Позиционные системы счисления

Размещено на http://www.allbest.ru

1

КАЛУЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

ФИЗИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Программирование»

на тему «Позиционные системы счисления»

Выполнил:

Студентка 2-ого курса

группы ФТИ-24

Шихалиева Эльмира

Научный руководитель:

Хромова Наталия Николаевна



Содержание

• Введение
• Глава 1.Теоритические основы позиционных систем счисления

1.1 История позиционных счислений

1.2 Непозиционная система счислений

• Глава 2.Описание программы

Глава 3. Примеры. Переводы чисел

• Заключение
• Список использованной литературы


Ведение

В повседневной жизни мы, как правило, пользуемся десятичной системой счисления. Но это лишь одна из многих систем, которая получила свое распространение, вероятно, по той причине, что у человека на руках 10 пальцев. Однако эта система не всегда удобна. Так, в вычислительной технике применяется двоичная система счисления.

В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались те или иные системы счисления. Например, довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году двенадцать. Двенадцатеричная система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).

В древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Она, как и двенадцатеричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам, аналогично в системе измерения углов: 1 градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).

У некоторых африканских племен была распространена пятеричная система счисления, у ацтеков и народов майя, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента, - двадцатеричная система. У некоторых племен Австралии и Полинезии встречалась двоичная система. В данной работе будут рассмотрены различные системы счисления.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления. счисление позиционный непозиционный двоичный

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.



Глава 1.Теоритические основы позиционных систем счислений

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют системы позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатиричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

1.1 История позиционных счислений

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.



Древнеегипетская десятичная непозиционная система

	единицы
	десятки
	сотни
	тысячи
	десятки тысяч
	сотни тысяч
	миллионы

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

1.2 Непозиционная система счислений

Непозиционные - алфавит которых содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от ее начертания. Позиция цифр в числе значения не имеет. Непозиционные системы строятся по принципу античности (англ. Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в коде числа.

Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.

В этих системах счисления значение (величина) числа определяется как сумма или разность цифр в числе.

Непозиционные системы счисления имеют ряд недостатков:

- для записи больших числе приходиться вводить новые цифры;

- невозможно записывать дробные и отрицательные числа;

- сложно выполнять арифметические операции.

Есть много видов Н.С.С. например: Унарная, Древние-египетская, Алфавитная, Греческая, Римская, Вавилонская.



Глава 2.Описание программы

Как выглядит программа:

type

TForm1 = class(TForm)

Edit1: TEdit; // Исходное число в десятичной системе счисления.

Edit2: TEdit; // получившееся в результате прербразования.

Button1: TButton;

SpinEdit1: TSpinEdit; // Число задающее основание системы счисления.

SpinEdit2: TSpinEdit;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

function IntToDigit(aVal : Byte) : String;

begin

case aVal of

0..9 : Result := IntToStr(aVal);

10 : Result := 'A';

11 : Result := 'B';

12 : Result := 'C';

13 : Result := 'D';

14 : Result := 'E';

15 : Result := 'F';

end;

end;

function DecimalToXStr (aBase : Byte; Precision : Byte; aVal : Extended) : String;

var

Val : Extended;

IntVal : Int64;

FracVal : Extended;

StrInt : String;

StrFrac : String;

i : Integer;

begin

// Получаем целую и дробную части числа.

IntVal := Trunc(aVal);

FracVal := Frac(aVal);

//Переводим целую часть.

StrInt := '';

repeat

StrInt := IntToDigit(IntVal mod aBase) + StrInt;

IntVal := IntVal div aBase;

until IntVal = 0;

// Если дробная часть = 0, то перевод закончен.

if FracVal = 0 then begin

Result := StrInt;

exit;

end;

//Переводим дробную часть. Точность - до Precision цифр после запятой.

StrFrac := '';

for i := 1 to Precision do begin

Val := FracVal * aBase;

StrFrac := StrFrac + IntToDigit(Trunc(Val));

FracVal := Frac(Val);

//Если дробная часть = 0, то перевод закончен.

if FracVal = 0 then Break;

end;

Result := StrInt + ',' + StrFrac;

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

Edit2.Text := DecimalToXStr(

StrToInt(SpinEdit1.Text),

StrToInt(SpinEdit2.Text),

StrToFloat(Edit1.Text)

end;

end.

Глава 3. Примеры. Переводы чисел

Перевод числа из одной системы счисления в другую

Пример 1.

Переведите число 101012 в десятичную систему счисления.

Решение

101012=1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 16 + 4 + 1 = 2110.

Ответ: 101012 = 2110.

Пример 2.

Переведите число 123124 в десятичную систему счисления.

Решение

123124=1 · 4

4+ 2 · 43+ 3 · 42+ 1 · 41+ 2 · 40= 256 + 128 + 48 + 4 + 2 = 43810.

Ответ: 1231242 = 43810.

Пример 3.

Переведите число 1910 в двоичную систему счисления.

Решение

Последовательно делим исходное десятичное число и получаемые частные на основание системы (в данном задании - 2) нацело до тех пор, пока не получится частное, равное нулю. Полученные остатки от целочисленного деления записываем в обратной последовательности.

Ответ: (19)10 = (10011)2

19 2

18 9 2

1 8 4 2

1 4 2 2

0 2 1 2

0 0 0

1

(19)10 = (10011)2

Пример 4.

Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:464₍₁₀₎;

Решение.

464 | 0

232 | 0

116 | 0

58 | 0

29 | 1

14 | 0

7 | 1

3 | 1

1 | 1



Заключение

Подводя итоги работы, можно сделать следующие выводы.

Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, зато позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры в числе на математическом языке называется разрядом.

Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов (цифр), используемых для отображения чисел в данной системе.

Для того чтобы двоичные числа, отличающиеся довольно значительной длиной, было легче воспринимать и отображать, их сжимают в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

В компьютерных технологиях все виды информации кодируются только цифрами или, точнее, числами, которые представляются в двоичной системе счисления - способе представления любых чисел с помощью двух знаков (цифр) по позиционному принципу.

Наиболее удобной для построения ЭВМ оказалась двоичная система счисления, т.е. система счисления, в которой используются только две цифры: 0 и 1, т.к. с технической точки зрения создать устройство с двумя состояниями проще, также упрощается различение этих состояний.

Для представления этих состояний в цифровых системах достаточно иметь электронные схемы, которые могут принимать два состояния, четко различающиеся значением какой-либо электрической величины - потенциала или тока. Одному из значений этой величины соответствует цифра 0, другому - 1. Относительная простота создания электронных схем с двумя электрическими состояниями и привела к тому, что двоичное представление чисел доминирует в современной цифровой технике. При этом 0 обычно представляется низким уровнем потенциала, а 1 - высоким уровнем. Такой способ представления называется положительной логикой.

• Список использованной литературы

1. Сидоров В.К. Системы счисления. 2000.

2. Берман Н.Г. "Счет и число". 1947 год.

3. Радюк Л. Алгоритм перевода в двоичную и из двоичной системы счисления . 2005.

Размещено на Allbest.ru