Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Математические и научно-технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ , написанных на языке высокого уровня, например Бейсике или Паскале. Сегодня эту работу нередко выполняет обычный пользователь ПК. Для этого он вынужден изучать языки программирования и многочисленные, подчас весьма тонкие капризные численные методы математических расчетов. Нередко при этом из под руки способного физика, химика или инженера выходят далёкие от совершенства программы. Это не вполне нормальное положение может изменить к лучшему применение интегрированных программных систем автоматизации математических расчетов (Eureka, MathCAD, MatLab и др.). Здесь рассматриваются возможности и эволюция одной из таких систем - MathCAD.

О системе с такой вычислительной мощью, как у MathCAD 2001 PRO, еще пару десятков лет назад не могли мечтать даже разработчики уникальной научной и космической аппаратуры. Но эта мощь нисколько не затрудняет удивительно простое и интуитивно предсказуемое общение с системой на общепринятом языке математических формул и графиков.

Исключительно велика роль систем класса MathCAD в образовании. Облегчая решение сложных математических задач, система снимает психологический барьер при изучении математики. Грамотное применение систем в учебном процессе обеспечивает повышение фундаментальности математического и технического образования, содействует подлинной интеграции процесса образования в нашей стране и наиболее развитых западных странах, где подобные системы применяются уже давно. Новые версии MathCAD позволяют готовить электронные уроки и книги с использованием новейших средств мультимедиа, включая гипертекстовые и гипермедиа-ссылки, изысканные графики.

Mathcad -- это программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, предоставляющая пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами, снабженная простым в освоении графическим интерфейсом.

В состав Mathcad входят несколько интегрированных между собой компонентов:

· мощный текстовый редактор, позволяющий вводить, редактировать и форматировать как текст, так и математические выражения;

· вычислительный процессор, умеющий проводить расчеты по введенным формулам, используя встроенные численные методы;

· символьный процессор, являющийся, фактически, системой искусственного интеллекта;

· огромное хранилище справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в виде библиотеки интерактивных электронных книг.

Работа с пакетом Mathcad

Интерфейс MathCAD 2000

После инсталяции MathCAD 2001 Professional и создания на рабочем столе ярлыка можно запустить пакет на выполнение. Двойной щелчок левой кнопкой мыши по значку выводит на экран монитора заставку пакета (рис. 1.1), которая находится на экране монитора до тех пор, пока производится автоматическая загрузка программы.

Рис. 1.1. Заставка MathCAD 2001 Professional

Затем на экране монитора появляется окно MathCAD 2001 Professional (рис. 1.2).

В центре окна расположено окно Tip of the Day (Полезные советы), которое позволяет быстро ознакомить пользователя с возможностями MathCAD 2000 (информация на английском языке). Для переключения тем служит кнопка Next Tip (Следующая тема), а для перехода к работе с MathCAD 2000 - кнопка Close (Закрыть). Если появление окна Tip of the Day при последующих запусках MathCAD 2000 нежелательно, то следует отключить флажок Show tips on startup.



Рис. 1.2. Окно MathCAD 2000 Professional

В окне программы верхняя строка - строка заголовка, ниже размещаются строка меню и панели инструментов. В левой части строки заголовка находится кнопка управления окном MathCAD 2000. Щелчок левой кнопкой мыши по этой кнопке выводит на экран меню с названиями команд, позволяющими манипулировать окном пакета. За кнопкой управления окном следуют имя Windows - приложения MathCAD Professional и имя файла, в котором сохраняются результаты работы. По умолчанию имя файла - Untitled: 1. В правой части строки заголовка находятся три кнопки для работы с окном программы: Свернуть, Развернуть на полный экран и Закрыть окно приложения.

Вторая строка сверху - строка главного меню MathCAD 2000 Professional. Она содержит следующие пункты:

File (Файл) - работа с файлами;

Edit (Правка) - обработка фрагментов документа;

View (Вид) - настройка элементов окна;

Insert (Вставка) - вставка объектов и их шаблонов;

Format (Формат) - формирование параметров элементов текста;

Math (Математика) - управление процессом вычисления;

Symbol (Символьные операции) - выбор операции символьного процессора;

Window (Окно) - управление окнами MathCAD 2000;

Help (Помощь) - работа со справочной системой.

Щелчком левой кнопки мыши по одному из пунктов главного меню открывается ниспадающее меню со списком доступных (четкий шрифт) и недоступных команд (шрифт в фоновом режиме позволяет прочитать название команды).

Далее следуют панели инструментов. Традиционно в окне программы размещаются Стандартная панель инструментов и панель инструментов Форматирование.

Стандартная панель инструментов (Toolbars Standard) содержит кнопки для быстрого выполнения наиболее распространенных команд главного меню.

Четвертую строку окна занимает панель Форматирование (Toolbars Formatting), которая служит для выбора стиля и размеров шрифтов и способа выравнивания текстовых комментариев.

В окне MathCAD 2000 Professional может находиться также панель математических инструментов (Math) с пиктограммами, которые открывают панели инструментов.

Если панель математических инструментов отсутствует, это означает, что в подменю Toolbars (Панели инструментов) меню View (Вид) отключена опция Math и ее следует включить.

Под строкой панели Форматирование находится рабочее окно документа, в котором располагаются текстовые комментарии, введенные команды и математические выражения, выводимые результаты вычислений, графики. Всю информацию, расположенную в рабочем окне, называют Math-документом. Рабочее окно снабжено двумя полосами прокрутки - вертикальной и горизонтальной.

Последняя, нижняя строка окна- строка состояния. В ней записаны рекомендации к дальнейшим действиям, текущее состояние пакета, номер отображенной на экране страницы Math-документа.

Панели инструментов имеют слева выпуклую вертикальную черту. При нажатой левой кнопке мыши можно перетащить панель в любое место окна.

Простейшие вычисления в системе Mathcad

Для того чтобы выполнить простые расчеты по формулам, необходимо проделать следующее:

q определить место в документе, где должно появиться выражение, щелкнув мышью в соответствующей точке документа;

q ввести левую часть выражения;

q ввести знак равенства =.

Приведем пример. Для вычисления синуса какого-нибудь числа достаточно ввести с клавиатуры выражение типа sin(1/4)=. После того, как будет нажата клавиша со знаком равенства, с правой стороны выражения появится результат: .

Подобным образом можно проводить и более сложные и громоздкие вычисления, пользуясь при этом всеми функциями, которые встроены в Mathcad. Чтобы ввести встроенную функцию в выражение:

q Определите место в выражении, куда следует вставить функцию.

q Нажмите кнопку с надписью f(x) на стандартной панели инструментов.

q В списке Function Category появившегося диалогового окна выберите категорию, к которой принадлежит функция, -- в нашем случае это категория Trigonometric.

q В списке Function Name выберите имя встроенной функции, под которым она фигурирует в Mathcad.

q Нажмите кнопку ОК -- функция появится в документе.

q Заполните недостающие аргументы введенной функции.

Построение графиков функций

Чтобы построить график функции f(x), следует:

q сформировать вектор значений аргумента (в нашем примере х изменяется от -2 до 2);

q задать вид функции одной переменной (y(x):=sin(x));

q нажать на панели График кнопку с нужным типом графика (в нашем случае ) и в появившейся заготовке графика определить значения, которые будут отложены по осям.

Система Mathcad позволяет строить графики, заданные в полярной системе координат, а также трехмерные графики.

Символьные вычисления

Символьные вычисления в Mathcad можно осуществлять в двух вариантах:

1. с помощью команд меню;

2. с помощью оператора символьного вывода , ключевых слов символьного процессора и обычных формул.

Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного использования, не сохраняя сам ход вычислений. Второй способ более нагляден, т.к. позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах Mathcad. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент, выражения. Соответственно, на них не влияют формулы, находящиеся в документе Mathcad выше этого выделенного выражения. Оператор символьного вывода, напротив, учитывает все предыдущее содержимое документа и выдает результат с его учетом.

Для символьных вычислений при помощи команд предназначено главное меню Символы, объединяющее математические операции, которые Mathcad умеет выполнять аналитически. Для реализации второго способа применяются все средства Mathcad, пригодные для численных вычислений и специальная математическая панель инструментов, которую можно вызвать нажатием кнопки Панель символов на панели Математика. На этой панели находятся кнопки, соответствующие специфическим командам символьных преобразований. Например, таким, как разложение выражения на множители, расчет преобразования Лапласа и другим операциям, которые в Mathcad нельзя проводить численно и для которых, соответственно, не предусмотрены встроенные функции.

Упрощение выражений -- наиболее часто применяемая операция. Символьный процессор Mathcad стремится так преобразовать выражение, чтобы оно приобрело более простую форму. При этом используются различные арифметические формулы, приведение подобных слагаемых, тригонометрические тождества, пересчет обратных функций и др. Чтобы упростить выражение с помощью меню:

q Введите выражение.

q Выделите выражение или его часть, которую нужно упростить.

q Выберите команду Символы / Упрощение.

Применение Mathcad в математическом анализе

Наиболее ярким проявлением возможностей символьного процессора в Mathcad являются аналитические вычисления пределов, производных, интегралов и разложений в ряд, а также решение алгебраических уравнений. Все эти операции при выполнении их с помощью меню Символы находятся в его подменю Переменные. Соответственно, требуется предварительное выделение в выражении переменной, относительно которой будет совершаться операция.

Чтобы аналитически продифференцировать выражение по некоторой переменной, выделите в нем эту переменную и выберите команду Символы/ Переменная / Дифференцировать.

В результате в следующей строке за выражением появится значение ее производной. Для того чтобы найти вторую производную, повторно примените эту последовательность действий, но уже к полученному результату дифференцирования. Так же находятся и производные высших порядков.

Для вычисления неопределенного интеграла от некоторого выражения по определенной переменной выделите в выражении переменную и выполните команду Символы/ Переменная / Интегрировать. Вычисленное аналитическое представление неопределенного интеграла появится ниже.



Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенства или символьного равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором -- будет найдено точное значение интеграла.

Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения -- это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных.

Для численного решения дифференциального уравнения используется вычислительный блок Given/Odesolve. Данный вычислительный блок, реализующий численный метод Рунге-Кутты, состоит из трех частей:

q Given -- ключевое слово;

q Дифференциальное уравнение и начальные условия, записанные с помощью логических операторов, при чем дифференциальное уравнение должно быть линейно относительно старшей производной, а начальные условия должны иметь форму y(t)=b;

q Odesolve(t,t1) -- встроенная функция для решения дифференциального уравнения относительно переменной t на интервале (t0,t1).

Следует не забывать о том, что вставлять логические операторы следует при помощи панели булевских операторов, а символ производной в виде штриха можно ввести с помощью сочетания клавиш Ctrl + F7.

Приведем пример решения дифференциального уравнения первого порядка с заданным начальным условием .

В данном примере построен график функции, являющейся решением дифференциального уравнения.

Описание индивидуальных заданий с анализом их решения

Задание 1.(ИДЗ 2.2-3.28)

Даны три силы P, Q, R, приложенные к точке А. Вычислить: а) работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В; б) величину момента равнодействующей этих сил относительно точки В.

P = (7, 3,-4), Q = (3, -2,2), R = (-5, 4,3), А(-5, 0,4), В(4, -3,5).

Решение.

а) Так как , то

б)

Ответ: a)31, б)

Задание 2.(ИДЗ 6.4-2.12)

Провести полное исследование указанной функций и построить ее график.

Решение:

Область определения данной функции --.

2. Находим точки пересечения графика с осями:

x=0 y=0 График пересекается с осями в точке (0;0).

3. Найдем наклонные асимптоты:

. Следовательно, наклонных асимптот нет.

4. Т.к. y(-a)=-y(a), то функция нечетная.

5. Исследуем функцию на монотонность:

-- критические точки.

6. График данной функции будет представлен в разделе листингов заданий.

Задание 3.(ИДЗ 8.1-2.19)

Найти неопределенный интеграл, (результат интегрирования проверить дифференцированием).

Решение.

Проинтегрируем функцию:

Проверим результат дифференцированием.

Следовательно, мы проинтегрировали правильно.

Задание 4.(ИДЗ 9.3-3.29)

Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры ограниченной осями координат и параболой .

Решение:

Т.к. фигура симметрична и однородна, то координаты и равны

Задание 5.(ИДЗ 10.1-5.22)

Вычислить значение производной сложной функции , где , при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.

mathcad интерфейс математический интеграл

,,,.

Решение:

Задание 6.(ИДЗ 11.2-3.19)

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка. , y(0)=1,

Решение:

Сделаем замену , то . Проинтегрируем полученное выражение, подставим исходные данные и получим ответ .

Листинги выполнения заданий

Задание 1.(ИДЗ 2.2-3.28)

Задание 2.(ИДЗ 6.4-2.12)



Задание 3.(ИДЗ 8.1-2.19)

Задание 4.(ИДЗ 9.3-3.29)

Задание 5.(ИДЗ 10.1-5.22)

Задание 6.(ИДЗ 11.2-3.19)

Выводы и предложения

Осмыслив принцип работы данной системы, без труда решаются задачи любой сложности.

MathCAD позволяет строить графики функций любой сложности, проводить их полное исследование. Кроме этого есть возможность их анимации.

Математический пакет MathCAD заслуживает особого внимания при экспериментальных, инженерных и многих других расчетах, так как при помощи данного пакета снижается вероятность ошибки ручного просчета.

И так, перечислим основные достоинства MATHCAD`a.

Во-первых, это универсальность пакета MATHCAD, который может быть использован для решения самых разнообразных инженерных, экономических, статистических и других научных задач.

Во-вторых, программирование на общепринятом математическом языке позволяет преодолеть языковой барьер между машиной и пользователем. Потенциальные пользователи пакета - от студентов до академиков.

И в-третьих, совместно применение текстового редактора, формульного транслятора и графического процессора позволяет пользователю в ходе вычислений получить готовый документ.

Список использованных источников

1. MathCAD. Среда. Методы решения задач. Учебное пособие/ Гуз С.Н., Дегтяр С.Н. -- Мозырь: МГПУ, 2002.

2. Дьяконов В.П. MathCAD 2000: учебный курс. - СПб.: Питер, 2000.

3. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 7.0 PRO. - М.: СК Пресс, 1998.

4. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad. -- СПб.: БХВ-Петербург, 2003.

5. Шушкевич Г.Ч. Введение в MathCAD 2000: Учеб. Пособие / Г.Ч.Шушкевич, С.В. Шушкевич. -- Гродно: ГрГУ, 2001.

Размещено на Allbest.ru