структура S-граничного функціоналу за умов (А) та (П) співпадає з граничним функціоналом (4) для “регулярного” випадку (теорема 3.7).

Зауважимо, що збіжність мінімізантів задачі (5)-(6) до мінімізанту граничної задачі випливає з концепції варіаційної S-збіжності задач умовної мінімізації та умови (П) (теорема 3.8). Таким чином, усереднена задача умовної мінімізації, згідно запропонованої схеми усереднення, відповідає усередненій варіаційній нерівності, яка має наступний вигляд (теорема 3.9):

Завершується розділ прикладами усереднення для регулярного випадку (підрозділ 3.9) та висновками.

Приклад 3.1. Нехай вихідна варіаційна нерівність має наступний вигляд:

де - обмежена область з, а , є 1-періодичними функціями з , більшими деякого > 0 м.в. на .

Множини є "бар'єрного" типу:

або

,

де сильно в м.в. на ,.

Умови сильної збіжності бар'єрів та дозволяють встановити справедливість умови (П) для “регулярного” випадку (означення 3.2). Тоді, згідно теореми 3.4, для довільної послідовності {}, сильно збіжної в до , усереднена варіаційна нерівність має вигляд:

де означає середнє значення періодичної функції;

слабка топологічна границя множин має наступний вигляд:

;

.

Якщо ж функції та збігаються лише слабко, то умова (П), взагалі кажучи, не виконується і усереднена варіаційна нерівність виражається за допомогою -граничного оператору :

при цьому

де - G-граничний оператор з попередньої варіаційної нерівності, , а оператор потребує подальшої ідентифікації.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі наведено дослідження проблеми усереднення варіаційних нерівностей. При цьому отримано такі нові наукові результати:

введено означення усередненої варіаційної нерівності;

для класу варіаційних нерівностей з нелінійними операторами запропоновано аксіоматичні основи теорії їх усереднення;

встановлено достатні умови існування і єдиності усереднених варіаційних нерівностей;

досліджено основні топологічні властивості усереднених варіаційних нерівностей;

визначено загальну структуру усередненої варіаційної нерівності, яка може як співпадати з результатом покомпонентного усереднення вихідної варіаційної нерівності, так і суттєво відрізнятись від нього.

Одержані результати дозволяють встановити аналітичний вигляд усередненої, тобто граничної за параметром , задачі для параметризованих варіаційних нерівностей, чисельне дослідження яких неможливе через неспроможність обчислювальних процедур, а аналітичний розв'язок вдається знайти лише в виключних випадках. Практичне застосування одержаних результатів можна проілюструвати прикладами знаходження ефективних (усереднених) характеристик слоїстих середовищ (товщина слоїв ), та усередненням пружно-пластичного кручення циліндру з періодично розташованими в ньому волокнами діаметру при обмеженнях на його максимальну деформацію. Вiрогiднiсть результатів забезпечується точними математичними доведеннями всіх положень та висновків, які наведені в дисертації. Про коректність отриманих результатів свідчить той факт, що деякі відомі приклади усереднення варіаційних нерівностей випливають як частинний випадок з наведених загальних тверджень.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Когут П.И., Мусейко О.В. Об S-усреднении линейных вариационных неравенств в банаховых пространствах. Регулярный случай // Проблемы управления и информатики. - 2001. - № 5. - С. 27-46.

2. P.I. Kogut, O.V. Museyko On the homogenization of variational inequalities // Тези V Міжнародної Кримської математичної школі "Метод функций Ляпунова и его приложения" (9-14 вересня), Алушта, 2000. - С. 73.

3. P. I. Kogut, O. V. Museyko. On the S-homogenization of Linear Variational Inequalities in Banach Spaces // Матеріали міжнародної конференції з управління “Автоматика - 2001” (10-14 вересня), Одеса, 2001.- Т.1.- С. 35.

4. Museyko O. On the S-homogenization of Variational Inequalities in Banach Spaces, Non-regular Case // Тези доповідей Міжнародної конференції “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation (DSMSI-2001)” (22 - 25 травня), Київ, 2001. - С. 129.

5. Museyko O. On the S-homogenization of Variational Inequalities for Certain Class of Non-linear Operators in Banach Spaces // Праці міжнародної конференції "Моделювання та оптимізація складних систем (MOSS -2001)", присвяченої 65-річчю від дня народження чл.-кор. НАН України Бублика Б.М. (25-28 січня), Київ, 2001. - Т.1 - С. 53-55.

АНОТАЦІЯ

Мусейко О.В. Граничний аналіз параметризованих варіаційних нерівностей. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, Дніпропетровськ, 2002.

Дисертацію присвячено проблемі усереднення абстрактних нелінійних варіаційних нерівностей в банахових просторах. Для широкого класу таких математичних об'єктів як варіаційні нерівності запропоновано єдиний формалізм процесу їх усереднення, розроблено математичний апарат для побудови усередненої варіаційної нерівності, одержано достатні умови її існування, досліджено її структуру та основні топологічні властивості.

В основі запропонованої схеми усереднення лежить відношення еквівалентності між варіаційними нерівностями та спеціальним чином сконструйованими екстремальними задачами з фазовими обмеженнями. Таким чином, усереднення варіаційних нерівностей реалізується через S-усереднення відповідних екстремальних задач. Доведено, що S-гранична екстремальна задача відповідає усередненій варіаційній нерівності.

Ключові слова: усереднення, параметризована варіаційна нерівність, S-збіжність.

ANNOTATION

Museyko O.V., Limit analysis of variational inequalities with parameter. - Manuscript.

The thesis is for a candidate degree in Physics and Mathematics by specialty 01.05.01 - Theoretical Bases of Computer Science and Cybernetics. - Dniepropetrovsk National University, Dniepropetrovsk, 2002.

The thesis deals with the homogenization problem for abstract non-linear variational inequalities in Banach spaces. For a wide class of such mathematical objects as variational inequalities the unified formalism of homogenization is proposed, the method of homogenized inequality identification is developed. The existence of limit inequality is proved under certain sufficient conditions. The structure and the main topological properties of obtained homogenized variational inequality are studied.

The homogenization approach is based on the equivalence of variational inequalities and special kind extremal problems with phase restrictions. Thus, homogenization of variational inequalities is reached through the S-homogenization of such extremal problems. By the S-limit problem the homogenized variational inequality is recovered under certain conditions.

Keywords: homogenization, variational inequality with parameter, S-convergence.

АННОТАЦИЯ

Мусейко О.В. Предельный анализ параметризованных вариационных неравенств. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. - Днепропетровский национальный университет Министерства просвещения и науки Украины, Днепропетровск, 2002.

Диссертация посвящена проблеме усреднения абстрактных вариационных неравенств с нелинейными операторами в банаховых пространствах. Усреднение представляет собой предельный переход по параметру , от которого зависят, вообще говоря, произвольным образом, составляющие вариационного неравенства: оператор, функционал и область определения. Переход к пределу позволяет отказаться от задачи отыскания решения параметризованного вариационного неравенства, которая на практике разрешима только в исключительных случаях, и вместо этого искать решения усредненного вариационного неравенства, которое от параметра уже не зависит. В результате решение усредненного вариационного неравенства может рассматриваться как приближение к исходному решению , при этом "близость" этих решений состоит в том, что имеет место слабая сходимость решений к при > .

Для широкого класса таких математических объектов как вариационные неравенства предложен единый формализм процесса их усреднения, разработан математический аппарат для построения усредненного вариационного неравенства, получены достаточные условия его существования, исследована его структура и основные топологические свойства.

Процедура усреднения состоит в переходе от вариационного неравенства к эквивалентной экстремальной задаче, для усреднения которой используется формализм вариационной S-сходимости задач условной минимизации. S-усредненной экстремальной задаче ставится в соответствие определенное вариационное неравенство и доказывается, что оно является усредненным по отношению к исходному.

Рассмотрены два важных случая в усреднении. Так называемый регулярный случай имеет место, когда усредненное вариационное неравенство является результатом покомпонентного усреднения исходного неравенства. Нерегулярный случай приводит к вариационному неравенству, структура которого может, вообще говоря, существенно отличаться от “ожидаемой”.

Единственным существенным условием (достаточным), при котором справедливы полученные результаты, является требование сильной компактности образов решений вариационного неравенства (при различных значениях параметра) под действием операторов (для регулярного случая). Для нерегулярного случая существует аналогичное, но более слабое условие. Рассмотрены также некоторые альтернативы этим условиям.

Приведены примеры усреднения для регулярного случая.

Ключевые слова: усреднение, параметризованное вариационное неравенство, S-сходимость.

Размещено на Allbest.ur