Методи оптимального розбиття множин у керуванні розподіленими системами

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Методи оптимального розбиття множин у керуванні розподіленими системами

01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики

Коряшкіна Лариса Сергіївна

Дніпропетровськ 2000



УДК 519.853+517.977.1

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Дніпропетровському державному університеті Міністерства освіти і науки України.

Наукові керівники:

доктор фізико-математичних наук, професор Кісельова Олена Михайлівна, Дніпропетровський державний університет, завідувач кафедри обчислювальної математики та математичної кібернетики;

доктор фізико-математичних наук, професор Капустян Володимир Омелянович, Дніпропетровський державний технічний університет залізничного транспорту, завідувач кафедри комп'ютерних інформаційних технологій

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Мельник Валерій Сергійович, інститут прикладного системного аналізу НАН України та Міністерства освіти і науки України, завідуючий відділом системного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, професор Лигун Анатолій Олександрович, Дніпродзержинський державний технічний університет, професор кафедри прикладної математики та комп'ютерного моделювання.

Провідна установа: інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, відділ методів розв'язування складних задач оптимізації.

Захист відбудеться 12 жовтня 2000 р. о 14³⁰ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 при Дніпропетровському державному університеті за адресою: 49044, Дніпропетровськ, проспект Карла Маркса, 35, корп. 3, ауд. 25.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Дніпропетровського державного університету.

Автореферат розісланий 10 вересня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Турчина В.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Робота присвячена застосуванню методів розв'язування неперервних задач оптимального розбиття множин до розв'язання деяких задач керування системами, які описуються рівняннями в частинних похідних.

Актуальність теми. У багатьох технічних, економічних, соціологічних та наукових застосуваннях виникає необхідність оптимального, тобто найкращого в якомусь розумінні, розбиття деякоі множини на підмножини, що не перетинаються. Як приклади, можна привести задачі територіального планування сфер обслуговування, встановлення меж виборчих округів, складання розкладів авіаційних польотів, грузових перевозок, проектування печатних плат та інші.

Різноманітність початкових даних, які включають інформацію про властивості множини, обмеження на ті чи інші параметри задачі та критеріі якості, породжуі велику кількість оптимізаційних задач розбиття.

Весь клас задач розбиття можна умовно розділити на дві групи: дискретні та неперервні задачі оптимального розбиття множин (ОРМ). В дискретних задачах множина, яку необхідно розбити, складаіться із скінченного числа елементів. Розробці та обгрунтуванню методів розв'язування цих задач присвячено багато наукових публікацій, серед яких - роботи і.В. Сергіінка, В.А. Трубіна, Н.З. Шора, В.Н. Вапника, В.Р. Хачатурова, Е. Balas, M.W Padberg, M.L. Fisher, P. Kedia, R.E Marsten, D. Wedelin, G.L. Thompson та інших. Неперервні задачі оптимального розбиття з'явились в літературі у 60-х роках. Ці задачі вивчались в роботах H.W.Corley, R.S.Roberts, А.Г. Сухаріва, С.В. Туіва. Систематичне дослідження властивостей неперервних задач ОРМ і методів іх розв'язування ведеться на протязі останніх тридцяти років у Дніпропетровському університеті на кафедрі обчислювальної математики та математичноі кібернетики під керівництвом доктора фіз.-мат. наук, професора Кісельовоі О.М. До цього часу тут отримані строгі результати якісного характеру, на основі яких розроблено методи та алгоритми розв'язування багатопродуктових, лінійних, нелінійних, нечітких, стохастичних задач оптимального розбиття множин з різними обмеженнями.

Нерідко під час математичного опису задач оптимального розбиття потрібно враховувати зміну стану деякого процесу або об'ікту з часом чи у просторі. Прикладами таких задач і задачі формування екологічної структури навколо промислових підприімств, оптимального розміщення відстійників радіоактивних відходів атомних електростанцій, розміщення джерел забруднюючих речовин та виділення зон із санітарно-припустимими нормами забруднення під час планування виробничих приміщень. Математичні моделі названих задач виявляються новими по постановці, цікавими для подальшого узагальнення та розвитку теоретичних результатів, що мають широкий спектр практичних застосувань.

Дисертаційна робота присвячена саме розробці та обгрунтуванню алгоритмів розв'язування вказаних задач. Задачі і методи іх розв'язування, що представлені в роботі, синтезують положення теорії неперервних задач оптимального розбиття множин та теорії оптимального керування системами з розподіленими параметрами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в період з 1993 по 2000 рік на кафедрі обчислювальної математики та математичної кібернетики Дніпропетровського державного університету згідно з індивідуальним планом підготовки аспіранта, а також в межах науково-дослідноі роботи за д/б темою № 19-94 “Математичне моделювання, розробка та реалізація чисельних методів розв'язування задач оптимального розбиття і оптимізаціі складних систем” та д/б темою № 07-57-97 “Математичне моделювання, розробка теоретичного апарату, обгрунтування та чисельна реалізація методів оптимізаціі складних систем”.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи і розробка і обгрунтування методів і алгоритмів розв'язування деяких задач оптимального керування системами з розподіленими параметрами на базі методів ОРМ.

Основні задачі дослідження включають:

математичну постановку задачі оптимального керування параболічною системою, яка характеризується особливою структурою допустимоі області керувань, що дозволяє звести задачу керування до задачі розбиття множини;

обгрунтування способів зведення задач керування з лінійним, квадратичним та недиференційовним функціоналами до відповідних задач оптимального розбиття;

розробку і обгрунтування методів та алгоритмів розв'язування вказаних задач керування на основі методів ОРМ;

створення комплексу програм, які реалізують ці методи;

5) застосування розроблених алгоритмів до розв'язування задач формування екологічної структури промислового регіону.

Наукова новизна полягаі в наступному:

введено новий клас задач оптимального керування системами з розподіленими параметрами, в яких допустима область керувань визначаіться розбиттям деякоі множини на скінченну кількість підмножин з пустим перетином;

розроблено алгоритми розв'язування вказаних задач, які базуються на зведенні вихідних задач керування за допомогою апарату функцій Гріна або спряжених рівнянь до неперервних лінійних чи нелінійних задач ОРМ та розв'язування останніх відповідними методами;

отримано оцінку похибки обчислення функціоналів задач стартового керування за допомогою розроблених алгоритмів, яка виникаі за рахунок заміни функції Гріна сумою скінченного числа доданків; встановлено і підтверджено результатами обчислювальних експериментів асимптотичну незалежність розв'язку задачі керування від наближеного обчислення функції Гріна;

розроблено алгоритм розв'язування задачі стартового керування з недиференційовним критеріім якості на основі методу послідовноі лінеаризаціі Р.П. Федоренка; для функціоналу відповідноі неперервної задачі ОРМ побудовано диференціал Гато;

створено комплекс програм на мові Delphi, які реалізують розроблені алгоритми для різноманітних постановок задач керування (стартового або розподіленого), що зводяться до лінійних чи нелінійних неперервних задач оптимального розбиття множин з розміщенням або без розміщення центрів підмножин при обмеженнях;

розроблену методику застосовано до розв'язування практичних задач формування екологічноі структури навколо промислових об'іктів і планування промислового регіону.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація виконана в межах пріоритетноі науково-дослідноі роботи, яка пов'язана з проблемою охорони навколишнього середовища, розв'язуванням питань раціонального природокористування та забезпечення екологічноі безпеки під час проектування і розміщення містобудівних об'іктів. Розроблено та реалізовано на ПЕОМ комплекс програм для розв'язування задач оптимального керування системами, що описуються диференціальними рівняннями параболічного типу, які у своій математичній постановці можуть бути зведені до задач ОРМ. Створений програмний комплекс OU_ORM може бути безпосередньо застосований при розв'язанні задач розміщення промислових об'іктів з урахуванням екологічного навантаження на регіон, формування екологічноі структури індустріального регіону, розміщення джерел забруднюючих речовин та визначення зон із санітарно-допустимими нормами забруднення під час будівництва виробничих приміщень.

Основні положення дисертації включені до спецкурсу “Методи розв'язування задач оптимального розбиття множин”, який читається на кафедрі обчислювальноі математики та математичноі кібернетики в Дніпропетровському державному університеті для студентів IV-V курсів за спеціальністю “Прикладна математика”. Результати автора використовуються у науково-дослідній роботі при виконанні курсових та дипломних робіт студентами факультету прикладної математики ДДУ.

Особистий внесок здобувача. В статті [1] автору належить зведення задачі керування до задачі ОРМ за допомогою апарату функцій Гріна, розробка та чисельна реалізація алгоритму розв'язування отриманоі задачі ОРМ, оцінка похибки, що виникає за рахунок наближеного обчислення функції Гріна.

Апробація результатів дисертаціі. Основні положення дисертаційноі роботи доповідались та обговорювались: на науково-технічній конференціі з міжнародною участю “Приладобудування-95” (Вінниця-Львів, 1995); міжнародній конференціі “Моделювання та дослідження стійкості систем” (Киів, 1997); на щорічних підсумкових конференціях Дніпропетровського державного університету з результатів науково-дослідноі роботи (1995-1999); на засіданнях міжвузівського семінару “Актуальні питання оптимізації та дискретноі математики” при кафедрі обчислювальноі математики та математичної кібернетики Дніпропетровського державного університету (Дніпропетровськ, лютий 1998 г., квітень 1999 г.); на науковому семінарі “Проблеми керування та інформатики” при кафедрі комп'ютерних інформаційних технологій Дніпропетровського державного технічного університету залізничного транспорту (Дніпропетровськ, березень 2000), на U.S.-Ukrainian Workshop “Recent Advances in Non-Differentiable optimization” (м. Киів, травень 2000), на науковому семінарі при кафедрі системного аналізу і теорії прийняття рішень Киівського національного університету імені Тараса Шевченка (Киів, травень 2000).

Публікаціі. Основні положення і результати дисертаційної роботи опубліковано у 3 статтях в наукових журналах, 2 статтях у збірниках наукових праць, 5 тезах наукових конференцій.

Структура роботи. Дисертація складаіться з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та доданків. Загальний обсяг дисертації становить 129 сторінок. Список використаних літературних джерел містить 128 найменувань та займає 13 сторінок.

алгоритм керування функція грін



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрита суть і актуальність задач, які розглядаються у дисертаційній роботі, обгрунтована ії значимість, сформульована мета роботи, а також наукова новизна отриманих результатів.

В першому розділі наведено: огляд літератури, яка присвячена задачам оптимального розбиття множин та методам іх розв'язання; перелік основних публікацій стосовно оптимального керування процесами, що описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних.

У другому розділі розглянута задача стартового керування параболічною системою з лінійним критерієм якості в наступній математичній постановці: нехай на деякій обмеженій вимірній за Лебегом множині з кусково-гладкою границею заданий набір функцій Розглянемо клас всіляких розбиттів множини на підмножин:

Нехай стани керованого об'єкту описуються функцією

,

яка задовольняє граничній задачі

(1)

(2)

(3)

(4)

де - оператор Лапласа;

- задані числа;

,

- задані функціі.

Умовимось розв'язок крайовоі задачі (1)-(4), який відповідаі функціі , позначати .

Треба знайти таке розбиття , для якого функція доставляла б мінімального значення функціоналу

, (5)

де - фиксована тривалість керованого процесу.

Відмінними рисами цііі задачі являіться, по-перше, те, що початковий стан процесу, яким ми керуімо, визначаіться розбиттям множини , по-друге, наявність обмежень типу (3), в яких невідомий параметр входить в границі інтегрування.

В п.2.1 запропоновано і обгрунтовано один з підходів до розв'язання задачі (1)-(5). Він полягаі в тому, що використовуючи інтегральне представлення розв'язку крайовоі задачі за допомогою функціі Гріна та враховуючи структуру допустимоі множини керувань (4), вихідна задача керування приводиться до лінійноі неперервноі задачі ОРМ: знайти набір підмножин , такий що

, , (6)

- нормаль до .

В роботі показано, що клас допустимого розбиття задачі (6) не буде пустим, якщо вектор правих частин нерівностей (3) задовольняі умові

(7)

Відповідно до методики розв'язування лінійних неперервних задач оптимального розбиття множин з обмеженнями типу нерівностей введемо характеристичні функціі підмножин , і від задачі (6) перейдемо до еквівалентноі задачі нескінченновимірного програмування: знайти вектор-функцію , таку що

, (8)

,

при умовах

. (9)

Розв'язок задачі (8), (9) отримано у вигляді: для майже всіх (м. в.)

(10)

,

а параметри являють собою розв'язок задачі

. (11)

На основі отриманих формул розроблено чисельний алгоритм розв'язування задачі (1)-(5). Складовою частиною даного алгоритму і r-алгоритм Н.З. Шора, який використовуіться для розв'язання задачі максимізаціі негладкоі функціі (11).

У цьому ж розділі наведена оцінка похибки обчислення функціоналу задачі (8), яка виникаі за рахунок заміни функціі Гріна сумою скінченного L числа доданків для випадку, коли множина являі собою прямокутник. Показано, що ця похибка і величиною порядку . У процесі отримання цііі оцінки встановлена асимптотична незалежність оптимального розбиття множини , а як наслідок, і оптимального розв'язку вихідноі задачі (1)-(5), від наближеного обчислення функціі Гріна.

В п.2.2 розроблений алгоритм узагальнено на випадок розв'язання задачі типу (1)-(5), в якій область припустимих керувань визначаіться не тільки розбиттям вихідноі множини, але ще й набором певного числа параметрів, які необхідно знайти у процесі розв'язання задачі. Цей клас задач розглянуто на прикладі задачі оптимального керування лінійною просторо-двовимірною параболічною системою: нехай на деякій обмеженій вимірній за Лебегом множині з кусково-гладкою границею задано набір функцій , - дійсних, обмежених, вимірних по аргументу ; точки , , невідомі заздалегідь. Стан об'ікту, яким керують, описуіться функціію , що задовольняі крайовій задачі

(12)

, (13)

(14)

Допустима множина керувань має вигляд

, (15)

, .

Величини , та функціі , і заданими, - дійсна невід'ємна на функція. Точки , , будемо називати умовно “центрами” підмножин .

Будемо припускати, що функція , яка відповідаі кожному допустимому набору , і узагальненим розв'язком крайовоі задачі (12)-(14).

Необхідно знайти розбиття та набір “центрів” підмножин такі, щоб відповідна ім функція забезпечила мінімальне значення функціоналу

=. (16)

В п.2.3 описаний ще один спосіб зведення задачі (1) - (5) до задачі ОРМ, який базуіться на використанні апарату спряжених задач. Лінійна неперервна задача ОРМ, еквівалентна (1) - (5), у даному випадку маі вигляд:

, (17)

де - розв'язок задачі

, (18)

, , (19)

, (20)

а

Теорема 2.1. Для того, щоб допустиме розбиття було оптимальним для задачі (17) - (20), необхідно і достатньо існування вектора дійсних констант , таких що



(21)

для м.в. .

Наслідок. В точках , що належать оптимальній границі між підмножинами та , в нерівності (21) досягаіться знак рівності.

Оптимальний розв'язок задачі (17)-(20) отримано в термінах характеристичних функцій підмножин у вигляді:

(22)

,

а в якості параметрів обираіться розв'язок задачі

. (23)

Ці формули лежать в основі ще одного алгоритму розв'язування задачі (1) - (5).

Був проведений ряд обчислювальних експериментів, аналіз яких дозволяі зробити висновок про те, що перевагою описаного в п. 2.3 алгоритму і, по-перше, те, що час, витрачений на розв'язування задачі, значно менший часу, за який отримано розв'язок за допомогою алгоритму, що містить аналітичний розв'язок крайовоі задачі (1)-(4). По-друге, алгоритм, що базуіться на формулах (22), (23), можна застосовувати і для задач керування з областю , яка маі достатньо складну форму.

У третьому розділі описано методи розв'язування задач оптимального керування з нелінійними критеріями якості. В п.3.1 розглянута задача стартового керування параболічною системою з квадратичним функціоналом:

, (24)

де - розв'язок задачі (1)-(4), - задана функція, - фіксована тривалість процесу, яким управляють.

Ця задача зведена за допомогою апарату функцій Гріна до неперервноі нелінійноі задачі ОРМ, а остання, в свою чергу, - до нелінійноі нескінченновимірноі задачі оптимізаціі:

, (25)

,

.

Поряд із задачею (25) розглядається задача

, (26)

,

.

Визначення. Будемо говорити, що задача (26) задовольняі умові Слейтера, якщо існуі точка , для якої

.

Якщо в задачі (24), (1)-(4) константи задовольняють співвідношенню

(27)

то для задачі (26) виконується умова Слейтера.

В роботі показано, що функціонал і опуклим по на опуклій обмеженій множині . Згідно з теоремою Куна -Таккера розв'язок задачі (26) зводиться до пошуку сідловоі точки функціоналу Лагранжа цієї задачі, який має вигляд:

,

де .

Розглянемо задачу, двоїсту до задачі (26):

. (28)

Позначимо через - градієнт функціоналу по змінній , j-ая компонента якого обчислюіться за формулою:

.

Визначення. Будемо говорити, що функціонал задовольняі умові сильноі регулярності, якщо

,

за винятком множини точок нульовоі міри.

В результаті застосування необхідних і достатніх умов оптимальності, наведених в [1], показано, що розв'язок внутрішньоі задачі (28) для опуклого функціоналу , який задовольняі умовам сильноі регулярності та

, (29)

може бути визначено як розв'язок операторного рівняння

для м.в. .

Введемо до розгляду функціонал

+

.

Теорема 3.4. При любих фіксованих виконуіться нерівність

, (30)

причому на оптимальній траікторіі досягається знак рівності:

.

Теорема 3.5. Розв'язок задачі (26) може бути отримано майже всюди для за формулою

(31)

де - розв'язок задачі максимізації функціоналу на множині .

Нехай виконана умова (27). Тоді якщо для функціоналу Лагранжа задачі (26) виконуються умови сильноі регулярності та (28), то множина оптимальних розв'язків задач (25) і (26) співпадають.

На основі отриманих формул розроблено чисельний алгоритм розв'язування задачі (24), (1)-(4). Складовою частиною цього алгоритму і r-алгоритм Н.З. Шора, який застосовуіться для розв'язання скінченновимірноі апроксимаціі задачі максимізаціі функціоналу на множині .

Чисельна реалізація алгоритму розв'язування задачі (26), що оснований на теоремі 3.5, припускає апроксимацію задачі

(32)

Задачею

, (33)

в якій цільова функція відрізняється від тим, що в ній функція Гріна замінена сумою скінченного L числа доданків. Доказано

Лема 3.2. Функціонали задач (33) при збігаються до функціоналу задачі (32) рівномірно по всім .

Лема 3.3. Функціонали та і ввігнутими по.

На основі цих лем доказана теорема про асимптотичну збіжність послідовності вектор-функцій до вектор-функції при . Показана також асимптотична збіжність при L.

В п.3.2 сформульована задача стартового керування параболічною системою з недиференційовним функціоналом, яка в термінах характеристичних функцій підмножин має вигляд:

, (34)

(35)

, ; (36)

(37)

,

де і , - задані функціі.

Згідно з методами розв'язування неперервних задач ОРМ множина занурюється в симплекс

,

і в подальшому розв'язуіться задача

. (38)



Визначення. Під варіаціію (прирістом) функціі , будемо розуміти функцію , де .

Введемо позначення

; .

Для диференціалу Гато функціоналу за напрямком в точці отримана наступна формула

,

де - розв'язок крайової задачі

(39)

(40)

, (41)

а - розв'язок задачі

, (42)

, (43)

. (44)

Для розв'язування задачі (38) застосовуіться метод, аналогічний методу послідовноі лінеарізаціі Р.П. Федоренка, який розроблено для задач керування системами з зосередженими параметрами. Цей метод полягаі в побудові релаксаційноі послідовності за формулою

,

де і розв'язок задачі

=, (45)

а параметр підбираіться з умови релаксаціі

В четвертому розділі розроблену методику застосовано до розв'язування задачі формування екологічноі структури навколо промислових об'іктів в наступній постановці: в деякому регіоні діють М індустріальних підприімств, які викидають в атмосферу забруднюючі домішки. Необхідно виділити в цій області N екологічно важливих зон заданоі площі (наприклад, під сільськогосподарські угіддя, зони відпочинку, житлові споруди) так, щоб рівень забруднення цих зон в результаті діяльності заданих промислових об'іктів не перевищував припустимі санітарні норми, а витрати на поновлення навколишнього середовища, на спорудження та експлуатацію комунікаційних ліній (залізничих і автомобільних доріг, водопроводів, ліній зв'язку і т. д.) були мінімальними.

Математично сформульована задача записується так: знайти на області , такі, щоб функціонал



, (46)

(47)

(48)

, . (49)

В задачі (46) - (49) - деякі константи; , - задані функції; - інтенсивність аерозольної субстанції, процес розповсюдження якої описується крайовою задачею

, (50)

при , (51)

при , (52)

при (53)

на при , (54)

де - вектор швидкості потоку повітря; - задана величина; - коефіцієнти діфузії; , , - інтенсивність та координати джерел забруднення; , - задані функції, - проекція вектора на зовнішню нормаль до бокової поверхні ; , , - задані невід'ємні константи.

В роботі описані алгоритми розв'язування вказаної задачі для випадку відомих координат розташування джерел забруднення, а також для випадку одночасного розташування промислових об'єктів і виділення екологічно важливих зон.

ВИСНОВКИ

Введено новий клас задач оптимального керування системами, що описуються рівняннями в частинних похідних. Ці задачі характеризуються особливою структурою допустимоі множини керувань, яка визначаіться розбиттям області визначення функціі керування на скінченну кількість підмножин з пустим перетином.

Розроблено алгоритми розв'зування вказаних задач, які базуються на зведенні вихідних задач керування за допомогою апарату функцій Гріна або апарату спряжених рівнянь до неперервних лінійних чи нелінійних задач ОРМ та розв'язуванні останніх відповідними методами.

Отримана оцінка похибки обчислення функціоналів задач стартового керування з лінійним і квадратичним критеріями за допомогою розроблених алгоритмів, яка виникаі за рахунок заміни функції Гріна сумою скінченного числа доданків; у процесі знаходження цієї оцінки була встановлена і підтверджена результатами обчислювальних експериментів асимптотична незалежність розв'язку задачі керування від наближеного обчислення функції Гріна.

Розроблено алгоритм розв'язування задачі стартового керування з недиференційовним критеріім якості на основі методу послідовноі лінеарізації Р.П. Федоренка; для функціоналу еквівалентноі задачі нескінченновимірного програмування побудовано диференціал Гато.

Створений комплекс програм на мові Delphi, які реалізують розроблені алгоритми для різноманітних постановок задач керування (стартового або розподіленого), що приводяться до лінійних чи нелінійних неперервних задач оптимального розбиття множини з розміщенням або без розміщення центрів підмножин при обмеженнях. Розв'язано ряд тестових і модельних задач.

Розроблену методику застосовано до розв'язування практичних задач формування екологічної структури навколо промислових об'іктів і задачі планування індустріального регіону.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Капустян В.Е., Киселева Е.М., Кроха Л.С. Решение некоторых задач стартового управления методом оптимального разбиения множеств // Проблемы управления и информатики. - 1995. - №6. - С. 80-88

2. Коряшкина Л.С. Методы оптимального разбиения множеств для некоторых задач управления с квадратичным функционалом // Проблемы управления и информатики. - 1997. - №5. - С. 39-49

3. Коряшкина Л.С. Решение одной задачи управления параболической системой // Проблемы управления и информатики. - 1998. - №2. - С.94-101

4. Коряшкина Л.С. Применение методов оптимального разбиения множеств к решению линейных задач управления эллиптическими системами // Математические модели и вычислительные методы в прикладных задачах. Сборник научных трудов. Дніпропетровськ, ДДУ, 1996. - С. 30-35

5. Коряшкина Л.С. Решение одной задачи оптимального размещения промышленного объекта // Питання прикладної математики та математичного моделювання. Збірник наукових праць. Днiпропетровськ, ДДУ. - 1999. - С. 65-69

6. Киселева Е.М., Капустян В.Е., Кроха Л.С. Методы оптимального разбиения множеств в решении задач стартового управления параболическими системами // Материалы научно-технической конференции с международным участием “Приборостроение-95”. - Винница-Львов. - 1995. - С. 25

7. Коряшкина Л.С. О решении одной задачи оптимального управления параболической системой // Thesis of International Conference “Modelling and Investigation of Systems Stability” . - Kiev. - 1997. - P. 61

8. Коряшкина Л.С. Методы оптимального разбиения множеств в задачах управления // Актуальнi проблеми механiки, математики та iнформатики // Тези доповiдей тематичноі науковоі конференцiі за пiдсумками науково-дослiдноі роботи ДДУ: Видавництво “Навчальна книга”, 1998. - С.47

9. Коряшкина Л.С. Алгоритмы оптимального разбиения множеств в задачах охраны окружающей среды // Актуальнi проблеми механiки, математики та iнформатики. Tом 2 // Тези доповiдей тематичноі науковоі конференцiї за пiдсумками науково-дослiдноі роботи ДДУ: Видавництво “Навчальна книга”, 1999. - С.42

10. Kiseleva E.M., Koryashkina L.S. On Continuous Problems of the Optimal Partitioning of Sets with Non-Differentiable Functional // U.S. - Ukrainian Workshop. Recent Advances in Non- Differentiable Optimization. Abstracts. - May, 15-18, 2000. - Kyiv, Ukraine



АНОТАЦІЇ

Коряшкіна Л.С. Методи оптимального розбиття множин у керуванні розподіленими системами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики.- Дніпропетровський державний університет, Дніпропетровськ, 2000.

Дисертація присвячена розробці та обгрунтуванню алгоритмів розв'язування задач оптимального керування системами з розподіленими параметрами, в яких область допустимих керувань визначається розбиттям деякої множини на скінченну кількість підмножин з пустим перетином. Запропоновано підхід до розв'язування даних задач, який базується на зведенні іх за допомогою апарату функцій Гріна або спряжених рівнянь до неперервних задач оптимального розбиття множин і подальшого використання методів ОРМ.

Розв'язок задачі керування з лінійним критеріім якості знайдено в аналітичній формі. Для розв'язку задачі керування з квадратичним функціоналом записано операторне рівняння. Для задачі стартового керування з недиференційованим функціоналом розроблено і чисельно реалізовано метод, аналогічний методу послідовної лінеарізації Р.П. Федоренка.

Розроблені в роботі методи та алгоритми реалізовані на ПЕОМ і можуть бути беспосередньо застосовані для розв'язання практичних задач керування, що зводяться до неперервних задач ОРМ.

Ключові слова: оптимальне керування,розподілена система, неперервна задача оптимального розбиття, r-алгоритм, лінеарізація, диференціал Гато.



Коряшкина Л.С. Методы оптимального разбиения множеств в управлении распределенными системами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. - Днепропетровский государственный университет, Днепропетровск, 2000.

Диссертация посвящена разработке и обоснованию алгоритмов решения нового класса задач управления системами с распределенными параметрами. Эти задачи характеризуются: во-первых, зависимостью функции управления от разбиения некоторого множества на конечное число непересекающихся подмножеств; во-вторых, наличием интегральных ограничений-неравенств, в которых неизвестный параметр входит в пределы интегрирования. Предложенный в диссертации подход к решению указанных задач основан на сведении их к непрерывным линейным или нелинейным задачам оптимального разбиения множества (ОРМ) и решении последних соответствующими методами. Приведены два способа сведения задач стартового и распределенного управления параболической системой к непрерывным задачам ОРМ. В основе одного из них лежит интегральное представление решения краевой задачи с помощью функции Грина. Другой способ предполагает использование аппарата сопряженных задач.

Для задачи оптимального управления с линейным критерием качества решение найдено в аналитическом виде. Для решения задачи управления с квадратичным функционалом записано операторное уравнение. Доказан ряд теорем, позволяющих записать решение задачи с квадратичным критерием в аналитическом виде и вместо операторного уравнения решать вспомогательную задачу бесконечномерного программирования. На основе полученных формул разработаны и численно реализованы алгоритмы решения указанных задач.

Полученные аналитические выражения для решений задач управления с линейным и квадратичным функционалами содержат некоторые параметры, являющиеся в свою очередь решением вспомогательной задачи оптимизации (конечномерной или бесконечномерной). Поэтому составной частью разработанных в диссертационной работе алгоритмов является метод обобщенного градиентного подъема с растяжением пространства в направлении разности двух последовательных градиентов (r-алгоритм) Н.З. Шора.

Получена оценка погрешности вычисления линейного и квадратичного функционалов задач стартового управления, возникающей за счет замены функции Грина суммой конечного числа слагаемых; в процессе получения этой оценки была установлена и подтверждена результатами вычислительных экспериментов асимптотическая независимость решения задачи управления от приближенного вычисления функции Грина.

Приведена математическая постановка задачи оптимального управления, сводящейся к так называемой непрерывной задаче ОРМ с размещением центров подмножеств. Получены основные соотношения, характеризующие оптимальное решение задачи.

Сформулирована задача оптимального управления параболической системой с недифференцируемым критерием качества, в которой в качестве управляющих функций выступают характеристические функции подмножеств, составляющих разбиение некоторого множества. Разработан алгоритм решения указанной задаче на основе перехода от задачи бесконечномерного программирования с булевыми переменными к задаче оптимизации функционала на симплексе, и применении к решению последней метода, аналогичного методу последовательной линеаризации Р.П. Федоренко. Для непрерывной задачи построен дифференциал Гато.

Создан комплекс программ, реализующих разработанные алгоритмы для различных постановок задач управления (стартового или распределенного), сводящихся к линейным или нелинейным непрерывным задачам оптимального разбиения множества с размещением или без размещения центров подмножеств при ограничениях. Разработанная методика применена к решению практической задачи оптимального размещения в заданном регионе промышленных объектов с одновременным планированием его экологической структуры.

Ключевые слова: оптимальное управление, распределенная система, непрерывная задача оптимального разбиения, r-алгоритм, линеаризация, дифференциал Гато.

Koryashkina L.S. Methods of Optimal Partitioning of Sets in the Control by Distributed Systems. - Manuscript.

Thesis for a candidat's degree by speciality 01.05.01 - theoretical bases of informatics and cybernetics. - Dnepropetrovsk State University, Dnepropetrovsk, 2000.

The dissertation is devoted to developing of the algorithms for solving of the problems of optimal control by distributed systems, in which the control function is determined by partitioning of some plane set into disjoint subsets. An approach, based on reducing these problems with help of apparatus of Green functions or conjugate equations to the continuous optimal set partitioning problems (SPP), is proposed. The solution of the optimal control problem with linear functional is obtained in an explicit form. For solution of the optimal control problem with quadratic performance criterion is written an operator equation. A method that similar to the method of sequential linearization of R.P. Fedorenko is developed for solving of the initial control problem of parabolic system with non-differentiative performanse criterion.

The results of the work provide a useful device to solving of wide range of real optimal control problems which are reducible to continuous SPP.

Key words: optimal control, the distributed system, the continuous optimal set partitioning problem, r-algorithm, linearization, Gateaux differential.

Размещено на Allbest.ru