Моделирование методом конечных элементов влияния неоднородностей грунтового основания на осадки заглубленной длинной балки

Размещено на http://www.allbest.ru

1. СИСТЕМЫ ДЕФОРМИРУЮМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

1.1 Определения, основные понятия и свойства физической системы

В общем случае под физической системой понимают конечное множество элементов и связей между ними и между их свойствами, действующими как целостное образование для достижения единой цели.

Элементом называется некоторый объект (материальный, информационный и др.), обладающий рядом определённых свойств, но внутреннее строение (содержание) которого безотносительно к цели рассмотрения.

Связью называют важный для целей рассмотрения обмен между элементами веществом, энергией, информацией, т.е. фактор, связывающий элементы и их свойства в единое целое. Связи позволяют посредством переходов от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности.

Свойства - это качества параметров объектов, они могут изменяться в результате действия системы. Свойства дают возможность описывать объекты системы количественно.

Любая система характеризуется двумя признаками:

1. связностью, т.е. наличием связи между элементами;

2. функцией, суть этого качества в том, что свойства системы отличаются от свойств отдельных её элементов.

В задачах механики деформируемого твёрдого тела и механики грунтов системы содержат элементы разных типов и обладают разнородными связями между ними. Такие системы называют сложными или большими и сложными, в зависимости от количества элементов и их содержания. Сложные системы имеют ряд характерных особенностей. Основными из них являются: уникальность, слабая структурированность теоретических и фактических знаний о системе, составной характер системы, разнородность подсистем и элементов системы; большая размерность системы. Всякая система существует в некоторой окружающей среде, обуславливается ею и имеет свою границу. Говорят, что система действует внутри её. Для конкретной системы окружающая среда есть совокупность всех объектов, изменение свойств которых влияет на систему, а также тех объектов, свойства которых меняются в результате поведения системы. Отсюда следует, что разделение пространства на две совокупности - система и окружающая среда - несколько условно и может носить субъективный характер.

Главными отличительными чертами сложной системы является её целенаправленный характер (цель функционирования), структурное представление, т.е. наличие выделяемых частей (подсистем) и вероятностный характер её взаимодействия с внешней средой. Выделяемые части системы могут иметь материальную, функциональную, алгоритмическую и другую основу. Между выделяемыми частями всегда устанавливается связь. Такое разделение системы с указанием связей между выделяемыми частями даёт представление о системе в целом и на время изучения системы сохраняется неизменным. Близким к понятию структуры является термин «декомпозиция».

Декомпозицией называется деление системы на части, удобное для каких-либо операций с этой системой. Важнейшим стимулом и сутью декомпозиции является упрощение системы, слишком сложной для рассмотрения целиком. Такое упрощение может:

1) фактически приводить к замене системы на некоторую другую, в каком-то смысле соответствующую исходной. Это делается вводом гипотез об отбрасывании или ослаблении отдельных связей в системе;

2) полностью соответствовать исходной системе и при этом облегчать работу с ней - такая декомпозиция, называемая строгой, требует специальных процедур согласования порядка рассмотрения частей.

Группа элементов системы, описываемая только своими входами и выходами и обладающая определенной целостностью, называется модулем. Система может представляться набором модулей и сама рассматриваться как модуль. Модульное построение системы, как правило, определяет ее декомпозицию. Нередко оно определяет и структуру. Деление системы на модули - удобный и наиболее распространенный прием работы с искусственными системами, включая их создание (проектирование), проверку, настройку, усовершенствование. Именно модульное строение системы в сочетании с принципом введения все более крупных модулей при сохранении обозримого объема входов и выходов позволяет рассматривать сколь угодно сложные системы. Любой элемент системы обладает рядом свойств. В процессе функционирования системы могут измениться свойства и характеристики группы элементов, модуля и системы в целом. Зафиксируем все значения характеристик в системе, важных для целей рассмотрения. Такую ситуацию назовем состоянием системы. Пусть хотя бы одна такая характеристика изменилась. Это будет новое состояние системы. Аналогично можно рассматривать третье и т.д. состояния, т.е. их набор. Но набор состояний это еще не процесс. Пусть выбран некоторый физический параметр (чаще всего время) - такой, что различные состояния соответствуют разным его значениям. Процессом назовем набор состояний системы, соответствующий упорядоченному непрерывному или дискретному изменению некоторого параметра, определяющего характеристики (свойства) системы.

1.2 Методы исследования физической системы

Одним из методов (микроскопический) изучения сложных систем является детальное изучение поведения каждой из ее подсистем. Другой метод (макроскопический) заключается в игнорировании детальной структуры и наблюдении только макроскопического поведения системы как целого. Первый метод изучения систем ведется в направлении анализа процесса, второй - в направлении анализа конечного результата. При анализе процесса система исследуется как некоторое количество связанных между собой подсистем, определяются промежуточные выходы системы. Затем изучается средства, с помощью которых можно перевести подсистемы в последовательно связанную совокупность процессов для последующей обработки. Причем, существует множество альтернатив, квалифицируемых в виде промежуточных решений. Анализ процесса часто ассоциируется с проблемами реального мира, физическими системами. При анализе конечного результата специалист больше внимания уделяет завершающим, а не промежуточным данным, которых он может и не знать.

Наиболее простым, но и наиболее дорогим методом исследования поведения системы является физическое моделирование. Для этого строят натурную или лабораторную модель системы и посредством физического эксперимента определяют поведение системы при различных входных воздействиях.

Модель может быть строго математической, если специалист выделяет в проблеме количественные свойства. Если проблема по своей природе также и качественна, то модель может быть менее строгой и не более сложной, чем схема обработки данных. Цель исследователя состоит в создании модели изучаемой системы вместе с её объектами, свойствами и связями. Создатель модели старается воспроизвести в миниатюрной, контролируемой форме действие изучаемой системы в реальном мире.

Системный подход.

Часто выполнение одних задач исследования системы затрудняет решение других, но в целом основным и единственным критерием оценки функционирования подсистем должно быть обеспечение максимума эффективности системы. Следовательно, свойства системы, как сложного объекта, не обнаруживаются в свойствах её отдельных подсистем. Это значит, что традиционный метод изучения целого путём анализа его частей и последующего объединения (суперпозиции) их свойств непригоден для больших и сложных систем. А для физических нелинейных систем принцип прямой суперпозиции и вовсе неприемлем. Решением проблемы становится системный подход, суть которого состоит во взаимосвязанном рассмотрении всех элементов (подсистем) системы. При системном подходе система рассматривается не изолированно, а как подсистема более общей системы (системы более высокого ранга). Основным при системном подходе является определение цели, например, условие предельного равновесия деформируемой среды. Для каждой цели должен быть выбран свой надёжный критерий эффективности. Например, для деформируемых систем это может быть удовлетворение принципа стационарности полной энергии системы. Системный подход характеризуется системой принципов. Принципы системного подхода - это некоторые утверждения общего характера, обобщающие опыт человека по исследованию сложных систем. Основные принципы следующие:

1) Принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной цели.

2) Принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности частей (элементов).

3) Принцип связности: рассмотрение любой части совместно с ее связями c окружением.

4) Принцип модульного построения: полезно выделение модулей в системе и рассмотрение ее как совокупности модулей.

5) Принцип иерархии: полезно введение иерархии частей (элементов) и (или) их ранжирование.

6) Принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функции с приоритетом функции над структурой.

7) Принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации.

8) Принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях и управлении централизации и децентрализации.

9) Принцип неопределенности: учет неопределенностей и случайностей в системе.

Системный подход при исследовании различных систем, явлений, объектов позволяет с единых позиций строить общую методологию исследования указанных систем и процессов независимо от их природы. Эта методология, как и любая другая, содержит определенные этапы.

Этап 1. Определение системы.

Определение системы и области её существования.

Определение исследуемой функции системы.

Определение краевых условий.

Декомпозиция системы вплоть до простых элементов.

Определение свойств элементов системы и модулей.

Нахождение связей между элементами и модулями системы.

Этап 2. Построение математической модели.

1) Формальное описание исследуемой функции.

2) Разработка дискретной модели системы.

3) Разработка алгоритмической модели.

4) Разработка программного обеспечения (машинной модели).

5) Проверка адекватности математической модели системы.

Этап 3. Исследование системы при различных входных воздействиях и совершенствование модели системы.

При исследовании систем механики деформируемого твёрдого тела и механики грунтов идеи системного подхода на определённом уровне находят применение. Проблемы возникают в связи с количеством объектов исследуемых систем, разнородностью их свойств и изменением этих свойств в процессе функционирования системы. К причинам создающим указанную проблему относятся задачи исследования систем нелинейно-деформируемых твёрдых тел и неприменимость к ним принципа суперпозиции.

математический дискретизация деформация балка

2. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1 Математические модели

2.1.1 Определение математической модели

Математическое моделирование основывается на известном факте: различные изучаемые процессы могут иметь одинаковое математическое описание. Следовательно, если система определена, и ее функция может быть описана с помощью математических и логических предложений, то исследование системы возможно математическими средствами и средствами вычислительной техники.

Математическая модель концентрирует в себе записанную в форме математических предложений совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте, процессе, явлении или системе. Поскольку эти знания никогда не бывают абсолютными, то можно утверждать, что математическая модель только с определенной достоверностью описывает поведение реальной системы. Поэтому при построении математических моделей систем необходимо учитывать следующие основные требования: адекватность, универсальность, точность и экономичность.

Адекватность. Математическая модель считается адекватной исходной системе, если она отражает заданные её свойства с допустимой точностью. Пусть модель имеет k выходных параметров, тогда погрешность модели е_мод можно представить как норму вектора:

е = { е₁, е₂, …, е_k }; е_мод = max | е_j |,

j =;

или:

е_мод = ,

где:

- относительная погрешность по j - у выходному параметру,

y_j^e, y_j - вычисленное и действительное значение j-го выходного параметра.

Должно выполнятся условие е_мод < е_пред , где е_пред - предельная допустимая погрешность. Область в пространстве внешних параметров, для которой выполняется это условие, называется областью адекватности модели.

Универсальность. Это характеристика полноты отображения в модели исследуемых свойств реальной системы.

Точность. Оценивается точность математической модели степенью совпадения значений параметров исходной системы и значений тех же параметров, вычисленных с помощью оцениваемой математической модели. Погрешности математического моделирования определяются двумя факторами: степенью точности формального описания исходной системы и неточностью определения исходных данных.

Экономичность. Эта характеристика стоимости исследования модели системы по разработанному алгоритму на компьютере.

Основное назначение математического моделирования - сделать возможными некоторые выводы о поведении реальной системы в пространстве и времени. Наблюдения за реальной системой (натурный эксперимент) в лучшем случае могут дать материал лишь для проверки той или иной гипотезы, той или иной модели, поскольку они представляют собой источник информации ограниченного объема о прошлом этой системы. Модель допускает значительно более широкие исследования, результаты которых дают информацию для прогнозирования поведения системы. Чтобы обеспечить эти и другие возможности математической модели, приходится всегда решать проблему адекватности модели и системы, т.е. ставится вопрос исследования согласованности результатов с реальной ситуацией. Создавая математическую модель системы, исследователь выделяет систему как объект окружающей среды и строит ее формальное описание в соответствии с поставленными целями. В дальнейшем через поведение математической модели анализируется поведение реальной системы при различных входных воздействиях. Следует сразу отметить, что построение математической модели системы процесс не формализованный и носит поисковый характер, т.е. это путь проб и ошибок в поиске основной идеи. Построение принципиально новой математической модели системы может быть оценено как открытие.

Для построения математических моделей используют различные методы, которые можно объединить в две группы: формальные и неформальные методы. Формальные методы применяют для построения математических моделей систем при известных математических моделях элементов. Неформальные методы применяются для синтеза теоретических и эмпирических математических моделей. Теоретические математические модели создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу систем. Эмпирические математические модели создаются в результате изучения внешних проявлений свойств системы. Математическая модель системы получается как синтез математических моделей её элементов. Правила синтеза обусловлены структурой и свойством исходной системы и её элементов.

2.1.2 Структура математической модели

Построение математической модели системы.

Из приведенного общего определения системы следует, что природа элементов системы может быть различна. Это качество системы и принципы системного подхода в целом позволяют подойти к исследованию систем на довольно высоком содержательном уровне. Наполнение системы определяет её предметную направленность и этим предопределяют методологию и технологию её исследования. Задачи исследования могут быть разными. В настоящей работе ставится задача исследования напряжённо-деформированного состояния системы деформируемых твёрдых тел в целом и на уровне её отдельных элементов. Для этого в каждом конкретном случае необходимо определить содержание системы, т.е. её границы и наполнение. Всё это обусловит облик исследуемой системы. В настоящей работе рассматриваются сложные системы деформируемых твёрдых тел: системы механики грунтов и строительной механики. Математическая модель сложной системы получается как синтез математических моделей её элементов.

При построении сложных систем лучше всего вводить декомпозицию и деление на модули. Полученная совокупность моделей повторит структуру и иерархию самой системы. Как видим, здесь принцип тот же, что и при построении математических моделей простых систем.

Только понятие «элемент» заменяется понятием «модуль» и, соответственно, понятие «математическая модель элемента» заменяется понятием «математическая модель модуля». Отметим, что основной спецификой моделирования систем является учёт связей между отдельными моделями. Изложенный материал позволяет дать более строгое определение математической модели системы или объекта.

Математическая модель это некоторый абстрактный образ, т.е. конечная совокупность логико-математических предложений, адекватно отражающих основные закономерности и особенности оригинала, т.е. реального объекта или системы, которые имеют свою среду (пространство) и условия существования.

Всякая реальная система или объект всегда имеют определенные связи с внешней средой, которая налагает свои условия на их существование и функционирование. Все эти и другие качества в математической модели должны иметь своё отображение, а это значит, что математическая модель может иметь свою структурную схему. В самом общем случае эта структурная схема автором представлена следующим образом:

1) Математическая модель среды существования системы,

2) Математическая модель состояния среды системы или объекта,

3) Условия связи системы с внешней средой,

4) Математическая модель основной функции системы,

5) Математическая модель результата решения.

Математическое наполнение элементов этой структуры зависит от класса моделируемых задач и даже от особенностей задач одного класса. Для краевых задач механики грунтов приведенная структурная схема имеет вид:

1) Геометрическая модель деформируемой среды,

2) Уравнения состояния элементов деформируемой среды,

3) Система краевых условий,

4) Условия равновесия (устойчивости) системы,

5) Математическая модель результата решения.

Известно, что наиболее трудным этапом системных исследований является построение и оценка адекватности математической модели реальной системе. Предлагаемая структурная схема является общим эффективным алгоритмом построения математических моделей систем или объектов.

Таким образом, в процессе математического моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами:

1) с системой (реальной, проектируемой, воображаемой),

2) с математической моделью системы,

3) с алгоритмической (машинной) моделью.

В соответствии с этим возникают следующие задачи:

1) определение и формирование системы,

2) построение математической модели системы,

3) разработка алгоритмической (машинной) модели,

4) разработка программного комплекса.

Общая структура математической модели систем механики грунтов.

Учитывая произвольность постановки задачи решать ее лучше методом математического моделирования на основе метода конечных элементов или метода суперэлементов и методов численного решения нелинейных краевых задач. Это сразу накладывает свои требования на структуру ядра математической модели. Будем строить его на основе одного из энергетических принципов, например, на основе принципа минимума полной энергии системы. Математическая модель системы оснований и фундаментов в соответствии с приведенной структурной схемой в этом случае будет иметь следующее содержание:

1) Геометрическая модель геологического разреза основания.

2) Механико-математическая модель элементов структуры грунтового основания.

3) Система краевых условий, задаётся в соответствии с классификацией поставленной задачи как краевой задачи математической физики. В частности, для геометрической модели системы оснований и фундаментов на граничных поверхностях, кроме верхней плоскости, задаются перемещения, которые определяются в соответствии с принципом Сен-Венана или на основе некоторых других критериев. На части верхней плоскости задается система внешних сил, обусловленных нагрузкой от здания или сооружения.

4) Условия равновесия системы (ядро математической модели):

, где ,

П - полная энергия деформируемой системы,

{P} - вектор внешних сил,

{у}, {е}, {U} - векторы напряжений, деформаций и перемещений,

V - объём области существования исследуемой системы.

Вследствие применения процедур метода конечных элементов ядро математической модели преобразовывается к виду:

,

где [К] - матрица жесткости системы.

5) Математическая модель (форма) искомого решения:

.

Применение нелинейных форм искомого решения привело к значительному усложнению вычислительных алгоритмов, но значимого повышения точности решений при этом получено не было.

В качестве примера рассмотрим задачу построения математической модели системы «Ленточный фундамент с вырезами - грунтовое основание».

Для поставленной задачи математическая модель может быть получена, исходя из различных подходов, основанных на тех или иных принципах механики деформируемого твердого тела. Воспользуемся принципом возможных перемещений. При численном решении система должна быть определена в конечном подпространстве пространства, на котором задана исходная задача. Это подпространство определяется исходя из граничных условий. Рассмотрим ленточный фундамент с вырезами в соответствии с рисунком. 2.1. Учитывая симметричность этой задачи, для построения математической модели можно использовать любой сегмент фундамента.

Рисунок 2.1 - Ленточный фундамент с вырезами (вид сверху)

Исходя из сведений о размерах области существования системы, математическая модель исходной задачи может быть представлена следующим образом:

механико-математическая модель основания при нелинейно-упругом деформировании:

_i = Ae_i^m _, А > 0, 0 < m < 1 ;

граничные условия:

перемещения на боковых и нижней границах и геометрическая модель области определения системы:

б) на поверхности плиты приложена вертикальная нагрузка:

,

условия равновесия:

,

модель решения:

При конечноэлементной дискретизации среды математическая модель системы будет иметь также дискретное представление. В этом случае условие равновесия преобразуется к виду:

,

где {g} - вектор узловых перемещений.

2.2 Исследование математической модели методом конечных элементов

2.2.1 Физические предпосылки численных методов моделирования систем твёрдых тел

Системы деформируемых твёрдых в самом общем случае характеризуются неоднородностью своей структуры и свойств составляющих ее макроэлементов. Отдельные элементы системы могут иметь нулевые физико-механические характеристики, т.е. система может содержать пустоты, в таких случаях система деформируемых твёрдых тел будет определена в многосвязной области. Эта особенность характерна для систем механики грунтов и строительной механики. Для систем механики грунтов макроэлементами будут грунтовое основание, состоящее из слоев, линз и вклиниваний; конструкции фундаментов в плане всего здания и само здание, т.е. в целом имеется неоднородная система с большим спектром свойств. Математические модели таких систем аналитическими методами не исследуются. Единственным путем их исследования могут быть те или иные методы численного моделирования, которые предусматривают разбиение области существования системы на элементы определенной формы, размеров и свойств. Приведенным особенностям хорошо отвечает метод конечных элементов (МКЭ). В этом методе идеализация сплошной среды заключается в ее замене системой плоских или объемных элементов. Форма элементов может быть различной и зависит от формы рассматриваемой области или ее участков. Для плоской задачи наиболее простые решения получаются при треугольной или прямоугольной форме элементов. Для пространственной задачи элементы могут выбираться в форме параллелепипедов, тетраэдров или иметь более сложную форму.

Сплошное тело, разделенное на элементы, казалось бы, обладает большей податливостью, что приведет к искажению напряжения и деформаций. Для того чтобы этого не произошло, необходимо ввести определенные условия, приводящие к идентификации напряженно-деформируемого состояния тела. Это достигается требованиями выполнения условий сплошности. В общем случае среда может быть неоднородной по своим физико-механическим свойствам. Однако разбивку на элементы следует производить так, чтобы в пределах одного элемента участок среды можно было бы рассматривать как однородный. Причем любой другой элемент, оставаясь так же однородным, может характеризоваться показателями свойств, отличными от соседних элементов. Таким образом, система элементов в целом может представлять неоднородную среду. В узлах элементов вводятся концентрированные силы, статически эквивалентные приложенным внешним силам.

2.2.2 Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области определения системы деформируемых твёрдых тел

Процесс дискретизации разделяется на два этапа: разбиение области на элементы и нумерация элементов и узлов. Каждый этап имеет свои особенности. Разбиение любой области проводят в два этапа:

Разбиение области на подобласти. Подобласти должны характеризоваться стационарностью определяющих их характеристик.

Разбиение подобластей на конечные элементы. Предпочтение отдаётся элементам более простой формы, чаще это симплекс-элементы.

Размеры подобластей и конечных элементов могут быть различными. На практике в предполагаемых местах высоких градиентов функции или сложной границы дискретизацию проводят элементами малых размеров.

Вопрос нумерации узлов не совсем простой, т.к. порядок нумерации конечных элементов и узлов резко влияет на объём обрабатываемой информации и на правильность построения основных соотношений метода для исследуемой системы в целом. Применение метода конечных элементов для решения краевых задач приводит к системе линейных алгебраических уравнений с симметричной ленточной матрицей. Ширина её полуленты зависит от порядка нумерации узлов и определяется по формуле:

B = (R+1)*Q,

где R - максимальная разность номеров узлов в конечных элементах,

Q - число неизвестных (степеней свободы) в каждом узле.

Минимизация B связана с минимизацией R, что достигается выбором глобального направления нумерации узлов и конечных элементов. В книгах по методу конечных элементов указывается на правило выбора локального направления при работе с каждым отдельным конечным элементом дискретизованной области: обход узлов всех конечных элементов должен производится строго по часовой стрелке или строго наоборот. Как будет показано ниже, это требование не является обязательным и не всегда удобно.

2.2.3 Построение конечно-элементных соотношений для двумерных систем линейной теории упругости

Метод конечных элементов позволяет оперировать с элементами различной формы. Однако для практических задач наиболее удобными оказались симплекс-элементы, позволяющие легко сгущать сетку в местах ожидаемых высоких градиентов и при оконтуривании границ области.

Рассмотрим метод построения конечно-элементных соотношений для плоской задачи теории упругости. Пусть имеется двумерный симплекс-элемент с вершинами i, j, k.

Рисунок 2.2 - Схема деформации треугольного элемента

Перемещение, как величина векторная, в каждом узле будет представлено двумя компонентами:

{}^T={U ,V},

где = i, j, k.

Следовательно, для всего конечного элемента получим:

{}^T={_{i ,J},_k}.

Перемещения внутри элемента должны однозначно определяться этими шестью компонентами. Для симплекс-элемента функция перемещений представляется линейным полиномом:

=₁+₂x+₃y.

Поэтому для аппроксимации перемещений в области элемента будем иметь:

u =₁+₂ x+₃ y,

v =₄+₅ x+₆ y,

где _1,2,....,6 - параметры линеаризации, постоянные для элемента. Для компоненты U в узлах i, j, k получим:

u_i = ₁+₂ x_i+₃ y_i ,

u_j = ₁+₂ x_j+₃ y_j ,

u_k = ₁+₂ x_k+₃ y_k .

Изменив направление обхода узлов, будем иметь:

u_i = ₁+₂ x_i+₃ y_i ,

u_k = ₁+₂ x_k+₃ y_k ,

u_j = ₁+₂ x_j+₃ y_{j .}

Эти системы отличаются только порядком следования второй и третьей строк. Это значит, что все определители этих систем будут отличаться только знаком. Решения этих систем относительно _{1, 2, 3} будут одинаковы. Поэтому при разработке аналитического алгоритма построения матрицы жёсткости всей дискретизованной области необходимо полностью определить все выражения для вычисления значений коэффициентов _{1, 2, 3}. Проще это выполнить по методу Крамера. В этом случае получим:

,

где abs( S ) - площадь конечного элемента,

( x_j y_k - x_k y_j ) u_i + ( x_k y_i - x_i y_k ) u_j + ( x_i y_j - x_j y_i ) u_k ,

( y_j - y_k ) u_i + ( y_k - y_i ) u_j + (y_i - y_j ) u_k ,

( x_k - x_j ) u_i + (x_i - x_k) u_j + ( x_j - x_i) u_k .

Введём обозначения:

a_i = x_j y_k - x_k y_j ; a_j = x_k y_i - x_i y_k ; a_k = x_i y_j - x_j y_i ;

b_i = y_j - y_k ; b_j = y_k - y_i ; b_k = y_i - y_j ;

c_i = - ( x_j - x_k ); c_j = - ( x_k -x_i ); c_k = - ( x_i - x_j ).

Тогда:

₁ = = (a_i u_i + a_j u_j + a_k u_k ) /;

₂ = = (b_i u_i + b_j u_j + b_k u_k ) /;

₃ = = (c_i u_i + c_j u_j + c_k u_k ) /.

Полученные таким образом значения коэффициентов _{1, 2, 3} не будут зависеть от направления обхода узлов конечного элемента.

Подставив полученные для _{1, 2, 3} выражения, получим:

U = [(a_i+b_i x+c_iy)u_i + (a_j+b_j x+c_jy)u_j+ (a_k+b_k x+c_ky)u_k] /(2S).

Для компоненты V аналогично:

V = [(a_i+b_i x+c_iy)V_i + (a_j+b_j x+c_jy)V_j+ (a_k+b_k x+c_ky)V_k] /(2S).

Деформации определяются из уравнений Коши:

{} = = .

Подставляя в уравнение равенства (2.3) и производя дифференцирование, получим:

Напряжения:

{} = [D]*{} = [D]*[B]*{ }^e.

Матрица [D] для случая плоского напряжённого состояния имеет вид:

[D] = .

Для вывода основного уравнения МКЭ воспользуемся принципом стационарности полной энергии системы:

где:

П = 0,5 ·{}^T {} dS - {}^T {P},

{P} - вектор внешних сил.

Подставим соотношения:

П = 0,5 ·{}^T[B]^T[D] [B] {}^e dS - {}^T{P},

т.к. векторы и матрицы от координат не зависят, то:

П = 0,5*{}^T[B]^T[D] [B] {}^e S - {}^T{P}.

Подставляя, получим:

S*[B]^T[D] [B] {}^e - {P} = 0.

Введём обозначение:

[K] = S*[B]^T[D] [B],

тогда:

[K] { } ^e = { P }.

Полученное уравнение называется основным уравнением метода конечных элементов. Если выполнить матричные операции, то получим:

где:

[k_ij] = [k_ji]^T,

где:

m, n = i, j, k ; = E / (1- ²).

Матрица жесткости системы, определяющая жесткость конструкции в целом, строится в следующем порядке:

K=,

где N - количество конечных элементов дискретизованной области.

Рисунок 2.3 - Схема дискретизации

Суммирование в производится, учитывая номера конечных элементов и узлов. Покажем сказанное на примере. Пусть дискретизованная область имеет вид согласно рисунку 2.3. Матрица жесткости для этого ансамбля может быть получена следующим образом:

1) формируем соответствующее матричное поле, пока не заполненное (двумерный массив);

2) рассматриваем i-й конечный элемент и для него вычисляем матричные коэффициенты, которые прибавляем к глобальной матрице на позиции, определяемые глобальными номерами рассматриваемых узлов и конечных элементов (верхние индексы). Следовательно, соблюдая глобальную нумерацию узлов дискретизации, получим:

.

Ввиду того, что матрица жесткости системы имеет ленточную структуру и симметрична относительно главной диагонали, в памяти ЭВМ достаточно сформировать и хранить элементы верхней или нижней полуленты. После построения матрицы жесткости [K] всей конструкции, составляется система линейных уравнений:

[K]{}= {P}

где - вектор узловых сил,

- вектор узловых перемещений.

В своём первоначальном виде система решения не имеет, т.к. матрица жёсткости [K] сингулярная - её главный определитель равен нулю. Отметим, что построение основного уравнения метода конечных элементов производилось без учёта граничных условий. Учёт граничных условий приводит к изменению матрицы жёсткости [K] и векторов {P} и {}. Матрица [K] уже не будет сингулярной и система будет иметь решение и далее определяются деформации и напряжения в элементах.

2.3 Компьютерное объектно-ориентированное моделирование систем деформируемых твердых тел

Технология визуального объектно-ориентированного моделирования сложной нелинейной системы деформируемых твёрдых тел основывается на методологии процесса моделирования, содержании и назначении моделируемых задач и может быть представлена следующими основными этапами:

1. Внешние процедуры;

2. Внутренние процедуры;

3. Численное моделирование;

4. Анализ результатов и принятие решений.

Наполнение этих этапов зависит от содержания моделируемых задач. Рассмотрим содержание процесса компьютерного визуального объектно-ориентированного моделирования систем деформируемых твёрдых тел на примере системы «Фундамент - грунтовое основание».

На этапе внешних процедур анализируются инженерно-геологические показатели грунтового основания, устанавливается область существования и структура системы, определяются параметры дискретизации и физико-механические характеристики элементов основания и конструктивных элементов структур фундаментов.

При визуальном объектно-ориентированном моделировании сложной нелинейной системы «Фундамент - грунтовое основание» необходимы следующие исходные данные:

1) 0бласть определения системы: определяется форма и начальные размеры расчётной области. Как правило, для пространственных задач расчётная область принимается в форме параллелепипеда, размеры которого определяются на основании экспериментальных данных или посредством расчёта в соответствии с принципом Сен-Венана и теоретического решения задачи о действии сосредоточенной силы на поверхности или внутри полупространства.

2) Структуры грунтовых напластований: на основании инженерно-геологических изысканий строится геометрическая модель грунтового основания строительной площадки, при этом определяется мощность и глубина залегания слоёв, линз и включений грунтов с указанием их физико-механических характеристик.

3) Тип и структура фундамента: фундаменты могут быть любого типа и произвольной структуры. Начальные размеры и расположение фундаментов в плане всего здания задаются соответствующей геометрической моделью. В плане всего здания фундаменты могут быть различных типов и различной структуры. Расчёт фундаментов производится сразу для всего здания.

4) Физико-механические характеристики элементов структуры основания и фундамента; эти данные определяются для условия линейного и нелинейного деформирования. Закон нелинейного деформирования элемента грунта может быть любой, рекомендуется в виде степенной функции или в виде двучлена степени m > 1.

5) Величина и характер распределения внешней нагрузки: нагрузка на фундамент может быть непрерывной и (или) дискретной, распределённой равномерно или любым другим образом.

6) Параметры дискретизации: определяются исходя из размеров расчётной области, структуры и свойств грунтового основания, типа и структуры фундамента. Всякий элемент дискретизации, т.е. всякий конечный элемент по своей структуре и свойствам должен быть строго однородным. Дискретизацию расчетной области пользователь может задать сам или воспользоваться автоматической разбивкой, задав шаги дискретизации.

На этапе внутренних процедур производится работа непосредственно с программным обеспечением визуального объектно-ориентированного моделирования заданной структуры фундаментов и грунтовых оснований. При этом выполняются следующие действия:

Формируются вектора для автоматического построения дискретизованной области нерегулярной структуры;

Создается конкретное наполнение базы данных физико-механических характеристик грунтового основания;

Формируются вектора граничных условий для заданной системы;

На экране монитора послойно строится пространственная виртуальная физическая модель системы, производится адресная привязка конструктивных элементов фундамента, при этом каждому конечному элементу системы назначаются его начальные свойства, считываемые из соответствующей базы данных.

На третьем этапе происходит численное решение сформированной задачи. Результаты решения представлены значениями компонент векторов перемещений, деформаций и напряжений для каждого узла дискретизованной области при условиях линейного и нелинейного деформирования. Производится экранная визуализация результатов в векторной и табличной формах. Считывание информации возможно по вертикальным и горизонтальным плоскостям пространственной дискретизованной области. Любая часть информации может быть выведена на печать, вывод всех вычисленных данных на печать возможен, но не целесообразен ввиду его очень большого объёма.

На четвёртом этапе производится анализ полученных результатов и принимается решение о принятии параметров построенной системы в качестве основного варианта проектируемой физической системы или принимается решение об изменении её структуры и (или) свойств. В случае изменения структуры и (или) свойств физической системы все рассмотренные процедуры повторяются полностью.

3. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ГРУНТОВОГО ОСНОВАНИЯ НА ОСАДКИ ЗАГЛУБЛЕННОЙ ДЛИННОЙ БАЛКИ

3.1 Постановка задачи

Рассмотрим задачу о взаимодействии заглубленной длинной балки и грунтового основания, содержащего малопрочные и слабые грунты. Необходимо исследовать влияние изменения нагрузки на балку, а так же неоднородностей погребённых грунтов, на несущую способность грунтового основания при условии его линейного деформирования. Компьютерное моделирование проводилось для физической системы, элементами которой являются:

1) Прямоугольная длинная балка с размерами 1х0,2 м.

2) Однородное основание из минерального грунта с начальными характеристиками м = 0,2; Е = 360 Кг/.

3) Грунтовое основание, содержащее на глубинах H = 1м, 1,2м органо-минеральный слой мощностью h = 0,2м, 0,4м с характеристиками = 0,2; Е = 50 Кг/.

Необходимо определить осадку балки в зависимости от глубины и мощности залегающего под ней органно-минерального слоя при условии линейного деформирования.

3.2 Численное моделирование

Исследовать влияние органо-минерального слоя на осадку заглубленной длинной банки при различной нагрузке и напряжённо-деформированное состояние грунтового основания из минерального грунта.

Модельная задача №1. Однородное основание



Рисунок 3.1 - Однородное основание, при нагрузке на балку Р=1500 кг.

Рисунок 3.2 - График осадки балки

Анализ результатов: Проведенное исследование показало, что при нагрузке Р=1500 кг наибольшая деформация под балкой наблюдается в узлах №6 и №7.

Модельная задача №2. Однородное основание, при удвоенной нагрузке на балку



Рисунок 3.3 - Однородное основание, при нагрузке на балку Р=3000 кг.

Рисунок 3.4 - График осадки балки

Анализ опыта: Проведенное исследование показало, что при увеличении нагрузки в два раза, деформация балки также увеличивается в два раза.

Модельная задача № 3. Основание с малопрочным органо-минеральным (песок) слоем шириной 0,2 м на глубине 1 м. ( = 0,2; Е = 50 Кг/ )



Рисунок 3.5 - Основание с малопрочным органо-минеральным слоем шириной 0,2 м на глубине 1 м. ( = 0,2; Е = 50 Кг/ ) при нагрузке Р=1500 кг.

Рисунок 3.6 - График осадки балки

Модельная задача № 4. Основание с малопрочным органо-минеральным слоем шириной 0,2м на глубине 1,2 м. (= 0,2; Е = 50 Кг/)



Рисунок 3.7 - Основание с малопрочным органо-минеральным слоем шириной 0,2 м на глубине 1,2 м. (= 0,2; Е = 50 Кг/) при нагрузке Р=1500 кг.

Рисунок 3.8 - График осадки балки

Модельная задача № 5. Основание с малопрочным органо-минеральным (песок) слоем шириной 0,4 м на глубине 1,2 м. ( = 0,2; Е = 50 МПа)



Рисунок 3.9 - Основание с малопрочным органо-минеральным слоем шириной 0,4 м на глубине 1,2 м. ( = 0,2; Е = 50 Кг/ ) при нагрузке Р=3000

Рисунок 3.10 - График осадки балки

Таблица 3.1 Результаты исследования

№№ узлов	Задача №1	Задача №2	Задача №3	Задача №4	Задача №5
	U	V	U	V	U	V	U	V	U	V
1	0,1530	1,0115	0,3061	2,0230	0,0928	1,2796	0,02784	1,3667	-0,0209	1,60673
2	0,1585	1,3609	0,3170	2,7219	0,0982	1,6537	0,03337	1,7147	-0,0160	1,98844
3	0,1539	1,8495	0,3079	3,6991	0,0920	2,1708	0,02846	2,2039	-0,0256	2,51482
4	-0,0128	2,6256	-0,0257	5,2513	-0,0841	2,9777	-0,1422	2,9825	-0,2110	3,33007
5	-0,0138	2,9908	-0,0276	5,9816	-0,0850	3,3530	-0,1432	3,3404	-0,2120	3,69929
6	-0,0149	3,2050	-0,0299	6,4101	-0,0863	3,5679	-0,1444	3,5426	-0,2133	3,90350
7	-0,0161	3,2317	-0,0323	6,4634	-0,0875	3,5829	-0,1457	3,5510	-0,2146	3,90140
8	-0,0170	3,0948	-0,0341	6,1896	-0,0885	3,4226	-0,1466	3,3901	-0,2156	3,71786
9	-0,0176	2,8910	-0,0353	5,7821	-0,0892	3,1891	-0,1472	3,1598	-0,2163	3,45834
10	-0,1186	1,9051	-0,2372	3,8102	-0,2139	2,1414	-0,2649	2,1287	-0,3578	2,36560
11	-0,1063	1,3807	-0,2127	2,7615	-0,2121	1,5508	-0,2602	1,5555	-0,3639	1,72581
12	-0,0821	1,0478	-0,1643	2,0957	-0,1901	1,1569	-0,2377	1,1777	-0,3436	1,28651
13	-0,2127	1,0169	-0,4255	2,0339	-0,2975	1,2850	-0,3368	1,3722	-0,4172	1,61160
14	-0,2275	1,3391	-0,4550	2,6782	-0,3118	1,6311	-0,3513	1,6925	-0,4313	1,96565
15	-0,2702	1,8206	-0,5404	3,6413	-0,3523	2,1414	-0,3927	2,1745	-0,4721	2,48591
16	-0,3767	2,6244	-0,7535	5,2488	-0,4580	2,9765	-0,4988	2,9813	-0,5789	3,32879
17	-0,2276	2,9895	-0,4552	5,9791	-0,2996	3,3517	-0,3450	3,3392	-0,4157	3,69805
18	-0,0418	3,2036	-0,0836	6,4073	-0,1015	3,5665	-0,1530	3,5412	-0,2113	3,90212
19	0,1200	3,2302	0,2400	6,4605	0,0720	3,5815	0,0145	3,5496	-0,0318	3,89999
20	0,1859	3,0931	0,3719	6,1863	0,1442	3,4209	0,0829	3,3885	0,04306	3,71621
21	0,2700	2,4698	0,5401	4,9397	0,2252	2,7648	0,1634	2,7376	0,12092	3,03290
22	0,2627	1,7935	0,5255	3,5871	0,2136	2,0284	0,1518	2,0167	0,10516	2,25204
23	0,2492	1,3465	0,4985	2,6931	0,1971	1,5145	0,1352	1,5201	0,08561	1,68834
24	0,2512	1,0566	0,5024	2,1132	0,1983	1,1629	0,1364	1,1846	0,08605	1,29053

Выводы

При нагрузке, равномерно распределённой на поверхности балки, для всех модельных задач по всей срединной части контактной поверхности деформация медленно уменьшаются от центра к краю балки, что показано в таблице 3.1. При увеличении нагрузки на балку вдвое, деформация также увеличивается приблизительно в два раза. Рассматривались органоминеральные слои трех типов. Мощность слоёв принималась 0,2 м и 0,4 м., глубина залегания - 1 м и 1,2 м. При линейном деформировании во всех рассмотренных случаях напряжённое состояние практически не изменилось по сравнению с вариантом однородного основания. Это значит, что напряжённое состояние грунтового основания мало зависит от его геометрических и физико-механических характеристик. Но деформации основания и осадки балки в значительной мере определяются указанными характеристиками. Для всех типов грунтового основания при условии линейного деформировании балка перемещается параллельно самой себе как твёрдое тело.

Литература

1 Быховцев В.Е. Компьютерное объектно-ориентированное моделирование нелинейных систем деформируемых твёрдых тел. // В.Е. Быховцев // Гомель: УО «ГГУ им. Ф. Скорины» , 2007.

2 Быховцев В.Е. Компьютерное моделирование систем нелинейной механики грунтов / В.Е. Быховцев, А.В. Быховцев, В.В. Бондарева. - Гомель: УО «ГГУ им. Ф. Скорины» , 2002. - 215с.

3 Борисевич А.А. Общие уравнения строительной механики и оптимальное проектирование конструкций / А.А. Борисевич. - Мн.: Дизайн ПРО, 1998. - 144с.

4 Быховцев В.Е. Математическая модель состояния грунтовых оснований при неупругом деформировании / В.Е. Быховцев // Изв. ГГУ им. Ф.Скорины.- 2003. - № 3. - С. 8-10.

5 Босаков С.В. Статические расчёты плит на упругом основании / С.В. Босаков. - Мн.: БНТУ, 2002. - 128с.

6 Максимей И.В. Имитационное моделирование на ЭВМ / И.В. Максимей. - М.: Радио и связь 1988. - 232с.

Размещено на Allbest.ru