Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Правила переводов десятичных чисел в них и обратно

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема: “Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Правила переводов десятичных чисел в них и обратно”.

Cодержание

1. Аналитическая часть

1.1 Двоичная система счисления

1.2 Восьмеричная система счисления

1.3 Шестнадцатеричная система счисления

1.4 Правила переводов десятичных чисел в них и обратно

1.5 Форматы хранения чисел с плавающей точкой

2. Практическая разработка

2.1 Блок-схема алгоритма

2.2 Распределение памяти и листинг программа

2.3 Результаты тестирования программы

3. Описание средств вычислительной техники

Список литературы

1. Аналитическая часть

1.1 Двоичная система счисления

В компьютере для представления информации используется двоичное кодирование, так как удалось создать надежно работающие технические устройства, которые могут со стопроцентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний (цифр):

· электромагнитные реле (замкнуто/разомкнуто), широко использовались в конструкциях первых ЭВМ;

· участок поверхности магнитного носителя информации (намагничен/размагничен);

· участок поверхности лазерного диска (отражает/не отражает);

· триггер может устойчиво находиться в одном из двух состояний, широко используется в оперативной памяти компьютера.

Все виды информации в компьютере кодируются на машинном языке, в виде логических последовательностей нулей и единиц.

Вид информации	Двоичный код
Числовая
Текстовая
Графическая
Звуковая
Видео

Информация в компьютере представлена в двоичном коде, алфавит которого состоит из двух цифр (0 и 1).

Цифры двоичного кода можно рассматривать как два равновероятных состояния (события).

При записи двоичной цифры реализуется выбор одного из двух возможных состояний (одной из двух цифр) и, следовательно, она несет количество информации, равное 1 биту.

Даже сама единица измерения количества информации бит (bit) получила свое название от английского словосочетания Binary digit (двоичная цифра). Важно, что каждая цифра машинного двоичного кода несет информацию в 1 бит. Таким образом, две цифры несут информацию в 2 бита, три цифры -- в 3 бита и так далее. Количество информации в битах равно количеству цифр двоичного машинного кода.

Каждая цифра машинного двоичного кода несет количество информации, равное одному биту.

1.2 Восьмеричная система счисления

-- позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры 0 до 7.

Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

1.3 Шестнадцатеричная система счисления

(шестнадцатеричные числа) -- позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10₁₀ до 15₁₀, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

1.4 Правила переводов десятичных чисел в них и обратно

· Преобразование двоичных чисел в десятичные.

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Пример:

Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	0	0	0	1
				+32	+16				+1

Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.

Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47.

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19 /2 = 9 с остатком 1

9 /2 = 4 c остатком 1

4 /2 = 2 с остатком 0

2 /2 = 1 с остатком 0

1 /2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в делимом не будет 0. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010.101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

· Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;

· Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;

· В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;

· Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206₁₀=11001110₂ по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

116 * 2 = 0.232

232 * 2 = 0.464

464 * 2 = 0.928

928 * 2 = 1.856

856 * 2 = 1.712

712 * 2 = 1.424

424 * 2 = 0.848

848 * 2 = 1.696

696 * 2 = 1.392

392 * 2 = 0.784

и т. д.

Получим: 206,116₁₀=11001110,0001110110₂

· Преобразование восьмеричных чисел в десятичные.

Алгоритм перевода чисел из восьмеричной в десятичную систему счисления аналогичен уже рассматривавшему мною в разделе: Преобразование двоичных чисел в десятичные.

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо заменить каждую цифру восьмеричного числа на триплет двоичных цифр.

Пример: 2541₈ = 010 101 100 001 = 010101100001₂

Существует таблица перевода восьмеричных чисел в двоичные

08	=	0002
18	=	0012
28	=	0102
38	=	0112
48	=	1002
58	=	1012
68	=	1102
78	=	1112

· Преобразование шестнадцатеричных чисел в десятичные.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число 5A3 в десятичное. В этом числе 3 цифры. В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

5A3₁₆ = 3·16⁰+10·16¹+5·16І= 3·1+10·16+5·256= 3+160+1280= 1443₁₀

Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему нужно разбить его на тетрады справа налево и заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Например:

010110100011₂ = 0101 1010 0011 = 5A3₁₆

Таблица перевода чисел

016=010=08	0	0	0	0
116=110=18	0	0	0	1
216=210=28	0	0	1	0
316=310=38	0	0	1	1
416=410=48	0	1	0	0
516=510=58	0	1	0	1
616=610=68	0	1	1	0
716=710=78	0	1	1	1
816=810=108	1	0	0	0
916=910=118	1	0	0	1
A16=1010=128	1	0	1	0
B16=1110=138	1	0	1	1
C16=1210=148	1	1	0	0
D16=1310=158	1	1	0	1
E16=1410=168	1	1	1	0
F16=1510=178	1	1	1	1

1.5 Форматы хранения чисел с плавающей точкой

Типы значений с плавающей точкой Real, Single, Double, Extended и Comp (вещественный, с одинарной точностью, с двойной точностью, с повышенной точностью и сложный) хранятся в виде двоичного представления знака (+ или -), показателя степени и значащей части числа. Представляемое число имеет значение: +/- значащая_часть Х 2^показатель_степени где значащая часть числа представляет собой отдельный бит слева от двоичной десятичной точки (то есть 0 <= значащая часть <= 2). система счисления плавающая точка

Пример: Вещественный тип

Шестибайтовое (48-битовое) вещественное число (Real) подразделяется на три поля:

1 39 8

+---+------..-------+--------+

| s | f | e |

+---+------..-------+--------+

msb lsb msb lsb

Значение v числа определяется с помощью выражений:

if 0 < e <= 255, then v = (-1)^s * 2^(e-129)*(l.f).

if e = 0, then v = 0.

В схеме слева расположены старшие значащие биты, а справа - младшие значащие биты. Самое левое значение хранится в самых старших адресах. Например, для значения вещественного типа e сохраняется в первом байте, f - в следующих пяти байтах, а s - в старшем значащем бите последнего байта.

2. Практическая разработка

Описание алгоритма решения задач.

Для решения поставленной задачи необходимо сравнить два числа с плавающей точкой, которые представлены в виде четырех байт.

В данной работе необходимо сравнить числа по модулю, знак в данном случае нас не интересует. Для получения модулей чисел. Проделав данную операцию, мы будем располагать двумя положительными числами, сравнение которых будет осуществлять побайтно. Вначале будут сравниваться старшие байты, рассматриваемых чисел, если они равны, будем переходить к сравнению следующих байт и т.д. В случае, когда все до последнего байта равны, то в ячейку 7000₁₆ помещаем код 00. Если же числа не равны, тогда в ячейку 7000₁₆ формируем код 01 ( левое число больше правого) или же код 02 ( правое число больше левого). В данной работе для избегания повторения одних и тех же действий с разными байтами, я использую счетчик цикла.

Распределение памяти:

L - счетчик цикла

DB,C - содержат текущий байт первого числа

D,E - содержат текущий байт второго числа

H - содержат значение текущего байта второго числа

A - содержат значение текущего байта первого числа

H,L - временное хранение значения адреса старшего байта второго числа, с последующим перемещением в пару D,E.

2.1 Блок схема

2.2 Распределение памяти и листинг программы

Распределение памяти:

L - счетчик цикла

B,C - содержат текущий байт первого числа

D,E - содержат текущий байт второго числа

H - содержит значение текущего второго числа

A - содержит значение текущего байта первого числа

H,L - временное хранение значения адреса старшего байта второго числа, с последующим перемещением в пару D,E

4000₁₆-адрес начала массива исходных чисел

Адрес16	Шестнадцатеричный код	Код ассемблера	комментарии
4000	31 00 80	LXI SP,8000 h	Создание стека
4003	01 03 50	LXI B,5003 h	Загрузить в пару B,C значение адреса старшего байта второго числа
4006	21 07 50	LXI H,5007 h	Загрузить H,L значение адреса старшего байта второго числа
4009	EB	XCHG	Сохранение значения адреса старшего байта второго числа в D,E
400A	1A	LDAX D	Загрузка в A значения старшего байта второго числа
400B	E6 7F	ANI 7Fh	Обнуление старшего бита, отвечающего за знак числа
400D	67	MOV H,A	Сохранение получившегося значения в регистре H
400E	0A	LDAX B	Загрузка в A значения старшего байта первого числа
400F	E6 7F	ANI 7Fh	Обнуление старшего бита, отвечающего за знак числа
4011	2E 04	MVI L, 04h	Загрузка счетчика цикла значением 4
4013	BC	CMP H	Сравнить байты чисел (содержимое A с содержимым регистра H)
4014	DA 2F 40	JC 402Fh	Если второе число больше создать в регистре B значение 02h
4017	C2 3B 40	JNZ 403Bh	Если второе число больше создать в регистре B значение 01h
401A	0B	DCX B	Получить в паре B,C значение адреса следующего байта первого числа
401B	1B	DCX D	Получить в паре D,E значение адреса следующего байта второго числа
401C	1A	LDAX D	Загрузить в A значение следующего байта второго числа
401D	67	MOV H,A	Сохранение значения в регистре H
401E	0A	LDAX B	Загрузить в A значение следующего байта первого числа
401F	2D	DCR L	Уменьшить значение счетчика на единицу
4020	C2 13 40	JNZ 4013h	Пока значение счетчика не ноль выполнять цикл
4023	3E 00	MVI A,00h	Числа равны записать в A значение 00h
4025	32 00 70	STA 7000h	Отправляем содержимое аккумулятора в ячейку 7000
4028	21 7C 30	LXI H,307Ch	Загрузка в H,L адреса, начиная с которого располагается текст : «NUMBERS ARE EQUAL».
402B	E5	PUSH H	Запись содержимого регистров H,L в стек
402C	C3 44 40	JMP 4044h	Безусловный переход к адресу 4044h, выводу на экран результатов
402F	3E 02	MVI A,02h	Записываем 02h в A
4031	32 00 70	STA 7000h	Отправляем содержимое аккумулятора в ячейку 7000h
4034	21 5D 30	LXI H,305Dh	Загрузка в H,L адреса, начиная с которого располагается текст: «THE SECOND MORE THAN THE FIRST».
4037	E5	PUSH H	Запись содержимого регистров H,L в стек
4038	C3 44 40	JMP 4044h	Безусловный переход к адресу 4044h, выводу на экран результатов
403B	3E 01	MVI A,01h	Записываем 01h в A
403D	32 00 70	STA 7000h	Отправляем содержимое аккумулятора в ячейку 7000h
4040	21 3E 30	LXI H, 303Eh	Загрузка в H,L адреса, начиная с которого располагается текст: «THE FIRST MORE THAN THE SECOND».
4043	E5	PUSH H	Запись содержимого регистров в H,L в стек
4044	01 20 30	LXI B, 3020h	Загрузка в B,C адреса, начиная с которого располагается текст: «INITIAL DATA».
4047	CD 4C 00	CALL 4Ch	Вывод текста на экран.
404A	CD 49 00	CALL 49h	Переход на новую строку.
404D	21 03 50	LXI H, 5003h	Загрузить в пару H,L значение адреса старшего байта первого числа
4050	CD 00 41	CALL 4100h	Переход к подпрограмме вывода числа на экран
4053	21 07 50	LXI H, 5007h	Загрузить в пару H,L значение адреса старшего байта второго числа
4056	СD 00 41	CALL 4100h	Переход к подпрограмме вывода числа на экран
4059	С1	POP B	Извлечение из стека значений в регистры B,C
405A	CD 4C 00	CALL 4Ch	Вывод текста на экран
405D	CD 49 00	CALL 49h	Переход на новую строку.
4060	01 8E 30	LXI B,308Eh	Загрузка в B,С адреса начиная с которого располагается текст: CHANGE NUMBERS? (Y/N)
4063	CD 4C 00	CALL 4Ch	Вывод текста на экран
4066	CD 55 00	CALL 55h	Ввод кода символа в A с эхом на консоль
4069	D6 4E	SUI 4Eh	Вычитание 4Eh (Код клавиши N) из аккумулятора
406B	CD 49 00	CALL 49h	Переход на новую строку
406E	CA 90 40	JZ 4090h	Переход по условию Z=1, т.е нажата клавиша N
4071	01 A6 30	LXI B,30A6h	Загрузка в B,C адреса начиная с которого располагается текст: ENTER NUMBERS :.
4074	CD 4C 00	CALL 4Ch	Вывод текста на экран
4077	16 08	MVI D,08h	Создание счетчика D
4079	21 00 50	LXI H, 5000h	Загрузка в H,L адреса начиная с которого располагаются исходные числа.
407C	CD 67 00	CALL 67h	Ввод двух шестнадцатеричных цифр в A
407F	77	MOV A, M	Пересылка содержимого M в A
4080	23	INX H	Положительное приращение H,L
4081	15	DCR D	Отрицательное приращение регистра D
4082	3E 20	MVI A, 20h	Пересылка 20h (код клавиши пробел) в регистр A
4084	CD 58 00	CALL 58h	Вывод пробела на экран
4087	C2 7C 40	JNZ 407Ch	Переход по условию: Z=0, т.е не все константы введены
408A	CD 49 00	CALL 49h	Переход на новую строку
408D	C3 00 40	JMP 4000h	Безусловный переход кначалу программы
4090	CD 40 00	CALL 40h	Вход в режим ожидания ввода команды монитора.

Подпрограмма вывода числа на экран.

4100	1E 04	MVI E,20h	Создание счетчика в E
4102	7E	MOV A,M	Пересылка содержимого M в А.
4103	CD 61 00	CALL 61h	Вывод на кран бита числа.
4106	2D	DCR L	Отрицательное приращение регистра L , получение адресов следующего бита числа.
4107	3E 20	MVI A,20h	Пересылка 20h в регистр A
4109	CD 58 00	CALL 58h	Вывод пробела на экран
410С	1D	DCR E	Отрицательное приращение регистра E
410D	C2 02 41	JNZ 4102h	Переход по условию Z=0 то есть не все константы введены
4110	CD 49 00	CALL 49h	Переход на новую строку
4113	C9	RET	Выход из подпрограммы

2.3 Результаты тестирования программы

Для тестирования возьмем два массива констант из задания.

Исходный массив:

Адрес16	Константа16	Адрес16	Константа16
5000	22	5004	22
5001	С1	5005	70
5002	74	5006	74
5003	DB	5007	DB

В результате работы программы в ячейку с адресом 7000h был записан код 01h то есть левое число больше чем правое. Для того что бы убедится в том что программа выдала верный результат, будем действовать согласно описанию алгоритма. Обнулим старшие биты старших байтов и будем сравнивать байты чисел между собой, начиная со старших. Первые два старших байта равны между собой. Третий старший байт левого числа больше правого, следовательно, левое число больше.

Потом меняю числа местами:

3. Описание использования средств вычислительной техники

Характеристики оборудования.

Персональный компьютер на базе ACPI x64-based PC

1. Процессор: QuadCore AMD Athlon X4 620, 2600 MHz (13 x 200)

2. Оперативная память: 3072 Мб (DDR3-1333 DDR3 SDRAM)

3. Видео карта: NVIDIA GeForce GT 240 (1024 Мб)

4. Жесткий диск : WDC WD1001FALS-00E3A0 ATA Device (931 Гб, IDE)

Стандартное программное обеспечение:

Microsoft Windows 7 Ultimate(Максимальная)

Microsoft Office 2010.

Список используемой литературы

1) МикроЭВМ СМ-1800. Архитектура, программирование, применение / А.В. Гиглавный, Н.Д. Кобанов, Н.Л. Прохоров, А.Н. Шкамарда. - М.: Финансы и статистика, 1984.

2) Гиляров, В.Н. МикроЭВМ СМ-1800 и ее эмулятор на ПК: Методические указания к лабораторной работе / В.Н. Гиляров. - СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2006.

3) Гиляров В.Н. Видеотерминал и клавиатура микроЭВМ: Методические указания к лабораторной работе / В.Н. Гиляров. - СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2006.

Размещено на Allbest.ru