Аналитическое конструирование оптимального регулятора

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

понтрягин максимум программирование регулирование

Введение

1. Математическое описание объекта регулирования

2. Синтез оптимального управления с использованием принципа максимума Понтрягина для первого уровня системы

3. Синтез оптимального управления с использованием метода динамического программирования для второго уровня системы

4. Реализация оптимального управления

5. Анализ качества регулирования

Выводы

Введение

В настоящее время с развитием науки и техники усложняются производственные процессы и, соответственно, для наилучшего управления ими требуются оптимальные регуляторы. Промышленные регуляторы, реализующие типовые законы регулирования, зачастую не обеспечивают желаемого качества управления. Всё это приводит к необходимости создавать оптимальные регуляторы. Для решения этой задачи используют аналитическое конструирование, под которым понимают группу методов синтеза автоматических систем управления, которые позволяют по выбранному в качестве критерия оптимальности аналитически сконструировать закон управления.

В основу аналитического конструирования положена концепция возмущённого - невозмущённого движения Ляпунова. В соответствии с ней при синтезе оптимального управления необходимо, чтобы оно всегда сводило бы возмущенное движение к невозмущенному, а также обеспечивалась минимизация функционала - критерия качества.

В данном курсовом проекте будет рассматриваться синтез оптимального регулятора двумя методами: принципом максимума Понтрягина и методом динамического программирования.

1. Математическое описание объекта регулирования

Объект управления представлен передаточной функцией вида:

где k₁ = 1,7; k₂ = 2,2; k₃ = 1,8;

Т₁ = 142 c; Т₂ = 50 c; Т₃ = 57 c.

Структурная схема объекта управления представлена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 Структурная схема объекта управления

Для проведения синтеза оптимального регулятора приведем уравнения возмущенного движения объекта. Перейдем от передаточной функции объекта управления к системе дифференциальных уравнений:

где ; ; ;

; ; ;

График кривой разгона объекта представлен на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 График кривой разгона объекта управления

2. Синтез оптимального управления с использованием принципа максимума Понтрягина для первого уровня системы

При аналитическом конструировании регуляторов задаются уравнения возмущенного движения, выбирается функционал, как критерий оптимальности. Задача сводится к нахождению структуры, обеспечивающей устойчивость системы, минимум функционала и заданное качество регулирования.

В качестве критерия оптимальности выберем квадратичный функционал:

(2.1)

Функционал (2.1) характеризует интегральную квадратичную ошибку за все время переходного процесса, взвешенную по постоянным а₁, а₂, а₃, с.

Значения весовых коэффициентов функционала рассчитаем по формулам, предоставленным профессором Жиляковым В.И.:

.

Принимаем t_р = 392.7 с; с = 1. Рассчитаем значения весовых коэффициентов функционала.

;

.

Рассчитанные весовые коэффициенты должны обеспечивать апериодический переходный процесс с заданным временем t_p = 392.7c.

Функционал (2.1) является целью управления, поэтому задача заключается в том, чтобы найти такое управление, то есть закон управления в аналитической форме, чтобы он в совокупности с уравнениями возмущенного движения образовывал устойчивую замкнутую систему, гарантировал минимум функционала (2.1) и заданное качество регулирования, которое осуществляется соответствующим выбором весовых коэффициентов а₁, а₂, а₃, с.

Функционал представляет собой интегральную квадратичную ошибку регулирования за все время переходного процесса взвешенную по константам. Следовательно имеем задачу Лагранжа - задачу на условный экстремум, так как функции у₁, у₂, у₃ будут являться решениями замкнутой системы дифференциальных уравнений (1.1) плюс уравнение регулятора.

Для начала необходимо ввести дополнительные обозначения f₀, f₁, f₂, f₃ и вспомогательную искусственную координату у₀:

f₁ = b₁₁•y₁ + b₁₂•y₂;

f₂ = b₂₂•y₂ + b₂₃•y₃;

f₃ = b₃₃•y₃ + m•U;

.

Необходимо составить функцию Гамильтона:

;

где _I - вспомогательный вектор, компоненты которого подчиняются дифференциальному уравнению:

i=0,1,2,3. (2.2)

Следовательно,

(2.3)

Максимум функции Гамильтона определяет оптимальное управление. Следовательно, необходимо исследовать на максимум по U функцию (2.3). Составим промежуточную функцию, приняв ₀ = -1.

. (2.4)

Будем исследовать на максимум функцию (2.4):

. (2.5)

Естественно, что максимум функции (2.5) достигается в том случае, если выражение в скобках равно нулю, значит:

(2.6)

Для определения управления в явной форме по (2.6) необходимо найти значение _3. Для этого раскроем выражение (2.2):

,

точно так же найдем:

;

; (2.7)

.

Для того чтобы определить ₃, сводится к тому, что управление (2.6) необходимо подставить в уравнение невозмущенного движения (1.1), а систему (2.7) присоединив к (1.1), получим уравнения вариационной задачи:

;

;

; (2.8)

;

;

.

Дальнейшая задача заключается в том, чтобы найти решение уравнений вариационной задачи. Для чего найдем ее характеристическое уравнение. Первоначально составим характеристический определитель вариационной задачи:

(2.9)

Раскрыв определитель, найдем характеристическое уравнение р = 0, которое будет иметь вид:

(2.10)

Свойство этого характеристического уравнения состоит в том, что оно будет иметь 3 отрицательные устойчивые корня р₁, р₂, р₃ и 3 положительные неустойчивые корня р₄, р₅, р₆. Положительные корни не имеют никакого отношения к синтезируемой системе и могут быть отброшены за ненадобностью. Решив уравнение (2.10), найдем корни характеристического уравнения синтезируемой замкнутой системы:

р₁ = р₂ = р₃ = - 0,02

Запишем характеристическое уравнение синтезируемой замкнутой системы:

(2.11)

где ₁,₂,₃ определяются через корни р₁,р₂,р₃ по теореме Виета.

₃ = - (р₁ + р₂ + р₃) = 0.06;

₂ = р₁ • р₂ + р₁ • р₃ + р₂ • р₃ = 1.2 · 10^-3;

₁ = - р₁ • р₂ • р₃ = 8 · 10^-6.

Очевидно, что ₃ является функцией всех фазовых координат у₁, y₂, y₃, следовательно, аналитическое уравнение управления будет иметь вид:

(2.12)

Таким образом, если найти неизвестные коэффициенты n₁, n₂, n₃, то задача поиска оптимального управления будет решена. Подставим уравнение регулятора (2.12) в уравнения возмущенного движения (1.1).

(2.13)

Система уравнений (2.13) представляет собой уравнения замкнутой устойчивой системы. Найдем характеристическое уравнение системы (2.13):

(2.14)

Раскрывая определитель, найдем характеристическое уравнение в виде:

(2.15)

Раскрывая определитель (2.14) обнаружим, что коэффициент ₃ зависит от коэффициентов уравнений объекта (1.1) и от коэффициента n₃ оптимального управления (2.12). Коэффициент ₂ зависит от коэффициентов n₃ и n₂. А коэффициент ₁ зависит от коэффициентов n₃, n₂ и n₁. Так как характеристическое уравнение (2.15) тоже является характеристическим уравнением синтезируемой замкнутой системы, как и уравнение (2.11), следовательно, равны их соответствующие коэффициенты:

₃ = ₃; ₂ = ₂; ₁ = ₁.

Таким образом, можно найти неизвестные коэффициенты оптимального управления:

;

;

.

При вычислении получим, что:

n₁ = 0,048;

n₂ = 0,121;

n₃ = 0,488

3. Синтез оптимального управления с использованием метода динамического программирования для второго уровня системы

Значения весовых коэффициентов функционала для второго уровня системы рассчитаем аналогично первому уровню при t_p/10. Таким образом:

.

Объект управления задан уравнениями возмущенного движения (1.1). Зададимся целью управления в виде функционала:

(4.1)

Задачу синтеза будем решать методом динамического программирования, используя функционал (4.1). Составим первое функциональное уравнение Беллмана:

(4.2)

Составим второе уравнение Беллмана:

Следовательно:

(4.3)

Теперь поиск оптимального управления сводится к нахождению . Для этого для начала составим функцию Ляпунова:

;

; (4.4)

;

Преобразуем уравнение (4.2), подставив в него (4.3) и (4.4):

(4.5)

Для того, чтобы (4.5) было справедливо, необходимо одновременное равенство коэффициентов при соответствующих переменных. Поэтому приравняем приравняем коэффициенты в (4.5) при произведениях переменных y₁², y₁y₂ и так далее до y₃².

Таким образом получаем следующую систему нелинейных алгебраических уравнений:

: ;

: ;

: ;

: ;

: ;

: .

Используя программу MATLAB, определим неизвестные коэффициенты управления А₁₃, А₂₃, А₃₃.

А₁₃ = 4,509; А₂₃ = 4,165; А₃₃ = 16,575.

4. Реализация оптимального управления

После окончания процедуры синтеза необходимо реализовать найденное управление, т.е построить структуру оптимальной системы.

Существует два качественно различных способа реализации закона управления. Первый заключается в том, что управление может быть реализовано различными способами. Второй подход подразумевает, что поскольку оптимальное управление единственно, то единственна и структура его реализующая.

В данном курсовом проекте для реализации оптимального управления будет применяться второй подход. Структура одноуровневой системы оптимального управления приведена на рисунке 4.1, а двухуровневой - на рисунке 4.2.

В двухуровневой иерархической системе первый уровень - задатчик невозмущённого движения, включающий в себя модель объекта и регулятор с коэффициентами, рассчитанными на время регулирования t_p= 392,7с на этом уровне формируется желаемый вид невозмущённого движения y₁(t), y₂(t), y₃(t). Сформированные невозмущённые движения используются на втором уровне системы в качестве задающих воздействий, с которыми сравниваются фактические движения объекта y₁^*(t), y₂^*(t), y₃^*(t), формируя таким образом возмущённое движение системы з₁(t), з₂(t), з₃(t). Поскольку управление U(t) первого уровня прикладывается и к объекту управления, то при точном моделировании объекта, постоянных его параметрах и отсутствии внешних возмущений невозмущённое и фактическое движение системы полностью совпадут. При этом з₁(t) = з₂(t) = з₃(t) = 0. Регулятор второго уровня формирует U^* = 0. Если математическая модель построена неточно или меняются параметры объекта, или на объект действует внешнее возмущение, то возмущённое движение з₁(t), з₂(t), з₃(t) будет ? 0. Коэффициенты регулятора второго уровня рассчитываются из расчета быстродействия в 10 раз большего чем задатчика невозмущённого движения.

Рисунок 4.1 Cтруктурная схема одноуровневой системы управления

Рисунок 4.2 Cтруктурная схема двухуровневой системы управления

5. Анализ качества регулирования

Для оценки качества работы синтезированных систем оптимального управления необходимо промоделировать их работу при отработке задания, а также при воздействии параметрического возмущения.

Результаты моделирования работы одноуровневой системы, приведенной на рисунке 4.1 представлены на рисунках: 5.1 (переходные процессы по заданию), 5.2 (переходные процессы при параметрическом возмущении).

По рисунку 5.1 видно, что переходный процесс апериодический длительностью 392,7с, что соответствует поставленной цели. Следовательно, коэффициенты n₁, n₂, n₃ рассчитаны правильно. Статическая ошибка составляет менее 5%. По рисункам 5.1, 5.2 можно заключить, что динамика переходных процессов по заданию и по возмущению одинакова, т.е. система отрабатывает внешнее возмущение.

Проведём моделирование работы двухуровневой системы (рисунок 4.2) с коэффициентами оптимального регулятора, рассчитанными по методу динамического программирования. Графики переходных процессов по заданию представлены на рисунке 5.3. Графики переходных процессов при отработке параметрического возмущения приведены на рисунке 5.4.

Как видно из графиков (рисунки 5.3, 5.4), двухуровневая система с коэффициентами, рассчитанными по методу динамического программирования, отрабатывает параметрическое возмущение очень быстро, это обусловлено тем, что время регулирования второго уровня системы на порядок ниже (39,72 с). Статическая ошибка составляет менее 5%.

Графики возмущенного движения з₁, з₂, з₃ представлены на рисунке 5.5.

Рисунок 5.1 Графики переходных процессов одноуровневой системы по заданию

Рисунок 5.2 Графики переходных процессов одноуровневой системы при параметрическом возмущении

Рисунок 5.3 Графики переходных процессов двухуровневой системы по заданию

Рисунок 5.4 Графики переходных процессов двухуровневой системы при параметрическом возмущении

Рисунок 5.5 Графики возмущенного движения

Выводы

В процессе выполнения курсового проекта были синтезированы одноуровневая и двухуровневая автоматические системы регулирования. Расчеты коэффициентов оптимального управления велись с помощью двух методов: принципа максимума Понтрягина и метода динамического программирования.

Коэффициенты оптимального управления для первого уровня:

п₁ = 0.048;

n₂ = 0.121;

n₃ =0.488.

Коэффициенты оптимального управления для второго уровня:

A₁₃ = 4.509;

A₂₃ = 4.165;

A₃₃ = 16.575.

Исследование показателей качества полученной АСР показывает, что данная АСР обеспечивает заданное качество регулирования, т.е апериодический переходный процесс и время регулирования t_p = 392.7 с.

Анализируя переходные процессы в синтезированной АСР, можно сделать вывод о том, что применение в данной системе оптимального регулирования и принципов теории возмущённого - невозмущённого движения позволяет добиться эффективного подавления внешних и параметрических воздействий, а также обеспечивает наперёд заданный вид переходного процесса.

Размещено на Allbest.ru